数学文卷·2015届广东省湛江市第一中学高三8月月考(2014.08)

广东省湛江市第一中学 2015 届高三 8 月月考 数学（文）试题 【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面 广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学 生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主 探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方 面的考查。 第一部分选择题(共 50 分) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 【题文】1. 若集合 A0，1 ，2，4 ，B1，2，3 ，则 AB( ) A0 ，1，2，3，4 B0，4 C1 ，2 D3 【知识点】集合运算.A1 【答案解析】C 解析：由两集合交集的定义得： AB1，2，故选 C. 【思路点拨】利用交集定义得结论. 【题文】2已知复数 z ，则 z 的实部为( ) 1 3i1 i A1 B2 C 2 D1 【知识点】复数运算.L4 【答案解析】D 解析： 故选 D.32411iiz i 【思路点拨】把已知复数化成 形式，从而得结论.,abiR 【题文】3已知角 的终边经过点(4，3) ，则 cos ( ) A. B. C D 45 35 35 45 【知识点】三角函数的定义.C1 【答案解析】D 解析：由余弦函数定义得： ，故选 D.24cos53xr 【思路点拨】根据余弦函数定义求解. 【题文】4下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是( ) Af(x) Bf(x )x 21 Cf(x)x 3 Df (x)2 x 1x2 【知识点】函数奇偶性；单调性的判断.B3 B4 【答案解析】A 解析：易知选项 A,B 中函数是偶函数，而 B 中函数是区间(，0) 上 单调递减函数，故选 A. 【思路点拨】利用排除法的正确选项. 【题文】5. 0sin3等于（ ） A. 2B. 21C. 21D. 23 【知识点】诱导公式的应用.C2 【答案解析】A 解析： ，故选 A. 3sin30i60sin62 【思路点拨】利用诱导公式将所求化为锐角的三角函数求解. 【题文】6以下有关命题的说法错误的是（ ） A.命题“若 2301-=xx， 则 ”的逆否命题为“若 2130-x则 B.“ 1”是“ ”的充分不必要条件 C.若 pq为假命题，则 p、 q 均为假命题 D.对于命题 p： 2 2,10,:,10xRxpxRx使 得 则 则 【知识点】四种命题的意义；充分、必要条件的意义；判断复合命题真假的真值表；含量 词的命题的否定方法.A2 A3 【答案解析】C 解析： 对于选项 C： 可以一真一假，故 C 说法错误；其它选项显,pq 然正确. 【思路点拨】利用四种命题的意义，充分、必要条件的意义，判断复合命题真假的真值表， 含量词的命题的否定方法，判断各命题的真假. 【题文】7函数 f（x ）12xx 3 在区间3，3上的最小值是（ ） A.9 B.16 C.12 D.11 【知识点】导数的应用.B12 【答案解析】B 解析：由 得：2130fx2x ， 最小值是-16，故选 B.39,26,9ff f 【思路点拨】根据利用导数求闭区间上连续函数的最值的方法求解. 【题文】8. 函数 ()fxln的单调递减区间是（ ） A.(,e B. (1,) C. (0,e D. (0,1 【知识点】导数法求函数的单调区间.B12 【答案解析】A 解析：函数的定义域为 ，由 得： ，所,21lnxfe 以函数的单调递减区间是 ，故选 A.,e 【思路点拨】先求定义域，然后求导函数小于零的解集. 【题文】9. 函数 的部分图象是（ ）cosyx 【知识点】函数的奇偶性；函数的图像.B4 B8 【答案解析】D 解析： 显然函数 是奇函数，所以排除选项 A,C,又cosyx 时3x ，故选 D.06y 【思路点拨】利用排除法及特殊值法确定选项. 【题文】10. 定义在 R上的函数 ()fx满足： ()fxf恒成立，若 12x，则12()xef 与 21()xf的大小关系为（ ） A 12e B. 121()()xxeff C. 121()()xxff D. 12与的大小关系不确定 【知识点】导数的应用.B12 【答案解析】A 解析：设 则,xfgeg2xxxeffffe ， 时 R 上的增函数， ，即fxfgx1212,xgx ，故选 A.1212 1xxxxeffe 【思路点拨】构造函数 则,xgeg2xxxeffffe ， 时 R 上的增函数， ，即fxf1212,g .1212 1xxxxeffe 第二部分非选择题 (共 100 分) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分本大题分为必做题和选做题. （一）必做题：第 11、12、13 题是必做题，每道试题考生都必须做答 【题文】11.曲线 32yx在点(1,3)处的切线的方程是 . 