数值计算方法试题库及答案解析

数值试题 1 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空 1 分，共 17 分） 1、如果用二分法求方程 043 xx 在区间 2,1 内的根精确到三位小数，需对分 （ ）次。 2、迭代格式 )2( 21 kkk xxx 局部收敛的充分条件是 取值在（ ）。 3、已知 31)1()1()1( 2 1 10)( 23 3 xcxbxax xxxS 是三次样条函数，则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、 )(,),(),( 10 xlxlxl n 是以整数点 nxxx , 10 为节点的 Lagrange 插值基函数，则 nk k xl0 )( ( )， nk kjk xlx0 )( ( )，当 2n 时 )()3( 20 4 xlxx kknk k ( )。 5、设 1326)( 247 xxxxf 和节点 ,2,1,0,2/ kkx k 则 , 10 nxxxf 和 07f 。 6、 5 个节点的牛顿 -柯特斯求积公式的代数精度 为 ， 5 个节点的求积公式最高代数 精度为 。 7、 0)( kk x 是区间 1,0 上权函数 xx )( 的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中 1)(0 x ，则 10 4 )( dxxx 。 8、给定方程组 221 121 bxax baxx ， a 为实数，当 a 满足 ，且 20 时， SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 ( , )()y f x yy x y 的改进欧拉法 ),(),(2 ),( 0 111 0 1 nnnnnn nnnn yxfyxfhyy yxhfyy 是 阶方法。 10、设 1 10 01 aa a a A ，当 a （ ）时，必有分解式 TLLA ，其中 L 为下三 角阵，当其对角线元素 )3,2,1( ilii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。 二、 二、 选择题（每题 2 分） 1、解方程组 bAx 的简单迭代格式 gBxx kk )()1( 收敛的充要条件是（ ）。 （ 1） 1)( A , (2) 1)( B , (3) 1)( A , (4) 1)( B 2、在牛顿 -柯特斯求积公式： b a n i i ni xfCabdxxf 0 )( )()()( 中，当系数 )(n iC 是负值时， 公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿 -柯特斯求积公式不使用。 （ 1） 8n ， （ 2） 7n ， （ 3） 10n ， （ 4） 6n ， 3、有下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 数值试题 2 所确定的插值多项式的次数是（ ）。 （ 1）二次； （ 2）三次； （ 3）四次； （ 4）五 次 4 、 若 用 二 阶 中 点 公 式 ),(4,2(1 nnnnnn yxfhyhxhfyy 求 解 初 值 问 题 1)0(,2 yyy ，试问为保证该公式绝对稳定，步长 h 的取值范围为（ ）。 (1) 20 h , (2) 20 h , (3) 20 h , (4) 20 h 三、 1、（ 8 分）用最小二乘法求形如 2bxay 的经验公式拟合以下数据： ix 19 25 30 38 iy 19.0 32.3 49.0 73.3 2、（ 15 分）用 8n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算 dxex 10 时， (1) (1) 试用余项估计其误差。 （ 2）用 8n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。 四、 1、（ 15 分 ）方程 013 xx 在 5.1x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（ 1） 3 1 xx 对应迭代格式 31 1 nn xx ； (2) xx 11 对应迭代格式 nn x x 111 ； （ 3） 13xx 对应迭代格式 131 nn xx 。判断迭代格式在 5.10x 的收敛性，选一种收 敛格式计算 5.1x 附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立 Steffensen 迭 代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（ 8 分）已知方程组 fAX ，其中 41 143 34 A ， 24 30 24 f （ 1） （ 1） 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （ 2） （ 2） 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出 SOR 迭代法。 