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2017 年江苏省苏州市高考数学一模试卷 一 大題共 14 小败,每小題 5 分,共 70 分 1已知集合 U=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, M=x|6x+5 0, x Z,则 2若复数 z 满足 z+i= ,其中 i 为虚数单位,则 |z|= 3函数 f( x) = 的定义域为 4如图是给出的一种算法,则该算法输出的结果是 5某高级中学共有 900 名学生,现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取 1 个容量为 45 的样本,其中高一年级抽 20 人,高三年级抽 10 人,则该校高二年级学生人数为 6已知正四棱锥的底面边长是 2,侧棱长是 ,则该正四棱锥的体积为 7从集合 1, 2, 3, 4中任取两个不同的数,则这两个数的和为 3 的倍数的槪率为 8在平面直角坐标系 ,已知抛物线 x 的焦点恰好是双曲线 =双曲线的离心率为 9设等比数列 前 n 项和为 等差数列且 a2+,则值为 10在平面直角坐标系 ,过点 M( 1, 0)的直线 l 与圆 x2+ 交于 A, 中 A 点在第一象限,且 =2 ,则直线 l 的方程为 11在 ,已知 , , A=60,若点 P 满足 = + ,且 =1,则实数 的值为 12已知 + ),则 + ) = 13若函数 f( x) = ,则函数 y=|f( x) | 的零点个数为 14若正数 x, y 满足 15x y=22,则 x3+最小值为 二 大题共 6 小题,共计 90 分 15在 , a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边 若 , l,且A B= ( 1)求边 c 的长; ( 2)求角 B 的大小 16如图,在斜三梭柱 ,侧面 菱形, 于点O, E 是棱 一点,且 平面 1)求证: E 是 点; ( 2)若 证: 17某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 如图),设计要求彩门的面积为 S (单位: 高为 h(单位: m)( S, h 为常数),彩门的下底 定在广场地面上,上底和两腰由不 锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为 ,不锈钢支架的长度和记为 l ( 1)请将 l 表示成关于 的函数 l=f( ); ( 2)问当 为何值时 l 最小?并求最小值 18在平面直角坐标系 ,已知椭圆 + =l ( a b 0)的焦距为 2,离心率为 ,椭圆的右顶点为 A ( 1)求该椭圆的方程: ( 2)过点 D( , )作直线 椭圆于两个不同点 P, Q,求证:直线 斜率之和为定值 19己知函数 f( x) =( x+l) ax+a ( a 为正实数,且为常数) ( 1)若 f( x)在( 0, + )上单调递 增,求 a 的取值范围; ( 2)若不等式( x 1) f( x) 0 恒成立,求 a 的取值范围 20己知 n 为正整数,数列 足 0, 4( n+1) 2=0,设数列 足 ( 1)求证:数列 为等比数列; ( 2)若数列 等差数列,求实数 t 的值: ( 3)若数列 等差数列,前 n 项和为 任意的 n N*,均存在 m N*,使得 86立,求满足条件的所有整数 值 四 , B, C, D 四个小题,请选做其中两题,若多做,则 按作答的前两题评分 A.选修 4 一 1:几何证明选讲 21如图,圆 O 的直径 , C 为圆周上一点, ,过 C 作圆的切线 l,过 A作 l 的垂线 别与直线 l、圆交于点 D、 E求 度数与线段 长 选修 4阵与变换 22已知二阶矩阵 M 有特征值 =8 及对应的一个特征向量 = ,并且矩阵M 对应的变换将点( 1, 2)变换成( 2, 4) ( 1)求矩阵 M; ( 2)求矩阵 M 的另一个特征值 选修 4标系与参数方程 23已知圆 圆 极坐标方程分别为 =2, ( 1)把圆 圆 极坐标方程化为直角坐标方程; ( 2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 选修 4等式选讲 24已知 a, b, c 为正数,且 a+b+c=3,求 + + 的最大值 四 小题 0 分,共计 20 分 25如图,已知正四棱锥 P , B=2,点 M, N 分别在 ,且 = = ( 1)求异面直线 成角的大小; ( 2)求二面角 N B 的余弦值 26设 | , n 为正整数,数列 通项公式 an=其前 n 项和为 1)求证:当 n 为偶函数时, ;当 n 为奇函数时, 1) ( 2)求证:对任何正整数 n, 1+( 1) n+1 2017 