关 键 词：

年高 数学 回归 基础知识 打包

资源描述：

2013年高考数学 回归基础知识（打包7套）,年高,数学,回归,基础知识,打包

内容简介：

- 1 - 集合与函数概念 一、集合的基本概念与运算 (一 )元素与集合 一般地，我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合 (简称为集 )。通常用大写字母 A， B， C， D，表示集合，用小写拉丁字母 a， b， c，表示元素。 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。例如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州不在这个集合中。“身材较高的人”不能构成集合；因 为组成它的元素是不确定的。 (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的 (或说是互异的 )，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。相同元素、重复元素，不论多少，只能算作该集合的一个元素。 (3)无序性：在一个集合中，不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同，就认为是同一个集合。 3、集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 4、元素与集合的关系 如果 的元素，就是说 ，记作 a A；如果 中的元素，就说 ，记作 a A。 5、常见的数集及记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作 N； 所有正整数组成的集合称为正整数集（在自然数集中排除 0的集合），记作 N*或 N+； 全体整数组成的集合称为整数集，记作 Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 Q； 全体实数组成的集合称为实数集，记作 R。 例 已知 的值求且 ,1, 2 解析 ,1,2 2,1,y 或 解得 x=y=1这与集合中元素的互异性相矛盾。 拓展与提示：（ 1）无序性常常作为计算时验证的重要依据。 （ 2）注意 N 与 N*的区别。 N*为正整数集，而 N 为非负整数集，即 0 N 但 0 N*。 （ 3）集合的分类 按元素个数素的集合叫做无限集无限集：含有无限个元素的集合叫做有限集有限集：含有有限个元 按元素的特征可分为：数集，点集，形集等等。 特别地，至少有一个元素的集合叫做非空集合；不含有任何 元素的集合叫做空集（ ），只含有一个元素的集合叫做单元素集。 - 2 - 解得 x= (舍去 ) 这时 y=0 x= y=0 6、集合的表示方法 (1)列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法。 适用条件： 有限集或有规律的无限集 形式： , 321 (2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 (或变化 )范围；再画一条竖线，在竖线 后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 适用条件： 一般适合于无限集，有时也可以是有限集。 形式： )(，其中 p(x)表示特征。 (3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线 (圆、椭圆、矩形等 )内。 例 用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集： (1)由所有非负奇数组成的集合； (2)由所有小于 10既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合； (4)方程 x2+x+1=0的实数根组成的 集合。 解析 (1)由所有非负奇数组成的集合可表示为： ,12 ， (2)满足条件的数有 3， 5， 7，所以所求集合为： 7,5,3B ，集合 (3)所求集合可表示为： 00),( ，集合 (4)因为方程 x2+x+1=0 的判别式的 0，故无实数，所以方程 x2+x+1=0 的实根组成的集合是空集 。 (二 )集合的基本关系 1、子集 ：一般地，对于两个集合 A、 B，如果集合 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 的子集，记作 )( 或 ，读作“ ” (或“ ” )。 拓展与提示：如果集合中的元素的范围已经很明确，那么 x D 可以省 略，只写其元素 x，如 10 以表示为 10 - 3 - 数学表述法可简述为：若 ，则集合 的子集。 (如图 ) 2、集合相等：如果集合 的子集 )( ，且集合 的子集 )( ，此时，集合 中的元素是一样的，因此，集合 相等，记作 A=B。数学表述法可描述为：对于集合 A、 B，若 ，且 ，则集合 A、 3、真子集：若集合 ，且 A B，则集合 的真子集。 4、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合 的真子集。 （三）集合间的基本运算 1、并集 一般地，由所有属于集合 的元素组成的集合，称为集合 的并集，记作 读作“ ” )，即 或, 可用 2、交集 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集，记作 (读作“ ” )，即 且,。 