自动控制原理第七章习题答案

701 第七章 线性离散系统的分析与校正 7-1 试根据定义 0 )()( n n T senTesE 确定下列函数的 )(sE 和闭合形式的 )(zE ： tte sin)( ； )()( 1)( csbsassE ， ba ， ca ， cb 。 解： Tsez ； )()s in ()( 0 zEenTsE n n Ts ； 1)c o s (2 )s i n (2 12 1)( 20 zTz zTez zez zjeeejzE TjTjn n Tsjw n Tjw n T 。 )()( 1)()( 1)()( 1)( cscbcabsbcbaasacabsE ； 000 )( 1)( 1)( 1)( n n Tsc n Tn n TsbnTn n TsanT eecbcaeebcbaeeacabsE ； )()()()()()()( cTbTaT ezcbca zezbcba zezacab zzE ； 记 )()( cbcaba ， bak 1 ， cak 2 ， cbk 3 ； )()( )()()( )(3)(2)(12321 cTbTaT TcbTcaTbaaTbTcT ezezez zekekekzekekekzE 。 7-2 采样周期为 T ，试求下列函数的 Z 变换： nanTe )( ； tette 32)( ； 3!31)( tte ； 21)( sssE ； )1(1)( 2 ss esE sT 。 解：求解和小题可应用 Z 变换的偏微分定理或乘以时间变量的函数的 Z 变换： 偏微分定理 已知函数 ),( atf 的 Z 变换为 ),( azF ， a 是与 t 及 Z 无关的变量或常数，则： ),(),( azFaatfaZ 。 证明：由 Z 变换的定义及等 值变换进行证明得， ),(),(),(),( 00 azFazanTfazanTfaatfaZ n nn n 。 702 乘以时间变量的函数的 Z 变换 已知函数 )(tf 的 Z 变换为 )(zF ，则： )()( zFzddzTtftZ 。 证明：由 Z 变换的定义及等值变换进行证明得， )()()()()( 000 zFzd dzTznTfzd dzTznTfzd dzTznTfnTtftZ n nn nn n 。 az zzE )( ； 解 1：因 tata e aet 2 22 及 Tt ez zeZ 33 ，得到 33 332 )( )()( T TT ez ezzeTzE 。 解 2： 33 332 2333 )( )()()( T TT TTT ez ezzeTez zTezd dzTez zzd dzTzd dzTzE 。 解 1：因 tae at 3 33 ， 0a ；即 4 23 3 3 )1( )14(!3!31)( z zzzTez zazE aT 。 解 2： 4 23 )1( )14(!31!3)( z zzzTz zzddzTzddzTzddzTzE 。 2022 )1( )1(1)( z Tzzez zsssszE sTs ；或 22 )1(111)( z zTz zsZsZzE 。 )1( )(1()1()1( 1)( 1012 zez zezs zszssZzE TsTs )(1( )1(1)1( T TT ezz eTzeT 。 7-3 试用部分分式法、幂级数 (长除 )法和反演积分 (留数计算 )法，求下列函数的 Z 反变换： )2)(1( 10)( zz zzE ； 21 121 3)( zz zzE 。 解： 部分分式法 1210)( z zz zzE ， )12(10)( nnTe ， 0n ； 1)1( 2)( 2 2 z zzT zTzE ， 32)( nnTe ， 0n ； 幂级数 (长除 )法 )12(8301031 10)( 321 21 1 nn zzzzzz zzE ， )12(10)( nnTe ， 0n ； nznzzzzz zzE )32(975321 3)( 321 21 1， 32)( nnTe ， 0n ； 反演积分 (留数计算 )法 703 )12(10 210110)( 12 nz n z n z zz znTe ； 32)1(3)3()( 11112 nznznzzzzd dnTe znnzn 。 7-4 试求下列函数的脉冲序列 )(te ： )13)(1()( 2 zz zzE ； 2)5.0)(1()( zz zzE 。 解：采用留数计算法， 采样周期为 T 。 jz n jz n z n jzz zjzz zz zte 3312 )3)(1()3)(1(13)( ； )33()33()1(35.0)1(25.0)( 2/12/12/ jjjnTe nnnn ；以下 0k 为整数。 )931(25.0)4( kkTe ； )193(25.0)4( kTkTe ； )3/91(25.0)24( kTkTe ； )3/91(25.0)34( kTkTe ； 5.0 1 5.012 25.2 )1(25.2 11)5.0()( z nn z n z n zzzn z zzd dz znTe .0,)5.0)(13(194)5.0()5.0)(1(194 1 nnnn nnn 7-5 试确定下列函数的终值： 21 1 )1()( zzTzE ； )1.0)(8.0()( 2 zz zzE 。 