电磁场与电磁波习题答案

电磁场与电磁波课后习题答案对应教材：电磁场与电磁波 沈熙宁 编著 科学出版社 北京答案编辑：中国地质大学（武汉） 程正喜 2015年6月1日1.1 在直角坐标系中，求点P（-3，1，4）到点P（2，-2，3）的距离矢量R 及R 和 xe 、 ye 、ze 间的夹角。【考点分析】 空间向量与各个坐标轴夹角余弦的计算。【解题过程】 设R 矢量与x轴、y轴、z轴的夹角分别为、。R = rr = zyxzyxzyx e-e-e)eee(-)ee-e( 3543322 R = 222 1)(3)(5 = 35因为 355RRcos X ， 353RRcos y ， 351RRcos z 所以 。32.31)355arccos( ， 。120.47)353arccos(- 。99.73)351arccos(- 。1-3 在球坐标系中，求点M )3,3,6( 与点N )0,3,4( 之间的距离。 【考点分析】 球坐标和直角坐标之间的转换。【解题过程】 在直角坐标系中，M、N的坐标可以表示为 0cosrz 29sinsinry 233cossinrxM 111 1111 1111 ， 2cosrz 0sinsinry 32cossinrxN 222 2222 2222所以 |MN|= 221221221 )z-z()y-y()x-x( = 22。1-7 判断以下矢量场F是否为均匀矢量场 （1） F = 211 cosFsin FF z eee ， 1F、 2F 均为常数（2） F = cba eee r ， a，b，c均为常数 【考点分析】 坐标系之间的转换以及均匀场的判断。【解题过程】 均匀矢量场的定义是：在场中所有点上，模处处相等，方向彼此平行。只要这两个条件中有一个不符合就称为非均匀矢量场。（1）由 sincos yx eee ， cossin yx eee ， zz ee 可得 ： zy eeF 21 FF ， 212 12221 CFFarctan CFFF ,(其中 1C 、 2C 为常数)所以该矢量场是均匀场。（2）由 cossinsincossin zyxr eeee ， cossin yx eee sincososcosos zyx eeee 可得 ： )sincos()cossincossinsin()sincoscoscossin( bacbacba zyx eeeF F的方向随 、 的变化而变化，所以该矢量场是非均匀场。1-10 求标量场 yzxu 2 在点P（2，3，1）处的梯度及沿 543 zyx eee l 方向的方向导数，并求u在P点方向导数的最大值和最小值及对应的方向。【考点分析】 梯度及方向导数的考查。【解题过程】 由 12|2xyz|xu PP ， 4|zx|yu P2P ， 12|yx|zu P2P 求得 zyx eeeG 12412 ，又因为 503543 3cos 222 ，504543 4cos 222 ， 505543 5cos 222 所以沿l方向的方向导数为 5 2565055504450312|u P l ，方向导数在P点的最大值为 19412412)|u( 222maxP GL ，方向为G 方向；方向导数在P点的最小值为 194)|u( minP GL ，方向为 G 方向。 1-15 在r=1和r=2两个球面之间的区域中的矢量场 3 2cosr reD ，验证散度定理。【考点分析】 散度定理公式： Vs dvDsdD ，S为r=1和r=2围成的两个球面。 【解题过程】 球面的面积微元 rdrddrdrddr eeesd r sinsin2 ，又 2ss sdDsdDsdD 1 s ，其中 21 s和s 分别为r=1和r=2的球面，方向相反，可得： 2sincossincos 20 2 0 210 2 0 2 rrs ddrddrsdD ，由于 422322 cos)rrcos(r1 rr D ，其中 20,0,21 r ，所以： -drdd sinr)cos(V 221 0 2 0 42 rv dD 所以， V DdVs sdD ，散度定理成立。1-18 在 0z 的平面上，由圆 922 yx 及 30 x 和 30 y 所围成的区域，对矢量场xxy 2yx eeA ，验证斯托克斯定理。【考点分析】 斯托克斯定理公式： sl l sdAdA 【解题过程】 zzyx ex）2（02xxy zyx eeeA 30 20 2 ddcos2sdA ）（s )21(9d03 cos320 32 ）（OM段： 0xydxd 0y ll lA ，ON段： 02xdyd 0 xll lA ，MN段： )21(9)2(d ll xdyxydxlA ， （将直角坐标转换成柱坐标计算） 所以， sl l sdAdA ，斯托克斯定理成立。 