各种中值定理习题

题目1证明题 一般 。 使 ， 内 至 少 存 在 一 点 上正值，连续，则在 在 设 b b dx x f dx x f dx x f b a b a x f a a ) ( 2 1 ) ( ) ( ) , ( , ) ( 解答_ 从 而 原 式 成 立 。 又 即 使 在一点 由 根 的 存 在 性 定 理 ， 存 时， 由于 证：令 a a a a a a a x a ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) F( b) (a, 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( , ) ( ) ( ) ( dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dt t f dt t f dt t f dt t f b F dt t f a F x f b a x dt t f dt t f x F b b b b b b b x Q 题目2证明题 一般 。 证明 且 上可导 在 设 2 ) ( 2 ) ( : , 0 ) ( , ) ( , , ) ( a b M dx x f a f M x f b a x f b a 解答_ 。 有 由 定 积 分 的 比 较 定 理 又 则 微 分 中 值 定 理 上满足 在 由假设可知 证明 2 ) ( 2 ) ( ) ( , ) ( ) ( ) , ( M, (x) f x) (a, ) )( ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) , ( , : a b M dx a x M dx x f a x M x f b a x a x f a f x f x f x a x f b a x b a b a 题目16证明题 。 证明： 上 连 续 ， ， 在 设 a a dx x a f x f dx x f a a x f 0 2 0 ) 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( 2 , 0 ) ( 解答_ 。 ，则 令 由于 a a a a a a a a dx x a f x f dt t a f dx x f dx x f dt dx t a x dx x f dx x f dx x f 0 0 0 2 0 2 0 2 0 ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 题目5证明题 。 ； 为正整数，证明： 设 sin ) 2 ( cos ) 1 ( 2 2 kxdx kxdx k 解答_ 。 。 ) 0 2 ( ) 0 2 ( 2 sin 4 1 2 1 2 2 cos 1 sin ) 2 ( ) 0 2 ( ) 0 2 ( 2 sin 4 1 2 1 2 2 cos 1 cos ) 1 ( 2 2 kx k x dx kx kxdx kx k x dx kx kxdx 题目18证明题 一般 。 试证 且 上 有 一 阶 连 续 导 数 在 设 1 ) ( : . 1 ) 0 ( ) 1 ( . 1 , 0 ) ( 2 1 0 dx x f f f x f 解答_ 。 证明 1 1 ) 0 ( ) 1 ( 2 1 0 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 0 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( : 1 0 1 0 1 0 2 2 2 2 f f x f dx dx x f dx x f x f x f x f x f x f 题目3证明题 。 则 上 连 续 ， 在 区 间 若 函 数 ) ( ) ( ) ( , ) ( b a b a dx x a b a f a b dx x f b a x f 解答_ 。 时 时 且 则 作 代 换 1 0 1 0 1 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 0 1 ) ( , ) ( dx x a b a f a b dt t a b a f a b dt a b t a b a f dx x f t a x t b x dt a b dx t a b a x b a 题目21证明题 一般 。 证 明 ： 上 连 续 在 设 函 数 2 0 2 0 ) cos ( 4 1 ) cos ( , 1 , 0 ) ( dx x f dx x f x f 解答_ 。 得证 则 令 在后一积分中 为周期的函数 是以 显然 证 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 0 ) cos ( 4 1 ) cos ( ) cos ( 4 ) cos ( ) cos ( 2 ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) ) cos( ( ) cos ( , ) cos ( ) cos ( 2 ) cos ( 2 ) cos ( ) cos ( : dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dt t f t d t f dx x f t x dx x f dx x f dx x f dx x f x f 题目22证明题 一般 。 ，则 连续，且 在 若函数 0 ) ( ) ( ) ( ) ( x f dt t f x f R x f x a 解答_ 。 