【第一方案】高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明练习（打包8套）
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【第一方案】高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明练习（打包8套）,第一,方案,高三,数学,一轮,复习,温习,第七,不等式,推理,证明,练习,打包
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用心 爱心 专心 - 1 - 第一节 不等关系与不等式 一、选择题 (65 分 30 分 ) 1 (2011 临沂模拟 )对于任意实数 a， b， c， d，命题： 若 ab， c0 ，则 ac 若 ab，则 若 ab. 其中真命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析：当 出下列不等式，其中成立的是 ( ) 1 11； 2a2b. A B C D 解析： a、 b 符号不定，故 不正确， 不正确 y ab 时， a3 正确 y 2 ab 时， 2a2b，故 正确 答案： D 3 (2011 岳阳模拟 )已知 a， b 为非零实数，且 析：取 a 4， b 2 即可判断选项 A、 B、 D 错 答案 ： C 4 (2011 阳江模拟 )已知 a、 b 满足 0析：取特殊值法 令 a 14， b 12，则 (14)14 (12)12， (12)12， A 错 用心 爱心 专心 - 2 - (14)12|b|； 确的不等式是 ( ) A B C D 解析：取 a 1， b 2，验证排除 . 答案： C 二、填空题 (35 分 15 分 ) 7已知三个不等式： ， ， (其中 a、 b、 c、 d 均为实数 )，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是_个 解析：由 ， . 两端同除以 . 同样由 ， 可得 . ca 0. 答案： 3 8 (2011 茂名一模 )下列四个不等式： ， 则 1a1b； 若 ab0，则 a 1ab 1b； 若 ab0，则 2a 2b 设 a， b 是互不相等的正数，则 |a b| 1a b2. 其中正确命题的序号是 _ (把你认为正确命题的序号都填上 ) 解析： 作差可得 1a 1b b 而 ab0，则 b b0，则 1a 1b，所以可得 a 1ab 1 2a 2b b a b a a 22b b 2b b b a b 2b b 0， 0， 0，试判断 f( ) f( ) f( )与 0 的关系，并证明 解析： f( ) f( ) f( )0， 0， 0， ， ， ， 而 f(x)在 R 上是单调减函数， f( )0， ， 故 (2a 1)(2a 1)(a 1)(a 1) 12 (13 分 )2009 年第十一届全运会在济南举行，下表为全运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备 1 200 元，预订 15 张下表中球类比赛的门票 . 比赛项目 票价 (元 /场 ) 足球 蓝球 乒乓球 100 80 60 若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表 中三种球类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数 解析：设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是 n(n N*)张，则足球比赛门票预订 (15 2n)张，由题意得 80n 60n 2n ，80n 2n ，n N*，解得 5 n5 514， 由 n N*，可得 n 5， 15 2n 5. 可 以预订足球比赛门票 5 张 用心 爱心 专心 - 1 - 第七节 数学归纳法（理） 一、选择题 (65 分 30 分 ) 1 (2011 怀化模拟 )用数学归纳法证明命题 “ 当 n 是正奇数时， x y 整除 ” ，在第二步时，正确的证法是 ( ) A假设 n k(k N*)，证明 n k 1 命题成立 B假设 n k(k 是正奇数 )，证明 n k 1 命题成立 C假设 n 2k 1(k N*)，证明 n k 1 命题成立 D假设 n k(k 是正奇数 )，证明 n k 2 命题成立 解析： A、 B、 C 中， k 1 不一定表示奇数，只有 D 中 k 为奇数， k 2 为奇数 答案： D 2 (2011 鹤壁模拟 )用数学归纳法证明 “1 12 13 12n 11)” 时，由 n k(k1)不等式成立，推证 n k 1 时，左边应增加的项数是 ( ) A 2k 1 B 2k 1 C 2k D 2k 1 解析：增加的项数为 (2k 1 1) (2k 1) 2k 1 2k 2k. 