MNO 1-19 求矢量场 x)z(yz)y(xy)x(z zyx eeeA 在点M（1，2，3）处沿zyx eee 22 l 方向的环量面密度。【考点分析】 旋度及环量面密度的考查。【解题过程】 zyx eee 345x)z-(yz)y(xy)x(z zyx eeeA zyx M zyx eee 22 l 方向的方向余弦为： 31cos ， 32cos ， 32cos 所以： 319323324315R mn 2-1 一个半径为a的球体内均匀分布总电量为Q的电荷，球体以角速度绕一个直径旋转，求球体内的电流密度J。【考点分析】 求解某点的电流密度J问题。公式： i iiJ 。【解题过程】 以球心为坐标原点，转轴为Z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为，则P点的线速度为： rsiner 球内的体电荷密度为： 343 aQ所以： sinr343rsin3a43Q aQ eeJ 2-4 在球坐标中，电流密度为 )/(10 25.1 mAr reJ 求：（1）通过半径r=1mm的球面的电流大小。（2）在半径r=1mm处，电荷体密度的时间变化率。（3）在半径r=1mm的球体内，总电荷的增加率。【考点分析】 考点1：由电流密度J求解电流I，公式为 sdJs I ；考点2：电流连续性方程， tJ ；考点3：电荷守恒定律。【解题过程】 （1）根据 sdJs I 可得： Ar mmr 97.340sininrr10002I 15.021.5 （2）根据电流连续性方程知： t J ， 所以 38001.02.51mmr0.5122 A/m101.585r)(10rrr )r(r1t rmmrrAJ（3）根据电荷守恒定律知：单位时间内通过闭合曲面流出的总电荷量等于单位时间内体V中电荷的减少量为： 3.97AIdvt sV sdJ 。2-8 一种金属导体，电导率 mS/105 7 ，相对介电常数 1r ，若导体中的传导电流密 度为 )/)(22.3(1.117sin10 26 mAzt xeJ 求位移电流密度 dJ 。【考点分析】 位移电流密度的求解，公式 tDJd 。【习题解答】 由 EJ 可得： )z)(A/m3.22tsin117.1(0.02 2 xeJ1E 再由 ED r0 可得： )z)(A/m3.22tsin117.1(e0.0210361 2x9 ED r0所以：位移电流密度 )z)(A/m3.22tcos117.1(106.68 211 tDJd 。 2-17 一段两端用导体封闭的同轴线，所有导体的电导率 。同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，长为l，内外导体间为空气，若已知内外导体间的磁场为tkzH coscos0eH 内外导体的轴线为z轴，两端面分别位于 0z 和 lz 处，求：（1）E 和k；（2）内外导体间的总位移电流。【考点分析】 考点1： tDH 和 tBE ； 考点2：位移电流密度 tDJd ，总位移电流 s sdJd dI 。【解题过程】 （1） tsinkzcoskHHHH z eee1 0Z z eH ，根据 tDH 可得： tsinkzsinkHdt 0 eHD tsinkzsinkH1 000 eDE 由时变电场为题目给出的磁场的漩涡源得： tsinkzcoskHEEE z 1 020Z z eeeeE ，根据 tBE 可得： tsinkzcoskHdt 020 eEB 002 200 kcoskzcoswtH1 eBH 解得： 00k 。（2）位移电流密度 tsinkzcoskH0 d etDJ sdesdJ tsinkzcoskH0s dI ，柱坐标系中 dzd esd ， 所以总位移电流 )cos1(cosH2dztdksinkzcosH0201 00 ttId 。 2-19 半径为a的导体球壳外充满了介电常数为，电导率为的均匀导电媒质。设t=0时，导体球壳上均匀分布着总量为 0q 的电荷，而导电媒质中无电荷分布。（1）求任意时刻t，导电媒质中的E 和J。（2）如果 mS/10 ， 02 ，求导体球壳上的电荷减少到 1000/0q 时所需的时间。【考点分析】 驰豫现象，教材第67页。【解题过程】 （1）t=0时，导体煤质中无电荷分布，故t0的任意时刻，导体煤质中仍无电荷分布。