【创新设计】2016届高考数学一轮复习 第1-3讲课件 文（打包4套）新人教A版
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【创新设计】2016届高考数学一轮复习 第1-3讲课件 文（打包4套）新人教A版,创新,立异,设计,高考,数学,一轮,复习,温习,课件,打包,新人
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热点一 利用导数解决函数的单调性 热点二 利用导数求解函数的极值、最值 热点三 构造函数法求解不等式恒成立问题 热点一 利用导数解决函数的单调性问题 函数的单调性是函数在定义域内的局部性质 ， 因此利用导数讨论函数的单调性时 ， 要先研究函数的定义域 ， 再利用导数 f(x)在定义域内的符号来判断函数的单调性 这类问题主要有两种考查方式： 热点突破 热点一 利用导数解决函数的单调性问题 解得 x 1 2 4 ( 1 a )2 1 1 a ， x 2 1 1 a . ( 6 分 ) 解 f(x) 2x a， 开口向上 ， 4 4a 4(1 a) (2分 ) 当 1 a 0， 即 a 1时 ， f(x) 0恒成立 ， f(x)在 (4分 ) 当 1 a 0时 ， 即 a 1时 ， 令 f(x) 0， 令 f ( x ) 0 ， 解得 x 1 1 a 或 x 1 1 a ； 【 例 1 】 ( 12 分 )( 20 14 广东卷节选 ) 已知函数 f ( x ) 13 x 3 x 2 1 ( a R ) ， 求函数 f ( x ) 的单调区间 令 f ( x ) 0 ， 解得 1 1 a x 1 1 a ； ( 8 分 ) 热点突破 热点一 利用导数解决函数的单调性问题 当 a 1 时 ， f ( x ) 的单调递增区间为 ( ， 1 1 a ) 综上所述： 当 a 1时， f(x)在 和 ( 1 1 a ， ) ， 【 例 1 】 ( 12 分 )( 20 14 广东卷节选 ) 已知函数 f ( x ) 13 x 3 x 2 1 ( a R ) ， 求函数 f ( x ) 的单调区间 f ( x ) 的单调递减区间为 ( 1 1 a ， 1 1 a ) ( 12 分 ) 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ， 1 1 a ) 和 ( 1 1 a ， ) ； f ( x ) 的单调递减区间为 ( 1 1 a ， 1 1 a ) ( 10 分 ) 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ， 1 1 a ) 和 ( 1 1 a ， ) ； f ( x ) 的单调递减区间为 ( 1 1 a ， 1 1 a ) ( 10 分 ) 热点突破 求函数 f ( x ) 的定义域 ( 根据已知函数解析式确定 ) 求函数 f ( x ) 的导数 f ( x ) 根据参数分类讨论 求解 ( 令 f ( x ) 0 或令 f ( x ) 0) 第一步 第二步 第三步 第四步 下结论 第五步 求含参函数 f(x)的单调区间 的 一般步 骤 ： 热点一 利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 讨论含参函数的单调性 ， 大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论 ， 注意根据对应方程解的大小进行分类讨论 热点一 利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 f ( x ) a 1x 2 2 a 1x . (1)当 a 1时 ， f(x) 0， 故 f(x)在 (0， )上单调递增； (2)当 a 0时 ， f(x) 0， 故 f(x)在 (0， )上单调递减； (3)当 0 a 1时 ， 令 f(x) 0， 【训练 1】 已知函数 f(x) (a 1)ln x 1，求函数 f(x)的单调区间 解 f(x)的定义域为 (0， )， 解得 x 1 a2 a ， 则当 x 0 ， 1 a2 a 时 ， f ( x ) 0 ； 当 x 1 a2 a ， 时 ， f ( x ) 0 ， 故 f ( x ) 在 0 ， 1 a2 a 上单调递减 ， 在 1 a2 a ， 上单调递增 热点一 利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 解 ( 1) 由 f ( x ) x 2 2 a l n x ，得 f ( x ) 2 x 2 令 h(x) 1， 函数 g(x)在 1， 2上是减函数等价于 h(x)0在 1， 2上恒成立， 而 f(2) 4 a 2，解得 a 2， ( 2 ) 由题意知 g ( x ) 2x x 2 2 a l n x ， 则 g ( x ) 2 ( x 2 1 )x 2 ， 只需满足 h ( 1 ) 0 ，h ( 2 ) 0 ， 解得 a 32 . 故实数 a 的取值范围是 ， 32 . 