答案： C 3 (2011 巢湖联考 )对于不等式 当 n 2 时，左边式子等于( ) A 1 B 1 12 C 1 12 13 D 1 12 13 14 解析：当 n 2 时，左边的式子为 1 12 13 122 1 12 13 14. 答案： D 6已知数列 前 n 项和 n2) ，而 1，通过计算 想 ( ) A. 2n 2 B. 2n n C. 22n 1 D. 22n 1 解析：由 1 (n 1)21 1 (n 1)21 1 (n 1)21 1 2an(n2) 当 n 2 时， 4 13， 2416， 35110. 由 1， 13， 16， 110，猜想 2n n . 答案： B 二、填空题 (35 分 15 分 ) 7在数列 ， 13且 n(2n 1)过计算 _ 解析： 13且 n(2n 1) 2(22 1) 135 . 又 3(23 1) 157 . 用心 爱心 专心 - 3 - 又 4(24 1) 179 . 猜想： 1n n . 答案： 1n n 8 (2011 绍兴月考 )用数学归纳法证明 1 12 13 12n 1 2(n N，且 n 1)，第一步要证的不等式是 _ 解析： n 2 时，左边 1 12 122 1 1 12 13，右边 2. 答案： 1 12 13 2 9 (2011 东莞调研 )已知整数对的序列如下： (1,1)， (1,2)， (2,1)， (1,3)， (2,2)，(3,1)， (1,4)， (2,3)， (3,2)， (4,1)， (1,5)， (2,4)， ，则第 60 个数对是 _ 解析：本题规律： 2 1 1； 3 1 2 2 1； 4 1 3 2 2 3 1； 5 1 4 2 3 3 2 4 1； ； 一个整数 n 所拥有数对为 (n 1)对 设 1 2 3 (n 1) 60， n 60， n 11 时还多 5 对数，且这 5 对数和都为 12， 12 1 11 2 10 3 9 4 8 5 7， 第 60 个数对为 (5,7) 答案： (5,7) 三、解答题 (共 37 分 ) 10 (12 分 )用数学归纳法证明下面的等式： 12 22 32 42 ( 1)n 1 ( 1)n 1n n2 . 证明： (1)当 n 1 时，左边 12 1， 右边 ( 1)0 2 1， 原等式成立 (2)假设 n k(k N*， k1) 时，等式成立，即有 用心 爱心 专心 - 4 - 12 22 32 42 ( 1)k 1 ( 1)k 1k k2 . 那么，当 n k 1 时，则有 12 22 32 42 ( 1)k 1 ( 1)k(k 1)2 ( 1)k 1k k2 ( 1)k( k 1)2 ( 1)k k 12 k 2(k 1) ( 1)k k k2 ， n k 1 时，等式也成立 ， 由 (1)(2)得对任意 n N*有 12 22 32 42 ( 1)n 1 ( 1)n 1n n2 . 11 (12 分 )(2011 东北六校联考 )设数列 前 n 项和为 方程 0 有一根为 1， n 1,2,3， . (1)求 (2)猜想数列 通项公式，并给出严格的证明 解析： (1)当 n 1 时， 0 有一根为 1 1， 于是 (1)2 a1(1) 0， 解得 12. 当 n 2 时， 0 有一根为 1 12， 于是 (12)2 a2(12) 0， 解得 16. (2)由题设 (1)2 n 1) 0， 21 0. 当 n2 时， 1， 代入上式得 121 0. 由 (1)得 12， 12 16 23. 由 可得 n 1， n 1,2,3. 下面用数学归纳法证明这个结论 ( )n 1 时已知结论成立 ( )假设 n k(k N*， k1) 时结论成立，即 1，当 n k 1 时，由 得 1 12 心 爱心 专心 - 5 - 即 1 k 1k 2，故 n k 1 时结论也成立 综上，由 ( )、 ( )可知 1对所有正整数 n 都成立 12 (13 分 )(2011 温州模拟 )已知 f(x) x x n， n N*，试比较 f( 2)与 11的大小，并且说明理由 解析： f( 2) 2n 2 n2 n 2 n2n 12n 1 122n 1， 而 11 121， f( 2)与 11的大小等价于 2n与 当 n 1 时， 2112；当 n 2 时， 22 22； 当 n 3 时， 2352. 