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高考 数学 一轮 复习 温习 课时 闯关 检测 解析 打包 16 新人

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2014届高考数学一轮复习 9.1-9.8课时闯关+随堂检测 文（含解析）（打包16套）新人教A版,高考,数学,一轮,复习,温习,课时,闯关,检测,解析,打包,16,新人

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1 2014 届高考数学一轮复习 间直线与平面（ A、 B）课时闯关 文（含解析）新人教 A 版 一、选择题 1若空间中有两条直线，则 “ 这两条直线为异面直线 ” 是 “ 这两条直线没有公共点 ”的 ( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件 解析：选 A.“ 两条直线为异面直线 ” “ 两条直线无公共点 ” “ 两直线无公共点 ”“ 两直线异面或平行 ” 故选 A. 2若 P 是两条异面直线 l、 m 外的任意一点，则 ( ) A过点 P 有且仅有一条直线与 l、 m 都平行 B过点 P 有且仅有一条直线与 l、 m 都垂直 C过点 P 有且仅有一条直线与 l、 m 都相交 D过点 P 有且仅有一条直线与 l、 m 都异面 解析：选 正确，这样的直线不存在； B 正确； C 中过点 P 与 l、 m 都相交的直线不止一条； D 中过 P 有无数条直线与 l、 m 都异面 3 A B C 是斜二测画法画出的正 直观图，记 A B C 的面积为 S ， 面积为 S，则 SS 的值为 ( ) A. 22 . 28 D. 24 解析：选 在 x 轴上，则 上的高 h 在 y 轴上或与 y 轴平行，根据斜二测画法知， A B C 中 A B 边上的高 h 为 24 h. 4过正方体 作直线 l，使 l 与棱 样的直线 l 可以作 ( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 解析：选 5已知 线段 公垂线段，若 60 角，则异面直线 成的角为 ( ) A 45 B 60 C 90 D 45 或 60 2 解析：选 作 连结 ，由 60 角，得 60 或 120 ，记 a，则 a，而 a，则 D 成的角，即为 45 或 60 ，故选 D. 二、填空题 6 (2012 高考大纲全国卷 )已知正方体 E、 F 分别为 么异面直线 成角的余弦值为 _ 解析：连接 为异面直线 成的角 设正方体棱长为 a， 则 a， 52 a， 52 a， 52 a 2 52 a 2 52 a 52 a 35. 答案： 35 7 (2013 河北衡水中学调研 )设 两条异面直线 公垂线，当直线 着直线 空间旋转并与 持垂直时，下列三个命题正确的是 _ 直线 直线 成角的大小不变 直线 直线 距离不变 以 A、 B、 C、 D 为顶点的四面体的体积不变 解析：如图所示，当直线 着直线 空间旋转并与 持垂直时，显然 错；无论如何转， 终为两异面直线的公垂线，故 正确；若 A B ，此时四面体 体积为零，故四面体的体积是变化的， 错 答案： 8如图，正方体 M、 N 分别为棱 中点，有以下四个结论： 3 直线 直线 平行直线； 直线 直线 其中正确的结论为 _ (注：把你认为正确的结论的序号都填上 ) 解析： 不正确； 平面 B 平面 N平面 面， 不正确； 平面 而 B平面 面， 正确； 面 M 平面 A平面 正确 答案： 三、解答题 9 (2013 重庆模拟 )如图所示， a b c， l a A， l b B， l c a、 b、c、 l 共面 证明：法一：先由 a b 确定一个平面，然后证 l， c 都在这个平面内， a b， a、 . 又 l a A， l b B， l 上有两点 A、 B 在 内，即直线 l a、 b、 l 共面 换句话说，若 a、 l 确定平面 ，过 l 上一点 B，作 b a， 则 b ，同理，过 l 上一点 C 作 c a， 则 c 也在 a、 l 确定的平面内，故 a、 b、 c、 l 共面 法二： a b， a、 b 确定平面 ，又 A a， B b. ，即 l . 又 b c， b、 c 确定平面 ，而 B b， C c， . 即 l ，于是 b、 l ， b、 l 而 b l B. 故 与 重合， a、 b、 c、 l 共面 法三： a b， a、 b 确定平面 ， 又 A a， B b， ， 即 l ，设 c 在平面 内作 c b、 c c C， 又 b c， c c 与 c c C 矛 盾， c ，故 a、 b、 c、 l 共面 10如图所示，正方体 M、 N 分别是 ： (1) 否是异面直线？