【 例 2 】 ( 201 4 成都检测 ) 已知函数 f ( x ) x 2 2 a x ( a 0) ( 1) 若函数 f ( x ) 的图象在点 (2 ， f ( 2) ) 处的切线斜率为 2 ，求实数 a 的值； ( 2) 若函数 g ( x ) 2x f ( x ) 在 1 ， 2 上是减函数，求实数 a 的取值范围 热点一 利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 求解此类由函数单调性确定参数取值范围问题的关键在于根据函数的符号变化确定参数所满足的条件，函数在指定区间内不单调也就是导函数在指定区间内符号发生变化，此类问题的求解，一般是利用补集思想，先求函数在指定区间内单调时对应的参数取值范围，然后求解补集，也可根据导函数图象的特征列出对应的条件 热点一 利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 解 ( 1) f ( x ) e x l n x e x 1x a e x ( 1x a l n x ) e x ， 若 f(x)为单调递减函数 ， 则 f(x)0， f(1) (1 a)e， 由 (1 a ) e 1e 1 得 a 2. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 f ( x ) ( 1x a l n x ) e x ， 即 1x a l n x 0 ， 所以 a 1x l n x 令 g ( x ) 1x l n x ( x 0) ， 【 训练 2】 已知函数 f(x) x a0) (1)若函数 f(x)的图象在点 (1， f(1)处的切线与直线 x 1 0垂直 ， 求实数 (2)若函数 f(x)在区间 (0, )上是单调函数 ,求实数 则 g ( x ) 1x 2 1x x 1x 2 ( x 0) ， 热点一 利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 则 f ( x ) 0 ，即 1x a l n x 0 ， 由上述推理可知此时 a 1. 故 ， 1 由 g(x) 0得 x 1， 故 g(x)在 (0， 1上为单调递减函数 ， 在 1， )上为单调递增函数 ， 此时 g(x)有最小值为 g(1) 1， 但 g(x)无最大值 故 f(x)不可能是单调递减函数 若 f(x)为单调递增函数 ， 所以 a 1x l n x ， 【 训练 2】 已知函数 f(x) x a0) (1)若函数 f(x)的图象在点 (1， f(1)处的切线与直线 x 1 0垂直 ， 求实数 (2)若函数 f(x)在区间 (0, )上是单调函数 ,求实数 热点一 利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 热点突破 热点二 利用导数求解函数的极值、最值 用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之一 对于此类问题的求解 ， 首先 ， 要理解函数极值的概念， 需要清楚导数为 零 的点不一定是极值点 ， 只有在该点两侧导数的符号相反 ， 即函数在该点两侧的单调性相反时 ，该点才是函数的极值点；其次 ， 要区分极值与最值 ， 函数的极值是一个局部概念 ， 而最值是某个区间的整体性概念 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) x l n x 的图象在点 x e ( e 为自然对数的底数 ) 处的切线斜率为 3. ( 1) 求实数 a 的值； ( 2) 若 k Z ，且 k 1 恒成立，求 k 的最大值 热点突破 热点二 利用导数求解函数的极值、最值 解 (1)因为 f(x) x， 所以 f(x) a ln x 1. 因为函数 f(x) x ， 所以 f(e) 3， 即 a ln e 1 3， 所以 a 1. 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) x l n x 的图象在点 x e ( e 为自然对数的底数 ) 处的切线斜率为 3. ( 1) 求实数 a 的值； ( 2) 若 k Z ，且 k 1 恒成立，求 k 的最大值 热点突破 热点二 利用导数求解函数的极值、最值 (2)由 (1)知 ， f(x) x x， 又 k 1 恒成立， 即 k 1 恒成立 令 g ( x ) x x l n 1 ， 则 g ( x ) x x 2( x 1 ) 2 ， 则 h ( x ) 1 1x x 1x 0 ， 令 h(x) x ln x 2(x1)， 所以函数 h(x)在 (1， )上单调递增 因为 h(3) 1 0， 所以方程 h(x) 0在 (1， )上存在唯一实根 且满足 (3,4). 热点突破 热点二 利用导数求解函数的极值、最值 在 ( )上单调递增 ， 所以函数 g ( x ) x x 1 在 (1 ， x 0 ) 上单调递减， 所以 g ( x ) m i n g ( x 0 ) x 0 ( 1 l n x 0 ) 1x 0 ( 1 x 0 2 )x 0 1 x 0 (3 ， 4) ， 所以 h(x)0， 即 g(x)0， 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) x l n x 的图象在点 x e ( e 为自然对数的底数 ) 处的切线斜率为 3. ( 1) 求实数 a 的值； ( 2) 若 k Z ，且 k 1 恒成立，求 k 的最大值 热点突破 求解此类问题的关键在于正确理解最值的求解、 判断的方法，将其转化为函数的单调性问题求解，对于由函数的极值求解含参问题要注意结合导函数图象的性质进行分析，函数有极值点，则其导函数的图象必须穿过 x 轴，而若导函数的图象与 x 轴有公共点，则该函数不一定有极值点 热点二 利用导数求解函数的极值、最值 【 训练 3 】 ( 20 15 德阳期中 ) 已知函数 f ( x ) 13 1. ( 1) 当 x 1 时， f ( x ) 取得极值，求 a 的值； ( 2) 求 f ( x ) 在 0 ， 1 上的最小值 热点突破 热点二 利用导数求解函数的极值、最值 解 因为 f(x) a， (1)当 x 1时 ， f(x)取得极值 ， 所以 f(1) 1 a 0， a 1， 又当 x ( 1， 1)时 ， f(x) 0； x (1， )时 ， f(x) 0， 所以 f(x)在 x 1处取得极小值 ， 即 a 1时符合题意 (2) 当 a0时 ， f(x) 0对 x (0， 1)恒成立 ， 所以 f(x)在 (0， 1)上单调递增 ， f(x)在 x 0处取得最小值 f(0) 1. 