猜想当 n5 时， 2n以下用数学归纳法证明： 当 n 5 时，由上可知不等式成立； 假设 n k(k5 ， k N*)时，不等式成立，即 2k当 n k 1 时， 2k 1 22 k2 又 2(k 1)2 (k 1)2 20( k5) ， 即 2k 1(k 1)2， n k 1 时，不等式成立 综合 对 n5 ， n N*不等式 2n 当 n 1 或 n5 时， f( 2)11； 当 n 3 时， f( 2)11； 当 n 2 或 4 时， f( 2) 11. 用心 爱心 专心 - 1 - 第三节 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题 一、选择题 (65 分 30 分 ) 1 (2010 重庆高考 )设变量 x， y 满足约束条件 x0 ，x y0 ，2x y 20 ，则 z 3x 2y 的最大值为 ( ) A 0 B 2 C 4 D 6 解析：作出如图阴影所示的可行域，易得 A(2,2)， B(0， 2)，把 B 坐标代入目标函数，得 30 2( 2) 4，故选 C. 答案： C 2若实数 x、 y 满足 x y 10 ，x0，y2 ，则 ) A (0,2) B (0,2 C (2， ) D 2， ) 解析：画出线性约束条件 x y 10x0y2的可行域 (如图所示 ) k， 由 x y 1 0，y 2， 得 A(1,2)， k . 答案： D 用心 爱心 专心 - 2 - 3 (2010 改编题 )已知点 P 在平面区域 x 103x 4y4y 20上，点 Q 在曲线 (x 2)2 1上，那么 |最小值是 ( ) A 1 B 2 03 1 03 解析：如图，画出平面区域 (阴影部分所示 )，由圆心 C( 2,0)向直线 3x 4y 4 0 作垂线，圆心 C( 2,0)到直线 3x 4y 4 0 的距离为 40 4|32 42 2，又圆的半径为1，所以可求得 |最小值是 1. 答案： A 4已知点 P(x， y)满足 x 13y 50 ，4x 3y 10 ，点 Q(x， y)在圆 (x 2)2 (y 2)2 1 上，则 |最大值与最小值为 ( ) A 6,3 B 6,2 C 5,3 D 5,2 解析：可行域如图阴影部分，设 | d，则由图中圆心 C( 2， 2)到直线 4x 3y 1 0 的距离最小，则到点 A 距离最大 由 2x 3y 5 0，4x 3y 1 0， 得 A( 2,3) | 1 5 1 6， | 8 6 1|5 1 2. 答案： B 用心 爱心 专心 - 3 - 5 (2009 福建高考 )在平面直角坐标系中，若不等式组 x y 10 ，x 10 ，y 10 ，(a 为常数 )所表示的平面区域的面积等于 2，则 a 的值为 ( ) A 5 B 1 C 2 D 3 解析：由 y 1，x 1， 得 A(1， a 1)， 由 x 1，x y 1 0， 得 B(1,0)，由 y 1，x y 1 0， 得 C(0,1) 面积为 2，且 a 1， S 12|a 1| 2， a 3. 答案： D 6 (2009 陕西高考 )若 x， y 满足约束条件 x y1 ，x y 1，2x y2 ，目标函数 z 2y 仅在点 (1,0)处取得最小值，则 a 的取值范围是 ( ) A ( 1,2) B ( 4,2) C ( 4,0 D ( 2,4) 解析：可行域为 图 当 a 0 时，显然成立当 a0 时，直线 2y z 0 的斜率 k a2 1， a 4. 综合得 4a2. 答案： B 二、填空题 (35 分 15 分 ) 用心 爱心 专心 - 4 - 7 (2011 济宁模拟 )设 z x y，其中 x， y 满足 x 2y0x y00 y k，若 z 的最大值为 6，则 z 的最小值为 _ 解析：如图， x y 6 过点 A(k， k)， k 3， z x y 在点 B 处取得最小值， B 点在直线 x 2y 0 上， B( 6,3)， 6 3 3. 答案： 3 8 (2011 安徽师大附中第一次质检 )设 x， y 满足约束条件 x y 20 ，x 2y 10 ，y0 ，则 z (x 1)2 (y 2)2的最小值是 _ 解析：作出约束条件的可行域如图， z (x 1)2 (y 2)2， 可看作可行域内的点到定点 A( 1,2)的距离的平方，其最小值为点 A( 1,2)到直线 x2y 1 0 的距离的平方， (| 1 22 1|12 22 )2 165. 答案： 165 9 (2011 大连调研 )若 P 为不等式组 x0y0y x2表示的平面区域，则当 a 从 2 连续变化到 1 时，动直线 x y a 扫过 P 中的那部分区域的面积为 _ 解析：根据题意作图 图中阴影部分为所求的区域，设其面积为 S， 用心 爱心 专心 - 5 - S S S 1222 121 12 74. 