数学教学中两种语言的转换

数学教学中两种语言的转换 华东师范大学教育学系 李方安 熊川武 在数学教学中，经常出现学生解题困难的现象。有些学生虽能熟记数学概念、公理、 定理和公式，但是用之难以得心应手。究其原因，仅仅掌握了知识的陈述性形式，而未能 将它们转化成解决问题的程序性形式是要者之一。而要有效地解决这一问题，在数学教学 中加强自然语言与数学语言相互转换的练习是非常必要的。 自然语言是各民族在发展过程中形成的本民族的语言。它出现在数学文本中，主要描 述图形、图像的性质和定理等。数学语言则是用于研究和解决数学问题的专业术语和符号。 它以公式、符号、图形与图像等形式出现。它们虽都用于数学文本中，但有本质区别。 为什么要进行两种语言的转换呢?因为它们的相互转换是把陈述性知识转换为程序性知 识的重要途径，学生在有意识转换的过程中会发现许多新的东西，这是其一。其二，它们 的相互转换的理想境界是：不仅能在熟悉的情境中应用所学的知识，而且能把所学的知识 迁移到全新的情境中，达到一种近乎自动化解决问题的水平。 一、数学教学中两种语言转换的主要形式 数学教学中两种语言转换的主要形式有自然语言与数学公式、自然语言与图像以及自 然语言与图形的转换。 （一）自然语言与数学公式的转换 自然语言与数学公式的转换，即教师给出用自然语言描述的数学定理，要求学生根据 定理写出相应的数学公式（或其表达式）。然后，要求学生根据数学公式写出或复述出相 应的数学定理。 举例来说，在教学正弦定理时，教师先给出：在一个三角形中，各边和它所对的角的 正弦的比相等这个用自然语言表达的定理。然后要求学生写出其数学公式即 a/sinA=b/sinB=c/sinC。接着教师将定理遮蔽，要求学生看着公式写出定理。 在这个过程中，弄清楚定理中哪些概念和公式中的哪些符号对应、自然语言表达的关 系怎样转化为数学公式表达的关系、这些关系在什么条件下成立等是关键。熟悉了这种转 换，就超越了对定理和公式的机械的被动的记忆，促使学生对它们进行理解的主动的建构。 这会增强学生正向和逆向推导定理和公式的能力。 比方 2006 年上海市普通高等学校春季招生考试（数学试卷）中有这样一道填空题：在 （ABC 中，已知 BC=8，AC=5，三角形面积为 12，则 cos2C=_。根据自然语言描述的题 干可知该题需要运用三角形面积公式以及二倍角公式，把它们转换成数学语言表示的公式 S：=1/2absinC 和 cos2C=1-2sin2C，问题就迎刃而解了。 （二）自然语言与图像的转换 实现自然语言与图像的转换，一方面，要求纵向上针对某一知识点，熟练掌握其特征， 形成条理清晰的链条或网络；另一方面，要求横向上同类知识点之间或非同类知识点之间 相互联结，形成语义网络或图像网络。这种转换的过程实质上是对知识进行精致化的过程， 知识加工越精致，形成的图式就越合理、越牢固，就越容易产生迁移，越有利于变通性思 维。 为了更好地说明自然语言与图像的相互转换，下面以“函数”为例，分别选取幂函数、 指数函数和对数函数的几个特殊函数，如幂函数 y=x-2、y=x -1、y=x 0、y=x 1、y=x 2；指数函 数 y=2 x、y=3 x、y=1/2 x、y=1/3 x；对数函数 y=log2x、y=log 3x、y=log 1/2x、y=log 1/3x。把 它们的特征用图像表示在同一个坐标系内，形成关于函数的图像网络（图 1）。根据图像 去理解各类函数的深层含义，诸如函数的定义域、奇偶性、单调性、升降性、对称性以及 各类函数间的横向关系。 通过把函数的自然语言描述形式转换成函数图像和把几种单一函数的特征汇集在同一 个坐标系上，学生便学会了整合同类知识，同时会发现许多在仅仅通过记忆描述性语言和 分析单一函数中所发现不了的新知识，甚至发现以前理解上的错误。从而达到思维更灵活， 推理能力和迁移能力更强的境界。 （三）自然语言与图形的转换 学习立体几何的重要的目的就是要形成学生的空间立体感知，把握空间关系的能力， 形成较发达的空间思维能力。自然语言与几何图形的相互转换有利于学生这些方面的发展。 例如，三垂线定理和逆定理是高中立体几何中的重要内容，这一内容颇能反映学生的平面 思维向空间立体思维转换的能力。加强这方面的教学，就是要让学生见到自然语言描述的 有关三垂线定理或逆定理的题干，就能立即在大脑中形成并绘出其图形；见到相关图形就 能迅速判断出其是三垂线定理的抑或逆定理的图形。再比如，平面解析几何中圆、椭圆以 及双曲线的概念与其对应的图形的相互转换，只有掌握了它们的性质和图形的特征才能自 如地相互转换，并且在相互转换的过程中进一步把握它们的性质和特征。 二、两种语言的转换对数学教学的意义 （一）增强解题能力。自然语言向数学公式的转化，实际上锻炼了学生审阅数学题并 直接写出数学式子（模型）的能力，会极大地减少学生读题是一回事，列式却是另一回事 的现象。因为这两种语言之间的转换，把学生对自然语言粗糙的非系统的具体的理解变为 精细的完整的抽象的理解。同时，自然语言和数学语言的相互转换会帮助学生形成一种习 惯：不仅仔细审题，而且边理解自然语言的概念，边写出相应的符号或数学式。 （二）提高记忆效果。在将自然语言与数学语言分开教学的情况下，为了巩固学习效 果，教师往往不得不要求学生在理解的基础上背诵定理与公式。由于两者的内在联系没有 为学生熟悉，记忆效果并不理想。相反，采用两种语言转换的方法，使自然语言与数学语 言融为一体，记忆效果要明显得多。 （三）促进数学思维品质发展。如前所述，自然语言转换为数学语言，实际上是学会 如何把自然语言表述的实际问题进行数学抽象、概括成数学语言的表达形式，也即数学建 模的过程。而数学语言转换为自然语言，实际上是对抽象的数学语言的具体化。可见，坚 持两种语言转换的过程也就是思维活动不断由具体到抽象再由抽象到具体的过程，这样循 环往复，学生就会养成逻辑严谨、条理分明等思维品质，甚至形成创造数学模型的本领。 这和数学家发明数学公式的道理是一样的，即当一种新的数学现象初次出现在数学家头脑 中时，那只是一种自然语言表达的数学现象，只有当它被转化为数学模型时，才成了数学 公式。 三、实现两种语言转换的教学策略 （一）加强自然语言与数学语言相互转化的步骤训练 这里以余弦定理及公式为例，看指导学生进行两种语言转化的步骤。 第一步，自然语言向数学语言转化。 首先，教师出示并讲解余弦定理（或从正弦推导出或学生自己看书）：三角形任意一 边的平方，等于其它两边长的平方和减去这两边的长与其夹角的余弦的积的两倍。 其次，要求学生将自然语言的概念与数学符号对应（学生自己写）。 a 2、=、b 2、C 2、+、-、b、C、cosA、2 再次，要求学生将符号按定理规定的关系组合成数学公式（学生自己写）。 a 2=b2+c2-2bccosA 第二步，数学语言向自然语言转化，即将定理遮蔽，让学生看着公式写出定理。 这就实现了由定理到公式再由公式到定理的转化，即两种转化。 如果先讲公式后讲定理，那么程序正好相反。 概括起来，自然语言和数学语言转化的教学过程是：解释定理或其它文字材料将 特定概念与数学符号对应将数学符号按自然语言描述的关系组合成数学公式。反之， 先解释公式及各个数学符号将数学符号与自然语言中的概念对应将自然语言的概 念按数学公式描述的关系排列成句子。 （二）加强“说、写、画”的训练 “说”主要指能够用准确而简练的语言描述出数学概念或定理的内涵，它不是机械的 复述而是理解的表达。“写”主要指能够把数学概念或定理中对应的数学符号用书面形式 表达出来。“画”主要指能够把数学概念、定理、规则或公式等对应的图形或图像画出来。 “说”、“写”、“画”要相互结合；“说”、“写”、“画”要由浅入深，建构起数学 语义