五、 1、（ 15 分）取步长 1.0h ，求解初值问题 1)0( 1 y ydxdy 用改进的欧拉法求 )1.0(y 的 值；用经典的四阶龙格 库塔法求 )1.0(y 的值。 2、（ 8 分）求一次数不高于 4 次的多项式 )(xp 使它满足 )()( 00 xfxp , )()( 11 xfxp , )()( 00 xfxp , )()( 11 xfxp , )()( 22 xfxp 六、（下列 2 题任选一题， 4 分） 1、 1、 数值积分公式形如 10 )1()0()1()0()()( fDfCBfAfxSdxxxf （ 1） （ 1） 试确定参数 DCBA , 使公式代数精度尽量高；（ 2）设 1,0)( 4Cxf ，推导余项公式 10 )()()( xSdxxxfxR ，并估计误差。 2、 2、 用二步法 数值试题 3 ),()1(),( 111101 nnnnnnn yxfyxfhyyy 求解常微分方程的初值问题 00 )( ),( yxy yxfy 时，如何选择参数 , 10 使方法阶数尽可能 高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共 16 分，每小题 分） 、若 A 是 nn 阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵 L 和上三角阵 U ，使 LUA 唯一 成立。 （ ） 、当 8n 时， Newton cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。（ ） 3、形如 )()( 1 i n i i ba xfAdxxf 的高斯（ Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次 数为 12n 。 （ ） 、矩阵 210 111 012 A 的范数 2A 。（ ） 5、设 a a aa A 00 00 02 ，则对任意实数 0a ，方程组 bAx 都是病态的。（用 ） （ ） 6、设 nnRA ， nnRQ ，且有 IQQT （单位阵），则有 22 QAA 。（ ） 7、区间 ba, 上关于权函数 )(xW 的直交多项式是存在的 ，且唯一。（ ） 8、对矩阵 A 作如下的 Doolittle 分解： 600 10 322 11 012 001 542 774 322 b a A ，则 ba, 的值分别为 a 2， b 2。（ ） 二、填空题：（共 20 分，每小题 2 分） 1、设 102139)( 248 xxxxf ，则均差 2,2,2 810 f _， 3,3,3 910 f _。 2、设函数 )(xf 于区间 ba, 上有足够阶连续导数， bap , 为 )(xf 的一个 m 重零点， Newton 迭代公式 )( )(1 k kkk xf xfmxx 的收敛阶至少是 _阶。 、区间 ba, 上的三次样条插值函数 )(xS 在 ba, 上具有直到 _阶的连续导 数。 4、向量 TX )2,1( ,矩阵 13 27A ，则 1AX _， )(Acond _。 数值试题 4 5、为使两点的数值求积公式： 1 1 10 )()()( xfxfdxxf 具有最高的代数精确度，则 其求积基点应为 1x _， 2x _。 6、设 nnRA ， AAT ，则 )(A （谱半径） _ 2A 。（此处填小于、大于、 等于） 7、设 2 1 4 1 021 A ，则 kk Alim _。 三、简答题：（ 9 分） 1、 1、 方程 xx 24 在区间 2,1 内 有 唯 一 根 *x ， 若 用 迭 代 公 式 ： 2ln/)4ln (1 kk xx ),2,1,0( k ，则其产生的序列 kx 是否收敛于 *x ？说明 理由。 2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？ 3、 3、 设 001.0x ，试选择较好的算法计算函数值 2 cos1)( x xxf 。 四、（ 10 分）已知数值 积分公式为： )()0()()0(2)( 20 hffhhffhdxxfh ，试确定积分公式中的参数 ，使 其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 五、（ 8 分）已知求 )0( aa 的迭代公式为： 2,1,00)(2 1 01 kxxaxx kkk 证明：对一切 axk k ,2,1 ，且序列 kx 是单调递减的， 从而迭代过程收敛。 六、（ 9 分）数值求积公式 30 )2()1(23)( ffdxxf 是否为插值型求积公式？为什么？其 代数精度是多少？ 七、（ 9 分）设线性代数方程组 bAX 中系数矩阵 A 非奇异， X 为精确解， 0b ，若向 量 X 是 bAX 的 一 个 近 似 解 ， 残 向 量 XAbr ，证明估计式： b rAcond X XX )( （假定所用矩阵范数与向量范数相容）。 