已知 常数 考 虑 函 数 有 且 可导 在 连续 在 R x x f c ce a f dt t f a f ce e x f c c x p e x f x f e x f e x f x p R x e x f x p x f x f x f dt t f x f R x R x f R x f x a a x x x x x x x a 0 ) ( 0 0 ) ( 0 ) ( ) ( f(x) ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( 1 题目23证明题 一般 。 证 明 ： 为 周 期 的 连 续 函 数 ， 是以 设 ) ( ) 2 ( ) ( ) (sin ) ( 0 2 0 dx x f x dx x f x x x f 解答_ 。 ，则 令 证明：由于 0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 2 0 ) ( ) 2 ( ) ( ) sin ( ) ( ) (sin ) ( ) (sin ) ( ) sin ( ) ( ) (sin( ) ( ) (sin ) ( ) (sin ) ( ) (sin ) ( ) (sin dx x f x dx x f x x dx x f x x dx x f x x dx x f x x dx x f x x dt t f t t x t dt t f t t dx x f x x dx x f x x 题目24证明题 一般 成立。 都有不等式 对于任何 试证明 上连续且单调递减 在 设 1 0 0 ) ( ) ( , 1 , 0 : , 1 , 0 ) ( dx x f q dx x f q x f q 解答_ 。 故 单 调 递 减 又 即 由于 从而 则 令 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , 1 ) ( ) ( ) ( , , dt t f q dt qt f q dx x f dt t f dt qt f t f qt f x f t qt q dt qt f q qdt qt f dx x f qdt dx qt x q q 题目25证明题 一般 。 证明 且 上 单 调 增 加 在 设 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( : . 0 ) ( . , ) ( b f a f a b dx x f a f a b x f b a x f b a 解答_ 。 有 并 相 加 分 别 代 入 上 式 将 故 又因 之间 与 在 点 处 的 展 式 为 在 时 由 假 设 证明 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 4 ) )( ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( , , , ) )( ( ) ( ) ( . 0 ) ( ) x t ( ) )( ( ! 2 1 ) )( ( ) ( ) ( ) ( . , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . , : 2 a b b f a f dx x f dx x f a b a f b f dx x f x dx x f b a dx x f dx a f b f x f x x f b a x f a f b f a t b t x t x f x f t f f x t f x t x f x f t f x t f b a t a f a b dx x f a f x f a x b a x b a b a b a b a b a b a b a 题目26证明题 一般 。 上单调增 在 证明： ， ， 上连续且单调递增。 ， 在 设函数 . , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( b a x F a f a F b x a dt t f a x x F b a x f x a 解答_ 上单调增。 在 ， ，从而 ，故 满足 且 单调增 上连续，则 在 从而 连续 在点 时， 当 ，由积分中值定理 内的每个 证明：对 , ) ( b) x (a 0 (x) F f(x) ) f( x a . f(x) b x a ) ( ) ( ) )( ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( , ) ( . ) ( ) ( ) ( ) ( lim ) ( lim a a x x) (a ) ( a) - )(x ( 1 ) ( 1 ) ( , 2 2 a x a x b a x F a x f x f a x f a x a x x f dt t f a x a x x f x F b a x F a x F a F a f f x F f f a x dt t f a x x F x b a x a x a Q 题目27证明题 一般 。 证明 上 二 阶 可 导 且 在 设 ) 2 ( ) ( ) ( : , 0 ) ( , ) ( b a f a b dx x f x f b a x f b a 解答_ 。 由 题 设 知 之间 与 介于 有 处展开 在 将 ) 2 ( ) ( ) 2 )( 2 ( 2 1 ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 )( 2 ( ) 2 ( ) ( 0 ) ( .) 