年江苏省苏州市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一 大題共 14 小败,每小題 5 分,共 70 分 1已知集合 U=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, M=x|6x+5 0, x Z,则 6, 7 【考点】 补集及其运算 【分析】 解不等式化简集合 M,根据补集的 定义写出运算结果即可 【解答】 解:集合 U=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, M=x|6x+5 0, x Z=x|1 x 5, x Z=1, 2, 3, 4, 5, 则 6, 7 故答案为: 6, 7 2若复数 z 满足 z+i= ,其中 i 为虚数单位,则 |z|= 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z,再由复数求模公式计算得答案 【解答】 解:由 z+i= , 得 = , 则 |z|= 故答案为: 3函数 f( x) = 的定义域为 x|x 且 x 1 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据对数函数的性质以及分母不是 0,得到关于 x 的不等式组,解出即可 【解答】 解:由题意得: , 解得: x 且 x 1, 故函数的定义域是 x|x 且 x 1, 故答案为: x|x 且 x 1 4如图是给出的一种算法,则该算法输出的结果是 24 【考点】 伪代码 【分析】 模拟程序代码的运行过程,可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 t 的值, 由于循环变量的初值为 2,终值为 4,步长为 1,故循环体运行只有 3 次,由此得到答案 【解答】 解:当 i=2 时,满足循环条件,执行循环 t=1 2=2, i=3; 当 i=3 时,满足循环条件,执行循环 t=2 3=6, i=4; 当 i=4 时,满足循环条件,执行循环 t=6 4=24, i=5; 当 i=5 时,不满足循环条件,退出循环,输出 t=24 故答案为: 24 5某高级中学共有 900 名学生,现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取 1 个容量为 45 的样本,其中高一年级抽 20 人,高三年级抽 10 人,则该校高二年级学生人数为 300 【考点】 分层抽样方法 【分析】 用分层抽样的方法抽取一个容量为 45 的 样本,根据高一年级抽 20 人,高三年级抽 10 人,得到高二年级要抽取的人数,根据该高级中学共有 900 名学生,算出高二年级学生人数 【解答】 解: 用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为 45 的样本, 其中高一年级抽 20 人,高三年级抽 10 人, 高二年级要抽取 45 20 10=15, 高级中学共有 900 名学生, 每个个体被抽到的概率是 = 该校高二年级学生人数为 =300, 故答案为: 300 6已知正四棱锥的底面边长是 2,侧棱长是 ,则该正四棱锥的体积为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 正四棱锥 P , , ,设正四棱锥的高为 结 出 此能求出该正四棱锥的体积 【解答】 解:如图,正四棱锥 P , , , 设正四棱锥的高为 结 则 在直角三角形 , = =1 所以 O= 4 1= 故答案为: 7从集合 1, 2, 3, 4中任取两个不同的数,则这两个数的和为 3 的倍数的槪率为 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【 分析】 先求出基本事件总数 n= =6,再利用列举法求出这两个数的和为 3 的倍数包含的基本事件个数,由此能求出这两个数的和为 3 的倍数的槪率 【解答】 解:从集合 1, 2, 3, 4中任取两个不同的数, 基本事件总数 n= =6, 这两个数的和为 3 的倍数包含的基本事件有:( 1, 2),( 2, 4),共 2 个, 这两个数的和为 3 的倍数的槪率 p= 故答案为: 8在平面直角坐标系 ,已知抛物线 x 的焦点恰好是双曲线 =双曲线的离心率为 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛 物线的焦点坐标,可得 c=2,由双曲线的方程可得 a=1,由离心率公式可得所求值 【解答】 解:抛物线 x 的焦点为( 2, 0), 则双曲线 =l 的右焦点为( 2, 0), 即有 c= =2, 不妨设 a=1, 可得双曲线的离心率为 e= =2 故答案为: 2 9设等比数列 前 n 项和为 等差数列且 a2+,则值为 2 