答案： 74 三、解答题 (共 37 分 ) 10 (12 分 )当 x， y 满足约束条件 x0y y k0(k 为负常数 )时，能使 z x 3y 的最大值为 12，试求 k 的值 解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域 (如图所示 ) 当直线 y 13x 13z 经过区域中的点 A( ， z 取到最大值，等于 4令 4 12，得 k 9. 所求实数 k 的值为 9. 11 (12 分 )某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台 A 型或 B 型电视机所得利润分别为 6 和 4 个单位，而生产一台 A 型或 B 型电视机所耗原料分别为 2 和 3个单位；所需工时分别为 4 和 2 个单位，如果允许使用的原料为 100 单位，工时为 120 单位，且 A 或 B 型电视的产量分别不低于 5 台和 10 台， 应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？ 解析：设生产 A 型电视机 x 台， B 型电视机 y 台，则根据题意线性约束条件为 用心 爱心 专心 - 6 - 2x 3y100 ，4x 2y120 ，x5 ，y10 ，即 2x 3y100 ，2x y60 ，x5 ，yz 6x 4y. 根据约束条件作出可行域如图所示，作 3x 2y 0. 当直线 时， z 取最大值 ， 解方程组 2x 3y 100，2x y 60， 得 x 20. 生产两种类型电视机各 20 台，所获利润最大 12 (13 分 )(2011 深圳模拟 )某研究所计划利用 “ 神七 ” 宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品 A、 B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表： 产品 A(件 ) 产品 B(件 ) 研制 成本与搭载费用之和 (万元 /件 ) 20 30 计划最大资金额 300 万元 产品重量 (千克 /件 ) 10 5 最大搭载重量 110 千克 预计收益 (万元 /件 ) 80 60 试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？ 解析：设搭载产品 A x 件，产品 B y 件， 预计总收益 z 80x 60y. 则 20x 30y300 ，10x 5y110 ，x N， y N，作出可行域，如图 用心 爱心 专心 - 7 - 作出直线 4x 3y 0 并平移，由图象得，当直线经过 M 点时 z 能取得最大值， 2x 3y 30，2x y 22， 解得 x 9，y 4， 即 M(9,4) 所以 809 604 960(万元 ) 搭载产品 A 9 件，产品 B 4 件，可使得总预计收益最大，为 960 万元 用心 爱心 专心 - 1 - 第二节 一元二次不等式及其解法 一、选择题 (65 分 30 分 ) 1若集合 A x|10 4a0 得 00， B x|b0 ，若 A B R， A B (3,4，则 a b 等于 ( ) A 7 B 1 C 1 D 7 解析： A ( ， 1) (3， ) ， A B R， A B (3,4，则 B 1,4， a ( 1 4) 3， b 14 4， a b 7. 答案： D 3 (2011 济南统考 )已知函数 f(x) c 的图象过点 ( 1,3)和 (1,1)，若 0a2，则使得 (1 0， 0a2 2 成立 a 340 的解集为 _ 解析：由图表知 a0，且 2,3 是方程 c 0 的两个根， 不等式 c0 的解为 答案： ( ， 2) (3， ) 8 (2011 沈阳模拟 )不等式 40， 答案： 若关于 x 的方程 1 0 有一正根和一负根，则 a 的取值范围为 _ 解析：令 f(x) 1， 二次函数图象开口向上，若方程有一正一负根， 则只需 f(0)0 时， ，原不等式的解集为 x| x1. 解得 0x13. 投入成本增加的比例应在 (0， 13)范围内 12 (13 分 )(2011 黄冈质检 )当 0 x2 时，不等式 18(2t 3x 23 求 t 的取值范围 解析：令 y 3x 2,0 x2. y 3x 2 (x 32)2 14， y 在 0,2上取得最小值为 14，最大值为 2. 若 18(2t 3x 23 0,2上恒成立，则 18 t 14，3 ，即 2t 20 ，10 ， 用心 爱心 专心 - 5 - t1 3 1 t1 或 t1 3. 