2008年高三数学新教材变式题(15套完整版)
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15
完整版
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用心 爱心 专心 三、平面向量（命题人：越秀区教育发展中心 余建炜） 一、平面向量的实际背景与基本概念 1（人教版 2） 如图 1，设 O 是正六边形的中心，分别写出 图中与 等的向量。 变式 1： 如图 1，设 O 是正六边形的中心，分别写出 图中与 线的向量。 解： 变式 2： 如图 2，设 O 是正六边形的中心，分别写出 图中与 模相等的向量以及方向相同的向量。 解： 二、平面向量的线性运算 2.（人教版第 96 页例 4） 如图，在平行四边形 ， a ， b ， 你能用 a， b 表示向量 ？ 变式 1： 如图，在五边形 ， a ， b ， c ， d ， 试用 a ， b ， c ， d 表示向量 解： C E B E C B B A A E C B ( a + b + d ) ()D E E A A B B C C D ( d + a + b +c ) 变式 2： 如图，在平行四边形 ，若， a ， b 则下列各表述是正确的为（ ） A O A O B A B B O C O D A B C a + b D (a + b) D C A B D E C A B D C O A B B A C O F D E 图 1 B A C O F D E 图 2 用心 爱心 专心 正确答案：选 D 变式 3： 已知 a， b, c,d, 且四边形 平行四边形，则（ ） A. a+b+c+d=0 B. a b+c d=0 C. a+b c d=0 D. a b c+d=0 正确答 案：选 A 变式 4： 在四边形 ，若 12D，则此四边形是 ( ) A平行四边形 B菱形 C梯形 D矩形 正确答案：选 C 变式 5： 已知 a、 b 是非零向量，则 |a|=|b|是 (a+b)与 (a b)垂直的 （ ） A充分但不必要条件 B C充要条件 D既不充分也不必要条件 正确答案：选 C 变式 6： 在四边形 ， a+2b， 4a b， 5a 3b，其中 a、 b 不共线，则四边形 （ ） 【解析】 = 8a 2b=2 . 四边形 梯形 . 正确答案：选 C 变式 7： 已知菱形 点 P 在对角线 （不包括端点 A、 C），则 于（ ） , (0,1) , (0,22) , (0,1) ), (0,22) 【解析】 由向量的运算法则 而点 P 在对角线 ，所以 向，且 | |, (, (0,1). 正确答案：选 A 变式 8： 已知 D、 E、 C、 中点，且 a ， b ， c ,则下列各式： 21c 21b a +21b 21a +21b 0 其中正确的等式的个数为（ ） 用心 爱心 专心 正确答案：选 B 3（人教版第 98 页例 6） 如图，已知任意两个非零向量 a 、 b ， 试作 a + b， a + 2b， a + 3b， 你能判断 A、 B、 C 三点之间的位置关系吗？为什么？ 变式 1： 已知 a + 2b， 2a + 4b， 3a + 6b (其中 a 、 b 是 两个任意非零向量 ) ，证明： A、 B、 C 三点共线 证明： A B O B O A a + 2b， A C O C O A 2a + 4b， 2B 所以， A、 B、 C 三点 共线 变式 2： 已知点 A、 B、 C 在同一直线上，并且 a + b， ( 2)O B ma + 2b， ( 1)OC na + 3b (其中 a 、 b 是 两个任意非零向量 ) ，试 求 m、 n 之间的关系 解： ( 3 )A B O B O A m a + b ， A C O C O A n a + 2b 由 A、 B、 C 三点在同一直线上可设 AB k ， 则 ( 3)21m 所以 1( 3)2即 2 6 0 为所求 4（人教版第 102 页第 13 题） 已知四边形 E、 F、 G、 H 分别是 中点，求证： G 变式 1： 已知任意四边形 边 中点分别为 E、 F， 求证： 2A B D C E F . 证明：如图，连接 由 E A A B E B和 E F F B E B可得， E A A B E F F B （ 1） 由 E D D C E C和 E F F C E C可得， E D D C E F F C （ 2） （ 1） +（ 2）得， 2E A E D A B D C E F F B F C （ 3） E、 F 分别为 中点， 0D， 0C， 代入（ 3）式得， 2A B D C E F b a D C E F A B 用心 爱心 专心 三、平面向量的基本定理及坐标表示 2.（人教版第 109 页例 6） 已知 a = (4， 2)， b = (6， y)，且 a / b ， 求 y 变式 1： 与向量 a = (12， 5) 平行的单位向量为（ ） A 12 513 13， 1 2 51 3 1 3， 12 513 13，或 1 2 51 3 1 3， 12 513 13，或 12 513 13， C 变式 2： 已知 a (1,2) ， b ,1x ，当 a+2b 与 2a b 共线时， x 值为 （ ） A 1 B 2 C 13D 12正确答案：选 D 变式 3： 已知 A(0,3) 、 B(2,0) 、 C( 1,3) 与 方向相反的单位向量是 ( ) A (0,1) B (0, 1) C ( 1,1) D (1, 1) 正确答案：选 A 变式 4： 已知 a = (1， 0)， b = (2， 1) 试问： 当 k 为何实数时 ， b 与 a+3b 平行 , 平行时它们是同向还是反向？ 