自动控制原理简明教程第二版课后答案第四章习题答案

胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 1 4-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数 K G(s) = s+1 试用解析法绘出 K从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： （）， （）， （） 解： 有一个极点：（ 1），没有零点。根轨迹如图中红线所示。 （）点在根轨迹上，而（）， （）点不在根轨迹上。 4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数 G(s) = K (3s +1) s(2s +1) 试用解析法绘出开环增益 K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。 解： 系统开环传递函数为 G(s) = 3K /2(s +1/3) = K g (s +1/3) s(s +1/ 2) s(s +1/ 2) 有两个极点：（ 0），（ 1/2），有一个零点（ -1/3， j0）。 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 2 4-3 已知开环零、极点分布如图 4-28 所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图 (要求确定分 离点坐标 d)： 根轨迹如图中红线所示。 图 4-28 开环零、极点分布图 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 3 K (1) G(s) = s(0.2s+1)(0.5s+1) 解： 10K K g 系统开环传递函数为 G(s) = = s(s + 5)(s + 2) s(s + 5)(s + 2) 有三个极点：（ 0），（ 2），（ 5）没有零点。 分离点坐标计算如 下： 1 + 1 + 1 = 2 14d +10 = 0解方程的 d 1 =3.7863， d2 =0.88 0 3d + d d + 2 d + 5 取分离点为 d =0.88 根轨迹如图中红线所示。 （ 2） G(s) = K(s +1) s(2s +1) 解： 系统开环传递函数为 G(s) = K / 2(s +1) = K g (s +1) s(s + 0.5) s(s + 0.5) 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 4 有两个极点：（ 0），（ 0.5），有一个零点（ 1）。 分离点坐标计 算如下： 1 + 1 = 1 d 2 + 2d + 0.5 = 0 解方程的 d 1 =1.7 ， d2 =0.29 d d + 0.5 d +1 取分离点为 d1 =1.7， d2 =0.29 K *(s + 5) (3) G(s) = s(s + 2)(s + 3) 解： K *(s + 5) 系统开环传递函数为 G(s) = s(s + 2)(s + 3) 有三个极点：（ 0），（ 2），（ 2），有一个零点（ 5）。 分离点坐标计算如下： 1 1 1 1 + + = d d + 2 d + 3 d + 5 d 3 +10d 2 + 25d +15 = 0 解方程的 d1 = 6.5171 ， d2 =2.5964， d3 =0.8865 取分离点为 d =0.8865 根轨迹如图中红线所示。 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 5 4-5 已知单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略画出相应的闭环根轨迹图 (要求算出 起始角 pi )： （） G(s) = K(s + 2) (s +1+ j2)(s +1 j2) 解： K(s + 2) K g (s + 2) 系统开环传递函数为 G(s) = (s +1+ j2)(s +1 j2) (s +1+ j2)(s +1 j2) 有两个极点： p1 =（ -1 2）， p2 =（ 1- 2），有一个零点（ 2，）。 起始角： m n pi = (2k +1) + z j pi pi pi k = 0,1,2, j=1 j=1 ( ji) p1 = +z1p1 p2p1 =1800 + 450 900 = 1350 p2 = +z1p2 p1p2 =1800 450 + 900 = 2250 根轨迹如图中红线所示。 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 6 K(s + 20) （） G(s) = 。 s(s +10 + j10)(s +10 j10) 解： K(s + 20) 系统开环传递函数为 G(s) = s(s +10 + j10)(s +10 j10) 有三个极点： p1 =（ 0， j0）， p2 =（ -10 10）， p3 =（ 10- 10），有一个零点 z1 =（ 20，）。 起始角： m n pi = (2k +1) + z j pi pi pi k = 0,1,2, j=1 j=1 ( ji) p1 = 1800 p2 = 1800 +z1p2 p1p2 p3p2 = 1800 + 450 1350 900 = 00 p3 = 1800 +z1p3 p1p3 p2p3 =1800 450 +1350 + 900 = 00 根轨迹如图中红线所示。 根轨迹如图中红线所示。 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 7 4-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求： K (1) 确定 G(s) = 产生纯虚根的开环增益值。 s(s +1)(s +10) 解：系统特征方程为 s3 +11s2 +10s + K* = 0 令 s = j 代入特征方程中得： 实部方程为： K* 11 2 = 0 虚 部方程为： 10 3 = 0 解上 述方程得： 2 = 10 K* = 110 开环增益按一般定义： K = K * /10 =11 (2) 确定 G(s) = 2 (sK+10(s )(+sz+) 20) 产生纯虚根为 1 的值和 K值。 s 解：系统特征方程为 s4 + 30s3 + 200s2 + K*s + K*z = 0 令 s = j1代入特征方程中得： 实部方程为： K*z +1 200 = j 10 Re Im -20 -10 0 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 8 0 虚部方程为： K* 30 = 0 解上述方程得： K* = 30 z =199/30 K （ 3）概略绘出确定 G(s) = 的闭环根轨迹图。