应用时间序列分析第三版王燕课后答案

第二章 P34 1、（ 1）因为序列具有明显的趋势，所以序列非平稳。 （ 2）样本自相关系数： n t t kn t ktt k xx xxxxk 1 2 1 )( )( )0( )( 5.10)2021( 2011 1 nt txnx 220 1 )(20 1)0( xx t t 35 )(191)1( 1 19 1 xxxx tt t 29.75 )(181)2( 2 18 1 xxxx tt t 25.9167 )(171)3( 3 17 1 xxxx tt t 21.75 (4)=17.25 (5)=12.4167 (6)=7.25 1 =0.85（ 0.85） 2 =0.7405（ 0.702） 3 =0.6214（ 0.556） 4 =0.4929（ 0.415） 5 =0.3548（ 0.280） 6 =0.2071（ 0.153） 注：括号内的结果为近似公式所计算。 （ 3）样本自相关图： Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob . |*| . |*| 1 0.850 0.850 16.732 0.000 . |* | . *| . | 2 0.702 -0.07 6 28.761 0.000 . |* | . *| . | 3 0.556 -0.07 6 36.762 0.000 . |* | . *| . | 4 0.415 -0.07 7 41.500 0.000 . |*. | . *| . | 5 0.280 -0.07 7 43.800 0.000 . |* . | . *| . | 6 0.153 -0.07 8 44.533 0.000 . | . | . *| . | 7 0.034 -0.07 7 44.572 0.000 . *| . | . *| . | 8 -0.07 4 -0.07 7 44.771 0.000 . *| . | . *| . | 9 -0.17 -0.07 45.921 0.000 0 5 .*| . | . *| . | 10 -0.25 2 -0.07 2 48.713 0.000 .*| . | . *| . | 11 -0.31 9 -0.06 7 53.693 0.000 *| . | . *| . | 12 -0.37 0 -0.06 0 61.220 0.000 该图的自相关系数衰减为 0 的速度缓慢，可认为非 平稳。 4、 m k k knnnLB 1 2)2( LB(6)=1.6747 LB(12)=4.9895 205.0 (6)=12.59 205.0 (12)=21.0 显然， LB 统计量小于对应的临界值，该序列为纯随机序列。 第三章 P100 1、解： )()(*7.0)( 1 ttt ExExE 0)()7.01( txE 0)( txE ttx ）B7.01( ttt BBBx )7.07.01()7.01( 221 22 9608.149.01 1)( txV a r 49.00212 022 2、解：对于 AR（ 2）模型： 3.0 5.0 21102112 12112011 解得： 15/1 15/7 2 1 3、解：根据该 AR(2)模型的形式，易得 ： 0)( txE 原模型可变为： tttt xxx 21 15.08.0 2 21212 2 )1)(1)(1( 1)( txV a r 2 )15.08.01)(15.08.01)(15.01( )15.01( =1.9823 2 2209.0 4066.0 6957.0)1/( 12213 02112 211 0 15.0 6957.0 33 222 111 4、解：原模型可变形为： ttxcBB )1( 2 由其平稳域判别条件知：当 1| 2 ， 112 且 112 时，模型平稳。 由此可知 c应满足： 1| c ， 11c 且 11c 即当 1c0时，该 AR(2)模型平稳。 2 1)1/(1 01 21 kc kc k kk k 5、证明：已知原模型可变形为： ttxcBcBB )1( 32 其特征方程为： 0)(1( 223 ccc 不论 c取何值，都会有一特征根等于 1，因此模型非平稳。 6、解：（ 1）错， )1/()( 220 1 txV a r 。 （ 2）错， )1/()( 21210111 tt xxE 。 （ 3）错， TlT xlx 1)( 。 （ 4）错， 112211)( TllTlTlTT GGGle 11122111 TllTlTlT （ 5）错， 2 21221 21 1 11 11lim)(lim)(lim l lTlTlTl leV a rlxxV a r 。 7、解： 1 2 4111 1 21 12111 MA(1)模型的表达式为： 1 tttx 。 