解： nTnte )( ， )(lim nTen ； 0 )1.0)(8.0( )1(lim)(lim 21 1 zz zzte zt 。 7-6 采样周期为 T ，已知 )()( teZzE ，试证明下列关系成立： )()( azEnTeaZ n ； )()( zE zddTztteZ 。 证明： )()()()( 00 a zEaznTeznTeanTeaZ n n n nnn 。 )()()()()( 00 tteZznTenTznTezd dTzzEzd dTz n n n n 。 7-7 已知差分方 程为 0)2()1(4)( kckckc ， 初始条件： 0)0( c ， 1)1( c 。试用迭代法求输出序列 )(kc ， 4,3,2,1,0k 。 704 解： )2()1(4)( kckckc ， 2k ； 输出序列 )(kc ： 0， 1， 4， 12， 36 。 7-8 试用 Z 变换法求解下列差分方程： )()(8)(6)2( trtcTtcTtc ， )(1)( ttr ， )0(0)( ttc ； )()()(2)2( trtcTtcTtc ， 0)()0( cc ， ),2,1,0()( nnnTr ； 0)(6)1(11)2(6)3( kckckckc ， 1)1()0( cc ， 0)2( c ； 2c o s)(6)1(5)2( kkckckc ， 0)1()0( cc 。 解： )()(8)1(6)2( krkckckc ， 0)1()0( cc ； )4(6)2(2)1(31)4)(2( 1)( z zz zz zz zzzzC ； )4232(61)( nnntc ， 0n 。 )()()1(2)2( krkckckc ， 0)1()0( cc ； 22 )1()1( 1)( z zTzzC ； 1212 )1()1( )( z n z n z zTzddz zTzddnTc ； 4 )1(1)1()( nnTnTc ； 0)2( kTc ， TkTkTc )1()2( ， ,2,1,0k 。 )3(2 527)1(2 11)3)(2)(1( 177)( 23 z zz zz zzzz zzzzC ； nnnTc 35.2275.5)( 。 1)2c o s ( 2 2 z zkTTZ ， 1)2s in ( 2 z zkTTZ ； 11.011.033.024.01)3)(2( 1)( 22 2 2 2 z zz zz zz zz zzzzC ； 2s i n2 c o s1.024.033.0)( nnnTc nn ； ,2,1,0k 。 1.024.033.0)4( 44 kkkTc ， 1.028.039.0)4( 44 kkTkTc ， 1.026.137.2)24( 44 kkTkTc ， 1.022.331.8)34( 44 kkTkTc 。 7-9 设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数 )(zG 。 解： (a) TT ez zez zsZsZzG 52 525522)( ， TTT ezeez zzG 10522 2 )( 10)( ； (b) 5121310)5)(2( 10)( ssZssZzG ， 22s 55s R(s) C(s) 22s 55s R(s) C(s) (a) (b) 705 TTT TT ezeez zeezG 10522 52 )( )(310)( 。 7-10 试求下图所示闭环离散系统的脉冲传递函数 )(z 或输出 Z 变换 )(zC 。 解：解题要点，画出采样信号到采样信号的等效框图。 (a) )()()(1 )()( 3121 1 zGzGzGG zGz ； (b) )(1 )()()()( 43 42143 zGGG zGRGzRGzGGGzC hh ； (c) )()(1 )()()()( 211 2112 zGGGzD zGGGzDzDz h h ； )()(1 )()( 211 2 zGGGzD zGz hn ； 7-11 已知脉冲传递函数及输入信号的 Z 变换，试求 )(nTc 。 1 1 37.01 1.053.0)( )()( z zzR zCzG ， 1)( zzzR 。 解： )37.0)(1( )1887.0(53.0)()()( zz zzzRzGzC ； n z n z n z zzz zznTc 37.047.011 )1887.0(53.037.0 )1887.0(53.0)( 37.01 。 7-12 已知开环离散系统如图所示， 其中 )(1)( ttr ，采样周期 sT 2 ，试比较 )(tc 和 )(tc 。 解：无论输入信号波形如何， )(tc 是离散信号， )(tc 是连续信号， )(tc 和 )(tc 仅在采样时刻上相等。 