当 a 0时 ， 令 f(x) a 0， 解得 x a 或 a . 【 训练 3 】 ( 20 15 德阳期中 ) 已知函数 f ( x ) 13 1. ( 1) 当 x 1 时， f ( x ) 取得极值，求 a 的值； ( 2) 求 f ( x ) 在 0 ， 1 上的最小值 热点突破 热点二 利用导数求解函数的极值、最值 a 1 时， a 1 ， 当 x (0 ， a ) 时， f ( x ) 0 ， f ( x ) 单调递减； 当 x ( a ， 1) 时， f ( x ) 0 ， f ( x ) 单调递增， 所以 f ( x ) 在 x a 处取得最小值 f ( a ) 1 2 a .当 a 1 时， a 1 . 所以 f ( x ) 在 x 1 处取得最小值 f ( 1) 43 a . x (0， 1)时， f(x) 0， f(x)单调递减， 当 0 a 1 时， f ( x ) 在 x a 处取得最小值 f ( a ) 1 2 a 当 a 1 时， f ( x ) 在 x 1 处取得最小值 f ( 1 ) 43 a . 综上所述，当 a0时， f(x)在 x 0处取得最小值 f(0) 1， 热点突破 热点三 构造函数法求解不等式恒成立问题 函数与导数的试题 ， 在每年的高考中属于必考内容 ， 一般为压轴题 ， 主要围绕函数的单调性 、 极值 、 最值 、 不等式恒成立等问题展开 ， 此类压轴试题难度较大 ， 对 逻辑推理能力较强 ， 不可小视 热点三 构造函数法求解不等式恒成立问题 解 (1)若 a 0， 则 f(x) x x 1， f(x) ln x， x (0， 1)时 ， f(x) 0， f(x)为减函数； x (1， )时， f(x) 0， f(x)为增函数 【 例 4】 (2015石家庄模拟 )已知函数 f(x) x (x 1)(a 1)(a R) (1)若 a 0， 判断函数 f(x)的单调性； (2)若 x 1时 ， f(x) 0恒成立 ， 求 热点突破 热点三 构造函数法求解不等式恒成立问题 【 例 4】 (2015石家庄模拟 )已知函数 f(x) x (x 1)(a 1)(a R) (1)若 a 0， 判断函数 f(x)的单调性； (2)若 x 1时 ， f(x) 0恒成立 ， 求 抓住 a R ，可分 a 0 或 a 0 . f ( x ) 0 ， x (1 ， ) 恒成立 为什么？x ( x 1 ) ( a 1 )x 0 ， x (1 ， ) 恒成立 构造函数 h ( x ) ln x ( x 1 ) ( a 1 )x ， x (1 ， ) 一审 二审 三审 求 h ( x ) ，令 h ( x ) 0. 四审 再对 a 分类讨论 五审 热点突破 热点三 构造函数法求解不等式恒成立问题 (2)依题意知 x (x 1)(a 1) 0在 (1， )上恒成立 若 a 0， 则 f(x) x x 1， f(x) ln x， x (1， )时 ， f(x) 0， f(x)为增函数 ， f(x) f(1) 0， 即 f(x) 0不成立 ， a 0不合题意 若 a 0， x 1， 【 例 4】 (2015石家庄模拟 )已知函数 f(x) x (x 1)(a 1)(a R) (1)若 a 0， 判断函数 f(x)的单调性； (2)若 x 1时 ， f(x) 0恒成立 ， 求 x ( x 1 ) ( a 1 )x 0 在 (1 ， ) 上恒成立， 不妨设 h ( x ) x ( x 1 ) ( a 1 )x ， x (1 ， ) ， h ( x ) x a 1x 2 ( x 1 ) ( a 1 )x 2 ， x (1 ， ) ， 热点突破 热点三 构造函数法求解不等式恒成立问题 x 1时 h(x) 0， h(x)为增函数 ， h(x) h(1) 0， 不合题意； 【 例 4】 (2015石家庄模拟 )已知函数 f(x) x (x 1)(a 1)(a R) (1)若 a 0， 判断函数 f(x)的单调性； (2)若 x 1时 ， f(x) 0恒成立 ， 求 令 h ( x ) 0 ，得 x 1 1 ， x 2 1 若 a 0 ，则 x 2 1 1 ， 若 0 a 12 ，则 x 2 1 ， x 1 ， 1 h ( x ) 0 ， 若 a 12 ，则 x 2 1 ， x (1 ， ) 时， h ( x ) 0 ， h ( x ) 为减函数， 综上所述， a 12 . h(x)为增函数， h(x) h(1) 0，不合题意； h(x) h(1) 0，符合题意 热点突破 热点三 构造函数法求解不等式恒成立问题 求解不等式恒成立时参数的取值范围问题 ， 一般常用分离参数的方法 ， 但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值 ， 或者求解其函数最值繁琐时 ， 可采用直接构造函数的方法求解 热点突破 解 ( 1 ) m 2 时， f ( x ) 13 x 3 x 2 3 x ， 【 训练 4 】 已知函数 f ( x ) 13( 1) x ( x R ) ，其中 m 0. ( 1) 当 m 2 时，求曲线 y f ( x ) 在点 (3 ， f ( 3) ) 处的切线方程； ( 2) 若 y f ( x ) 在32， 上存在单调递增区间，求 m 的取值范围； ( 3) 已知函数 y f ( x ) 有三个互不相同的零点 0 ， x 1 ， x 2 ，且 x 1 x 2 ，若对任意的 x x 1 ， x 2 ， f ( x ) f ( 1) 恒成立，求 m 的取值范围 f(x) 2x 3， k f(3) 0， 又 f(3) 9， 切线方程为 y 9. 