八、 (10 分 )设函数 )(xf 在区间 3,0 上具有四阶连续导数，试求满足 下 列插值条件的一个次数不超过 3 的插值多项式 )(xH ，并导出其余项。 i 0 1 2 ix 0 1 2 数值试题 5 )(ixf -1 1 3 )( ixf 3 九、 (9 分 ) 设 )(xn 是区间 , ba 上关于权函数 )(xw 的直交多项式序列， )1,2,1( nnixi 为 )(1 xn 的零点， )1,2,1)( nnixli 是以 ix 为基点的拉格朗日 (Lagrange) 插值基函数， 11 )()()( nk kkba xfAdxxwxf 为高斯型求积公式，证明： （ 1） （ 1） 当 jknjk ,0 时， 0)()( 1 1 ijik n i i xxA （ 2） ba jk jkdxxwxlxl )(0)()()( （ 3） 1 1 2 )()()(n k b a b ak dxxwdxxwxl 十、（选做题 8 分） 若 )()()()( 101 nn xxxxxxxxf ， ),1,0( nixi 互异，求 , 10 pxxxf 的值，其中 1np 。 数值计算方法试题三 一、（ 24 分）填空题 (1) (1) (2 分 )改变函数 f x x x( ) 1 (x1 )的形式，使计算结果较精确 。 (2) (2) (2 分 )若用二分法求方程 0xf 在区间 1,2内的根，要求精确到第 3 位小 数，则需要对分 次。 (3) (3) (2 分 )设 21 2221 xx xxxf ，则 xf (4) (4) (3 分 )设 21,10,2 23 3 xcbxaxx xxxS 是 3 次样条函数，则 a= , b= , c= 。 (5) (5) (3 分 )若用复化梯形公式计算 10 dxex ，要求误差不超过 610 ，利用余项公 式估计，至少用 个求积节点。 (6) (6) (6 分 )写出求解方程组 24.0 16.1 21 21 xx xx 的 Gauss-Seidel 迭代公式 ，迭代矩阵为 ， 此迭代法是否收敛 。 数值试题 6 (7) (7) (4 分 )设 A 5 44 3 ,则 A ， Cond A 。 (8) (8) (2 分 )若用 Euler 法求解初值问题 10,10 yyy ，为保证算法的绝对 稳定，则步长 h 的取值范围为 二 . (64 分 ) (1) (1) (6 分 )写出求方程 1cos4 xx 在区间 0,1的根的收敛的迭代公式，并证 明其收敛性。 (2) (2) (12 分 )以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 115 的近似值，并利用 余项估计误差。 (3) (3) (10 分 )求 xexf 在区间 0,1上的 1 次最佳平方逼近多项式。 (4) (4) (10 分 )用复化 Simpson 公式计算积分 10 sin dxx xI 的近似值，要求误 差限为 5105.0 。 (5) (5) (10 分 )用 Gauss 列主元消去法解方程组： 2762 3453 2424 321 321 321 xxx xxx xxx (6) (6) (8 分 )求方程组 1 2 5 11 21 31 2 1 x x 的最小二乘解。 (7) (7) (8 分 )已知常微分方程的初值问题： 2)1( 2.11,y xyxdxdy 用改进的 Euler 方法计算 y(.)12 的近似值，取步长 2.0h 。 三 (12 分， 在下列 5 个题中至多选做 3 个题 ) (1) (1) (6 分 )求一次数不超过 4 次的多项式 p(x)满足： 151p ， 201 p ， 301 p ， 572 p ， 722 p (2) (2) (6 分 )构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度： 121 1010 fAfAdxxxf 数值试题 7 (3) (3) (6 分 )用幂法求矩阵 11 110A 的模最大的特征值及其相应的单位特征向 量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05，取特征向量的初始近似值 为 T0,1 。 (4) (4) (6 分 )推导求解常微分方程初值问题 0, yaybxaxyxfxy 的形式为 1101 iiii ffhyy ,i=1,2, ,N 的公式，使其精度尽量高， 其中 iii yxff , , ihaxi , i=0,1, ,N, Nabh (5) (5) (6 分 )求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 0,0 ,0 byay bxaxryxqyxpy 所得到的三对角线性方程组。 数值计算方法试题三 一、（ 24 分）填空题 (9) (1) (2 分 )改变函数 f x x x( ) 1 (x1 )的形式，使计算结果较精确 。 (10) (2) (2 分 )若用二分法求方程 0xf 在区间 1,2内的根，要求精确到第 3 位小 数，则需要对分 次。 (11) (3) (2 分 )设 21 2221 xx xxxf ，则 xf (12) (4) (3 分 )设 21,10,2 23 3 xcbxaxx xxxS 是 3 次样条函数，则 a= , b= , c= 。 (13) (5) (3 分 )若用复化梯形公式计算 10 dxex ，要求误差不超过 610 ，利用余项公 式估计，至少用 个求积节点。 (14) (6) (6 分 )写出求解方程组 24.0 16.1 21 21 xx xx 的 Gauss-Seidel 迭代公式 ，迭代矩阵为 ， 此迭代法是否收敛 。 数值试题 8 (15) (7) (4 分 )设 A 5 44 3 ,则 A ， Cond A 。 (16) (8) (2 分 )若用 Euler 法求解初值问题 10,10 yyy ，为保证算法的绝对 稳定，则步长 h 的取值范围为 二 . (64 分 ) (8) (1) (6 分 )写出求方程 1cos4 xx 在区间 0,1的根的收敛的迭代公式，并证 明其收敛性。 (9) (2) (12 分 )以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 115 的近似值，并利用 余项估计误差。 (10) (3) (10 分 )求 xexf 在区间 0,1上的 1 次最佳平方逼近多项式。 (11) (4) (10 分 )用复化 Simpson 公式计算积分 10 sin dxx xI 的近似值，要求误 差限为 5105.0 。 (12) (5) (10 分 )用 Gauss 列主元消去法解方程组： 2762 3453 2424 321 321 321 xxx xxx xxx (13) (6) (8 分 )求方程组 1 2 5 11 21 31 2 1 x x 的最小二乘解。 (14) (7) (8 分 )已知常微分方程的初值问题： 2)1( 2.11,y xyxdxdy 用改进的 Euler 方法计算 y(.)12 的近似值，取步长 2.0h 。 三 (12 分，在下列 5 个题中至多选做 3 个题 ) (6) (1) (6 分 )求一次数不超过 4 次的多项式 p(x)满足： 151p ， 201 p ， 301 p ， 572 p ， 722 p (7) (2) (6 分 )构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度： 121 1010 fAfAdxxxf 数值试题 9 (8) (3) (6 分 )用幂法求矩 阵 11 110A 的模最大的特征值及其相应的单位特征向 量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05，取特征向量的初始近似值 为 T0,1 。 (9) (4) (6 分 )推导求解常微分方程初值问题 0, yaybxaxyxfxy 的形式为 1101 iiii ffhyy ,i=1,2, ,N 的公式，使其精度尽量高，其中 iii yxff , , ihaxi , i=0,1, ,N, Nabh (10) (5) (6 分 )求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 0,0 ,0 byay bxaxryxqyxpy 所得到的三对角线性方程组。 数值计算方法试题一答案 一、 一、 填空题（每空 1 分，共 17 分） 1、（ 10 ） 2、（ )0,22( )22,0( ） 3、 a =( 3 )， b =（ 3 ）， c =（ 1 ） 4、 ( 1 )、 ( jx )、 ( 324 xx ) 5、 6 、 25.23649452 6!7 7 6、 9 7、 0 8、 1a 9、 2 10、（ 22,22 ）、（ 0iil ） 二、 二、 选择题（每题 2 分） 1、（ (2)） 2、（ 1） 3、（ 1） 4、（ 3） 三、 1、（ 8 分）解： ,1 2xspan 2222 38312519 1111TA 3.730.493.320.19Ty 解方程组 yAACA TT 其中 3 5 2 9 6 0 33 3 9 1 3 3 9 14AA T 7.1799806.173yAT 解得： 0501025.0 9255577.0C 所以 9255577.0a ， 0501025.0b 2、（ 15 分）解： 0 0 1 3 0 2.07 6 8181121)(12 022 efhabfR T )()(2)(2)8( 7 1 k k bfxfafhT 数值试题 10 36787947.0)41686207.047236655.05352614.0 60653066.07788008.08824969.0(21161 6329434.0 四、 1、（ 15 分）解：（ 1） 3 21( 31)( ）xx ， 118.05.1 ）（ ，故收敛； （ 2） xx x 1 12 1)( 2 ， 117.05.1 ）（ ，故收敛； （ 3） 23)( xx ， 15.135.1 2 ）（ ，故发散。 