【知识点】导数的几何意义；直线方程的点斜式.B11 H1 【答案解析】 解析：因为 ，所以 ，所以切线方程为：023yx1|xy ，即31yx2y 【思路点拨】曲线 34x在点(1,3)处的切线的斜率，是 324yx在 时1x 的导数，由此求得斜率后，再用点斜式写出直线方程. 【题文】12.已知函数 21()lnfbx在区间 2,)上是减函数，则 b的取值范围 是_ 【知识点】导数的应用；恒成立问题.B12 【答案解析】 解析：因为函数 21()lnfxbx在区间 2,)上是减函,2 数，所以 在区间 恒成立，即 在区间 恒成立，0bfx2,2 而 在区间 上的最小值是 2，所以 .2, b 【思路点拨】由函数 1()lnfxx在区间 2,)上是减函数，可知 在区间 恒成立，即 在区间 恒成立，0bfx, 而 在区间 上的最小值是 2，所以 .2x, b 【题文】13.如图 1 所示是函数 y2sin(x ) 的一段图象，( | 2 0) 则 = = . 图 1 【知识点】 的图像.C4sinyAx 【答案解析】 解析： ，2,6122TT 由此得： ，1,kZ,6kZ ，所以 .,26 【思路点拨】利用函数的图像得到函数的周期，从而求得 ，再由图像过点21,02 得： ，122,kZ12,6kZ ，所以 .,6 （二）选做题：第 14、15 题是选做题，考生只能做 1 题，2 题全答的，只计算前 1 题的得 分 【题文】14 （几何证明选讲选做题） 如图 2， AC为 O的直径， BAC，弦 N交 于点 M 若 3， 1M，则 的长为 【知识点】相交弦定理的应用.N1 【答案解析】1 解析： 由已知得: , 2BMO3,31,CMA 根据相交弦定理得： ,NBMCA 312CANB 【思路点拨】先有已知条件求得线段 的长，再根据相交弦定理得：, , .MNBCA 312B 【题文】15 （坐标系与参数方程选讲选做题） 若点 (,)Pxy在曲线 2cosinx（ 为参数， R）上，则 yx的取值范围是 【知识点】参数方程与普通方程的互化；判别式法.N3 【答案解析】 解析：曲线 2cosinxy（ 为参数， ）化为普通方3, 程是圆： ，设 t= ，则 ，代入圆方程得：21xyt21430tx 由 得 ，所以 yx的取值范围是 .2160t3t, 【思路点拨】先将参数方程化为普通方程得圆： ，设 t= ，则 ，21yxt 代入圆方程得： 21430tx 由 得 ，所以 yx的取值范围是 .216tt3, 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 【题文】16 （12 分）已知 3(,)sin25 （1 ） 求 cos()的值； （2） 求 (2)4的值. 【知识点】已知三角函数值，求三角函数式的值.C2 C5 C7 【答案解析】 （1） ; (2) 430150 解析：（1） -3 分234,sincos1sin255 -7 分3coscoi6610 （2） 由（1）知 -9 分4s,524sin2icos5 -10 分27cos1 333inincossin2444 -12 分2721550 【思路点拨】利用同角三角函数关系及两角和与差的三角函数求解. 【题文】17.（12 分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛，他 们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图 3，其中甲班学生的平均分是 85，乙班学生成 绩的中位数是 83. （1）求 x和 y的值； （2）从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生， 求甲班至少有一名学生的概率. 【知识点】茎叶图的意义；概率.I2 K2 【答案解析】(1) ;(2) 解析：（1）因为甲班学生的平均分是 85，5,3xy70 所以 ，所以 -2 分92680985.x 因为乙班学生成绩的中位数是 83，所以 -3 分3.y （2）甲班成绩在 90 分以上的学生有两名，分别记为 A,B -4 分 乙班成绩在 90 分以上的学生有三名，分别记为 C,D,E -5 分 从这五名学生中任意抽取两名共有 10 种情况：(A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E) (C,D) (C,E) (D,E) -8 分 其中甲班至少一名学生共有 7 种情况：(A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E) -10 分 记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件 M， 则 -11 分710pM 答：从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生的概率为 -12710 分 【思路点拨】 （1）根据茎叶图的意义、平均数、中位数的意义求出 的值.,xy （2）由茎叶图可知：甲班成绩在 90 分以上的学生有两名，分别记为 A,B. 乙班成绩在 90 分以上的学生有三名，分别记为 C,D,E. 从这五名学生中任意抽取两名共有 10 种情况： (A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E) (C,D) (C,E) (D,E) . 