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等比数列的前 n 项和公式和通项公式列出方程组,求出,由此能求出 值 【解答】 解: 等比数列 前 n 项和为 等差数列且 a2+, , 解得 , =( 2=8 =2 故答案为: 2 10在平面直角坐标系 ,过点 M( 1, 0)的直线 l 与圆 x2+ 交于 A, 中 A 点在第一象限,且 =2 ,则直线 l 的方程为 x y 1=0 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由题意,设直线 x= 与圆 x2+ 联立,利用韦达定理,结合向量知识,即可得出结论 【解答】 解:由题意,设直线 x= 与圆 x2+ 联立, 可得( ) 4=0, 设 A( B( 则 2y1+ , 联立解得 m=1, 直线 l 的方程为 x y 1=0, 故答案为: x y 1=0 11在 ,已知 , , A=60,若点 P 满足 = + ,且 =1,则实数 的值为 或 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据题意,利用平面向量的线性运算,把 、 用 、 与 表示出来,再求 即可 【解答】 解: , , , A=60,点 P 满足 = + , = , = ; 又 = =( + ) = +( 1) , = +( 1) = +( 1) = 2 1 ( 1) 22=1, 整理得 42 3 1=0, 解得 = 或 =1, 实数 的值为 或 1 故答案为: 或 1 12已知 + ),则 + ) = 2 4 【考点】 两角和与差的正切函数;两角和与差的正弦函数 【分析】 利用同角三角的基本关系、两角和差的三角 公式求得 值,可得 + )的值 【解答】 解: + ) =33 又 ) = = =2 , + ) = = = =2 4, 故答案为: 2 4 13若函数 f( x) = ,则函数 y=|f( x) | 的零点个数为 4 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 利用分段函数,对 x 1,通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数,当 x 1 时,利用数形 结合求解函数的零点个数即可 【解答】 解:当 x 1 时, = ,即 , 令 g( x) =, x 1 时函数是连续函数, g( 1) = 0, g( 2) = 0, g( 4) =2 0,由函数的零点判定定理可知 g( x) =,有 2 个零点 (结合函数 y= 与 y= 可知函数的图象由 2 个交点) 当 x 1 时, y= ,函数的图象与 y= 的图象如图,考查两个函数由 2 个交点, 综上函数 y=|f( x) | 的零点个数为: 4 个 故答案为: 4 14若正数 x, y 满足 15x y=22,则 x3+最小值为 1 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 由题意可得 x , y 0,又 x3+ +( 求出 y,当且仅当 y= 时取得等号,设 f( x) =出导数和单调区间、极值和最值,即可得到所求最小值 【解答】 解:由正数 x, y 满足 15x y=22,可得 y=15x 22 0,则 x , y0, 又 x3+ +( 其中 y=y( y+ ) =y( y ) 2 0, 即 y, 当且仅当 y= 时取得等号, 设 f( x) =f( x)的导数为 f( x) =32x=x( 3x 2), 当 x= 时, f( x)的导数为 ( 2) = , 可得 f( x)在 x= 处的切线方程为 y= x 由 x ( x ) 2( x+2) 0, 当 x= 时,取得等号 则 x3+ +( x y =1 当且仅当 x= , y= 时,取得最小值 1 故答案为: 1 二 大题共 6 小题,共计 90 分 15在 , a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边若 , l,且A B= ( 1)求边 c 的长; ( 2)求角 B 的大小 【考点】 余弦定理;正弦定理 【分析】 ( 1)由 , l,利用余弦定理化为: a2+c, b2+c2c相加即可得出 c ( 2)由( 1)可得: 由正弦定理可得: = = ,又 A B= ,可得 A=B+ , C= ,可得 代入可得 16,化简即可得出 【解答】 解:( 1) , l, a =3, b =1, 化为: a2+c, b2+c 相加可得: 2c,解得 c=4 ( 2)由( 1)可得: 由正弦定理可得: = = , 又 A B= , A=B+ , C=( A+B) = ,可得 a= , b= 16, 1 ( 1 = ,即 = , 2 , =0 或 =1, B 解得: B= 16如图,在斜三梭柱 ,侧面 菱形, 于点O, E 是棱 一点,且 平面 1)求证: E 是 点; ( 2)若 证: 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的性质 【分析】 ( 1)利用同一法,首先通过连接对角线得到中点,进一步利用中位线,得到线线平行,进一步利用线面平行的判定定理,得到结论 ( 2)利用菱形的对角线互相垂直,进一步利用线面垂直的判定定理,得到线面垂直,最后转化成线线垂直 【解答】 证明:( 1)连结 点 E, 侧面 菱形, 于点 O, O 为 中点, E是 中点, 平面 面 平面 平面 E, E重合, E 是 点; ( 2) 侧面 菱形, 1, 面 面 平面 面 17某单位将 举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 如图),设计要求彩门的面积为 S (单位: 高为 h(单位: m)( S, h 为常数),彩门的下底 定在广场地面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为 ,不锈钢支架的长度和记为 l ( 1)请将 l 表示成关于 的函数 l=f( ); ( 2)问当 为何值时 l 最小?并求最小值 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 ( 1)求出上底,即可将 l 表示成关于 的函数 l=f( ); ( 2)求导数,取得函数的单调性,即可解决当 为何值时 l 最小?并求最 小值 【解答】 解:( 1)设上底长为 a,则 S= , a= , l= + ( 0 ); ( 2) l=h , 0 , l 0, , l 0, 时, l 取得最小值 m 18在平面直角坐标系 ,已知椭圆 + =l ( a b 0)的焦距为 2,离心率为 ,椭圆的右顶点为 A ( 1)求该椭圆的方程: ( 2)过点 D( , )作直线 椭圆于两个不同点 P, Q,求证:直线 斜率之和为定值 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 ( 1)由题意可知 2c=2, c=1,离心率 e= ,求得 a=2,则 b2=,即可求得椭圆的方程: ( 2)则直线 方程: y=k( x ) ,代入椭圆方程,由韦达定理及直线的斜率公式,分别求得直线 斜率,即可证明直线 率之和为定值 【解答】 解:( 1)由题意可知:椭圆 + =l ( a b 0),焦点在 x 轴上, 2c=1,c=1, 椭圆的离心率 e= = ,则 a= , b2=, 则椭圆的标准方程: ; ( 2)证明:设 P( Q( A( , 0), 由题意 方程: y=k( x ) , 则 ,整理得:( 2) 4 k) x+4k+2=0, 由韦达定理可知: x1+, , 则 y1+y2=k( x1+ 2 k 2 = , 则 + = , 由 k( ) k( ) k+ )( x1+ , = =1, 直线 斜率之和为定值 1 19己知函数 f( x) =( x+l) ax+a ( a 为正实数,且为常数) ( 1)若 f( x)在( 0, + )上单调递增,求 a 的取值范围; ( 2)若不等式( x 1) f( x) 0 恒成立,求 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性 【分析】 ( 1)求出函数 f( x)的导数,问题转化为 a +1 在( 0, + )恒成立,( a 0),令 g( x) =+1,( x 0),根据函数的单调性求出 a 的范围即可; ( 2)问题转化为( x 1) ( x+1) a 0 恒成立,通过讨论 x 的范围,结合函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】 解:( 1) f( x) =( x+l) ax+a, f( x) =+1 a, 若 f( x)在( 0, + )上单调递增, 则 a +1 在( 0, + )恒成立,( a 0), 令 g( x) =+1,( x 0), g( x) = , 令 g( x) 0,解得: x 1,令 g( x) 0,解得: 0 x 1, 故 g( x)在( 0, 1)递减,在( 1, + )递增, 故 g( x) g( 1) =2, 故 0 a 2; ( 2)若不等式( x 1) f( x) 0 恒成立, 即( x 1) ( x+1) a 0 恒成立, x 1 时,只需 a ( x+1) 成立, 令 m( x) =( x+1) x 1), 则 m( x) =+1, 由( 1)得: m( x) 2, 故 m( x)在 1, + )递增, m( x) m( 1) =0, 故 a 0,而 a 为正实数,故 a 0 不合题意; 0 x 1 时,只需 a ( x+1) 令 n( x) =( x+1) 0 x 1), 则 n( x) =+1,由( 1) n( x)在( 0, 1)递减, 故 n( x) n( 