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全国 联考 高三 数学 集成

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用心 爱心 专心 硬 度 耐 磨 度 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 1 1 0 b 6 a 9 7 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 3 3 3 5 y x 2008年 全国 大联考高三第 七 次联考 数学 (文 )试卷 一 本大题 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 小题 给出的四个选项中 ,只有一项符合要求 ) ： |2 1| 3 2 | 1x 是命题 Q ： 120 x的 ( ). 充分 条件 分 也 不必要条件 | M y y x, 22 | 2 N y x y ,则 ). A.(1,1),( 1,1) B.1 C.0,1 D. 20, S、3S、4S,记其中最大的面积为 S ,则 1 2 3 4S S S 的 取值范围是 ( ). A.(2,4 B.( C.(3,5 D.( 0 名同学 ,若老师想把横竖版两种答题卡各 15张发给同学 ,则每人一张的分法有 ( ). A. 1530 B. 153022 C. 15 230 2 D. 3030非零向量 OA a ,OB b ,且 A ,C 为垂足 ,设向量 OC a ,则 的值为 ( ). B.| | | | D.| | | 0 2 1 00 1 2 1 0( 1 ) ( ) ( )x x x xa a a a , 则 0 1 2 1 0| | | | | | | |a a a a 的值是 ( ). B. 52 C. 102 D. 104 为 O 外一点 (O 为圆心 ),线段 O 于点 A ,过点 P 作 O 的切线 切点为 B , 若 劣弧 分 的面积 ,且 弧度 ,则 ( ). D.2 由正四面体 A 的 B 点出发在四面体表面上运动 ,经过 的中心后到达 中点 ,则 P 点行走的最短路程是 ( ). A. 353B. D. 42 ,则 22 2 2 2S x y x y 的最小值是 ( ). D. 2 , 3 2a , 7 1a ,且数列 11是等差数列 ,则 11a 等于 ( ). )y f x 是最小正周期为 1 的偶函数 ,则函数 2 ( 2 | 1 |)y f x是 ( ). 的偶函数 2的偶函数 2的非奇非偶函数 的离心率为 e ,左、右两焦点分别为1F、2F,抛物线 C 以21点 P 为 抛物线与双曲线右支上的一个交点 ,若 221| | | | 8a P F c P F a( ,与半 焦距长 ),则 e 的值为 ( ). A. 3 C. 2 D. 6 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A A A C B A B B B A 二 本大题 4个小题 ,每小题 4分 ,共 16分 ,把答案填在题中横线上 ) 2,5x 或 | 1x x x或 4x ”是假命题 ,则 x 的取值范围是 _ . 1( ) )xf x a是奇函数 ,则使 ( ) 0的 x 的取值范围是 _ . 某班 14 名学生与全班的平均分 85 分的差分别是： 2 , 3 , 3 , 5 , 1 0 , 1 0 , 8 , 2 , 1, 4 , 1 0 , 2,5,5 ,则这个小组的平均分为 _ 分 . 3与 32 在0的切线互相垂直 ,则0_ . 13.1,2) 14.( 1,0) 解答题 (本大题 6 个小题 ,共 74 分 ,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.(本小题满分 12分 )在 中 ,角 A 为锐角 ,且222 c o s ( 2 ) 1 s i n ( ) s i n ( )2 2 2s i n ( ) s i n ( )2 2 2( ) c o A . ( )求 ()( )若 712 , ( ) 1, 2,求 的三个内角和 的长 . 解： ( ) 22222( c o s 2 1 ) s i n c o s 2 c o s s i n c o s 112 2 2 2c o s s i n c o s 2 222( ) c o s c o s s i n 2 ( 1 c o s 2 )A A A A A A 2 12 4 2s i n ( 2 )A .角 A 为锐角 , 54 4 42 A ,当422A ,即8A 时 , ()其最大值为 212 . ( )由 2 12 4 2( ) s i n ( 2 ) 1f A A ,得 242s 2 )A,4A , 71 2 3 , 512C A B , s i n 6s i . 18.(本小题满分 12分 )某研究所试制出一大批特种陶瓷刀 ,他们从这批产品中随机抽取了 50 个样本 , 检测它们的硬度和耐磨度 个档次 ,检测结 果如右表 、 耐磨度为 4 的刀具 有 3 把 该批产品中任选 1 把刀具 ,其硬度记为 x ,耐磨度记为 y . ( )根据这些样本估计该批产品 5y 的概率和 3x 且 3y 的概率； ( )若从该批产品中任意取出 3 把刀具 ,则这 3 把刀具至少 O C A B 用心 爱心 专心 有 2 把耐磨度为 5 的的概率是多少？ 解： ( ) 1 1 2 1 15 0 1 0( 5 ) . 1 7 45 0 2 5( 3 , 3 )P x y . ( )由 ( )知 ,任取 1 把刀具 ,其耐磨度为 5 的概率为 110P. 