8、解： 20)5.01/(10)1/()( 10 txE 原模型可变为： tt CBBxB )8.01()20)(5.01( 32 tt BCBBx )5.01( )8.01(20 32 显然，当 328.01 CBB 能够整除 1 0.5B时，模型为 MA(2)模型，由此得 B 2是 328.01 CBB 0的根， 故 C 0.275。 9、解： 0)( txE 222221 65.1)1()( txV a r 5939.0 65.1 98.01 2221 2111 2424.0 65.1 4.01 2221 22 30 kk ， 10、解：（ 1） )( 21 tttt Cx )( 3211 tttt Cx 11111 )1( tttttttt CxCxCx 即 tt BCxB )1(1)1( 显然模型的 AR部分的特征根是 1，模型非平稳。 （ 2） 11 )1( ttttt Cxxy 为 MA(1)模型，平稳。 22 11 22111 CC C 11、解：（ 1） 12.1| 2 ，模型非平稳； 1 1.3738 2 -0.8736 （ 2） 13.0| 2 ， 18.012 ， 14.112 ，模型平稳。 1 0.6 2 0.5 （ 3） 13.0| 2 ， 16.012 ， 12.112 ，模型可逆。 1 0.45 0.2693i 2 0.45 0.2693i （ 4） 14.0| 2 ， 19.012 ， 17.112 ，模型不可逆。 1 0.2569 2 -1.5569 （ 5） 17.0| 1 ，模型平稳； 1 0.7 16.0| 1 ，模型可逆； 1 0.6 （ 6） 15.0| 2 ， 13.012 ， 13.112 ，模型非平稳。 1 0.4124 2 -1.2124 11.1| 1 ，模型不可逆； 1 1.1 12、解： tt BxB )3.01()6.01( tt BBBx )6.06.01)(3.01( 22 tBBB )6.0*3.06.0*3.03.01( 322 jtj jt 1 16.0*3.0 10G ， 16.0*3.0 jjG 13、解： 3)()5.01()(3)( 2 ttt xEBExBE 12)( txE 14、证明： 1)0(/)0(0 ； 27.0 25.0*5.0*225.01 )25.0*5.01(25.021 )1)()0( )1( 21121 11111 111 5.0 kkk 2k 15、解：（ 1）错；（ 2）对；（ 3）对；（ 4）错。 16、解：（ 1） ttt xx )10(*3.010 1， 6.9Tx 88.9)10(*3.010)()1( 11 TTtT xExEx 964.9)10(*3.010)()2( 212 TTtT xExEx 9892.9)10(*3.010)()3( 323 TTtT xExEx 已知 AR(1)模型的 Green函数为： jjG 1 ， ， 21j 121213122130)3( ttttttT GGGe 8829.99*)09.03.01()3( 22 TeV a r 3tx 的置信区间：的 95 9.9892-1.96* 8829.9 ， 9.9892 1.96* 8829.9 即 3.8275,16.1509 （ 2） 62.088.95.10)1(11 TTT xx 15.10964.962.0*3.0)()1( 21 tT xEx 045.109892.962.0*09.0)()2( 31 tT xEx 81.99*)3.01()2( 22 TeV a r 3tx 的置信区间：的 95 10.045-1.96 81.9 ， 10.045 1.96* 81.9 即 3.9061,16.1839 习题 4 p133 1、 1 1 2 31 ()4T T T T Tx x x x x 2 1 1 2 1 2 31 5 5 5 1 ()4 1 6 1 6 1 6 1 6T T T T T T T T Tx x x x x x x x x 所以，在 2Tx 中 Tx 与 1Tx 前 面的系数均为 516 。 2、由 1 11 (1 ) (1 ) t t t t t t x x x x x x 代入数据得 5 . 2 5 5 ( 1 )5 . 2 6 5 . 5 ( 1 )t t x x 解得 5 . 1 0 . 4 ( 1 )tx 舍 去 的 情 况 3、（ 1） 2 1 2 0 1 9 1 8 1 7 1 611 ( + ) 1 3 + 1 1 + 1 0+ 1 0+ 1 2 = 1 1 . 255x x x x x x （ ） 2 2 2 1 2 0 1 9 1 8 1 711 ( + ) . 2 + 1 3 + 1 1 + 1 0+ 1 0 = 1 1 . 0 455x x x x x x （ 11 ） （ 2）利用 10.4 0.6t t tx x x 且初始值 01xx 进行迭代计算即可。另外， 22 21 20 x x x 该题详见 Excel。 11.79277 （ 3）在移动平均法下 : 19 2 1 2 0 16 19 2 2 2 1 2 0 15 11 55 1 1 1 5 5 5 i i i i X X X X X X X 1 1 1 65 5 5 2 5a 在指数平滑法中 : 2 2 2 1 2 0 2 0 1 9 0 . 