1)( zzzR ， 2)( ez zzG ， )(1()( 22 ezz zzC ， 22211)( eenTc n； 记 t 时刻对 k 时刻的脉冲响应为 )2()( ktk etc ，于是有， G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) Gh(s) (a) (b) R(s) R(s) C(s) C(s) T T T T - - - D2(z) D1(z) G1(s) G2(s) Gh(s) (c) R(s) - T C(s) N(s) T T T RG2G4(z) ChG3G4(z) RG1(z) C(z) - (b) R(z) - G1G2(z) G1(z) G3(z) C(z) - (a) D2(z) G2(z) D1(z) GhG1G2(z) - (c) R(z) C(z) N(z) 11s r(t) r*(t) c(t) c*(t) 706 )(11)( )2(2 )1(22)2(0 2 nTceeeeeeetc ntnnntnk kt ， )1(22 ntn 。 7-13 设有单位反馈误差采样的离散系统，连续部分传递函数为 )5( 1)( sssG ， 输入 )(1)( ttr ，采样周期 sT 1 。试求： 输出 Z 变换 )(zC ； 采样瞬时的输出响应； 输出响应的终值 )(c 。 解：（注：修改了原题的 连续部分传递函数。 原题给出连续系统是不稳定的，且计算过于烦琐。） )0067379.0)(1( 19865.0)()(5()( 50 zz zezs zezs zzG ssss ， 1)( zzzR ； )00843.0)(79966.0( 19865.00067379.080809.0 19865.0)( 2 zz zzz zz ； (1) )1)(00843.0)(79966.0( 19865.0)( 2 zzz zzC ； (2) nnnTc 00843.000214.079966.000214.11)( ； (3) 1)( c 。 7-14 设开环离散系统如图所示，其中， 1.0T 秒， )(1)( tte ，且 )100( 100)( 2 sssG ， 要求： 用 Z 变换法计算 TTT 6,2,0 时的输出响应； 用修正 Z 变换法计算 TTTTTT 2,3/5,3/4,3/2,3/,0 时的输出响应； 解： )10806.1)(1( )1(4597.01)10c o s (2 )10c o s (11001)( 222 zzz zzzTz Tzzz zs ssZzG ； 1)( zzzE ， )10806.1()1( )1(4597.01)10c o s (22)1(2)1()( 22 22 222 zzz zzzTz zzz zz zzC ； 应用长除法 4321 21 0806.31612.40806.31 )(4597.0)( zzzz zzzC ； 654321 2757.62357.65193.58657.38758.14597.00)( zzzzzzzC ； 应用部分分式法 0)0( c ； s i n)1 s i n (5942.05.0s i n)1 s i n ()1s i n2(5.01)( 1 nnnnnnnTc ， 1n 。 00000.0 、 45969.0 、 87584.1 、 86584.3 、 51948.5 、 23582.6 、 27565.6 、 最方便的解法 )10c o s ()(1)()( 1 ttsGLtg ； n i inTc 0 )co s (1)( ； )(sG e(t) c(t) T 707 最方便的解法 )10c o s ()(1)()( 1 ttsGLtg ； n i kiTknc 0 )3c o s (1)3/( ， 2,1,0k ； 00000.0 、 05504.0 、 21411.0 、 45970.0 、 81980.0 、 30983.1 、 87585.1 、 修正 Z 变换法 43332313 2313 3 88991.377983.588991.31 05504.005504.0)( zzzz zzzC ； (7-80) )88991.288991.21( )(05504.0)( 332313 2313 3 zzz zzzG ； 331 1)( zzE ； 635343332313 2313 3 88991.288991.2288991.288991.21 05504.005504.0)( zzzzzz zzzC ； (7-82) (7-80)和 (7-82)所给出的 3)(zC 不一致，至少有一个是错误的，或两个都是错误的。最方便的解法所给 出的答案是正确解。 