2008年全国高中数学高考知识汇编（打包）全国通用
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2008年全国高中数学高考知识汇编（打包）全国通用,全国,高中数学,高考,知识,汇编,打包,通用
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2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北文） - 103 - 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（ 湖北文） 注间事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效 . 3填空题和解答题用 米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效 . 4考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交 . 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1设 (2, 3)a ， ( 3,4)b ， (3,2)c ,则 ( 2 )a b c A.( 15,12) C. 3 D. 11 解： 2 ( 1 , 2 ) 2 ( 3 , 4 ) ( 5 , 6 ) ， 2 ) ( 5 , 6 ) ( 3 , 2 ) 3a b c ，选 C 2. 3 1021(2 )2x x的展开式中常数项是 ：3 1 0 1 0 3 2 0 21 1 0 1 0211( 2 ) ( ) 2 ( )22r r r r r r r x C ，令 3 20 2 0 得 4r 所以常数项为4 4 1 0 45 1 0 10512 ( )22 1 , 2 , 3 , 4 , 0 5 , ,P Q x x x R 则 A. “ ”是“ ”的充分条件但不是必要条件 B. “ ” 是“ ”的必要条件但不是充分条件 C. “ ”是“ ”的充要条件 D. “ ”既不是“ ”的充分条件也不是“ ”的必要条件 解： x P x Q 反之不然故选 A 的平面去截面面积为 ，则球的体积为 D. 823解：截面面积为 截面圆半径为 1，又与球心距离为 1 球的半径是 2 ， 所以根据球的体积公式知 3 82433，故 D 为正确答案 ，满足不等式组 | | ,| | 1的点 ( , )集合用阴影表示为下列图中的 解：在坐标系里画出图象， C 为正确答案。也可取点坐标检验判断。 ) R 上是奇函数，且 2( 4 ) ( ) , ( 0 , 2 ) ( ) 2 , ( 7 )f x f x x f x x f 当 时 ， 则 x y o 1 1 1 1 A x y o 1 1 1 1 B x y o 1 1 1 1 C x y o 1 1 1 1 D 2008 年全国高考数学试汇编 题 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北文） - 104 - A. 2 B. 2 C. 98 解：由题设 2( 7 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 1 2f f f f )的图象 F 向右平移3个单位长度得到图象 F，若 F的一条对称轴是直线4x 则 的一个可能取值是 A. 512B. 512. 1112解： 平移得到 图象 F， 的解析式为 3 s i n ( ) 33 , 对称轴方程 ()32x k k Z ， 把4x 带入得 75( 1 ) ( )1 2 1 2k k k Z ，令 1k ， 5128. 函数221( ) 1 ( 3 2 ) 3 4f x n x x x 的定义域为 A. ( , 42, ) B. ( 4, 0) (0,1) C. 4, 0) (0,1 D. 4, 0) (0,1 解：函数的定义域必须满足条件： 222203 2 0 4 , 0 ) ( 0 , 1 )3 4 03 2 3 4 0x x x 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 ： 10 人中任选 3 人的组队方案有 310 120C ，没有女生的方案有 35 10C ， 所以符合要求的组队方案数为 110 种。 嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆形轨道绕月飞行，若用12 和的焦距，用12 和的长轴的长，给出下列式子： 1 1 2 2 ;a c a c 1 1 2 2 ;a c a c 1 2 1 2;c a a c中正确式子的序号是 A. B. C. D. 解： 由焦点到顶点的距离可 知正确，由椭圆的离心率知正确，故应选 B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡相应位置上 . 000 名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为 50 的样本，已知某部门有 200 名员工，那么从该部门抽取的工人数是 . 