选择（ 1）： 5.10x ， 3572.11 x ， 3309.12 x ， 3259.13 x ， 3249.14 x ， 32476.15 x ， 32472.16 x Steffensen 迭代： kkk kkkk xxx xxxx )(2)( )( 21 11211 )1( 33 3 23 kk kkk xx xxx 计算结果： 5.10x ， 324899.11 x ， 324718.12 x 有加速效果。 2、（ 8 分）解： Jacobi 迭代法： ,3,2,1,0 )24( 4 1 )330( 4 1 )324( 4 1 )( 2 )1( 3 )( 3 )( 1 )1( 2 )( 2 )1( 1 k xx xxx xx kk kkk kk Gauss-Seidel 迭代法： ,3,2,1,0 )24( 4 1 )330( 4 1 )324( 4 1 )1( 2 )1( 3 )( 3 )1( 1 )1( 2 )( 2 )1( 1 k xx xxx xx kk kkk kk 0430 43043 0430 )(1 ULDB J ， 7 9 0 5 6 9.0)410(85)( 或JB 数值试题 11 SOR 迭代法： ,3,2,1,0 )24( 4 )1( )330( 4 )1( )324( 4 )1( )1( 2 )( 3 )1( 3 )( 3 )1( 1 )( 2 )1( 2 )( 2 )( 1 )1( 1 k xxx xxxx xxx kkk kkkk kkk 五、 1、（ 15 分）解：改进的欧拉法： 0 9 5.09 0 5.0),(),(2 1.09.0),( )0( 111 )0( 1 nnnnnnn nnnnn yyxfyxfhyy yyxhfyy 所以 1)1.0( 1 yy ； 经典的四阶龙格 库塔法： ),( ) 2 , 2 ( ) 2 , 2 ( ),( 22 6 34 23 12 1 43211 hkyhxfk k h y h xfk k h y h xfk yxfk kkkk h yy nn nn nn nn nn 04321 kkkk ，所以 1)1.0( 1 yy 。 2、（ 8 分）解：设 )(3 xH 为满足条件 1,0)()( )()( 3 3 ixfxH xfxH ii ii 的 Hermite 插值多项式， 则 21203 )()()()( xxxxkxHxp 代入条件 )()( 22 xfxp 得： 212202 232 )()( )()( xxxx xHxfk 六、（下列 2 题任选一题， 4 分） 1、解：将 32 ,1)( xxxxf 分布代入公式得： 201,301,207,203 DBBA 构造 Hermite 插值多项式 )(3 xH 满足 1,0)()( )()( 3 3 ixfxH xfxH ii ii 其中 1,0 10 xx 则有： 10 3 )()( xSdxxxH ， 22 )4( 3 )1(!4 )()()( xxfxHxf dxxxfdxxSxfxxR 210 3)4(10 )1(!4 )()()()( 1 4 4 0 )(60!4 )()1(!4 )( )4()4(10 23)4( ffdxxxf 2、解： 数值试题 12 )( !3 )( !2 )()()(1()( )( !3 )( !2 )()()( )( !3 )( !2 )()()( )4( 32 32 10 32 11, nnnnn nnnnn nnnnnnhn xyhxyhxyhxyxyh xyhxyhxyhxyxy xyhxyhxyhxyyxyR )()()21661()()1221( )()11()()1( 41312 110 hOxyhxyh xyhxy nn nn 所以 01221 0 01 1 1 10 2 3 0 1 1 0 主项： )(125 3 nxyh 该方法是二阶的。 数值计算方法试题二答案 一、 一、 判断题：（共 10 分，每小题分） 1、（ ） 2、（ ） 3、（ ） 4、（ ） 5、（ ） 6、（ ） 7、（ ） 8、（ ） 二、 二、 填空题：（共 10 分，每小题 2 分） 1、 !89 、 0 2、 _二 _ 3、 _二 _4、 _16 、 90_5、 31,31 6、 = 7、 0 三、 三、 简答题：（ 15 分） 1、 1、 解：迭代函数为 2ln/)4ln()( xx 12ln 124 12ln 14 1)( xx 2、 2、 答： Gauss 消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素 )(kkka 全不为 0，如果 在消元过程中发现某个主元素为 0，即使 0)det( A ，则消元过程将无法进行；其 次，即使主元素不为 0，但若主元素 )(kkka 的绝对值很小，用它作除数，将使该步消 元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度 受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素 )(kkka =0 或 )(kkka 很小的情况发生， 从而不会 使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。 