可用 3、全集与补集 (1)全集：一般地，如果一个集合含 有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为 全集，通常记作 U。 (2)补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 的 补集，简称为集合(1) , 。 (2) B(其中 B 为非空集合 )。 (3)对于集合 A， B， C，若 则, 。 (4)对于集合 A， B，若 则且 , 。 (6)含 n 元素的集合的全部子集个数为 2子集有 2，非空子集有 2，非空真子集有2。 (7) 与 是不同的，前者为包含关系，后者为属于关系。 拓展与提示：对于任意集合 A、 B，有 (1) ;, (2) ; (3) )(),( ;(4) 。 拓展与提示：对于任意集合 A、 B，有 (1) ;, (2) ； (3) )(,)( ； (4) ； (5) )()( 。 - 4 - A 的补集，记作 ,u A x x U x A 且 。 例 设集合 9,1,5,4,12,2 ，若 A B=9 ，求 A B。 解析 由 A B=9 得， 9 A。 或 2 由 得， x= 3。当 x=3时， 9,2,2,4,5,9 与元素的互异性矛盾。 当 x= 9,4,8,4,7,9 此时， ,4,7,8 由 2得 x=5. 当 x=5时， 9,4,0,4,9,25 此时， 9,4 与题设矛盾。 综上所述， ,4,7,8 4、集合中元素的个数：（不做要求） 在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个数问题，我们把含有限个元素的集合 A 叫做有限集，用 中元素的个数。例如： 3)(, . 一般地，对任意两个有限集 A， B，有 B)=)+) B). 当时仅当 A B= 时， B)=)+). 解与集合中元素个数有关的问题时，常用 例 学 校先举办了一次田径运动会，某班有 8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有 12名同学参赛，两次运动会都参赛的有 3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ 解析 设 田径运动会参赛的学生A ， 球类运动会参赛的学生B ，那么 所有参赛的学生，两次运动会都参赛学生 ， B)=)+) B) =8+127 拓展与提示： (1)A () ， A () =U；（ 2） ()u A ， ， u =U； (3) ()u A ( ) ( )uA ()u A ( ) ( )uA (4)下图中的 分别表示为 A () () B ， A B ， ( ) ( )uA - 5 - 答：两次运动会中，这个班共有 17名同学参赛 - 1 - 2013年高考数学回归基础知识：三、函数的基本性质 三、函数的基本性质 (一 )函数的单调性 1、单调性 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I： 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, 那么就说函数 f(x)在区间 果函数 y=f(x)在区间 么就说 函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性，区间 y=f(x)的单调 区间。 2、函数单调性的判断方法 (1)定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为 第一步：取值。设 f(x)在 (a,b)上递增；若当 x (a,b)时， f (x)0，即21式 0，即 f(f( 当211)( + )上为减函数 当211)( + )上为增函数 3、复合函数的单调性 对于复合函数 y=f g(x)，若 t=g(x)在区间 (a,b)上是单 调函数，则 y=f(t)在区间(g(a),g(b)或 (g(b),g(a)上是单调函数；若 t=g(x)与 y=f(t)单调性相同 (同时为增或减 )，则 y=f g(x)为增函数，若 t=g(x)与 g=f(x)单调性相反，则 y=f g(x)为减函数，简单地说成“同增异减”。 y=f(t) 增 减 增 减 t=g(x) 增 减 减 增 Y=f g(x) 增 增 减 减 (二 )函数的最大 (小 )值 - 3 - 1、定义 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 (1)对于任意的 x I，都有 f(x) M； (2)存在 I，使得 f(M. 那么，我们称 y=f(x)的最大值。 同样地：如果存在实数 (1)对于任意 x I，都有 f(x) M； (2)存在 I，使得 f(M. 那么我们称 2、二次函数在闭区间上的最值 二次函数 f(x)=bx+c，当 a0时，在闭区间 m,n上的最值可分如下讨论： 若 2时，则最大值为 f(n)，最小值为 f(m)； 若 2时，则最 大值为 f(m)，最小值为 f(n)； 若 2时，则最大值为 f(m)或 f(n)，最小值为 )2( . 例 已知 131 a，若 f(x)=，在 1， 3上最大值为 M(a)，最小值为 N(a)，令g(a)=M(a)-N(a),求 g(a)的函数表达式。 解析 11)(2 . 131 a， 311 a. 又 x 1， 3 . 当 时， f(x)(a)= 211 a，即 121 f(x)(a)=f(3)=9当2131,312 时， f(x)(a)=f(1)=1,121,619)()()(拓展与提示： (1)函数的最大 (小 )值是函数的图象的最高点 (最低点 )对应的纵坐标。 (2)一个连续不断的函数在闭区间 a,b上一定有最大值和最小值。 (3)求函数最值的常见方法为构造二次函数；单调性法；导数法。 - 4 - (三 )函数的奇偶性 1、定义 偶函数：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数。 2、函数奇偶性的性质 (1)若函数 f(x)是偶函数，那么： 对任意定义域的 x,都有 f(f(x)； 函数 f(x)的图象关于 函数 f(x)在两个半对称区间上的单调性是相反的。 (2)若函数 f(x)是奇函数 ，那么： 对任意定义域内的 x，都有 f(-f(x)； 函数 f(x)的图象关于坐标原点对称； 函数 f(x)在两个半对称区间上的单调性是相同的。 3、函数奇偶性的判定方法 (1)定义法 f(x)是奇函数 0)()()()( f(x)是偶函数 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x f x f x f x (2)利用图象的对称性 f(x)是奇函数 )(的图象关于原点对称。 f(x)是偶函数 )(的图象关于 例 设函数 f(x)对任意 x、 y R，都有 f (x+y) =f(x)+f(y)，且 x0时， f(x)0时， f(x)0， f(0，即 f(f(0 f(f( f(x)在 f( 3上，当 x=f(x)取最大值，即 f(x)f()=)=6； 当 x=3时， f(x)取最小值，即 f(x)f(3)=拓展与提示：并不是所有的函数都具备奇偶性，这些既不是奇函数又不偶函数的函数称为非奇非偶函数；既是奇函数又是偶函数 的函数只有一个，就是 f(x)=0。 判断函数奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称，否则称为非奇非偶函数。 - 1 - 2013年高考数学回归基础知识：二、函数及其表示 二、函数及其表示 (一 )函数的概念 1、定义 一般地，我们说： 设 A， B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 f(x)和它对应，那么就称 f： A 到集合 作 ),( 其中， 叫函数的定义域；与 数值的集合 )( 叫做函数的值域，显然，值域是集合 2、函数的三要素 (1)函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。 (2)由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 3、区间。设 a， 且 ab，我们规定： (1)满足不等式 a x 示为 a,b； (2)满足不等式 axb 的实数 示为 (a， b)； (3)满足不等式 a xb 或 ax b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 , 这里的实数 a与 定义 名称 符号 数轴表示 | 闭区间 a， b | 开区间 (a， b) | 半开半 闭区间 实数集常用区间表示为 ， ，“”读作“无穷大”。 “ ”读作“负无穷大”，“ +”读作“正无穷大” 集合 符号 数轴表示 | ,a | ,a 拓展与提示： (1)函数符号 y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在 18 世纪引入的。 (2)注意区别 f(a)和 f(x)， f(x)是指函数解析式， f(a)是指自变量为 a 时的函数值。 - 2 - | ( , )b | b， 例 1 求下列函数的定义域 2 11解析 要使 2 11有意义，则必须 210201即 x x 2， 故所求函数的定义域为 21| 例 2 (1)已知函数 f(x)的定义域是 3，求 f(x+1)和 f( 定义域 (2)已知函数 f(2x+3)的定义域为 2,1 ，求 f(定义域 解析 (1) f(x)的定义域为 3， f(x+1)的定义域由 x+1 3确定，即 x 2， f(x+1)的定义域为 2 . f(定义域由 3 确定，即 33 x f(定义域为 33， (2)函数 f(2x+3)的定义域为 2,1 ， 2x+3中的 1x 2， 12x+3 7. 令 t=2x+3，则 f(t)的定义域为 7,1 . 又 17， 2x 8 f (定义域为 8,2 拓展与提示： (1)在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。 (2)求函数定义域，主要通过下列途径实现。 若 f(x)是整式，则定义域为 R； 若 f(x)为分式，则定义域为使分母不为零的全体实数； 若 f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方数为非负数的全体实数； 若 f(x)的定义域为 a,b，则 f g(x)的定义域是 a g(x) b 的解集； 若 f g(x)的定义域为 a， b，则 f(x)的定义域是 g(x)在 下的值域。 - 3 - 4、反函数 式子 y=f(x)表示 它的定义域为 A，值域为 C，我们从式子 y=f(x)中解出 x=g(y)，如果对于 中的任何一个值通过式子 x=g(y),中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x=g(y)表示 x 的函数，这样的函数 x=g(y)叫做 y=f(x)的反函数，记作 )(1 ，一般写成 )(1 . (二 )函数的表示法 1、函数的三种表示法 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 2、分段函数 若函数在定义域的不同子集上对应关系不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数，它是一类重要函数，形式是：)()()( 2211分段函数是一个函数，而不是几个函数，对于分段函数必须分段处理，其定义域为 2 例 中国移动通信已于 2006年 3月 21 日开始在所属 18个省、市移动公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个套餐的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法，具体方案如下： 方案代号 基本月租 (元 ) 免费时间 (分钟 ) 超过免费时间话费 (元 /分钟 ) 1 30 48 98 170 168 330 268 600 388 1000 问：“套餐”中第 3种收费方式 的月话费 t(月通话量是指一个月内每次通话用时之和 )的函数关系式。 拓展与提示： (1)函数 y=f(x)的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域； (2)函数 y=f(x)的图象和它的反函数 )(1 的图象关于直线 y=x 对称。 拓展与提示： (1)函数用列表法表示时，其定义域是表中自变量所取值的全体，其值域是表中对应函数值的全体。 (2)函数用图象法表示时，其定义域是图象投射到 x 轴上的区域范围，其值域是图象投射到 y 轴上的区域范围。 拓展与提示：分段函数中，分段函数的定义域的交集为空集。 - 4 - 解析 “套餐”中第 3种收费函数为 11 6 8 , 0 3 3 0 ,1 6 8 0 . 5 ( 3 3 0 ) , 3 3 0 3、复合函数 若 y 是 u 的函数， u 又是 x 的函数，即 y=f(u),u=g(x),x (a, b),u (m,n)，那么 y 关于 y=f g(x)， x (a,b)叫做 f和 x)的值域。 4、映射 设 A， B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任何一个元素 x，在集合 的元素 么就称对应 f： A 到集合 5、函数解析式的求法 待定系数法。若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程或方程组，再求系数。 换元法。若已知函数 )( 的解析式，可令 )( ，并由此求出 x=g(t)，然后代入解析式求得 y=f(t)的解析式，要注意 赋值法：可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。 列方程 (组 )法求解。 若所给式子中含有 f(x)， f(x),f(形式，可考虑构造另一个方程，通过解方程组获解。 5配凑法 例 解答下列各题： (1)已知 f(x)=，求 f(x+1)； (2)已知 f(x+1)= f(x)； (3)已知二次函数 g(x)满足 g(1)=1,g(5，图象过原点，求 g(x)。 解析 (1)f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=2)方法一： (配凑法 ) f(x+1)=(x+1)2x+1)2x+1)2-4(x+1)+3， f(x)= 方法二： (换元法 )令 x+1=t，则 x= f(t)=(-2(， f(x)=. (2)由题意设 g(x)=bx+c， a 0. g(1)=1,g(4，且图象过原点， 拓展与提示： (1)映射包括集合 A、 B 以及从 A 到 B 的对应法则 f，三者缺一不可，且 A、 B 必须非空。 (2)A 中的元素在 B 中都能找到唯一的元素和它对应，而 B 中的元素却不一定在 A 中找到对应元素，即使有，也不一定只有一个。 - 5 - ,1解得 ,3 g(x)=3 - 1 - 三角函数 一、重点知识回顾 1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边相同的角，都可以表示成 k 3600+的形式。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算； 角度制与弧度制的互化： 弧度 180 ，1801 弧度， 1 弧度 )180(1857 弧长公式： ；扇形面积公式： 。 2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式： （ 1）三角函数定义：角 中边上任意一点 P 为 ),( 设 | 则： ,c o s,s in （ 2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦； （ 3）特殊角的三角函数值 0 6432 232 0 2122231 0 1 2322210 1 0 331 3 不存在 0 不存在 0 （ 3）同角三角函数的基本关系： ta nc o ss c o ss 2 （ 4）诱导公式（ 奇变偶不变，符号看象限 ） : 3、两角和与差的三角函数 （ 1）和（差）角公式 ;s o sc o ss in)s ;s o sc o s)c o s ( ta n1 ta n)ta n ( （ 2）二倍角公式 - 2 - c ； 2222 s o o o s ； 2（ 3）经常使用的公式 升（降）幂公式：2 1 c o s 2s 、 2 1 c o s 2c o 、 1s i n c o s s i n 22 ； 辅助 角公式： 22s i n c o s s i n ( )a b a b （ 由 , 正切公式的变形： t a n t a n t a n ( ) ( 1 t a n t a n ) . 