解： 由分层抽样方法可知 从该部门抽取的工人数满足 1 0 0 0 2 0 0 , 1 050 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 所对的边，已知 3 , 3 , 3 0 ,a b c 则 A . F m n l P 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北文） - 105 - 解： 由余弦定理可得 2 3 9 2 3 3 c o s 3 0 3c , 3 3 0 ( )6c a A C 23x x 的实数解的个数为 . 解：画出 2 与 23 的 图象 有两个交点，故 方程 223x x 的实数解的个数为 2个。 了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是 闹钟准时响的概率是 两个闹钟至少有一准时响的概率是 . 解：两个闹钟都不准时响的概率是 (1 0 . 8 ) (1 0 . 9 ) 0 . 0 2 ， 3 4 c o s , ()2 4 s i y 为 参 数的圆心坐标为 ，和 圆 C 关于直线0 对称的圆 C的普通方程是 . 解：由题设 22( 3 ) ( 2 ) 1 6 ，圆心坐标 (3, 2) ；关于直线 0 对称的圆 C圆心为 ( 2,3) ，半径相等，所以方程是 22( 2 ) ( 3 ) 1 6 三、解答题：本大题共 6 分小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满 12 分） 已知函数2( ) s i n c o s c o s 2 2x x （）将函数 ()简成 s i n ( ) ( 0 , 0 , 0 , 2 ) )A x B A 的形式，并指出 () （）求函数 17( ) , 12在上的最大值和最小值 解： ( ) 21 c o s 3 311( ) s i n 2 ( s i n c o s ) s i n ( )2 2 2 2 2 4 2xf x x x x x . 故 ()周期为 2k k Z 且 k 0 . ( )由 1712x剟，得 554 4 3x 3( ) s i n ( )2 4 2f x x 在 5 , 4上是减函数，在 5 17 , 4 12上是增函数 . 故当 54x 时， ()最小值 322；而 ( ) 2f ， 6617( ) 21 2 4f ， 所以当 x 时， ()最大值 2 . 17.（本小题满分 12 分） 已知函数 3 2 2( ) 1f x x m x m x （ 为常数，且 0m ）有极大值 9. （）求 m 的值； （）若斜率为 5 的直线是曲线 ()y f x 的切线，求此直线方程 . 解： ( ) 22( ) 3 2 ( ) ( 3 ) 0f x x m x m x m x m ，则 或 13 当 x 变化时， ()变化情况如下表： x ( , m) m ( m,13m) 13m(13m,+ ) f(x) + 0 0 + f (x) 极大值 极小值 从而可知，当 时，函数 ()得极大值 9， 2008 年全国高考数学试汇编 题 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 （湖北文） - 106 - 即 333( ) 1 9f m m m m , 2m . ( )由 ( )知， 32( ) 2 4 1f x x x x , 依题意知 2( ) 3 4 4 5f x x x ， 1x 或 13x. 又 ( 1) 6f ， 681()3 27f ， 所以切线方程为 6 5( 1) ,或 68 15 ( )2 7 3 ， 即 5 1 0 ，或 1 3 5 2 7 2 3 0 . 18.（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱1 1 1 B C中，平面1）求证： ;C （ ） 若1C a， 直 线 平 面1 的 角 为 ， 二 面 角1 ,. 2A B C A 的 大 小 为 求 证 ：解： ( )证明：如右图，过点 A 在平面 D D，则 由平面 面 平面 面 得 面 C 平面 以 因为三棱柱 则 面 以 又 ,从而 面 又 侧面 故 ( )证法 1：连接 由 ( )知 是直线 平面 成的角， A 的颊角，即 ， . 于是在 ， a,在 a , 于 与 是锐角，所以 又由 1， 2，故 2. 证法 2：由 ( )知，以点 B 为坐标原点，以 x 轴、y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . 设 AB=c（ c a，则 B(0,0,0)， A(0,c,0)， C( 22, 0, 0), ,c,a)，于是 22( , 0 , 0 )B C a c ，1 0， c,a） , 22( , , 0 )A C a c c 1c,a设平面 一个法向量为 n=(x,y,z), 则由1 22 0,0, c y a A a c C 得可取 n（ 0， a， c），于是 n 0， n 的夹角 为锐角 ,则 与 互为余角 222 2 2 2 2 2 2( 0 , , ) ( , , 0 )| | | | ()a c a c C C a c a c c a c , A B C 1 B C 1 A B C 1 C1 y x z 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北文） - 107 - 12 2 2 21( 0 , , ) ( 0 , 0 , ) ,| | | |B A B A a c a B Aa c a a c 所以 ),又 0 ， 2，所以 +=2. 