3、 3、 解： )!2()1(!4!21c o s 242 nxxxx nn )!2()1(!4!2c o s1 2142 nxxxx nn )!2()1(!4!21)( 2212 nxxxf nn 四、 四、 解： 1)( xf 显然精确成立； 数值试题 13 xxf )( 时， 11022 2 2 0 hh hhx d xh ； 2)( xxf 时， 1212220023 3223 0 2 h hhhhhhdxxh ； 3)( xxf 时， 30121024 223 4 0 3 hhh hhdxxh ； 4)( xxf 时， 640121025 53245 0 4 hhhhhhdxxh ； 所以，其代数精确度为 3。 五、 五、 证明： 2,1,022 1)(211 kaxaxxaxx kkkkk 故对一切 axk k ,2,1 。 又 1)11(2 1)1(21 21 kk k xaxx 所以 kk xx 1 ，即序列 kx 是单调递减有下界， 从而迭代过程收敛。 六、 六、 解：是。因为 )(xf 在基点 1、 2 处的插值多项式为 )2(12 1)1(21 2)( fxfxxp 30 )2()1(23)( ffdxxp 。其代数精度为 1。 七、 七、 证明：由题意知： rbXAbAX , rAXXrAXXrXXA 11 )( 又 b AXXAAXbbAX 1 所以 b AAc o n d b rAA X XX )( 1 。 八、解：设 )2)(1()()( 2 xxaxxNxH )1)(0(2121)1)(0(2,1,0)0(1,0)0()(2 xxxxxfxffxN 所以 )2)(1()1(2121)( xxaxxxxxH 由 3)0( H 得： 41a 数值试题 14 所以 134541)( 23 xxxxH 令 )()()( xHxfxR ，作辅助函数 )2)(1()()()()( 2 tttxktHtftg 则 )(tg 在 3,0 上也具有 4 阶连续导数且至少有 4 个零点： 21,0, ，xt 反复利用罗尔定理可得： !4)()( )4( fxk ， )0)( )4( g 所以 )2)(1(!4 )()2)(1()()()()( 2 )4(2 xxxfxxxxkxHxfxR 九、 九、 证明：形如 )()()( 1 1 k b a n k k xfAdxxwxf 的高斯（ Gauss）型求积公式具有 最高代数精度 2n+1 次，它对 )(xf 取所有次数不超过 2n+1 次的多项式均精确成立 1） 0)()()()()( 1 1 b a jkijik n i i dxxwxxxxA 2）因为 )(xli 是 n 次多项式，且有 ji jixl ji 10)( 所以 0)()()()()( 1 1 ijik b a n i ijk xlxlAdxxwxlxl ( jk ) 3）取 )()( 2 xlxf i ，代入求积公式：因为 )(2xli 是 2n 次多项式， 所以 iji b a n j ji AxlAdxxwxl 21 1 )()()( 1 1 1 1 2 )()()(n k b a b a n k kk dxxwAdxxwxl 故结论成立。 十、 十、 解： np xx xfxxxf p i p ijj ji i p 0 )( )(, 0 0 10 1)!1( )(, )1(110 nfxxxf nn 数值计算方法试题三答案 一 .(24 分 ) (1) (2 分 ) xxxf 11 (2) (2 分 ) 10 (3) (2 分 ) 12 21 22 xx xx (4) (3 分 ) 3 -3 1 (5) (3 分 ) 477 数值试题 15 (6) (6 分 ) ,1,0,4.02 6.11 1112 2 11 k xx xx kk kk 64.00 6.10 收敛 (7) (4 分 ) 9 91 (8) (2 分 ) h0.2 二 . (64 分 ) (1) (6 分 ) nnn xxx c os1411 ， n=0,1,2, 141s in41 xx 对任意的初值 1,00x ,迭代公式都收敛。 (2) (12 分 ) 用 Newton 插值方法：差分表： 100 121 144 10 11 12 0.0476190 0.0434783 -0.0000941136 115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.7227555 2583 xxf 0 0 1 6 3.0296151 0 08361 1 4 41 1 51 2 11 1 51 0 01 1 5!3 2 5 fR (3) (10 分 )设 xccxcxcx 212211 21212212 2111 , , , ffcc ， 1, 1011 dx ， 21, 1021 xdx ， 31, 10 222 dxx ， 1)e x p (, 101 edxxf ， 1)e x p (, 102 dxxxf 1 13121 211 21 ecc ， 690.18731.021cc , xx 690.18731.0 xeex 618104 =0.873127+1.69031x (4) (10 分 ) 0 . 9 4 6 1 4 5 8 81214061