（要 s(s +1)(s + 3.5)(s + 3+ j2)(s + 3 j2) 求确定根轨迹的分离点、起始角和与虚轴的交点）。 K 解：系统开环传递函数为 G(s) = s(s +1)(s + 3.5)(s + 3+ j2)(s + 3 j2) 有五个极点： p1 =（ 0， j0）， p2 =（ -1， 0）， p3 =（ 3.5， 0）， p4 =（ 3， 2）， p5 =（ 3， - 2），没有零点。 分离点坐标计算如下： 1 1 1 1 1 + + + + = 0 d d +1 d + 3.5 d + 3.+ j2 d + 3. j2 4d 4 + 35d 3 +111.5d 2 +146d + 45.5 = 0 解方程的 d1 =3.5 ， d2 =0.44 ， d3 =2.4 + j1.265 d4 =2.4 j1.265 取分离点为 d =0.44 起始角： m n pi = (2k +1) + z j pi pi pi k = 0,1,2, 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 9 j=1 j=1 ( ji) p1 =1800 p2 = 00 p3 =1800 p1p3 p2p3 p4p3 p5p3 =1800 146.450 1350 900 75.7 = 930 p4 =1800 p1p4 p2p4 p3p4 p5p3 =1800 +146.450 +1350 + 900 + 75.7 =930 根轨迹如图所示。 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 10 与虚轴的交点：令 s = j 代入特征方程中 s5 +10.5s4 + 43.5s3 + 79.5s2 + 45.5s + K * = 0 得到： 实部方程为： 10.5 4 79.5 2 + K * = 0 虚部方程为： 5 43.5 3 + 45.5 = 0 解 方程得到： 1 = 6.5136 2 =1.0356 ，将 1 = 6.5136 代入实部方程得到 K * 1时的根轨迹和单位 阶跃响应曲线。若取 Kt = 0.5 ，试求出 K =10时的闭环零、极点，并估算系统的动态 系统根轨迹如下图： 分离点坐标计算如下： 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 26 解：（ 1） Kt = 0 时系统的开环传递函数为 K G(s) = s(s +1) 系统的根轨迹如下图： （ 2） 0 1设 Kt = 0.5 则 z = 2 s(s+1) s(s +1) 性能。 R(s) K s(s+1) C(s) 1+ K t s 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 27 系统的根轨迹如下图： （ 3） Kt 1时系统的开环传递函数为 G(s)H(s) = K(1+ Kt s) 此时 G(s)H(s) = K *(s + z) ， z 1设 Kt = 2则 z = 0.5 s(s +1) s(s +1) 系统的根轨迹如下图： 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 28 （ 4）取 Kt = 0.5 ，试求出 K =10时的闭环零、极点，并估算系统的动态性能。 系统的特征方程为： s2 + 6s +10 = 0解方程的 s1 =3+ j ， s2 =3 j 此时闭环 系统没有零点、有一对共轭极点分别为 s1 =3+ j ， s2 =3 j 系统呈现二阶系统特性：阻尼比为 0.948，超调量近似为 1%。自然振荡角频率为 3.16。 4- 19 设控制系统开环传递函数为 G(s) = s 2 (Ks +(2s )(+s1+) 4) 试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同 ? 解：（ 1） 负反馈情况 系统有四个极点， p1 = p2 = (0, j0), p3 = (2, j0), p4 = (4, j0) ，有一个零点 z1 = (1, j0) 系统根轨迹如下图所示： 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 29 系统的特征方程为： s4 + 6s3 +8s2 + K(s +1) = 0 令 s = j 代入特征方程中，得到： 实部方程为： 4 8 2 + K * = 0 虚部方程为： K * 6 3 = 0 解上 述方程得到： K * =12， = 2 所以当 0 K * 12是 系统稳定。 （ 2）正反馈情况 系统是一个零度根轨迹。 系统的特征方程为： s4 + 6s3 +8s2 K(s +1) = 0 系统有四个极点， p1 = p2 = (0, j0), p3 = (2, j0), p4 = (4, j0) ，有一个零点 z1 = (1, j0) 系统根轨迹如下图所示： 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 30 4-20 设控制系统如图 4-31 所示，其中 Gc (s) 为改善系统性能而加入的校正装置。若 Gc (s) 可从 Kt s 、 Kt s2 和 Kt s2 /(s + 20) 三种传递函数任选一种，你选哪一种？为什么？ 10 100 解：（ 1） Gc (s) = Kt s 时系统的开环传递函数为： G(s) = s2 + 10s +10Kt s s + 20 1000 即： G(s) = s(s +10 +10Kt )(s + 20) 此时系统特征方程为： s3 + 30s2 + 200s +1000 +10Kt s(s + 20) = 0 系统等效开环传递函数为： Geq (s) = s3 + 1030Ks3t s+(s 200+ 20s +) 100 所以系统闭环不稳定。 R(s) 100 s+20 C(s) G c ( s ) 10 s(s+10) 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作 31 1000 即： G(s) = s(s +10Kt s +10)(s + 20) 此时系统特征方程为： s3 + 30s2 + 200s +1000 +10Kt s2 (s + 20) = 0 系统等效开环传递函数为： Geq (s) = s3 + 1030Kst s+ 2 (s + 20) 3 200s +100 （ 2 ） G = 时系统的开环传递函数为： ) ( s c 2 s K t 20 100 10 10 10 ) ( 2 2 + + + = s s K s s s t G 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 电三 刘晓峰 制作