19.（本不题满分 12 分） 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 18000周空白的宽度为 10栏之间的中缝空白的宽度为 5样确定广告的高与宽的尺寸（单位： 能使矩形广告面积最小？ 解： 解法 1：设矩形栏目的高为 a 为 b 000. 广告的高为 a+20，宽为 2b+25，其中 a 0， b 0. 广告 的面积 S (a+20)(2b+25) 20b+25a+500 18500+25a+40b 18500+2 25 40=18500+ 1 0 0 0 2 4 5 0 0 当且仅当 25a 40b 时等号成立，此时 b=58a,代入式得 a=120，从而 b=75. 即当 a=120， b=75 时 ,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 为 175 ，可使广告的面积最小 . 解法 2：设广告的高为宽分别为 x y 每栏的高和宽分别为 x 20， 25,2y其中x 20， y 25 两栏面积之和为 2(x 20) 25 180002y ,由此得 y= 18000 25,20x 广告的面积 S=xy=x( 180002520x ) 180002520x x, 整理得 S= 360000 2 5 ( 2 0 ) 1 8 5 0 0 因为 x 20 0，所以 3600002 2 5 ( 2 0 ) 1 8 5 0 0 2 4 5 0 0 当且仅当 360000 2 5 ( 2 0 )20 时等号成立， 此时有 (x 20)2 14400(x 20)，解得 x=140，代入 y=1800020x+25,得 y 175， 即当 x=140， y 175 时， S 取得最小值 24500， 故当广告的高为 140 为 175 ，可使广告的面积最小 . 20（本小题满分 13 分） 已知双曲线 2222: 1 ( 0 , 0 )a 的两个焦点为 : ( 2 , 0 ) , : ( 2 , 0 ) , ( 3 , 7 )F F P 点 的曲线 C 上 . （ ）求双曲线 C 的方程； （）记 O 为坐标原点，过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、 F，若 面积为 2 2, 求直线 l 的方程 解： ( )解法 1：依题意，由 a2+，得双曲线方程为 222214 （ 0 4）， 将点（ 3， 7 ）代入上式，得2297148（舍去）或 2， 2008 年全国高考数学试汇编 题 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北文） - 108 - 故所求双曲线方程为 22 解法 2：依题意得，双曲线的半焦距 c=2. 2a=| | 2 2 2 2( 3 2 ) ( 7 ) ( 3 2 ) ( 7 ) 2 2 , ， b2=. 双曲线 C 的方程为 22 ( )解法 1：依题意，可设直线 l 的方程为 y=，代入双曲线 C 的方程并整理， 得 (1 k2)46=0. 直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、 F, 222 1,1 0 , 3 3 ,( 4 ) 4 6 ( 1 ) 0 kk ， k ( 3, 1 ) (1, 3 ). 设 E(x1,F(x2,则由式得 x1+22246,11k 于是 | 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( 1 ) ( )x x y y k x x = 22 2 21 2 1 2 22 2 31 ( ) 4 1 | 1 |kk x x x x k k 而原点 O 到直线 l 的距离221d k , 222 2222 2 3 2 2 31 1 2| | 1 1 | | 1 |1 F k 若 22，即 24222 2 3 2 2 2 0 ,| 1 |k 解得 2k , 满足 l 有两条，其方程分别为 22和 2 解法 2：依题意，可设直线 l 的方程为 y=,代入双曲线 C 的方程并整理， 得 (1 k2)46 0. 直线 l 与比曲线 C 相交于不同的两点 E、 F， 222 1,1 0 , 3 3 .( 4 ) 4 6 ( 1 ) 0 kk ， k ( 3, 1 ) (1, 3 ). 设 E(x1,F(x2,则由式得 | 221 2 1 2 222 2 3( ) 4 | 1 | | 1 |kx x x x . 