解：因为 b 21k ， ， a+3b 73 ， 由已知得， 3 2 7 0k 解得 13k， 此时， b 7 13 ， a+3b 73 ， ， 二者方向相反 2.（人教版第 110 页例 8） 设点 P 是线段12P、2 11 22 (1) 当点 P 是线段12求点 P 的坐标； (2) 当点 P 是线段12 P 的坐标 变式 1： 已知两点 3,2M ， 5, 5N ， 12N，则 P 点坐标是 （ ） A 8,1 B 31,2C 31,2D 8, 1 用心 爱心 专心 O A P Q B a b 正确答案：选 B 变式 2： 如图，设点 P、 Q 是线段 三等分点， 若 a， b，则 2133 1233 (用 a、 b 表示 ) 四、平面向量的数量积 5（人教版第 116 页例 3） 已知 |a| 6， |b| 4 且 a 与 b 的夹角为 60 ， 求 (a + 2b) (a 3 b) 变式 1： 已知 3 , 4 , 2 2 3 ,a b a b a b 那么 a 与 b 夹角为 A、 60 B、 90 C、 120 D、 150 正确答案：选 C 变式 2： 已知向量 a 和 b 的夹角为 60， | a | 3， | b | 4，则（ 2a b） a 等于 （ A） 15 （ B） 12 （ C） 6 （ D） 3 正确答案：选 B 变式 3： 在 知 |=4， |=1， S 3 ，则 于（ ） A. 2 C. 2 D. 4 正确答案：选 C 变式 4： 设向量 21 72 与向量 21 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围 . 解： 0)(72( 2121 故 07152 2 解之217 t 另有 7,2 ，解之 14,214 t， )21,214()214,7( t 2.（人教版第 116 页例 4） 已知 |a| 3， |b| 4 且 a 与 b 不共线， k 为何实数时 ，向量 a + a k b 互相垂直？ 变式 1： 已知 a b ， |a| 2， |b| 3，且 向量 3a + 2b 与 b 互相垂直 ，则 k 的值为（ ） A 32B 32C 32D 1 正确答案：选 B 变式 2： 已知 |a| 1， |b| 2 且（ a b） a，则 a 与 b 夹角的大小为 45 解： 用心 爱心 专心 2.（人教版第 119 页 第 11 题） 已知 a = (4， 2)， 求与向量 a 垂直的单位向量的坐标 变式 1： 若 i = (1,0), j =(0,1)，则与 2i+3j 垂直的向量是 ( ) A 3i+2j B 2i+3j C 3i+2j D 2i 3j 正确答案：选 C 变式 2： 已知向量 )1,1(a ， )3,2( b ，若 与 a 垂直，则实数 k =（ ） A 1 B 1 C 0 D 2 正确答案：选 B 变式 3： 若非零向量 互相垂直，则下列各式中一定成立的是 （ ） A B | C 0)( D 0)( 2 正确答案：选 B 变式 4： 已知向量 a（ 3， 4）， b（ 2， x）， c（ 2， y）且 a b， a c求 |b c|的值 解： a b， 3x 8 0 x38 b（ 2， 38） a c， 6 4y 0 y23 c（ 2， 23） 而 b c （ 2，38）（ 2，23）（ 0， 256）， |b c| 256 （人教版第 118 页例 5） 已知 A (1， 2)， B (2， 3)， C ( 2 ， 5)，试判断 的形状，并给出证明 变式 1： O 是 所在的平面内的一点，且满足 0O B O C O C O A ，则 一定为（ ） A正三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D斜三角形 正确答案：选 C 变式 2： 已知 A、 B、 C 三点不共线， O 是 的一点，若 0， 则 O 是 （ ） A 重心 B 垂心 C 内心 D 外心 正确答案：选 A 变式 3： 已知 02 则 定是 （ ） 用心 爱心 专心 A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 正确答案：选 B 变式 4： 四边形 ， )3,2(),(),1,6( （ 1）若 ，试求 x 与 y 满足的关系式； （ 2）满足（ 1）的同时又有 ，求 的值及四边形 面积。 解： ),( )2,4()2,4()( （ 1） 则有 0)4()2( 化简 得： 02 （ 2） )1,6( )3,2( 又 则 0)3()1()2()6( 化简有： 0152422 联立015240222 解得36 或12 则 四边形 对角线互相垂直的梯形 当36 )0,8()4,0( 此时 1621 B C 12 )4,0()0,8( 此时 1621 B C 面向量应用举例 用心 爱心 专心 （人教版第 121 页 例 1） 题目意图：用平面向量的方法证明平面几何命题：平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍 变式 1：如图，矩形 接于半径为 r 的圆 O，点 P 是圆周上任意一点， 求证： 证明： 2222 ， 2222 2， 2222 2 ， 2222 2， 以上各式相加可证 变式 2：已知 ， , ，若 ，求证： 正三角形 . 证明： ， 0)( 又 0 )( ， 故 0)( ， 知 a=b， 同理可知 b=c ， 故 a
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