热点三 构造函数法求解不等式恒成立问题 热点突破 由条件知 f 32 0 ， (2)f(x) 2x 1， 其对称轴为 x 1， 热点三 构造函数法求解不等式恒成立问题 m 2 14 ，又 m 0 ， m 12 . 【 训练 4 】 已知函数 f ( x ) 13( 1) x ( x R ) ，其中 m 0. ( 1) 当 m 2 时，求曲线 y f ( x ) 在点 (3 ， f ( 3) ) 处的切线方程； ( 2) 若 y f ( x ) 在32， 上存在单调递增区间，求 m 的取值范围； ( 3) 已知函数 y f ( x ) 有三个互不相同的零点 0 ， x 1 ， x 2 ，且 x 1 x 2 ，若对任意的 x x 1 ， x 2 ， f ( x ) f ( 1) 恒成立，求 m 的取值范围 热点突破 ( 3 ) f ( x ) 13 ( x 0 ) ( x x 1 )( x x 2 ) ， 【 训练 4 】 已知函数 f ( x ) 13 x 2 ( m 2 1) x ( x R ) ，其中 m 0. ( 3) 已知函数 y f ( x ) 有三个互不相同的零点 0 ， x 1 ， x 2 ，且 x 1 x 2 ，若对任意的 x x 1 ， x 2 ， f ( x ) f ( 1) 恒成立，求 m 的取值范围 3， 且 0， 热点三 构造函数法求解不等式恒成立问题 x 1 ， x 2 为方程 13 x 2 x m 2 1 0 的两根， 结合 m 0 ，解得 m 12 . x 1 x 2 ， x 2 32 ， 若 x 1 1 x 2 时，则 f ( 1 ) 13 (1 0 ) ( 1 x 1 )(1 x 2 ) ， 下面讨论 . f(1) 0，而 f( 0，与条件矛盾 热点突破 f ( x ) 13 x ( x x 1 )( x x 2 ) 0 ， 【 训练 4 】 已知函数 f ( x ) 13 x 2 ( m 2 1) x ( x R ) ，其中 m 0. ( 3) 已知函数 y f ( x ) 有三个互不相同的零点 0 ， x 1 ， x 2 ，且 x 1 x 2 ，若对任意的 x x 1 ， x 2 ， f ( x ) f ( 1) 恒成立，求 m 的取值范围 热点三 构造函数法求解不等式恒成立问题 m 2 13 0 33 m 33 . 由 知， m 的取值范围为 12 ， 33 . 若 1 对 x 又 f( 0， f(x)在 的最小值为 0. 又 f(x) f(1)恒成立 ， f(x)f(1)， 即 0 f(1)， 热点突破 考点突破 夯基释疑 考点一 考点三 考点二 例 1 训练 1 例 2 训练 2 例 3 训练 3 第 1 讲 导数的概念及运算 概要 课堂小结 判断正误 (在括号内打 “”或 “ ”) (1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 ( ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 ( ) (3)已知曲线 y 则 过点 P(1， 1)的切线有两条 .( ) (4)物体运动的方程是 s 4t 2 16t ， 在某一时刻的速度为 0， 则 相应的时刻 t 2 . ( ) 夯基释疑 考点突破 考点一 导数的运算 【例 1 】 ( 1 ) ( 2 015 郑州联考 ) 已知 f ( x ) 12 2 (2 01 4) 2 014 l n x ，则 f ( 2 01 4) ( ) A 2 015 B 2 015 C 2 014 D 2 014 解析 由题意得 f ( x ) x 2 f ( 2 0 1 4 ) 2 0 1 4x ， 导数 f(x)的函数值 所以 f ( 2 0 1 4 ) 2 0 1 4 2 f ( 2 0 1 4 ) 2 0 1 42 0 1 4 ， 即 f(2 014) (2 014 1) 2 015. 答案 B 考点突破 解 y (x x2(x) 【例 1 】 ( 2 ) 求下列函数的导数： y x 2 s i n x ； y l n xe x . y ( x ) ( e x ) x( e x ) 2 利用导数公式求解 2x x. 1x e x x( e x ) 2 1x xe x 1 x x . 考点一 导数的运算 考点突破 规律方法 求函数导数的一般原则如下： (1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导； (2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导； (3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导 考点一 导数的运算 考点突破 解 (1)法一 y (3x 2)(x 3) 611x 6， y 312x 11. 法二 y (x 1)(x 2)(x 3) (x 1)(x 2)(x 3) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 3) (x 1)(x 2) (x 2 x 1)(x 3) (x 1)(x 2) (2x 3)(x 3) (x 1)(x 2) 312x 11. 