当 E、 F 在同一支上时（如图 1 所示）， A O B P D E x y F A O B P D E x y F 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北文） - 109 - |1 2 1 211| | | | | | | | | | | |22O Q x x O Q x x ； 当 E、 F 在不同支上时（如图 2 所示）， 2 1 211| | ( | | | | ) | | | | x x O Q x x 综上得 21 | | | |2 O Q x x ，于是 由 | 2 及式，得 222 2 3|1 |. 若 2 2 ，即 24222 2 3 2 2 2 0| 1 |k ,解得 2k ,满足 . 故满足条件的直线 l 有两条，方程分别为 y= 22x 和 y= 2 2. 21.（本小题满分 14 分） 已知数列1 2 , 1 3n n xa b a a n a 和 满 足 ： 4 , ( 1 ) ( 3 2 1 )nn n nn b a n ,其中 为实数， n 为正整数 . （）证明：当 1 8 时 ， 数 列 是 等 比 数 列 ；（）设n 项和，是否存在实数 ，使得对任意正整数 n，都有12? 若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由 . 解： ( )证明：假设存在一个实数 ，使 等比数列，则有 22 1 2a 即 2 2 22 4 4 4( 3 ) ( 4 ) 4 9 4 03 9 9 9 矛盾 . 所以 是等比数列 . （）证明： 1111 2( 1 ) 3 1 2 1 ( 1 ) ( 2 1 4 )3a nb a n a n 22( 1 ) , ( 3 2 1 ) n b 又11 8 , ( 1 8 ) 0 由上式知1 20 , ( ) ,3 n 故当 18, 时 ， 数列 以 （ +18） 为首项， 23为公比的等比数列 . （）当 18时 ， 由（）得12( 1 8 ) ( ) ,3 于是 , 3 2( 1 8 ) 1 ( ) ,53 当 18 时， 0从而 上式仍成立 . 要使对任意正整数 n , 都有 即3 2 02( 1 8 ) 1 ( ) 1 2 1 8 21 ( )3 令 2( ) 1 ( ) ,3 则当 n 为正奇数时， 51 ( ) :3当 n 为正偶数时， 5 ( ) 1,9 5( ) (1 ) n f的 最 大 值 为于是可得 32 0 1 8 6 综上所述，存在实数 ，使得对任意正整数 n ，都有 12; 的取值范围为 ( , 6).2008 年全国高考数学试汇编 题 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南理） - 110 - 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南理） 一、选择题 :本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 只有一项是符合题目要求的 . 1复数31()i i等于 ( ) B. 8 D. 8i 答案： D 解析：由33 412( ) ( ) 8 8i ,易知 D 正 确 . 2“ | 1 | 2x 成立”是“ ( 3) 0成立”的 ( ) A充分不必要条件 C充分必要条件 答案： B 解析：由 | 1| 2x 得 13x ，由 ( 3) 0得 03x ，所以易知选 B. x、 y 满足条件 1,0,2 9 0, 则 的最大值是 ( ) 答案： C 解析：如图得可行域为一个三角形，其三个顶点 分别为 (1,1), (1, 4), (3, 3), 代入验证知在点 (3,3) 时 ,最大值是 3 3 6. 故选 C. 服从正态分布 (2,9)N ,若 ( 1 ) ( 1 )P c P c ,则 c= ( ) 答案： B 解析： 2(2, 3 )N 12( 1 ) 1 ( 1 ) ( ) ,3cP c P c 12( 1 ) ( ) ,3 31( ) ( ) 1 ,33 311 ( ) ( ) 1 ,33 解得 c =2, 所以选 B. m、 n 和平面 、 ,下列四个命题中，正确的是 ( ) A.若 m ,n ,则 m n B.若 m ,n ,m ,n ,则 ， m ,则 m ， m ， m ,则 m 答案： D 解析：由立几知识 ,易知 D 正确 . ( ) s i n 3 s i n c o sf x x x x 在区间 , 42上的最大值是 ( ) . 答案： C 解析：由 31 c o s 2 1( ) s i n 2 s i n ( 2 )2 2 2 6xf x x x , (3,3) (1,1) (1,4) x 1 x=1 o y x+2 2008 年 普通高等学校招生全国统一考试（湖南理） - 111 - 52,4 2 3 6 6 剟剟 m a x 31( ) 1 故选 C. 、 E、 F 分别是 三边 的点，且 2,D 2,A 2,B 则 E C F与 ) 答案： A 解析：由定比分点的向量式得 : 2 12 ,1 2 3 3A C A A C A B 12,33B E B C B A 12,33C F C A C B以上三式相加得 1 ,3A D B E C F B C 所以选 A. 2221（ a 0,b 0）上横坐标为 32大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A.(1,2) B.(2,+ ) C.