1 t1. t 的取值范围为 1 t1 3. 用心 爱心 专心 - 1 - 第五节 合情推理与演绎推理 一、选择题 (65 分 30 分 ) 1下列几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果 A 和 B 是两条平行直线的内错角，则 A B B金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电 C由圆的性质推测球的性质 D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析：两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等， (大前提 ) A 与 B 是两条平行直线的内错角， (小前提 ) A B.(结论 ) B 是归纳推理， C、 D 是类比推理 答案： A 2下面使用类比推 理正确的是 ( ) A “ 若 a3 b3 ，则 a b” 类推出 “ 若 a0 b0 ，则 a b” B “( a b)c 类推出 “ a C “( a b)c 类推出 “ a bc(c0)” D “( ab)n 类推出 “( a b)n 解析：由类比推理的特点可知 C 正确 答案： C 3由 71058， 911810， 1325921， 若 ab0 且 m0，则 b m与 ) A相等 B前者大 C后者大 D不确定 解析：观察题设规律，由归纳推理易得 b m答案： B 4如图所示，面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i 1,2,3,4)，此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离为 hi(i 1,2,3,4)，若 k，则 i 14( 积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i 1,2,3,4)，此三棱锥内任一用心 爱心 专心 - 2 - 点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi(i 1,2,3,4)，若 K，则 i 14( ( ) 析：平面中的面积与空间中的体积类比，平面二维与空间三维类比 答案： B 5 (2011 舟山模拟 )定义 A*B， B*C， C*D， D*A 的运算分别对应图中的 (1)、 (2)、 (3)、(4)，那么图中 (A)、 (B)所对应的运算结果可能是 ( ) A B*D、 A*D B B*D、 A*C C B*C、 A*D D C*D、 A*D 解析：根据 (1)、 (2)、 (3)、 (4)可知 A 对应 |； B 对应 ； C 对应 ； D 对应 . 答案： B 6 (2011 清远模拟 )设 f(x) 1 x，又记 f1(x) f(x)， 1(x) f(fk(x)， k 1,2， ，则 09(x)等于 ( ) A 1x B x 1x 1 x 用心 爱心 专心 - 3 - 解析：计算 f2(x) f(1 x)1 1 1 x 1x， f3(x) f( 1x)1 11x x 1x 1， f4(x)1 x 1x 11 x 1x 1 x， f5(x) f1(x) 1 x，归纳得 1(x) 1 x， k N*， 从而 09(x) 1 x. 答案： D 二、填空题 (35 分 15 分 ) 7 (2011 南阳模拟 )观察下列图形中小正方形的个数，则第 6 个图中有 _个小正方形 解析：第 1 5 个图形中分别有 3,6,10,15,21 个小正方形，它们分别为 1 2,1 2 3,1 2 3 4,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5 6， 因此 1 2 3 (n 1) 故 1 2 3 7 2 28， 即第 6 个图中有 28 个小正方形 答案： 28 8 (2011 福州模拟 )根据三角恒等变换，可得如下等式： 2 1； 4 3 8 8 1； 16 20 5 依此规律 ， 猜测 32 1， 其中 m n _. 解析：由所给的三角恒等变换等式可知，系数和常数项的和是 1， 32 m n 1 1， m n 30. 答案： 30 9 (2010 福建高考 )观察下 列等式： 用心 爱心 专心 - 4 - 2 1； 8 8 1； 32 48 18 1； 128 256 160 32 1； 1 280 1 120 1. 可以推测， m n p _. 