2 b a x ( ) 2 )( ( ! 2 1 ) 2 )( 2 ( ) 2 ( ) ( , 2 ) ( ) , ( 2 1 2 b a f a b a b b a x b a f b a f a b dx x f b a x b a f b a f x f f b a x f b a x b a f b a f x f b a x f b a x b a 题目28证明题 一般 。 内 满 足 在 ， 证 明 函 数 可 导 ， 且 上 连 续 ， 在 在 设 0 ) ( ) , ( ) ( ) ( 0 ) ( , , ) ( x F b a dt a x t f x F x f b a b a x f x a 解答_ 。 又 内 递 减 在 ，故 时， 由 已 知 b) (a, 0 ) ( F 0 a - x ) f( ) f( b) (a, x, ) , ( ) ( 0 ) ( ) , ( . ) ( ) ( ) ( a, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 x x x x a b a x f x f b a x a x f x f x a x f a x x f a x a x dt t f x f a x x F x a 题目29证明题 一般 。 ，则 ，使 同 时至 少存 在 一点 ， 上 连续 ， 且 对于 一切 在 试 证： 如 果 0 ) ( 0 ) f( b a, 0 ) ( , , ) ( b a dx x f x f b a x b a x f 解答_ 。 于是 时，有 ，当 则存在 ， 点 连 续 ， 且 在 由 证明 0 ) ( 0 ) ( 2 ) ( ) ( 0 f(x) ) , - ( x 0 b a, 0 ) ( ) ( : b a - b a dx x f f dx f dx x f f x f 题目30证明题 一般 。 试证 ) ( ) ( a c b c b a dx x f dx x c f 解答_ 。 时 时 且 则 令 a c b c b c a c b c a c b a dx x f dt t f dt t f dx x c f b c t b x a c t a x dt dx t c x x c t ) ( ) ( ) )( ( ) ( , , , 题目31证明题 一般 。 ，使 内至 少存在 一点 试证在 上可 微，且 满足等 式： 在 设函数 ) f( - ) ( f ) 1 , 0 ( 0 ) ( 2 ) 1 ( 1 , 0 ) ( 2 1 0 dx x xf f x f 解答_ 。 即 有 上 用 罗 尔 定 理 在 对 函 数 则 令 即 成立 使 有 则 由 积 分 中 值 定 理 由于 ) 1 , 0 ( ) f( - ) ( f ) 1 , 0 ( 0, ) ( ) ( (0,1) ,1) ( , 0 ) ( , 1 , ) ( ); 1 ( ) ( ), ( ) ( 0 ) ( ) 1 ( , 0 ) ( 2 1 2 ) 1 ( , 2 1 , 0 , 0 ) ( 2 ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 f f F x F F F x xf x F f f f f dx x xf f 题目32证明题 一般 。 证明 都有 上 的 连 续 函 数 并 且 对 于 每 一 个 在 上 连 续 在 设 b) x (a 0 ) ( : 0 ) ( ) ( ). ( , , , ) ( x f dx x f x g x g b a b a x f b a 解答_ 。 这 与 题 设 矛 盾 故 且 其中 如下 构 造 连 续 函 数 从而 有 内 即 在 区 间 时 当 存在 故对 连续 处 在 由于 不 妨 设 使 设有 若 不 然 证明 b x a 0 ) ( 0 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( lim ) ( lim ) .x - (x x . 0 ) ( ) .x - (x x ) ( b , (x - x , x 0 ) ( : ) ( 0 2 ) ( ) ( . 2 ) ( ) f(x - f(x) , ) x , - (x , x - x 0. . 2 ) ( , ) ( . 0 ) ( . 0 ) ( ), , ( , : x - x 0 x - x ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x f dx x h x f dx x f x h dx x f x g x h x h x h x h a x g x g x f x f x f x f x x f x f x f b a x b a x x x x 题目33证明题 难 。 则 ， ，且 上有连续导 数 在 设函数 dx x f a b dx x f x f a f x f b a x f b a b a 2 ) ( 2 ) ( ) ( 0 ) ( ( , ) ( 解答_ 。 由柯 西不 等式 ，有 则 令 dx x f a b dx x f x f dx x f a b dx x F dx dx x F b F b F dx x F x F dx x f x f x f a f x f a x t f dt t f x x dt t f x F b a b a b a b a b a b a b a b a x a x a 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F( b a ) ( ) ( 题目34证明题 难 。 ，使 存在一个 ， 则 在 该 区 间 上 必 上 二 阶 连 续 可 微 ， 其 中 在 设 ) ( ) ( ! 3 1 ) ( ) ( ! 2 1 ) ( ) ( ) ( 0 , ) ( 0 3 3 2 2 b a f a b a f a b f b a af b bf dx x f b a b a x f 解答_ 。 于是 使 连续，于是存在 在 由于 令 其中 代入上式，并相减，有 ， ，分别将 令 公式，有 处展成二阶 在 将 ， ，则 令 ) ( ) ( ! 3 1 ) ( ) ( ! 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( max ) ( ), ( min m ) ( ) ( ( ! 3 1 ) ( ) ( ! 2 1 ) ( ) ( ) ( b) (0, (a,0) ) ( ) ( ! 3 1 ) ( ) ( ! 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 x t) (x, ) ( ) ( ! 3 1 ) )( ( 3 1 ) )( ( ! 2 1 ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 3 3 2 2 b a 0 3 3 1 3 2 3 0 3 3 1 3 2 3 0 2 3 1 3 2 3 3 3 2 1 2 1 1 3 2 3 2 2 b a 2 1 1 3 2 3 2 2 0 3 3 3 2 f a b a f a b f b a af b bf dx x f f a b f a f b f a b f a f b b a f a b M f a f b a b m f f M f f f a f b a f a b f b a af b bf dx x f f a f b b f b a f a a af b bf b F a F b t a t f a b t x F t x t F t x t F t F x F Taylor b t a t x x F x f x F x f x F x f x F a F dt t f x F x a 题目35证明题 难 。 则 ， 对 称 ， 且 关于 若 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 b T a b T b a dx x f dx x f dx x f b T a T x x f 解答_ 。 ，则 ，注 意 到 令 证明 ：因 为 b a b T T a b T b T a b T b T b T b T b T T b T T T a b T a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dt t f dt t T f dx x f t f t T f t T x dx x f dx x f dx x f 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( 2 ) ( ) ( ) ( 题目36证明题 难 。 试证 2 2 1 1 1 0 4 2 0 4 dx x x dx x I 解答_ 。 时， 时， ，则 令 时， 时， 当 ，则 令 2 2 ) 2 ( 2 ( 2 2 1 2 / 2 2 1 2 1 2 1 0 1 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 1 0 0 1 1 2 0 2 0 2 2 2 0 4 2 0 4 2 0 4 0 4 2 0 4 2 0 2 4 0 4 2 arctgu du u I u x u x x x u x x x x d dx x x x dx x x dx x x dx x I dx x x dt t t dt t t dx x t x t x dt t dx t x 题目37证明题 难 为奇函数。 偶 函 数 的 原 函 数 中 有 一 数 皆 为 偶 函 数 ， 证 明 奇 函 数 的 一 切 原 函 解答_ 偶函数。 即 它 的 一 切 原 函 数 都 是 ，均有 切 为 奇 函 数 时 ， 显 然 对 一 ，即 当 函数， 则 其 它 原 函 数 都 不 是 奇 时， 但当 是奇函数 即 为 偶 函 数 时 即 当 为 任 意 常 数 的 全 部 原 函 数 可 表 示 为 上 有 定 义 ， 则 在 设 证明： ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( f(x) f(x). f(-x) l x l - c ) ( ) ( ) ( , ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x F c dt t f c dt t f c dt t f x F c x f x f x f x F c x F c c x F c x F c x F x F c x F x F dt t f dt t f dt t f x F c dt t f x F x f l l x f c x x x c c c c x x x x c 题目38证明题 难 内有且仅有一个实根。 在 证明： ，又 上连续，且 在 设 , 0 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 0 ) ( , ) ( b a x F dt t f dt t f x F x f b a x f x b x a 解答_ 内有且仅有一个实根。 ，在 性定理知 由连续函数的根的存在 上严格单调增加。 在 ，从而 , 0 ) ( 0 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( , ) ( 0 2 ) ( 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( 0 1 ) ( 2 ) ( ) 1 ) ( ( 0 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 1 1 b a x F t f dt dt t f dt t f b F t f dt dt t f dt t f a F b a x F x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f dt t f dt t f x F b a b b b a b a a b a a x b x a 题目39证明题 难 。 有 时 当 证明 1 ) ( 1 ) ( , 1 : 1 2 1 2 2 2 a a dx x x a x f dx x x a x f a 解答_ 右式。 左式 即得 将 它 与 第 一 个 积 分 相 加 有 令 在 第 二 个 积 分 中 左式 ， ，则 令 证明 a a a a a a a a a a a a a u du u a u f t dt t a t f u du u a u f du u u u a f du u a a u u u a f t dt t a t f u a t t dt t a t f t dt t a t f dt t t a t f dt t t t a t f dx x x a x f dt t dx xdx dt t x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 1 )( ( 2 1 ) 1 ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 , , ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 2 1 2 : 2 2 2 2 题目40证明题 难 。 则： ， 连 续 ， 且 在 若 函 数 A dt t f x A x f x f x x x 0 ) ( 1 lim ) ( lim , 0 ) ( 解答_ 。 即 其中 ，有 从而，对 ，有 ，使 A dt A x dt A t f x dt t f x dt t f x A x B A dt A x dt A t f x dt A t f x dt A t f x dt t f x dt A x dt A t f x dt t f x dt t f dt t f x dt t f x A x f x B x x B x B x x x x x B x x B x x B x B B x x B x B B x B B x x 1 lim ) ( 1 lim ) ( 1 lim ) ( 1 lim ) 1 ( lim 1 lim 0 ) ( 1 lim ) x B - (1 ) ( 1 ) ( 1 0 ) ( 1 lim 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ) ( ) ( ( 1 ) ( 1 B x A - f(x) B x 0 B 0. ) ( lim 0 0 0 0 0 0 题目41证明题 难 。 则 若 证明 b a, x 0 ) ( 0 ) ( : 2 x f dx x f b a 解答_ 。 上 知在 上 的 连 续 性 在 再 根 据 已 知 条 件 故 使 内 不 能 有 点 即 说 明 在 这 与 假 设 条 件 矛 盾 于是 且 使 的 一 个 小 区 间 存 在 含 有 点 的 连 续 性 可 知 由 则有 使 若有 证明 0 ) ( , , , , ) ( . ). , ( 0 ) ( , 0 ) ( , ) , ( ! 0 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , - x 2 ) ( , , , - , , - , f(x) 0 ) ( f 0, ) f( b),. (a, : 2 b 2 2 - 2 2 2 2 x f b a b a x f b a x x f f b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f x f b a a b a 题目42证明题 难 。 证明： 上连续， 在 设函数 b) x (a ) ( ) ( ) ( ) ( 1 lim , ) ( 0 a f x f dt t f h t f h b a x f x a n 解答_ 。 之间 在 之间， 在 其中 故 则 设 证明 。 则 设 证明 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 lim ) ( ) ( 1 lim , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u, h t : 2 f(a) - f(x) (a) - (x) (a) h) (a - (x) - h) (x 1 lim (a) (x) - h) (a - h) (x 1 lim ) ( ) ( 1 lim f(x) (x) ) ( (x) : 1 2 1 0 0 2 1 2 1 h a a h x x x h x h x h a h a a h x h a x a h x h a h x h a x a 0 0 0 a f x f f f h dt t f h t f h h a a h x x h f h f dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f h t f dt t f du u f dt h t f h h h dt t f h t f h dt t f n x a n n n x a n x a 题目43证明题 难 。 