(1,5) D. (5,+ ) 答案： B 解析： 20 33 ,22ae x a e a a 23 5 2 0 , 2e 或 13e ( 舍去 ), (2, ,e 故选 B. 8 个顶点在同一球面上，且 ,3 ， , 则顶点 A、 B 间的球面距离是 ( ) B. 2 C. 22D. 24答案： C 解析：11 2 2 2 ,B D A C R 2,R设 11,B D A C O则 2,O A O B R ,2A O B 2,2 故选 C. x表示不超过 x 的最大整数（如 2 =2, 54 =1） ,对于给定的 n N*, 定义 ( 1 ) ( 1 ) ,( 1 ) ( 1 )xn n n n xC x x x x x 1, ) ,则当 x 3 ,3)2时，函数8 ) A. 16 ,283B. 16 ,56)3C. 28( 4 , ) 2 8 , 5 6 )3D. 1 6 2 8( 4 , ( , 2 8 33答案： D 解析： 当 3 ,2)2x时，328 8 16 ,332C 当 2x 时， 1x ， 所以8 8 42; 当 2,3) 时，28 87 2 8,21C 当 3x 时， 2x ，8 8 7 2 8 ,3 2 3故函数8 6 2 8( 4 , ( , 2 8 . 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在对应题号后的横线上。 A B C D 1 1 O 2008 年全国高考数学试汇编 题 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南理） - 112 - l i m _ _ _ _ _ _34x . 答案： 15解析：21 1 111 11l i m l i m l i m .( 4 ) ( 1 ) ( 4 ) 534x x x x 2221（ a b 0）的右焦点为 F,右准线为 l ,离心率 顶点 A(0,b)作 AM l ,垂足为 M，则直线 斜率等于 . 答案： 12解析： 2( , ), 5 , 2 ,5e a c b c 2 0 1 )y f x 存在反函数 1()y f x ,且函数 ()y x f x 的图象过点 (1,2), 则函数 1 ()y f x x的图象一定过点 . 答案： () 解析：由 函数 ()y x f x 的图象过点 (1,2)得 : (1) 1,f 即函数 ()y f x 过点 (1, 1), 则其 反函数过 点 ( 1,1), 所以 函数 1 ()y f x x的图象一定过点 ( 1,2). ( ) ( 1 ) x 1若 a 0,则 ()定义域是 ; 2 若 ()区间 (0,1 上是减函数，则实数 a 的取值 范围是 . 答案： 3( , a, ( , 0) (1, 3 解析： 1当 0a 时， 由 30 得 3所以 ()定义域是 3( , a; 2 当 1a 时， 由题意知 13a ;当 01a时， 为增 函数 ,不合 ; 当 0a 时， ()区间 (0,1 上是减函数 , 0) (1, 3 . 4)个元素的总体 1,2, , n 进行抽样，先将总体分成两个子总体 1,2, , m 和 1, 2 , , m m n (m 是给定的正整数，且 2 m 再从 每个子总体中各随机抽取 2 个元素组成样本 i 和 j 同时出现在样 本中的概率，则1 ; 所有 i j n 的和等于 . 答案： 4()m n m, 6 解析： 11111 22 4 ( 1 ) ( 1 ) 4 ;( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )m n n m n mP m m n m n m m n 第二空可分 : 当 , 1, 2 , ,i j m 时 , 22 1; 当 , 1, 2 , , m m n 时 , 1 当 1, 2, , , 1 , 2 , , j m m n 时 , 4( ) 4()m n m m n m ; 所以 1 1 4 6 也可用特殊值法或 i 和 j 同时出现 6 次 . 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南理） - 113 - 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分 12 分） 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就 签约 则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约 2，且面试是否合格互不影响 （）至少有 1 人面试合格的概率 ; （）签约人数 的分布列和数学期望 . 