解析：各式第一项系数依次为 2,23,25,27， m，依规律可得 m 29 512；各式中 系数依次为 21 2， 22 2,23 2， 24 2， p，由规律推出 p 25 2 50；由各式系数和为 1可推出 n 400，则 m n p 962. 答案： 962 三、解答题 (共 37 分 ) 10 (12 分 )(2011 青岛调研 )已知椭圆具有性质：若 M、 N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线 斜率都存在，并记为 么 的位置无关的定值试对双曲线 1 写出具有类似特性的性质，并加以证明 解析 ：类似的性质为：若 M、 N 是双曲线 1 上关于原点对称的两个点，点 P 是双曲线上任意一点，当直线 斜率都存在，并记为 么 的位置无关的定值 证明如下： 设点 M、 P 的坐标分别为 (m， n)， (x， y)， 则 N( m， n) 因为点 M(m， n)在已知双曲线上， 所以 则 y m y m m2值 ) 11 (12 分 )先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知 R， 1，求证 12. 证明：构造函数 f(x) (x (x ， f(x) 22(a2)x 22x 用心 爱心 专心 - 5 - 因为对 一切 x R，恒有 f(x)0 ，所以 4 8(0 ，从而得 12. (1)若 ， R， 1，请写出上述问题的推广式； (2)参与上述证法，对你推广的问题加以证明 (1)解析：若 ， R， 1. 求证： 1n. (2)证明：构造函数 f(x) (x (x (x 2( an)x 2x x R，都有 f(x)0 ，所以 4 4n( 0 ， 从而证得： 1n. 12 (13 分 )(2011 广东六校 )某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图 (1)、 (2)、 (3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣 (小正方形的摆放规律相同 )，设第 n 个图形包括 f(n)个小正方形 (1)写出 f(5)的值； (2)利用合情推理的 “ 归纳推理思想 ” ，归纳出 f(n 1)与 f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出 f(n)的表达式； (3)求 1f 1f 1 1f 1 1f n 1的值 解析： (1)f(5) 41. (2)因为 f(2) f(1) 4 41 ， f(3) f(2) 8 42 ， f(4) f(3) 12 43 ， f(5) f(4) 16 44 ， 由上式规律，所以得出 f(n 1) f(n) 4n. 因为 f(n 1) f(n) 4nf(n 1) f(n) 4n f(n) f(n 1) 4(n 1) f(n 2) 4(n 1) 4(n 2) f(n 3) 4(n 1) 4(n 2) 4(n 3) 用心 爱心 专心 - 6 - f(1) 4(n 1) 4(n 2) 4(n 3) 4 22n 1. (3)当 n2 时， 1f n 1 12n n 12( 1n 1 1n)， 1f 1f 1 1f 1 1f n 1 1 12(1 12 12 13 13 14 1n 1 1n) 1 12(1 1n) 32 12n. 用心 爱心 专心 - 1 - 第六节 直接证明与间接证明 一、选择题 (65 分 30 分 ) 1 (2011 揭阳一模 )a， b， c 为互不相等的正数，且 2下列关系中可能成立的是 ( ) A abc B bca C bac D acb 解析：由 acba，可排除 A、 D， 令 a 2， b 52，可得 c 1 或 4，可知 C 可以成立 答案： C 2若 x， y R，则下面四个式子中恒成立的是 ( ) A 20 B ( x y 1) C 3 12 1，故 D 不正确 答案： B 3设 a， b 是两个实数，给出下列条件： a b1； a b 2； a b2； ； . 其中能推出： “ a， b 中至少有一个大于 1” 的条件是 ( ) A B C D 解析：若 a 12， b 23，则 a b1， 但 推不出； 若 a 2， b 3，则 ，故 推不出； 对于 ，即 a b2，则 a， b 中至少有一个大于 1， 反证法：假设 a1 且 b1 ， 用心 爱心 专心 - 2 - 则 a b2 与 a b2 矛盾， 因此假 设不成立， a， b 中至少有一个大于 1. 答案： C 4已知实数 a、 b、 c 满足 a b c 0， 0，则 1a 1b 1 ) A一定是正数 B一定是负数 C可能是 0 D正、负不能确定 解析： 1a 1b 1c c a b a 0. 故选 B. 