4 0 . 6x x x x x 0.4b 60 . 4 0 . 1 625ba 5、由 11 11 (1 ) ( ) ( ) (1 )t t t tt t t t x x x r r x x r 代入数据得 0 . 4 0 . 6 ( 2 0 5 )4 . 1 0 . 2 ( 2 0 ) 0 . 8 5tt t xx x 解得 20.513.7 5t t x x z-c(10,11,12,10,11,14,12,13,11,15,12,14,13,12,14,12,10,10,11,13) 6、 方法一：趋势拟合法 income-scan(习题 4.6 数据 .txt) ts.plot(income) 由时序图可以看出，该序列呈现二次曲线的形状。于是，我们对该序列进行二次曲线拟合： t-1:length(income) t2-t2 z-lm(incomet+t2) summary(z) lines(z$fitted.values, col=2) 方法二：移动平滑法拟合 选取 N=5 income.fil-filter(income,rep(1/5,5),sides=1) lines(income.fil,col=3) 7、（ 1） milk-scan(习题 4.7 数据 .txt) ts.plot(milk) 从该序列的时序图中，我们看到长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动同时作用于该序列 ,因此我们可以采用乘积模 型和加法模型。 在这里以加法模型为例。 z-scan(4.7.txt) ts.plot(z) z-ts(z,start=c(1962,1),frequency=12) z.s-decompose(z,type=additive) /运用加法模型进行分解 z.1-z-z.s$seas /提取其中的季节系数，并在 z 中减去（因为是加法模 /型）该季节系数 ts.plot(z.1) lines(z.s$trend,col=3) z.2-ts(z.1) t-1:length(z.2) t2-t2 t3-t3 r1-lm(z.2t) r2-lm(z.2t+t2) r3-lm(z.2t+t2+t3) summary(r1) summary(r2) summary(r3) #发现 3 次拟合效果最佳，故选用三次拟合 ts.plot(z.2) lines(r3$fitt,col=4) pt-(length(z.2)+1) : (length(z.2)+12) pt1-pt #预测下一年序列 pt2-pt2 pt3-pt3 pt-matrix(c(pt1,pt2,pt3),byrow=T,nrow=3)/*为预测时间的矩阵。 */ p-r3$coef2:4%*%pt+r3$coef1/*矩阵的乘法为 %*%； coef【 1】为其截距 项， coef【 2： 4】为其系数 */ p1-z.s$sea1:12+p/*加回原有季节系数，因为原来是加法模型 */ ts.plot(ts(z),xlim=c(1,123),ylim=c(550,950) lines(pt1,p1,col=2) #包含季节效应的 SARIMA 模型 z-scan(4.7.txt) ts.plot(diff(z) sq-diff(diff(z),lag=12) /*12 步差分 */ par(mfrow=c(2,1) acf(sq,50) pacf(sq,50) # #观察上图，发现 ACF 图 12 阶处明显， 24 阶处即变到置信区间内。 #而 PACF 图 12 阶， 24 阶， 36 阶处有一个逐渐递减过程，可认为 #拖尾，故可以考虑对季节效应部分采用 MA(1)模型 #同时， ACF 图在第一阶处显著后即立刻变动到置信区间内，具有 #截尾性质， PACF 图在第 5、 6 阶时变动到置信区 间外，可以考虑 #使用 MA（ 1）模型，故综合可采用乘积模型 12( 0 ,1,1 ) ( 0 ,1,1 )S A R IM A #即 ri1、 ma1 模型乘以季节因素 result-arima(z,order=c(0,1,1),seasonal=list(order=c(0,1,1),period=12)/*季节因素里的 order 为阶数的意思，与前面的 airma 模型的阶数含义同 */ tsdiag(result)/诊断 #下图为预测后的图 4.8 z-scan(4.8.txt) adf.test(z) #单位根检验。比较科学的定量的方法 #其原假设：具有单位根，即不平稳。此题中接受备则假设：平稳。 指数平滑预测 ffe-function(z,a) #定义指数平 滑预测。