解 : 用 A， B， C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格 ， B， C 相互独立， 且 P（ A） P（ B） P（ C） 12. （）至少有 1 人面试合格的概率是 3 711 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) B C P A P B P C （） 的可能取值为 0， 1， 2， 3. ( 0 ) ( ) ( ) ( )P P A B C P A B C P A B C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C 323 31 1 1( ) ( ) ( ) 2 8( 1 ) ( ) ( ) ( )P P A B C P A B C P A B C = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C =333 3111( ) ( ) ( ) 2 8 1( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C P A P B P C 1( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C P A P B P C 所以， 的分布列是 0 1 2 3 P 38381818 的期望 33 110 1 2 3 1 8 8E 17.（本小题满分 12 分） 如图所示，四棱锥 底面 边长为 1 的菱形， 60， E 是 中点， 面 2. （）证明：平面 面 （）求平面 平面 成二面角（锐角）的大小 . 解 : 解法一（）如 图所示，连结 菱形且 0知， 等边三角形 是 中点， 所以 以 又因为 面 平面 所以 A ,因此 面 又 平面 以平面 面 （）延长 交于点 F，连结 过点 A 作 H，由（）知 A P B C D E A P B C D E F G H 2008 年全国高考数学试汇编 题 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南理） - 114 - 平面 面 以 面 在 ，因为 60，所以， =在等腰 ，取 中点 G，连接 则 G，由三垂线定理的逆定理得， 平面 平面 成二面角的平面角（锐角） . 在等腰 ， 2 22A G P A在 ， 22252 A B A P A B A P A B 所以，在 ， 25 105s i n H 故平面 平面 成二面角（锐角）的大小是 105解法二 : 如图所示，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 各点的坐标分别是 A（ 0， 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， 33( , , 0),22C 31( , , 0),22D P（ 0， 0， 2） , 3(1, ,0)（）因为 3(0, , 0 )2， 平 面 一个法向量是0 (0,1,0)n ， 所以0BE 从而 面 又因为 平面 故平面 面 ( )易知 3( 1 , 0 , 2 ) , ( 0 , 02P B B E ， ） ，31( 0 , 0 , 2 ) , ( , , 0 )22P A A D 设1 1 1 1( , , )n x y z是平面 一个法向量，则由110,0n E 得 1 1 11 2 20 2 0 ,30 0 0 y zx y z 所以1 1 1 10 , 2 . ( 2 , 0 , 1 ) .y x z n 故 可 取设2 2 2 2( , , )n x y z是平面 一个法向量，则由220,0n D 得 2 2 22 2 20 0 2 0 ,31 0 0 y zx y z 所以2 2 20 , 3 .z x y 故可取2 ( 3 , 1, 0)于是，1212122 3 1 5c o s , 故平面 平面 成二面角（锐角）的大小是 15518.（本小题满分 12分） 数列 221 2 21 , 2 , ( 1 c o s ) s i n , 1 , 2 , 3 , n a a a a n 满 足( )求34, A P B C D E x y z 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南理） - 115 - ( )设21 122 ,n b b 证明：当 16 2 n时 ， | 解 : ( )因为121, 2,所以223 1 1( 1 c o s ) s i n 1 2 ,22a a a 224 2 2( 1 c o s ) s i n 2 4 .a a a 一般地，当 *2 1( )n k k N 时， 222 1 2 1( 2 1 ) 21 1 c o s s i 211 ，即2 1 2 1 所以数列21是首项为 1、公差为 1的等差数列，当 *2 ( )n k k N时，222 2 2 2( 1 c o s ) s i n 2 k a a 所以数列2、公比为 2的等比数列，因此2 故数列 *21 , 2 1 ( ) ,22 , 2 ( ) .n nn n k k k k N ( )由 ( )知，21 22 ,2nb a 23312 ,2 2 2 2n 2 2 4 131 1 22 2 2 2 2n -得，2 3 11 1 1 1 1 2 2 2n nn 21111 1 ( ) 2 2 2 212n n 所以1 212 2 2n n n 要证明当 6n 时， 12nS n成立，只需证明当 6n 时， ( 2) 12成立 . 证法一 1当 n = 6时，66 ( 6 2 ) 4 8 3 16 4 42 成立
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