其中甲班至少 一名学生共有 7 种情况：(A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E) 记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件 M， 则 .10pM 【题文】18.（14 分）设函数 ()log(1)l(3)0,1)aafxxxa，且 ()2f. （1）求 a的值及 f的定义域；（2）求 f在区间 ,2上的值域. 【知识点】函数定义域、值域求法.B1 【答案解析】(1) 的定义域为 ;(2) . ,()fx1,32log, 解析：（1）由 得 ， -2 分1log2llaaaf1a2 -3 分2l3fxxx 要使得 有意义则有 -6 分()f 013 所以 的定义域为 . -7 分fx1,3 (2)由（1）知 ， -8 分 22logl3fxx2log13x 令 ，则 -11 分(3),0,ux 4,0,4uu 在 上单调递减 -12 分2logyu3,4 的值域为 . 14 分1fxx2log3, 【思路点拨】 （1）由 得 ；要使得 有意义则有2fa()fx10133xx 所以 的定义域为 .（2）由（1）得()fx,3f2log 令 ，则1),0,ux214,0,3,4uxu 在 上单调递减， 的值域为2logy3,42logf x2log, 【题文】19.（14 分） 将函数 3sin(),yx的图像向左平移 3个得到偶函数()yfx 的图像。 （1）求 ()yfx解析式（2）求 ()f的最大值及单调增区间。 【知识点】平移变换；函数的奇偶性、单调性、最值.B1 B3 B4 【答案解析】(1) ;(2) 最大值是 3，增区间为3cos ,.2kZ 解析：（1） 的图像相左平移 个单位，in(2),yx3 得到 ，即： -2 分3sisin(2)fx 由于 是偶函数，则 -4 分yfx2,3kZ 即 又 -6 分,6kZ,6 -8 分3sin2cos2fxxx （2） ， 的最大值是 3 -10 分co1,3,3fx 由 得单调增区间为 ，知syx2kkZ22,kxkZ 即 的增区间为 -14 分,2kZfx,. 【思路点拨】 （1）由平移变换得： ，由于 是偶函数，23sin()fyfx 则 ，即 又2,3kZ,6kZ,26 ；（2）利用余弦函数的值域及增区间，求sin3cos2fxxx()yf 的最大值及单调增区间。 【题文】20 （14 分）已知函数 xaxf3ln)(2，且在 1时函数 )(xf取得极值. （）求 a的值及 )(xf的极值； （）若 )012g，证明：当 1x时， )(xg的图象恒在 )(xf的上方. 【知识点】函数的极值；导数的应用以及恒成立问题. B11 B12 【答案解析】 （1） 极大值 ，极小值-2；（2）略.,a5ln4 解析： 由题意知函数的定义域为 -1 分0, -3 分 2312xfxa 处函数取得极值， 解得 -5 分10,fa 令 得 -6 分21,xffx12x或 x 变化时 变换如下表：,f10,2121,2 1 ,fx + 0 0 + 单调递增 极大值 12f单调递减 极小值 1f单调递增 的极大值为 ，极小值为 -8 分fx15ln24f12f （2）令 则 -10 分l,FfxgxxFx 时， 时， -13 分0,1x0;1,0;10F -14 分fxg 【思路点拨】(1)由导函数在 处的函数值为零得： ，从而求得 的根，1x0a0fx 然后列 x 变化时 变化表，得到 )(xf的极值；,f （2）即证 ，在 上恒成立，利用导数可lnFxg1, 确定 上 在 处有极小值，也是最小值 ,0,10F 所以 ，在 上恒成立.所以当 1x时，l0xfx,)(g 的图象恒在 )(的上方. 【题文】21 （14 分） 已知函数 21()lnfxax（ ）0 （1）求 ()fx的单调区间; （2） 108a时，判断方程: ()1fx根的个数并说明理由; （3） ()fx有两个极值点 12,且 2证明: 23ln()8fx. 【知识点】导数的应用；推理与证明. B12 M2 【答案解析】 （1）当 时， 有单调增区间为8afx0, 当 时 的单调增区间为 ，单调递减区间为08afx120, 12,x 当 时 的单调增区间为 ，单调递减区间为 f2,x20, （2）有且只有一个根.理由略；（3）略 解析：（1）函数 的定义域为 ， -1 分fx0,21axafx 令 20,18xaa 当 ，即 时 ，函数 在 单调递增 -2 分180fxfx0, 当 ，即 时方程由两解 -3 分180a1812818,aaxx 当 时，有 ，此时： ； 时，210x10,0f时 ， 12,x 时， -4 分20;,fxfx 当 时 有 -5 分a21,x220,0;,0fxfx 综上所述：当 时， 有单调增区间为8f , 当 时 的单调增区间为 ，单调递减区间为10afx120,x12,x 当 时 的单调增区间为 ，单调递减区间为 -6 分 f 2,20, （2）由已知方程： ，得1fxa2lnxax 令 ，则tx212ln -7 分 222xaxata 当 x 变化时， 变化如下表：,tx x 0,aa ,2a2 ,t + 0 -