7-15 试判断下列系统的稳定性： 已知闭环离散系统的特征方程为 0)2)(5.0)(1()( zzzzD ； 已知闭环离散系统的特征方程为（注：要求用朱利判据） 08.036.02.0)( 234 zzzzzD ； 已知误差采样的单位反馈离散系统，采样周期 sT 1 ，开环传递函数为 )1( 57.22)( 2 sssG 解： 有闭环极点在 Z 平面的单位圆外和单位圆周上，系统不稳定； 朱利判据的阵列 5104.036.05104.036.06.036.0)2( 18.012.0136.08.0)1( 036.3)1( D ； 096.2)1()1( 4 D ； 18.0 ；不 满足 5104.036.0 ；系统不稳定。 朱利检验法计算表（参见：吕淑萍等，数字控制系统，哈尔滨工程大学出版社， 2002.11） 0000.00000.00000.0 000.12489.01991.02489.0 2489.01991.02489.0 556.036.0088.02.02.0 2.02.0088.036.0 8.012.0136.08.0 8.036.012.01 1 2 3 4 z z z z 计算表中出现全零行，系统不稳定。 因 57.22)( 23 sssD ，连续系统是不稳定的，它的采样系统也是不稳定的。 708 改为， )1( 5.2)( sssG ，计算得 )368.0)(1( 6245.1)( zz zzG ， 0368.02575.0)( 2 zzzD ， 5927.01288.02,1 j ，闭环系统稳定。 7-16 设离散系统如图所示，采样周期 sT 1 ， )(sGh 为零阶保持器， )12.0()( ss KsG 。 要求： 当 5K 时，分别在 Z 域和 W 域中分析系统的稳定性； 确定使系统稳定的 K 值范围。 解： 00674.000674.1 )19191.080135.0()1(52.02.01)1()5(5)( 21212 zz zKzsssZKzss KZzG ； 00674.019191.0)00674.180135.0( )19191.080135.0()( 2 KzKz zKz ； 096629.03)( 2 zzzD ； 003371.1)1()1( 2 D ； 不满足稳定条件，系统不稳定。 003371.106742.096629.4)( 2 wwwD ；系数不同号，系统不稳定。 060944.001348.2)19191.099326.0(299326.0)( 2 KwKKwwD ； 由二阶系统系数均大于零，得到使系统稳定的 K 值范围： 3038.30 K 。 7-17 设离散系统如图 7-59 所示，采样周期 sT 2.0 ， 10K ， 2/1)( 2tttr ， 试用终值定理 法计算系统的稳态误差 )(e 。 解：等效离散系统框图为 其中 213 )1( )1(2.0)1(10)( z zzsZzG ； 11)1(5)( 1 2 zzsZzH 。 2.08.0 )1()( 2 zz zzze ； 32 )1( )82.078.1()( z zzzzR ； )2.08.0()1( )82.078.1()( 2222 zzz zzzzE ； 得到： )()1(lim)( 1 zEze z 。 注：因 )()1( zEz 有极点在单位圆周上，严格要求时，不能使用终值定理。仔细计算有 )46365.0s i n (05.1)46365.0c o s (65.01.035.0)2.0()( 8047.0 nnennenTe n )1.0(lim)(lim)( nnTee nn ，即 nnTe ss 1.035.0)( 。 7-18 设离散系统如图所示，其中 sT 1.0 ， 1K ， ttr )( ， 试求静态误差系数 pK 、 vK 、 aK ， 并计算系统稳态误差 )(e 。 r(t) e*(t) e(t) c(t) Gh(s) G(s) G(z) H(z) R(z) E(z) C(z) - - seTs1 21s K 0.5s r(t) x*(t) e(t) c(t) - - x(t) 709 解： )9048.0)(1( )9673.0(004837.01111.0)1()1( 1)( 1.012 zz zez zzzssZzG ； )(lim1 zGK zp ； 1.0)()1(lim 1 zGzK zv ； 0)()1(lim 21 zGzK za 。 10/1)( vKe 。 7-19 设离散系统如图所示，其中 ZOH 为零阶保持器， sT 25.0 。当 ttr 2)( 时， 欲使稳态误 差小于 1.0 ，试求 K 值。 解： )1(25.0)1(1)1()( 212212 2/ zz KzzKsZzsKeZzG s ； KKv 25.0 ； 1025.0 K ； 40K 。 7-20 试分别求出题 7-17 和题 7-18 系统的单位阶跃响应 )(nTc 。 解： 题 7-17 系统的闭环脉冲传递函数及输出 Z 变换为 2.08.0 )1(2.0)(1)( 2 zz zzz e ； 2.08.011)()( 2 2 zz zz zz zzzC ； )46365.0s i n (2)46365.0c o s (1)( 8047.0 nnenTc n 。 题 7-18 系统的闭环脉冲传递函数及输出 Z 变换为 9095.09.1 004673.0004837.0)( 2