1) =2, 故 n( x)在( 0, 1)递增,故 n( x) n( 1) =0, 故 a 0,而 a 为正实数,故 a 0 20己知 n 为正整数 ,数列 足 0, 4( n+1) 2=0,设数列 足 ( 1)求证:数列 为等比数列; ( 2)若数列 等差数列,求实数 t 的值: ( 3)若数列 等差数列,前 n 项和为 任意的 n N*,均存在 m N*,使得 86立,求满足条件的所有整数 值 【考点】 数列的求和;等比数列的通项公式 【分析】 ( 1)数列 足 0, 4( n+1) 2=0,化为: =2 ,即可证明 ( 2)由( 1)可得: = ,可得 =n 4n 1数列 足 ,可得 用数列 等差数列即可得出 t ( 3)根据( 2)的结果分情况讨论 t 的值,化简 86可得出 【解答】 ( 1)证明:数列 足 0, 4( n+1) 2=0, = ,即 =2 , 数列 是以 首项,以 2 为公比的等比数列 ( 2)解:由( 1)可得: = , =n 4n 1 , , , , 数列 等差数列 , 2 = + , = + , 化为: 16t=8,解得 t=12 或 4 ( 3)解:数列 等差数列,由( 2)可得: t=12 或 4 t=12 时, = , , 对任意的 n N*,均存在 m N*,使得 86立, 6 , = , n=1 时,化为: = 0,无解,舍去 t=4 时, = , , 对任意的 n N*,均存在 m N*,使得 86立, 6 , n =4m, 正整数, = k, k N* 满足条件的所有整数 值为 a1| , n N*, m N*,且 = k, kN* 四 , B, C, D 四个小题,请选做其中两题,若多做,则按作答的前两题评分 A.选修 4 一 1:几何证明选讲 21如图,圆 O 的直径 , C 为圆周上一点, ,过 C 作圆的切线 l,过 A作 l 的垂线 别与直线 l、圆交于点 D、 E求 度数与线段 长 【考点】 弦切角 【分析】 连接 证得三角形 等边三角形,从而得到 0,再在直角三角形 得到 大小;考虑到直角三角形 ,利用角的关系即可求得边 长 【解答】 解:如图,连接 B=, 因此 0,由于 所以 0,又 0; 又因为 0, 得 0,那么 0, 从而 0, 于是 选修 4阵与变换 22已知二阶矩阵 M 有特征值 =8 及对应的一个特征向量 = ,并且矩 阵M 对应的变换将点( 1, 2)变换成( 2, 4) ( 1)求矩阵 M; ( 2)求矩阵 M 的另一个特征值 【考点】 特征值与特征向量的计算;几种特殊的矩阵变换 【分析】 ( 1)先设矩阵 A= ,这里 a, b, c, d R,由二阶矩阵 M 有特征值=8 及对应的一个特征向量 矩阵 M 对应的变换将点( 1, 2)换成( 2,4)得到关于 a, b, c, d 的方程组,即可求得矩阵 M; ( 2)由( 1)知,矩阵 M 的特征多项式为 f( ) =( 6)( 4) 8=2 10+16,从而求得另一个特征值为 2 【解答】 解:( 1)设矩阵 A= ,这里 a, b, c, d R, 则 =8 = , 故 , 由于矩阵 M 对应的变换将点( 1, 2)换成( 2, 4) 则 = , 故 联立以上两方程组解得 a=6, b=2, c=4, d=4,故 M= ( 2)由( 1)知,矩阵 M 的特征多项式为 f( ) =( 6)( 4) 8=2 10+16, 故矩阵 M 的另一个特征值为 2 选修 4标系与参数方程 23已知圆 圆 极坐标方程分别为 =2, ( 1)把圆 圆 极坐标方程化为直角坐标方程; ( 2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 【考点】 简单曲线的极坐标方程;相交弦所在直线的方程 【分析】 ( 1)先利用三角函数的差角公式展开圆 极坐标方程的右式,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 x, y, 2=x2+行代换即得圆 直角坐标方程及圆 角坐标方程 ( 2)先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程,再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可 【解答】 解:( 1) =22=4,所以 x2+;因为 , 所以 ,所以 x2+2x 2y 2=0 ( 2)将两圆的直角坐标方程相 减,得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1 化为极坐标方程为 ,即 选修 4等式选讲 24已知 a, b, c 为正数,且 a+b+c=3,求 + + 的最大值 【考点】 二维形式的柯西不等式 【分析】 利用柯西不等式,结合 a+b

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