4、三角函数的图象与性质 （一）列表综合三个三角函数 ， ， 的图象与性质，并挖掘：最值的情况；了解周期函数和最小正周期的意义会求 s )y A x的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期， 了解加了绝对值后的周期情况 ； 会从图象归纳对称轴和对称中心； 的对称轴是 2()，对称中心是 ( ,0)k ()； 的对称轴是 ()，对称中心是 ( ,0)2k () 的对称中心是 ( , 0 )( )2k 注意加了绝对值后的情况变化 . 写单调区间注意 0 . （二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数s )y A x的简图，并能由图象写出解析式 “五点法”作图的列表方式； 求解析式 s )y A x时处相 的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x . （三）正弦型函数 s )y A x的图象变换方法如下： 先平移后伸缩 的图象 向 左 ( 0 ) 或 向 右 ( 0 )平 移 个 单 位 长 度得 )的图象() 横 坐 标 伸 长 ( 0 1 )1到 原 来 的 纵 坐 标 不 变 得 )的图象() 纵 坐 标 伸 长 ( 1 ) 或 缩 短 ( 0 1 )为 原 来 的 倍 横 坐 标 不 变得 )y A x的图象 ( 0 ) ( 0 ) 向 上 或 向 下平 移 个 单 位 长 度得 )y A x k 的图象 - 3 - 先伸缩后平移 的图象 ( 1 ) ( 0 1 ) 纵 坐 标 伸 长 或 缩 短为 原 来 的 倍 ( 横 坐 标 不 变 ) 得 x 的图象 ( 0 1 ) ( 1 )1 () 横 坐 标 伸 长 或 缩 短到 原 来 的 纵 坐 标 不 变得 )y A x 的图象( 0 ) ( 0 ) 向 左 或 向 右平 移 个 单 位得 )y A x x的图象 ( 0 ) ( 0 ) 向 上 或 向 下平 移 个 单 位 长 度得 s )y A x k 的图象 5、解三角形 正、余弦定理正弦定理 s （ 外接圆直径） 注： s in:s in:s ； s s s ；s 。 余弦定理： c o 等三个；注：bc 等三个。 。几个公式 : 三角形面积公式：)(21(,)()(s B C ； 内切圆半径 r= 2；外接圆直径 2R= ;在使用正弦定理时判断一解或二解的方法： s i n s i A B - 1 - 复 数 (选学 ) 一：基本概念 1复数的概念： （ 1）虚数单位 i； （ 2）复数的代数形式 z=a+(a, b R)； （ 3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2复数集 b i ( a , b R )a 0 )a 0 ) 整 数有 理 数实 数 ( = 0 ) 分 数复 数 无 理 数 （ 无 限 不 循 环 小 数 ）纯 虚 数 （虚 数 ( b 0 )非 纯 虚 数 （复数 a+bi(a, b R)由两部分组成，实数 a与 a+1与 b=0时， a+ b 0时， a+中 a=0且 b 0 时称为纯虚数。 应特别注意， a=0仅是复数 a+ a=b=0，则 a+是实数。 3复数的四则运算 若两个复数 z1=a1+z2=a2+ a) 复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将 i2= 1结合到实际运算过程中去。 （ 1） 加法 ： z1+a1+(b1+b2)i； （ 2） 减法 ： (b2)i； （ 3） 乘法 ： (i； b)复数的除法： 复数的除法是复数乘法的逆运算，由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母 实化得到，即 . 221 1 ( 1 1 ) * ( 2 2 ) 1 * 2 1 * 2 ( 1 * 2 1 * 2 )2 2 ( 2 2 ) * ( 2 2 ) 2 2a b i a b i a b i a a b b a b i b a ia b i a b i a b i a b （ 4）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 （ 5）特殊复数的运算： (的周期性运算； (1 i)2= 2i； 若 = 21 + 23 i，则 3=1， 1+ + 2=0. 4. 复数 z=a+|a|= 22, 且 2|z z z =a2+b2. 5. 共轭复数 - 2 - 定义：对于复数 z=a+复数 z = 两个实部相等，虚部（虚部不等于 0）互为 相反数 的复数互为共轭复数。复数 z 。表示方法为在字母z 上方加一横线即共轭符号。 根据定义，若 z=a+bi(a， bR ），则 z =a a,bR ）。共轭复数所对应的点关于实轴对称 示两个共轭复数的点关于 而这一点正是 共轭 一词的来源。两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做 轭 . 共轭复数有些有趣的性质： (1) a+= (2)(a+(a2+b2 (3) 若 z=a+则 z a ， =2 =2b 0). 二学习方法与指导 1根据两个复数相等的定义，设 a, b, c, d R，两个复数 a+ c+等规定为a+bi=c+ . 由这个定义得到 a+00 . 两个复数不能比较大小，只能由定义判断 它们相等或不相等。 两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。 2复数 a+a 两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若 b=0，则实数 a 与实数 a 共轭，表示点落在实轴上。复数 a+模的几何意义是指表示复数 a+ 几何 形式。 