其中 a 为平滑项 y-c() y-z1 for(i in 1:length(z) y-c(y, a*zi+(1-a)*yi) return(y) y-ffe(z,0.6) #执行上述定义的 function ts.plot(z) lines(y,col=3) ylength(y) 简单移动平均 z.1-filter(z,rep(1/12,12),side=1) #side=1 是指将所有算不出的序列值都空到最前面去，而在尾部没有空值。 z.1-c(NA,z.1) ts.plot(z) lines(z.1,col=3) meand-function(z,z.1,n) #预测函数。以 12 为周期。依次为原始数据，平滑值，预测步数 y-z.1length(z.1) z.2-z(length(z)-10):length(z) for(i in 1:n) m-sum(rep(1/12,12-i)*z.2i:length(z.2) n-sum(rep(1/12,i)*y) y-c(y,m+n) #一直重复：预测，原始数列取代一个，预测数列拿来一个 return(y) y-meand(z,z.1,11) y-c(z.1,y) ts.plot(z,xlim=c(0,205) lines(y,col=3) #SARIMA par(mfrow=c(2,1) ds-diff(z) acf(ds,40) pacf(ds,40) #可以看出有一些不明显的周期性，故采用 sarima 拟合 result-arima(z,order=c(2,1,0),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12) # 在 季 节 部 分 很 少 出 现 2 以 上 的 数 字 （ 指 seasonal 中的 order 部 分 ） result-arima(z,order=c(2,1,0),seasonal=list(order=c(1,0,1),period=12) result-arima(z,order=c(4,1,0),seasonal=list(order=c(1,0,1),period=12),fixed=c(NA,NA,0,NA,NA,NA) #观察图，发现第 三项在置信区间内，故认为可能为限 定的 sarima 模型。最后两个 NA 指季节指数中的 sar1 和 sma1. #第三个的 aic 值最小，即模型拟合效果最好 tsdiag(result) #检验通过 1、（ 1）判断序列的平稳性 该序列时序图如图 1所示： 时序图显示该序列有显著的变化趋势，为典型的非平稳序列。 （ 2）对原序列进行差分运算： 对原序列进行 1阶差分运算，运算后序列时序图如图 2所示： 时序图显示差分后序列在均值附近比较平稳的波动。为了进一步确定平稳性，考察差分后序列的自相关图，如图三所示： 自相关图显示差分后序列 不存在自相关，所以可以认为 1 阶差分后序列平稳，从图中我们还可以判断差分后序列可以视 为白噪声序列。 （ 3）对白噪声平稳差分序列拟合 AR模型 原序列的自相关图和偏自相关图如图 4： 图中显示序列自相关系数拖尾，偏自相关系数 1 阶截尾，实际上我们用 ARIMA（ 1， 0， 0）模型拟合原序列。在最小二乘 估计原理下，拟合结果为： 10 . 8 8 8 3 1 . 4 8 9t t txx （ 4）对残差序列进行检验： 残差白噪声检验： 参数显著性检验： 图中显示：延迟 6阶和 12阶的 P值均大于 0.05，可以认为该残差序列即 为白噪声序列，系数显著性检验显示两参数均显 著。这说明 ARIMA（ 1， 0， 0）模型对该序列建模成功。 （ 5）模型的预测： 估计下一盘的收盘价为： ( 1 ) 0 . 8 8 8 2 8 9 3 1 . 4 8 9 2 8 8 . 1 2 1tx 2、（ 1）绘制时序图： 时序图显示该序列具有长期递增趋势和以年为周期的季节效应。 （ 2）差分平稳化 对原序列作 1阶差分，希望提取原序列的趋势效应，差分后序列时序图： 3、模型定阶 考察差分后序列相关图和偏自相关图的性质，进一步确认平稳性判断，并估计拟合模型的阶数。 自相关图和偏自相关图显示延迟 12阶自 相关系数和偏自相关系数大于 2倍标准差范围，说明差分后序列中仍有非常显著 的季节效应。延迟 1 阶的自相关系数和偏自相关系数也大于 2 倍的标准差，这说明差分后序列还具有短期相关性。根据 差分后序列自相关图和偏自相关图的性质，尝试拟合 ARMA模型，但拟合效果均不理想，拟合残差均通不过白噪声检验。 所以我们可以考虑建立乘积模型： 12(1 , 1 , 1 ) ( 0 , 1 , 1 )A R IM A ： 121 1 2 1 211 (1 )1ttBxBB （ 4）参数估计 使用最小二乘法估计方法，得到该模型的估计方程为： 1212 1 0 . 9 8 6 ( 1 0 . 8 3 3 )1 0 . 6 0 6ttBxBB （ 5）模型的检验 对拟合模型进行检验，检验结果显示该模型顺利通过了残差白噪声检验（图 21）和参数显著性检验（图 22）。 白噪声检验（图 21） 参数显著性检验（图 22） （ 6）模型预测 下一年度该城市月度婴儿出生率预测如下表： 月