【训练 1 】 求下列函数的导数： ( 1) y ( x 1) ( x 2) ( x 3) ； ( 2) y s i n 1 2 考点一 导数的运算 考点突破 【训练 1 】 求下列函数的导数： ( 1) y ( x 1) ( x 2) ( x 3) ； ( 2) y s i n 1 2 ( 2 ) y s i n c o s 考点一 导数的运算 12 s i n x ， y 12 s i n x 12 ( s i n x ) 12 c x . 考点突破 考点二 导数的几何意义及其应用 【例 2】已知函数 f(x) 45x 4. (1)求曲线 f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程； (2)求经过点 A(2， 2)的曲线 f(x)的切线方程 点 (2， f(2)是切点 点 解 (1) f(x) 38x 5， f(2) 1， 又 f(2) 2， 曲线在点 (2， f(2)处的切线方程为 y 2 x 2， 即 x y 4 0. 考点突破 考点二 导数的几何意义及其应用 P ( x 0 ， x 30 4 x 20 5 x 0 4) ， 【例 2】已知函数 f(x) 45x 4. (1)求曲线 f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程； (2)求经过点 A(2， 2)的曲线 f(x)的切线方程 点 (2， f(2)是切点 点 (2)设曲线与经过点 A(2， 2)的切线相切于点 f ( x 0 ) 3 x 20 8 x 0 5 ， 切线方程为 y ( 2) (3 x 20 8 x 0 5 ) ( x 2) ， 又切线过点 P ( x 0 ， x 30 4 x 20 5 x 0 4) ， x 30 4 x 20 5 x 0 2 (3 x 20 8 x 0 5 ) ( x 0 2) ， 整理得 (2)2(1) 0，解得 2或 1， 经过 A(2， 2)的曲线 f(x)的切线方程为 x y 4 0， 或 y 2 0. 考点突破 考点二 导数的几何意义及其应用 规律方法 求切线方程 时 ， 注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线 曲线 y f(x)在点 P(f(处的 切线方程 是 y f( f(x 求过某点的切线方程，需先设出切点的坐标，再根据已知点在切线上求解 考点突破 则 f(1) 1， 故函数 f(x)在点 (1， 2)处的切线方程为 y ( 2) x 1， 即 x y 3 0. 【训练 2 】 ( 1) ( 201 5 云南统一检测 ) 函数 f ( x ) x 2 1 ，2) 处的 切线方程为 ( ) A 2 x y 4 0 B 2 x y 0 C x y 3 0 D x y 1 0 ( 2) 设 a 为实数，函数 f ( x ) ( a 3) x 的导函数为 f ( x ) ，且 f ( x ) 是偶函数，则曲线 y f ( x ) 在原点处的切线方程为 ( ) A y 3 x 1 B y 3 x C y 3 x 1 D y 3 x 3 考点二 导数的几何意义及其应用 解析 ( 1 ) f ( x ) 1 l n ， 考点突破 (2)f(x) 32(a 3)， 又 f(x)为偶函数，则 a 0， 所以 f(x) 3x， f(x) 33， 故 f(0) 3， 故所求的切线方程为 y 3x. 答案 (1)C (2)B 【训练 2 】 ( 1) ( 201 5 云南统一检测 ) 函数 f ( x ) x 2 1 ，2) 处的 切线方程为 ( ) A 2 x y 4 0 B 2 x y 0 C x y 3 0 D x y 1 0 ( 2) 设 a 为实数，函数 f ( x ) ( a 3) x 的导函数为 f ( x ) ，且 f ( x ) 是偶函数，则曲线 y f ( x ) 在原点处的切线方程为 ( ) A y 3 x 1 B y 3 x C y 3 x 1 D y 3 x 3 考点二 导数的几何意义及其应用 考点突破 解 (1)由 f(x) 23x得 f(x) 63. 考点三 导数几何意义的综合应用 令 f ( x ) 0 ，得 x 22 或 x 22 . 【例 3】 (2014北京卷 )已知函数 f(x) 23x. (1)求 f(x)在区间 2， 1上的最大值； (2)若过点 P(1， t)存在 3条直线与曲线 y f(x)相切，求 (3)问过点 A( 1， 2)， B(2， 10)， C(0， 2)分别存在几条直线与曲线 y f(x)相切？ (只需写出结论 ) 因为 f ( 2) 10 ， f 22 2 ， 所以 f ( x ) 在区间 2 ， 1 上的最大值为 f 22 2 . f 22 2 ， f ( 1 ) 1 ， 考点突破 (2)设过点 P(1， t)的直线与曲线 y f(x)相切于点 ( 考点三 导数几何意义的综合应用 则 y 0 2 x 30 3 x 0 ，且切线斜率为 k 6 x 20 3 ， 【例 3】 (2014北京卷 )已知函数 f(x) 23x. (1)求 f(x)在区间 2， 1上的最大值； (2)若过点 P(1， t)存在 3条直线与曲线 y f(x)相切，求 (3)问过点 A( 1， 2)， B(2， 10)， C(0， 2)分别存在几条直线与曲线 y f(x)相切？ (只需写出结论 ) 所以切线方程为 y y 0 (6 x 20 3 ) ( x x 0 ) ， 整理得 4 x 30 6 x 20 t 3 0. 