证明 为 任 一 连 续 函 数 又 且 处 处 二 阶 可 导 设 0) (a ) ( 1 ) ( 1 : , ) ( 0 ) ( , ) ( 0 0 dt t u a f dt t u f a t u x f x f a a 解答_ 。 有 积分 到 从 则 令 有 公式 由 证明 ) ( 1 ) ( 1 0) (a ) ) ( 1 ( ) ( ) ( ) ) ( 1 ( ) ) ( 1 ( ) ( , a 0 ) ) ( a 1 - (u(t) ) ( a 1 f ) ) ( a 1 f( f(u(t) u(t) x ) ( 1 ) )( ( ) ( f(x) 0 (x) f x) , (x . ) )( ( ! 2 1 ) )( ( ) ( ) ( , : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 dt t u a f dt t u f a dt t u a af dt t u dt t u dt t u a f dt t u a af dt t u dt t u dt t u dt t u dt t u a x x x x f x f x x f x x x f x f x f Taylor b a b a a a a a a a a a a a 题目44证明题 难 。 收敛 ，则 且无 穷积 分 一致 连续 ， 在 证明 ：若 函 数 0 ) ( lim ) ( ) , 0 ) ( 0 x f dx x f x f x 解答_ 。 这 与 已 知 条 件 矛 盾 发 散 ， 定 叙 述 根 据 柯 西 收 敛 准 则 的 否 有 ， 于 是 存 在 正 常 数 或 从而 ， ，有 ，则 若 从而 ， 式，有 ，由 ，则 若 ，矛盾 异 号 ， 则 有 与 必 同 号 ， 否 则 若 与 ， 有 ， 从而 ，有 ， 、 使 ， 上 一 致 连 续 ， 即 对 在 已知 ，有 ，且 从 而 ， 存 在 数 列 ，有 ， ， ，则 设 0 ) ( lim ! ) ( , 2 ) ( , 0 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( ) 1 ( 0 ) ( 0 ) ( ! ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , (1) 2 2 ) ( ) ( | ) ( | ) ( | 2 ) ( ) ( , , 2 ) ( ) ( , ) , 0 , 0 2 ) , 0 ) ( ) f(x lim ) f(x n N n 0 0 ) ( lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n 0 n 0 x f dx x f dx x f N n dx x f dx dx x f x f x f x f dx dx x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x f x f x f x f x f x f x x x x x x f x f x x a x x x f x x x x f x x x x x x x x x n x x x x n n n n n n n n n n n n n n n n n x n n n n n n n n n n n n 2003 年12月02日 - 4 - 3 微积分在积分不等式中的应用 不等式是数量之间大小的比较，而通过比较可以显示出变量变化之间相互 制约的关系因此，从某种意义上来讲, 积分不等式也不例外.在数学分析中积分比等式的尤为重要许多的积分不等式 在数学分析中都起到了至关重要的作用所以对积分不等式的研究无论是实际 应用，还是理论分析都有重要的意义 3.1 微分证明积分不等式 微分在积分不等式中的应用主要是利用微分中值定理、泰勒公式、函数的单调 性、极值、最值、凸函数法等来证明积分不等式以下对这些方法分别做详细 的介绍. 3.1.1 Lagrange中值定理证明积分不等式 引理3.1.1.1 10 (Lagrange中值定理) 如果函数 ，满足下列条件: ) (x f y (1)在闭区间 上连续； b a, (2)在开区间 内可导， ) , ( b a 则在区间 内至少存在一点 ，使得 ) , ( b a a b a f b f f ) ( ) ( ) ( 由于 在 b a, 之间，因此 ) ( f 将有一个取值范围，即 a b a f b f f ) ( ) ( ) ( 有 一个取值范围，这样就得到了一个不等式因此，可利用 在区间 ) , ( b a 内的特 点证明积分不等式 例3.1.1.1 若函数 ) (x f 在 b a, 上具有连续的导数，且 0 ) ( ) ( b f a f .试证 明 dx x f a b x f b a b a x ) ( ) ( 4 ) ( max 2 , . 证 由于 dx x f dx x f dx x f b b a b a a b a 2 2 ) ( ) ( ) ( ， 记 )