设t时刻导体球壳上的电荷为q（t），取半径为r（ra）的高斯面，则：)(tqs sdD a)(r4 )( 2 reD rtq 所以电场： reDE 24 )(1 rtq ， 电流 reEJ 24 )(rtq ，由连续方程得： q(t)J4dtdq(t) 2 rs sdJ 根据初始条件解微分方程得： t0eqq(t) ，代入上面的式子可得到：电场强度 terq 204reE ， 电流面密度 terq 204reJ ；（2）由 1000/)( 0qtq 可知：10001e t )(101.22ln1010 108.852ln10t 113123 s 3-5 有一个半径为a的球形电荷分布，球内外的介电常数均为 0 ，已知球体内的电场强度为)0)(/(90 3 armVr reE 。求：（1）球体内电荷体密度；（2）球体外的电场强度。【考点分析】 高斯定理。【解题过程】 （1）球体内，即ra）的球面作为高斯面 ，根据 Vdvs sdD 可得： 50222 0 0 0 020 a904sin450Er4 ddrdrrar 2 5r90aE ，则 reE 2 5r90a 。 3-10 三个同心导体球壳的半径分别为 )( 321321 rrrrrr 、 ，已知球壳2上的电荷面密度为2 ，内球壳1的电位 1等于外球壳3的电位 3 。试求：（1）球壳2与内、外球壳之间的电场强度；（2）内球壳1表面及外球壳3的内表面上的电荷面密度 1 和 3 。【考点分析】 高斯定理，电场强度与电位之间的关系。【解题过程】 （1）根据 V DdVs sdD 可得：)rr(r )rr(r444 44 32 212221212302 1211202 rrEr rEr 由 31 可得： 0drrdrr 2312 ll 2312 EE ，即有： 0dr rrrrdr rrr 20 1212222320 12112 ll解得： )r(r)r(rr )r(rr 12131 2321 ， )rr(r,)rr(r )r(rrr )rr(r,)rr(r )r(rrr 3222130 1232 2122130 2321r23 r12 eE eE （2）根据导体与电介质的界面上的边界条件 23Den ，此处 rn ee ， 23023 ED ，所以 3230r Ee ，当r=r 3时，可解得 )r(r,)r(rr )r(rr )r(r,)r(rr )r(rr 32133 1223 12131 2321 。3-27 同轴电容器的内导体外半径为a，外导体的内半径为b，在内外导体间， 00 的部分填充介电常数为的均匀介质，而在其他部分为空气。求同轴电容器单位长度的电容。【考点分析】 填充不同介质的同轴电容器电容的计算。【解题过程】 设内外导体单位长度带电量分别为q和-q，据 qs sdD 可得：q)rE(2 000 )r(2 qE 000 ，abln)(2 qEdrabU 000 abln )(2UqC 000 。 5-2 一平行于yoz面，且对称于此平面放置的，厚度为d的无限大导体平板中。载有均匀分布的恒定电流，电流密度为 0JzeJ 。如下图所示，用安培环路定理求导体板内外的磁感应强度B 。（设内外的磁导率均为 0 ） 【考点分析】 安培环路定理。【解题过程】 由安培环路定理的积分形式有： lHlHdlHdllll zyyyy eKeeeeH 2dHcddH)(abd 21212121c 2KH ，因而得： 200 KHB ， 即 0,2K 0x,2K 00 xyyeeB ，此时可将体电流分布看成无限多个平行于yoz面的，厚度为dx，面电流密度为 0dxJzeK 的无限大平面的集合，每一个平面电流所产生的磁感应强度以上已经求得。所以可得： 在 2/dx 区域内： 22 0022 00 dJdxJB dd yyy eeeB ，在 2/dx 区域内： 22 0022 00 dJdxJB dd yyy eeeB ，在 2/2/ dxd 区域内： xJdxJdxJB dyyd 002 002 00 22 yyyy eeeeB 。5-6 下面的矢量函数中，哪些可以代表磁感应强度？如果可以表示磁感应强度，求电流密度。（1） axay yx eeB )(（2） ayax yx eeB （3） aeB （4） areB 【考点分析】 恒定磁场的基本性质的考查。【解题过程】 根据恒定磁场的基本性质，满足 0 B 的矢量函数才可能是磁感应强度，否则不是磁场的常矢量。若是磁场的场矢量，则可由 HJ 求出电流密度。（1） 0(ax)yay)(x B ，它是磁感应强度；z0 eBHJ 2a10axay zyx eee 0zyx 。 （2） 0(-ay)y(ax)x B ，它是磁感应强度；00ay-ax zyx eee zyx 0BHJ 。（3） 0a2)(1 BB ，它不是磁感应强度。（4） 0(ar)rsin1 B ，它是磁感应强度； 02r 2aarctanasinar00 r ersinere r0 eeBHJ 。6-1 已知在空气中 )106cos()10sin(1.0 9 ztx yeE ，（1）利用波动方程求； （2）求H 。【考点分析】 波动方程。【解题过程】 （1）电场E 应满足波动方程 0t- 2002 EE ，又 yEyeE ，代入得：0)106cos10sin10400-(100tEzExE 92222y2002y22y2 zt(x)(.)- ， 所以解得： 54.41rad/m300 。 （2）由 t0 HE 可得： xEzE1 yy0 zx0 eeE1tH ，对上面得公式对时间t求积分可得： )106sin()10cos(1061 990 ztxdt zeEH )106cos()10sin(1061.0 99 ztx xe )/)(106sin()10cos(1033.1)106cos()10sin(103.2 9494 mAztxztx z eex 6-4 将下列场矢量做瞬时值与复矢量间的变换。（1） )cos(3)sin( 00 kztEkztE yx eeE （2） )6cos(3sin 00 tEtExeE （3） jkzej )( yx eeH （4） sin0 jkzeHj yeH 【考点分析】 场矢量得瞬时值表示与复矢量表示之间的变换。【解题过程】 （1） kz)tcos(3E)2kztcos(E 00 yx eeE jkz02jjkz0 e3EeeE yx ee )(eE jkz0 yx e3e j （2） )6tcos(3E)2tcos(E 00 xeE ee3EeE 6jjkz02j0 xe j)3(32E0 xe（3） -jkz-jkz eje yx eeH )2kztcos(kz)tcos( yx ee kz)tsin(kz)tcos( yx ee （4） jkzsin-02j eHe yeH )2kzsintcos(H 0 ye )kz(H sinsin0 ye 6-10 在球坐标系中，已知电磁场为： )/)(cos(sin 00 mVrktrE eE )/)(cos(sin 000 mArktrE eH 式中 0E 、 0 、 0k 均为常数。试计算通过以原点为球心， 0r 为半径的球面S的总平均功率。【考点分析】 坡印亭矢量的计算。【解题过程】 瞬时坡印亭矢量 r)kt(cossin 02220 r0r EeHES ， srr drrddrdrddrtP )sinsin()( 2 0 eeeSsdS rs )(cos38)(cossin 0020 2000220 0 3020 rktErktddE 所以： )/(901203434)dtrk(wtcos0TT34P(t)dt0TT1P 220200 200020 20av mWEEEE 6-11 在真空中的电磁场为 ： )/(sin0 mVkzjExeE )/(sin 000 mAkzEy eH 式中 ,2k 为波长。求 4/,8/,0 z 各点的坡印亭矢量的瞬时值和平均值。【考点分析】 坡印亭矢量的瞬时值和平均值的计算。【解题过程】 E为复数表达式，所求矢量坡印亭矢量kzkzjc cossin21 002* z0 e2E)HE(S )2sin2kz(k4Ej 0020 ze（1） 0z 时， 0S ， 0)Re( cav SS ；（2） 8/z 时， tsin24E 0020 ze-S ， 0)Re( cav SS ； （3） 4/z 时， 0S ， 0)Re( cav SS 。【说明】 此题也可以先算出实数表示的坡印亭矢量 HES ，再进行计算，讨论。 7-1 已知真空中传播的平面波电场为 )/)(2cos(100 mVzt xeE ，试求此平面波的波长、频率、相速、波阻抗、磁场强度和平均功率流密度矢量。【考点分析】 平面波的传播特性的分析计算。【解题过程】 因为 )/)(2cos(100 mVzt xeE 所以 2k ，相位常数 00k 00k 。（1）波长： 1m22k2 （2）频率： 12f ，真空中 zH1031f 800 （3）相速： m/s1032k 8p （4）波阻抗： 377120 00 （5）磁场强度：据 EeH z 1 得： z)(A/m)t10(30.265cos2 8 yeH （6）平均功率流密度矢量： )/(25.132Ee)HE21Re()SRe(S 220z*cav mWze 7-4 在自由空间传播的均匀平面波的电场 z)(V/m)ccos(0.1Ex t 式中 001 c 为真空中的光速。