因此 t y 0 (6 x 20 3 ) ( 1 x 0 ) 设 g(x) 46t 3， 则 “过点 P(1， t)存在 3条直线与曲线 y f(x)相切 ” 等价于 “g(x)有 3个不同零点 ” g(x) 1212x 12x(x 1) 考点突破 g(x)与 g(x)的变化情况如下表： 考点三 导数几何意义的综合应用 【例 3】 (2014北京卷 )已知函数 f(x) 23x. (1)求 f(x)在区间 2， 1上的最大值； (2)若过点 P(1， t)存在 3条直线与曲线 y f(x)相切，求 (3)问过点 A( 1， 2)， B(2， 10)， C(0， 2)分别存在几条直线与曲线 y f(x)相切？ (只需写出结论 ) 所以， g(0) t 3是 g(x)的极大值； g(1) t 1是 g(x)的极小值 当 g(0) t 30，即 t 3时， 此时 g(x)在区间 ( ， 1和 (1， )上分别至多有 1个零点， 所以 g(x)至多有 2个零点 x ( ， 0) 0 (0， 1) 1 (1， ) g(x) 0 0 g(x) t 3 t 1 考点突破 考点三 导数几何意义的综合应用 【例 3】 (2014北京卷 )已知函数 f(x) 23x. (1)求 f(x)在区间 2， 1上的最大值； (2)若过点 P(1， t)存在 3条直线与曲线 y f(x)相切，求 (3)问过点 A( 1， 2)， B(2， 10)， C(0， 2)分别存在几条直线与曲线 y f(x)相切？ (只需写出结论 ) 此时 g(x)在区间 ( ， 0)和 0， )上分别至多有 1个零点， 所以 g(x)至多有 2个零点 当 g(0) 0且 g(1) 0，即 3 t 1时， 因为 g( 1) t 7 0， g(2) t 11 0， 所以 g(x)分别在区间 1， 0)， 0， 1)和 1， 2)上恰有 1个零点 由于 g(x)在区间 ( ， 0)和 (1， )上单调， 所以 g(x)分别在区间 ( ， 0)和 1， )上恰有 1个零点 综上可知，当过点 P(1， t)存在 3条直线与曲线 y f(x)相切时， 3， 1) 考点突破 考点三 导数几何意义的综合应用 【例 3】 (2014北京卷 )已知函数 f(x) 23x. (1)求 f(x)在区间 2， 1上的最大值； (2)若过点 P(1， t)存在 3条直线与曲线 y f(x)相切，求 (3)问过点 A( 1， 2)， B(2， 10)， C(0， 2)分别存在几条直线与曲线 y f(x)相切？ (只需写出结论 ) (3)过点 A( 1， 2)存在 3条直线与曲线 y f(x)相切； 过点 B(2， 10)存在 2条直线与曲线 y f(x)相切； 过点 C(0， 2)存在 1条直线与曲线 y f(x)相切 考点突破 规律方法 (1)解决本题第 (2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程，可将问题等价转化为关于 造函数后，研究函数的单调性和极值，通过数形结合方法找到 (3)问类比第(2)问方法即可 (2)本题考查了函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，考查了学生灵活运用导数知识分析和解决问题的能力 . 考点三 导数几何意义的综合应用 考点突破 解 (1)对于 y 2x 2，有 y 2x 2, 对于 y b，有 y 2x a， 设 2的一个交点为 ( 由题意知过交点 (两切线互相垂直 (22)( 2a) 1， 即 4 x 20 2( a 2) x 0 2 a 1 0. 又点 ( 2上， 故有 y 0 x 20 2 x 0 2y 0 x 20 b 考点三 导数几何意义的综合应用 【训练 3】设函数 y 2x 2的图象为 数 y 2，已知过 2的一个交点的两切线互相垂直 (1)求 a， (2)求 考点突破 接上一页 2 x 20 ( a 2) x 0 2 b 0. 考点三 导数几何意义的综合应用 【训练 3】设函数 y 2x 2的图象为 数 y 2，已知过 2的一个交点的两切线互相垂直 (1)求 a， (2)求 由 消去 x 0 ，可得 a b 52 . ( 2 ) 由 ( 1 ) 知： b 52 a ， a 52 a a 542 2516 . 当 a 54 时， ( 最大值 2516 . y 0 x 20 2 x 0 2y 0 x 20 b 1 f(表函数 f(x)在 x (f(是函数值f(导数，而函数值 f(一个常量，其导数一定为 0，即(f( 0. 2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 思想方法 课堂小结 1利用公式求导时要特别 注意 不要将幂函数的求导公式 ( 1与指数函数的求导公式 ( 易错防范 课堂小结 2 直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的 切线， 也不能说明 直线与曲线只有一个公共 点 3 曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线 y 0是曲线 y 0， 0)处的 切线 考点突破 夯基释疑 考点一 考点三 考点二 例 1 训练 1 例 2 训练 2 例 3 训练 3 第 2 讲 导数的应用 (一 ) 概要 课堂小结 判断正误 (在括号内打 “”或 “ ”) (1)f(x) 0是 f(x)为增函数的充要条件 ( ) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 ( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大 ( ) (4)对可导函数 f(x)， f( 0是 ( ) 夯基释疑 考点突破 所以 曲线 y f(x)在 (1， f(1)处的切线方程为 x 2y 1 0. 