故任取 3 把刀具 ,至少有 2 把耐磨度为 5 的的概率是 2 1 35 4 5 5335 0 5 023980C C . 19.(本小题满分 12分 )正四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D的底面边长是 3 ,侧棱长是 3 、 F 分别在 1且1B,1D. ( )求证：1 ( )求截面 底面 成的二面角的余弦值； ( )求点 B 到面 距离 . ( )证明： 面111又 1E , 1E F ,故 1面 解： ( )1E,1 R t A A B R t A B E,1 A,1 3 1, 31 2, 2, /D , / 过 A 点作 直线 /l 即 l 为面 面 交线 作 AM l 交 点 M ,作 AN l 交 点 N ,则 为面 面 成的二面角的 平面角 . 1B, 62 614 102, 26 1 52510c o s N . ( )设点 B 到面 距离为 h . 6, 152 33221 B A E F F A B E D A B V ,得 33 15215 52 . 20.(本小题满分 12分 )数列 前 n 项的和为 且 1 2a , 1 2 2 ( * ) n N . ( )求数列 通项公式； ( )等差数列 各项为正 ,其前 n 项的和为 且 3 30T ,又 11, 22, 33成等比 数列 ,求 解： ( ) 1 22, 2n 时 , 122 1 2n n na a a ,1 3, 又 212 2 6 , 1 2a ,213,故数列 首项为 2 ,公比为 3 的等比数列 . 123 . ( )由 ( )知 1 2a , 2 6a , 3 18a 列 公差为 d ,由 3 1 2 3 23 3 0T b b b b , 得 2 10b . 1112a b d , 2216 , 3328a b d (1 2 ) ( 2 8 ) 1 6 , 即 2 1 6 8 0 0 ,解得 4d 或 20d (舍去 ). 1 6b , 2( 1 )26 4 2 4n n n . 21.(本小题满分 12 分 )已知 函数 ( ) ( ) ( )f x x x a x b 在 、 处取到极值 ,其中 0a , 0b . ( )设 ( , ( )A s f s , ( , ( )B t f t ,求证：线段 中点在曲线 ()y f x 上； ( )若 22 ,判断过原点且与曲线 ()y f x 相切的两条直线是否垂直？ 解： ( ) 32( ) ( ) ( ) ( )f x x x a x b x a b x a b x , 2( ) 3 2 ( )f x x a b x a b ,由 ) 0 , 得 2( )3 ,3B 的中点为 00( , )C x y ,则 03 , 330 ( ) ( ) 122 ( )f s f ty s t 2 2 3212 7 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b s t a b s t a b a b a b , )线 ()y f x ,满足 00()y f xB 的中点在曲线 ()y f x 上 . ( )过点11( , ( )x f 1 1 1 1 1 1( ) ( ) 3 2 ( ) ( )y x x a x b x a b x a b x x 点 , 21 1 1 1 1 1( ) ( ) 3 2 ( ) ( )x x a x b x a b x a b x ,解得 1 0x 或1 2 0x 时 ,切线 斜率为1k 当1 2时 ,切线斜率为 22 14 ()k a b a b . 0, 0, 22 , 2 2 2 2 212 1144 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( 1 ) 1 1k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b , 即12 1,故过原点且与曲线 ()y f x 相切的两条切线不垂直 . 22.(本小题满分 14 分 )已知 椭圆1 ,焦点在 x 轴上 ,离心率为 32e,P 为椭圆 上一动点 ,1F 、 2F 分别为椭圆的左、右焦点 ,且 12面积的最大值为 3 . ( )求椭圆1程； ( )设椭圆短轴的上端点为 A ,M 为动点 ,且 2215|12 F M 1M 成等差数列 ,求动 点 M 的轨迹2 ( )过点 M 作2l 交1 、 R 两点 ,求证： 0R. 解： ( )设椭圆12 1 ( 0 ) , 32, 2当 P 为椭圆短轴端点时 , 12 的面积最大 ,121 32 |F F b b c,解得 2, 1,故 2 24 1x y. ( )由 ( )知 (0,1)A , 1 3( ,0)F ,2 3( ,0)F,设 ( , )Mx y ,则2 3( ,1),2 3( , )F M x y, ( , 1)AM x y, 1 3( , 1) . 22 2 115 |F M A M F A A F O M , 4335( ) ( 1 )x x y y x y ,整理得 M 的轨迹 2C 的方程为 2245. ( ) 当切线 l 的斜率存在时 ,设 l ： y kx m,代入椭圆方程得 , 2 2 2( 1 4 ) 8 4 4 0k x m k x m . 2 2 2( 8 ) 1 6 ( 1 ) ( 1 4 ) 0m k m k ,设 11( , )Q x y , 22( , )R x y ,则212814 , 22124414, 221 2 1 2 1 2()y y k x x k m x x m 21 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( )O Q O R x x y y k x