在直角坐标系中，以 平面 。 这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定 复数 z=a+复平面上的点 z（ a， b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 向量形式。复数 z=a+为起点，点 Z（ a， b）为终点的向量 种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。 三角形式。复数 z=a+ z=r（ 式中 r= （ a2+b2），是复数的模（即绝对值） 是以 射线 终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作 这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。 指数 形式。将复数的三角形式 z=r( 中的 为 ，复数就表为指数形式 z=r - 1 - 数列 ()na f n 2、等差数列 1、定义 当 ,且 2n 时，总有 1 , ( )a d d 常， 2、通项公式 1 ( 1)na a n d 1）、从函数角度看 1()na d n a d 是 n 的一次函数，其图象是以点 1(1, ) 斜率为 2）、从变形角度看 ( 1 ) ( )a n d , 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。 又11( 1 ) , ( 1 )a n d a a m d , 相减得 ()a n m d ，即 ()a n m d . 若 nm，则以 项，公差为 d； 若 nm ，则 项，公差为 3）、从发展的角度看 若 12 ( 2 )a a p q d ，12 ( 2 )a a m n d , 因此有如下命题：在等差数列中，若 2m n p q r , 则2m n p q ra a a a a . 3、前 由 1 2 1 1,n n n n nS a a a S a a a ， 相加得 12 nn ， 还可表示为1 ( 1 ) , ( 0 )2n n a d d ，是 n 的二次函数。 特别的，由1 2 1 2a a可得 21 ( 2 1)n a 。 3、等比数列 1、 定义 当 ,且 2n 时，总有 1( 0 ) , 2、通项公式： 11 n n a q a q, 在等比数列中，若 2m n p q r , 则 - 2 - 2m n p q ra a a a a . 3、前 由 1 2 2 3 1,n n n n nS a a a q S a a a a ， 两式 相减， 当 1q 时， 11 (1 ) , ( 1 )11n na a ；当 1q 时 ，1ns 关于此公式可以从以下几方面认识： 不能忽视 11 (1 )11n na a 成立的条件： 1q 。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情 形。 如 ， 公 差 为 d 的等差数列 212 a x a x a x ，则2 3 11 2 1n a x a x a x a x ， 相减得 211(1 ) x a x d x d x a x ， 当 1x 时， 1 11(1 )(1 ) 1 n nd x xS x a x a ， 1 2112(1 )1 (1 )n x a x d x 当 1x 时 ，1 2 1 ( 1 )2nn n n dS a a a n a ； 3）从函数角度看 时 1 4、递推数列 表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数，数列可用递推式表示。求递推数列通项公式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的，累加法是求形如 1 ()a f n 递推数列的基本方法，其中数列 ( )求前 1 2 1 1( ) ( )n n na a a a a a ；累乘法是求形如 1 ()g n a 递推数列通项公式的基本方法，其中数列 ( )求前 3211 2 1, ( 0 )a aa a a 等差数列与等比数列差别与联系 名称 等差数列 等比数列 定义 1 , ( )a d d 常2 1 1 ( * )n n n na a a a n N 1 , ( ) 常 ， 211( * ) - 3 - 通项 公式 1 ( 1)()n ma a n da n m d 变式：1 ( 1)na a n d a 性质 22.m n p q rm n p q ra a a a a ( 0 )d 可 逆22( ) .m n p q rm n p q ra a a a a (q 1可 逆 ) 中项 22.m n rm n ra a a 22( ) .m n rm n ra a a 单调性 0d 时 增 0d 时 常数列 0d 时 减 1 0, 1或1 0, 0 1 增； 1 0, 1或1 0, 0 1 时减； 1q 时常数列， 0q 时摆动数列 前 n 项 和 112( 1 ) , ( 0 )2a d d 1 ( 0 )ns na d11(1 )1, ( 1)1a q ） 1 ( 1)ns na q结论 1、 差 ,公差 d ， 则 b 等差 公差 子 数 列*2, , , , , ( )k k m k m k n ma a a a m N 等差 ,公差 若 ，公差1d，则 差1 比 , 公比 q，则 比， 公比q ; 2,公比 2q ;公比q 。子数列 2 4 4 2, na a a a 等比，公比 2q ; 若 公差 d, 则 , 公比为 2、 差 ,公差 d 则 1 等差，公差 2d; 11n n na a a等差 , 公差3d. 2 3