考点一 利用导数研究函数的单调性 【例 1 】 ( 201 4 山东卷 ) 设函数 f ( x ) a x x 1x 1，其中 a 为常数 ( 1) 若 a 0 ，求曲线 y f ( x ) 在点 (1 ， f ( 1) ) 处的切线方程； ( 2) 讨论函数 f ( x ) 的单调性 解 ( 1) 由题意知 a 0 时， f ( x ) x 1x 1 ， x (0 ， ) 首先要确定函数的定义域 此时 f ( x ) 2( x 1 ) 2 . 可得 f ( 1 ) 12 ， 又 f(1) 0， 利用导数研究 考点突破 考点一 利用导数研究函数的单调性 【例 1 】 ( 201 4 山东卷 ) 设函数 f ( x ) a x x 1x 1，其中 a 为常数 ( 1) 若 a 0 ，求曲线 y f ( x ) 在点 (1 ， f ( 1) ) 处的切线方程； ( 2) 讨论函数 f ( x ) 的单调性 f ( x ) 2（ x 1 ） 2 （ 2 a 2 ） x x 1 ） 2 . 当 a 12 时， 0 ， f ( x ) 12 ( x 1 ) 2x ( x 1 ) 2 0 ， (2)函数 f(x)的定义域为 (0， ) 当 a0时， f(x) 0，函数 f(x)在 (0， )上单调递增 当 a 0时，令 g(x) (2a 2)x a， 由于 (2a 2)2 44(2a 1)， 函数 f(x)在 (0， )上单调递减 考点突破 考点一 利用导数研究函数的单调性 【例 1 】 ( 201 4 山东卷 ) 设函数 f ( x ) a x x 1x 1，其中 a 为常数 ( 1) 若 a 0 ，求曲线 y f ( x ) 在点 (1 ， f ( 1) ) 处的切线方程； ( 2) 讨论函数 f ( x ) 的单调性 当 a 12 时， 0 ， g ( x ) 0 ， 当 12 a 0 时， 0. 设 x2(函数 g(x)的两个零点， 所以 x (0， ， g(x) 0， f(x) 0，函数 f(x)单调递减； f(x) 0，函数 f(x)在 (0， )上单调递减 则 x 1 （ a 1 ） 2 a 1a ， x 2 （ a 1 ） 2 a 1a . 由 x 1 a 1 2 a 1 a 2 a 1 2 a 1 a 0 ， 考点突破 考点一 利用导数研究函数的单调性 【例 1 】 ( 201 4 山东卷 ) 设函数 f ( x ) a x x 1x 1，其中 a 为常数 ( 1) 若 a 0 ，求曲线 y f ( x ) 在点 (1 ， f ( 1) ) 处的切线方程； ( 2) 讨论函数 f ( x ) 的单调性 当 a 12 时，函数 f ( x ) 在 (0 ， ) 上单调递减； 当 12 a 0 时， f ( x ) 在 0 ， （ a 1 ） 2 a 1a ， x (， g(x) 0， f(x) 0，函数 f(x)单调递增； x ( )时， g(x) 0， f(x) 0，函数 f(x)单调递减 综上可得：当 a0时，函数 f(x)在 (0， )上单调递增； （ a 1 ） 2 a 1a ， 上单调递减， 在 （ a 1 ） 2 a 1a ， （ a 1 ） 2 a 1a 上单调递增 考点突破 规律方法 (1)利用导数 研究 函数单调 性的关键在于准确判定导数的符号，当 f(x) 含参数时，需要根据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 (2)若可导函数 f(x) 在指定的区间 D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为 f(x) 0（ 或 f(x) 0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“ ”是否可以取到 考点一 利用导数研究函数的单调性 考点突破 令 f(x) 0，得 1或 2， 【训练 1 】 ( 201 5 嘉兴质检 ) 已知函数 f ( x ) e e x a R ) ( 1) 当 a 32时，求函数 f ( x ) 的单调区间； ( 2) 若函数 f ( x ) 在 1 ， 1 上为单调函数，求实数 a 的取值范围 解 ( 1 ) 当 a 32 时， f ( x ) e 1e x 32 x ， f ( x ) 12 e x ( e x ) 2 3 e x 2 考点一 利用导数研究函数的单调性 12 e x ( e x 1 ) ( e x 2) ， 即 x 0或 x ； 令 f(x) 0，则 x 0或 x ； 令 f(x) 0，则 0 x . f(x)的递增区间是 ( ， 0)， (， )； 递减区间是 (0， ) 考点突破 令 t，由于 x 1， 1， 【训练 1 】 ( 201 5 嘉兴质检 ) 已知函数 f ( x ) e e x a R ) ( 1) 当 a 32时，求函数 f ( x ) 的单调区间； ( 2) 若函数 f ( x ) 在 1 ， 1 上为单调函数，求实数 a 的取值范围 ( 2 ) f ( x ) e 1e x a ， t 1e ， e . 考点一 利用导数研究函数的单调性 令 h ( t ) 1t t 1e ， e ， 当 t 1e ， 2 时， h ( t ) 0 ，函数 h ( t ) 为单调减函数； 当 t ( 2 ， e 时， h ( t ) 0 ，函数 h ( t ) 为单调增函数 故 h ( t ) 在 1e ， e 上的极小值点为 t 2 . 又 h ( e ) 1e h 1e 12 e e ， 2 h ( t ) e 12 e . 