答案： B 5 (2011 烟台调研 )已知 ab0，且 1，若 0q B 1， p 4 ， qp. 答案： B 6 (2011 菏泽模拟 )已知抛物线 2px(p 0)的焦点为 F，点 P1( P2(P3(抛物线上，且 2有 ( ) A | | |B | | | C 2| | |D | | 解析：如图所示， 2准线为 x l， l， l. 用心 爱心 专心 - 3 - 由抛物线定义知： 2| 2( 2p， | | ( ( p. 又 2 2| | | 答案： C 二、填空题 (35 分 15 分 ) 7 (2011 揭阳第一次质检 )设 a， b， u 都是正实数，且 a， b 满足 1a 9b 1，则使得 a b u 的取值范围是 _ 解析： 1a 9b 1， a b (a b)(1a 9b) 1 9 10 2 9 16. 当且仅当 9 a 4， b 12 时取等号 若 a b u 恒成立， 0证明：要证 只需证 lg(a b c lg(a b c)， 只需证 a b c 中间结果 ) 因为 a， b， c 是不全相等的正数，则 a ， b ， c . 且上述三式中的等号不同时成立，所以 a b c 中间结果 ) 所以 11 (12 分 )(2011 绍兴月考 ) 三个内角 A， B， C 成等差数列，三条边为 a、 b、 c，求证： (a b) 1 (b c) 1 3(a b c) 1. 证 明： 个内角 A， B， C 成等差数列， 用心 爱心 专心 - 5 - B 60 ，由余弦定理， 有 2，得 两边同加上 得 c(b c) a(a b) (a b)(b c)， 两边同除以 (a b)(b c)，得 b c 1， ( b 1) ( c 1) 3， 即 1a b 1b c 3a b c. (a b) 1 (b c) 1 3(a b c) 1. 12 (13 分 )(2011 宁波五校联考 )已知函数 f(x) x 2x 1(a 1) (1)证明：函数 f(x)在 ( 1， ) 上为增函数； (2)证明方程 f(x) 0 没有负根 证明： (1)法一：任取 ( 1， ) ， 不妨设 则 0， 1 且 0， 1) 0， 又 1 0， 1 0， 21 21 x2 0. 于是 f( f( 21 21 0， 故函数 f(x)在 ( 1， ) 上为增函数 法二： f(x) 1 3x 1(a 1)， 求导数得 f( x) 3x 2， a 1， 当 x 1 时， 0， 3x 2 0， f( x) 0 在 ( 1， ) 上恒成立， 则 f(x)在 ( 1， ) 上为增函数 (2)法一：设存在 0( 1)满足 f( 0， 用心 爱心 专心 - 6 - 则 21，且 0 1， 0 21 1，即 12 2， 与假设 0 矛盾，故方程 f(x) 0 没有负根 法二：设存在 0( 1)满足 f( 0， 若 1 0， 则 21 2， 1， f( 1 与 f( 0 矛盾 若 1，则 21 1， 0， f( 1 与 f( 0 矛盾， 故方程 f(x) 0 没有负根 用心 爱心 专心 - 1 - 第四节 基本不等式及其应用 一、选择题 (65 分 30 分 ) 1 (2009 天津高考 )设 a0， b0，若 3是 3 1a 1 ) A 8 B 4 C 1 析：由题意知 3a3 b 3，即 3a b 3，所以 a b 1. 因为 a0， b0，所以 1a 1b 1a 1b (a b) 2 2 4，当且仅当 a 号成立 答案： B 2 (2011 开封模拟 )已知 x0， y0， 1x 13 ) A 2 B 2 2 C 4 D 2 3 解析：因为 x0， y0，且 以 x 3y 1，于是有 1x 13y (x 3y)(1x13y) 2 (34. 答案： C 3函数 f(x) 1的最大值为 ( ) . 22 D 1 解析：显然 x0. x 0 时， f(x) 0； 当 x0 时， x 12 x， f(x) 12， 当且仅当 x 1 时，取等号， f(x)12. 答案： B 4 (2009 重庆高考 )已知 a0， b0，则 1a 1b 2 ) A 2 B 2 2 C 4 D 5 用心 爱心 专心 - 2 - 解析： 1a 1b 2 22 22 4. 当且仅当 a b，1， 时，等号成立，即 a b 1，不等式取最小值 4. 答案： C 5已知不等式 (x y)(1x 9 对任意正实数 x， y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 ( ) A 8 B 6 C 4 D 2 解析： (x y)(1x 1 a a a 1 2 a a 2 a 1， 当且仅当 a 所以 ( a)2 2 a 19 ， 即 ( a)2 2 a 80 ，得 a2 或 a 4(舍 )， 所以 a4 ，即 a 的最小值为 4. 