求：（1）瞬时功率流密度矢量S；（2） 8/,0 zt 处的瞬时功率流密度；（3）平均功率流密度矢量 avS 。【考点分析】 坡印亭矢量等的计算。【解题过程】 由题意知： z)(V/m)ccos(0.1Ex txx eeE （1） z)(A/m)ctcos(12001 yz eEe1H 所以 )z)(W/mc(cos120001 22 tzeHES 。 （2） 8/,0 zt 时， )c8(-cos120001 2 zeS 因为 fc ， 2f 2c 4c8- 所以 )/(101.326102.410 255 mWzz eeS 。（3） )/(10326.12E)21Re()Re( 2520 mWzz*cav eeHESS 。7-5 在自由空间中，某平面波的波长为0.2m，当波进入到某理想介质后，波长变为0.09m。设理想介质的 1r ，求其 r 及平面波在其中的波速 p 。【考点分析】 同一个波在不同介质间传播时传播特性的变化。 【解题过程】 0r0rr 22k2 （1） rrr 0.090.2 ，其中 1r 4.93881400)0.090.2( 2r （2） )/(101.350.20.09cc 8rp sm 。7-11 均平面波在无损介质中传播，在某点处的复矢量为 )/(24 mkVzyx eeeE ，)/(3186 mAzyx eeeH ，求： （1）波的平均功率流密度及波传播方向的单位矢量。（2）设 rr ,1 为多少？【考点分析】 波的平均功率流密度及波矢量的计算。【习题解答】 （1） HEHES *av 21)21Re( )782433(213186 21421 zyxzyx eeeeee )/(44782433)(21 2222 mkW 传播方向的单位矢量： zyxzyx zyxavav eeeeee eeeSSe 0.8860.2730.375)782433(21 )782433(21 （2）考虑波阻抗 3691000213)(186 100021)(4 222 222 HE 因为 3691000211120 r00rr 所以 2.52.497100021 )(120 22r 。7-14 设真空中一平面波的波矢量： )/(22 mrad)ee(k yx 电场强度振幅 )/(33 mVEm ，z方向线极化，求：（1）电场强度 t),r(E ； （2）磁场强度 t),r(H 。【考点分析】 平面波的线极化。【解题过程】 （1）因为 rkEE j0 e ，且 22)ee(k yx ，zyx zyx eeer ， z0z0 eEeE 33所以 y)22x22cos(e33e33 zy)22x22j( t zeE 真空中： m/s103c 8 ， )/(1023ckvk 8p srad 所以 y)22x22t1023cos(33 8 zet)(r,E （2）设n为k的单位方向向量 )(222 2222 yxyx eeeekkn y)(A/m)22x22t1023)cos(8061 8 yx eeEnH 。 7-20 证明电磁波在良导体中传播时，每经过一个波长，场强衰减55dB。【考点分析】 导电媒质中均匀平面波的传播特性。【解题过程】 良导体中 2r ，其中为衰减常数，为相位常数不妨取 100r ，经过一个周期后： ll 0 001 eEeEEE ，衰减量 lll 8.686(lge)20lgeEE20lgL 01 ，其中 22 l ，所以 55dB54.588.686L 。 7-26 判断下列各式表示的均匀平面波的极化状态：（1） jkzmjkzm eEejE yx eeE （2） )cos()sin( kztEkztE mm yx eeE （3） )4cos()4sin( kztEkztE mm yx eeE （4） )cos(2)sin( kztEkztE mm yx eeE （5） jzy ejj )2()21( eeE x （6） )2(52 yxjyy ejj eeeE x （7） )4106cos()34()4106sin()43( 88 ztEzt myxy eeeeE x 【考点分析】 三种极化状态的判断（线极化、圆极化、椭圆极化）。【解题过程】（1） 0yx ， mymxm EEE ，故为线极化，沿Z负方向传播；（2） kz)cos(E)2kzcos(E mm tt yx eeE ， mymxm EEE 2yx ，所以它是左旋圆极化，且沿z轴正方向传播；（3） )4kzcos(E)4kzsin(E