考点突破 函数 f(x)在 1， 1上为单调函数， 【训练 1 】 ( 201 5 嘉兴质检 ) 已知函数 f ( x ) e e x a R ) ( 1) 当 a 32时，求函数 f ( x ) 的单调区间； ( 2) 若函数 f ( x ) 在 1 ， 1 上为单调函数，求实数 a 的取值范围 则 a 1t 对 t 1e ， e 恒成立 ， 则 a 1t 对 t 1e ， e 恒成立， 考点一 利用导数研究函数的单调性 所以 a 2 ； 所以 a e 12 e ， 综上可得 a 的取值范围是 ( ， 2 e 12 e ， . 若函数 f(x)在 1， 1上单调递增， 若函数 f(x)在 1， 1上单调递减， 考点突破 考点二 利用导数研究函数的极值 【例 2 】 ( 20 14 重庆卷 ) 已知函数 f ( x ) x4l n x 32，其中 a R ，且曲线 y f ( x ) 在点 (1 ， f ( 1) ) 处的切线垂直于直线 y 12x . ( 1) 求 a 的值； ( 2) 求函数 f ( x ) 的单调区间与极值 解 ( 1 ) 对 f ( x ) 求导得 f ( x ) 14 1x ， 由 f ( x ) 在点 (1 ， f ( 1 ) 处的切线垂直于直线 y 12 x ， 知 f ( 1 ) 34 a 2 ， 解得 a 54 . 考点突破 考点二 利用导数研究函数的极值 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 f ( x ) 54 x x 32 ， 则 f ( x ) x 2 4 x 54 x 2 . 令 f(x) 0，解得 x 1或 x 5. 因为 x 1不在 f(x)的定义域 (0， )内，故舍去 当 x (0， 5)时， f(x) 0，故 f(x)在 (0， 5)内为减函数； 当 x (5， )时， f(x) 0，故 f(x)在 (5， )内为增函数 由此知函数 f(x)在 x 5时取得极小值 f(5) . 【例 2 】 ( 20 14 重庆卷 ) 已知函数 f ( x ) x4l n x 32，其中 a R ，且曲线 y f ( x ) 在点 (1 ， f ( 1) ) 处的切线垂直于直线 y 12x . ( 1) 求 a 的值； ( 2) 求函数 f ( x ) 的单调区间与极值 考点突破 考点二 利用导数研究函数的极值 规律方法 (1)可导函数 y f(x)在 值 的充要条件是 f( 0，且在 侧与右侧 f(x)的符号不同 (2)若函数 y f(x)在区间 (a， b)内有极值，那么 y f(x)在 (a， b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值 考点突破 解 由题得 f(x) 34x 1. (1)函数图象过 (0， 1)时，有 f(0) c 1. 当 a 1时， f(x) 34x 1. 【训练 2 】 设函数 f ( x ) 2 x 2 x c ( a 0) ( 1) 当 a 1 ，且函数图象过 (0 ， 1) 时，求函数的极小值； ( 2) 若 f ( x ) 在 R 上无极值点，求 a 的取值范围 考点二 利用导数研究函数的极值 令 f ( x ) 0 ，解得 x 13 或 x 1 ； 令 f ( x ) 0 ，解得 13 x 1. 所以函数在 ， 13 和 (1 ， ) 上单调递增； 在 13 ， 1 上单调递减， 故函数 f(x)的极小值是 f(1) 13 2 12 1 1 1. 考点突破 (2)若 f(x)在 则 f(x)在 即 f(x)0或 f(x)0恒成立 当 a 0时， f(x) 4x 1，显然不满足条件； 当 a0时， f(x)0或 f(x)0恒成立的充要条件是 ( 4)2 4 3a 10， 【训练 2 】 设函数 f ( x ) 2 x 2 x c ( a 0) ( 1) 当 a 1 ，且函数图象过 (0 ， 1) 时，求函数的极小值； ( 2) 若 f ( x ) 在 R 上无极值点，求 a 的取值范围 考点二 利用导数研究函数的极值 即 16 12 a 0 ，解得 a 43 . 综上， a 的取值范围是 43 ， . 考点突破 考点三 利用导数研究函数的最值 【例 3 】 ( 20 14 江西卷 ) 已知函数 f ( x ) (4 4 x ， 其中 a 0. ( 1) 当 a 4 时，求 f ( x ) 的单调递增区间； ( 2) 若 f ( x ) 在区间 1 ， 4 上的最小值为 8 ，求 a 的值 解 ( 1) 当 a 4 时，由 f ( x ) 2 ( 5 x 2 ) ( x 2 )x 0 得 x 25 或 x 2 ， 由 f ( x ) 0 得 x 0 ， 25 或 x (2 ， ) ， 故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 0 ， 25 和 (2 ， ) 考点突破 考点三 利用导数研究函数的最值 【例 3 】 ( 20 14 江西卷 ) 已知函数 f ( x ) (4 4 x ， 其中 a 0. ( 1) 当 a 4 时，求 f ( x ) 的单调递增区间； ( 2) 若 f ( x ) 在区间 1 ， 4 上的最小值为 8 ，求 a 的值 ( 2) f ( x ) ( 10 x a ) ( 2 x a )2 x ， a 0 ， 由 f ( x ) 0 得 x x 当 x 0 ， ， f ( x ) 单调递增； 当 x ， f ( x ) 单调递减； 当 x 时， f ( x ) 单调递增 易知 f ( x ) (2 x a ) 2 x 0 ，且 f 0. 深度思考 对于第 (2)小问已知函数 f(x)在某个闭区间上的最值，求参数值，一般解法你了解吗？ (先求 f(x)的最值再解方程求参数 ) 考点突破 考点三 利用导数
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