答案： C 6 (2011 长春质检 )某学生用一不准确的天平 (两臂不等长 )称 10 g 药品，他先将 5 在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将 5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品 ( ) A小于 10 g B大于 10 g C大于等于 10 g D小于等于 10 g 解析：设左、右臂长分别为 一次称的药品为 二次称的药品为 有55以 5(52 10，即大于 10 g. 答案： B 二、填空题 (35 分 15 分 ) 7 (2010 济宁模拟 )函数 y 2x 2x 1 (x 1)的图象的最低点坐标是 _ 解析： y (x 1) 1x 12 ，当且仅当 x 0 时，取等号 答案： (0,2) 8函数 y 1(a0，且 a1) 的图象恒过定点 A，若点 A 在一次函数 y n 的图象上，用心 爱心 专心 - 3 - 其中 m， n0，则 1m 1_ 解析：由题知 A(1,1)， m n 1， m， n0. 1m 1n m m 2 . 答案： 4 9 (2011 忻州模拟 )设 x， y， z 为正实数，满足 x 2y 3z 0，则 _ 解析：由 x 2y 3z 0 得 y x 3 代入 9666 3， 当且仅当 x 3z 时取 “ ” 答案 ： 3 三、解答题 (共 37 分 ) 10 (12 分 )经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 y(千辆 /小时 )与汽车的平均速度 v(千米 /小时 )之间的函数关系式为 y 9203v 1 600(v0) (1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ (精确到 辆 /小时 )； (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆 /小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 解析： (1)依题意， y 9203 v 1 600v 9203 2 1 600 92083 ， 当且仅当 v 1 600v ，即 v 40 时，上式等号成立 所以 92083 千辆 /小时 ) 所以当 v 40 千米 /小时时，车流量最大，最大车流量约为 辆 /小时 (2)由条件得 9203v 1 60010， 整理得 89v 1 600 1，求函数 y x xx 1 的最小值 (2)求 y x(a 2x)(0 1， y 7x 10x 1 x2 x 4x 1 (x 1) 4x 1 5 2 x 4x 1 5 9. 当且仅当 x 1 4x 1，即 x 1 时取等号 函数的最小值为 9. (2) 00， y x(a 2x) 122 x(a 2x) 用心 爱心 专心 - 5 - 12( 2x a 22 当且仅当 2x a 2x，即 x 当 x 数的最大值为 12 (13 分 )(2011 南通模拟 )某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园园由长方形的休闲区 环公园人行道 (阴影部分 )组成已知休闲区 000 平方米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米 (如图 ) (1)若设休闲区的长和宽的比 x，求公园 占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区 解析： (1)设休闲区的宽 a 米， 则其长 ， 4 000a 20 10x ， S (a 8)(20) (8x 20)a 160 4 000 (8x 20) 20 10x 160 80 10(2 x 5x) 4 160(x1) (2)S1 600 4 160 5 760 (当且仅当 2 x 5xx 即当 x ，公园所占面积最小 此时 a 40， 100，即休闲区 00 米，宽为 40 米 用心 爱心 专心 - 1 - 第七章 不等式、推理与证明 一、选择题 (65 分 30 分 ) 1 (2009 天津高考 )设函数 f(x) 4x 6， x0 ，x 6， )的解集是( ) A ( 3,1) (3， ) B ( 3,1) (2， ) C ( 1,1) (3， ) D ( ， 3) (1,3)
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