说明理由； (2) 明理由 解： (1)不是异面直线理由如下： M、 N 分别是 又 1D，而 1C， 4 1C， 四边形， 到 A， M， N， C 在同一个平面内， 故 是异面直线 (2)是异面直线理由如下： 假设 1 B 平面 C 平面 面 与 正方体的棱相矛盾， 假设不成立，故 11 (探究选做 ) 如图所示，在直三棱柱 a， 90 ，D、 E 分别为 (1)求异面直线 (2)证明： 异面直线 (3)求异面直线 解： (1)由于直三棱柱 所以 又 a， 90 ， 所以 2a， 2， 即异面直线 . (2)证明：如图所示，在矩形 点 E 作 C、 结 又 D、 E 分别是 得 在直三棱柱 由条件 以 平面 平面 所以 即 异面直线 (3)由 (2)知线段 长就是异面直线 于 a， 90 ，所以 22 a. 1 2014 届高考数学一轮复习 间直线与平面（ A、 B）随堂检测 文（含解析）新人教 A 版 1. 如图，四棱锥 P ，底面是边长为 1 的菱形， 60 ， 底面 A 1，则异面直线 成角的余弦值为 ( ) A. 24 B. 22 C. 144 D. 23 解析：选 A. 其补角 )即为异面直线 成的角 在 ， 2， 1， 2， 2 1 22 21 24 . 2在直平行六面体 1， 2， 45 ，则异面直线 成角的余弦值为 ( ) A 0 B 1 C. 63 D. 66 解析： 选 1D、 其补角 )为异面直线 成的角 又 2， 1. 又 2， 3， 63 . 3 (2011 高考四川卷 )下列命题正确的是 ( ) A l3 l3 l3D 解析：选 B.当 A 不正确； l3 B 正确； 当 三棱柱的三条侧棱，故 C 不正确； 正方体中从同一顶点出发的三 条棱，故 D 不正确 4 (2013 成都模拟 )已知 边长为 2a 的正三角形，则它的平面直观图 A B C 的面积为 ( ) 2 A. 32 B. 34 . 64 D. 6析：选 平面直观图 A B C. A B 2a， C E 22 C D 22 32 a 64 a. S A B C 122 a 64 a 64 选 C. 1 2014 届高考数学一轮复习 线与平面平行、平面与平面平行（ A、 B）课时闯关 文（含解析）新人教 A 版 一、选择题 1 (2011 高考浙江卷 )若直线 l 不平行于平面 ，且 l ，则 ( ) A 内的所有直线与 l 异面 B 内不存在与 l 平行的直线 C 内存在唯一的直线与 l 平行 D 内的直线与 l 都相交 解析：选 线 l 与平面 相交，则直线 l 与平面 内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项 B 是正确的 2 (2012 高考四 川卷 )下列命题正确的是 ( ) A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 解析：选 误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交； 三个顶点中， A、 B 在 的同侧，而点 C 在 的另一侧，且 行于 ，此时可有 A、 B、 C 三点到平面 距离相等，但两平面相交； D 错误，如教室中两个相 邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选 C. 3已知两个不同的平面 、 和两条不重合的直线 m、 n，有下列四个命题： 若 m n， n ，则 m ； 若 m ， n ，且 m ， n ，则 ； m ， n ，则 m n； 若 ， m ，则 m . 其中正确命题的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析：选 A. 有可能 m ； 当 m 与 n 相交时，命题正确； m、 n 还可能是异面直线； 正确，故正确答案是 A. 4 (2013 天水一中调研 )如图，正方体 ，线段 、 F，且 22 ，则下列结论中错误的是 ( ) A 平面 三棱锥 A 体积为定值 D异面直线 成的角为定值 解析：选 D. 面 A 正确 E、 F 面 面 确 S A、 E、 F 面 B 到面 C 正确 2 异面直线 E、 F 变化而变化， D 错误 5 (2011 高考江西卷 )已知 1， 2， 3是三个相互平行的平面，平面 1， 2之间的距离为 面 2， 3之间的距离为 l 与 1， 2， 3分别相交于 么 “ 是 “ 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 1 2 3， l 与 1， 2， 3分别交于点 1，且 2交于点 E， 则 根据 “ 两平行平面与一平面相交所得的交线平行 ” 得 然 “ 是 “ 的充分必要条件 二、填空题 6正方形 平面 的同侧，若 A、 B、 C 三点到 的距离分别为 2、 3、 4，则直线 平面 的位置关系是 _ 解析：线段 中点 O 到 的距离为 12(2 4) 3， 正方形 平面 的同侧， ，即 . 答案： 7已知 m、 n、 、 表示平面若 m ， n ， ， ，M. 则 m n 的 _条件 (填 “ 充分 ”“ 必要 ”“ 充要 ”) 解析：由题意知，根据两平面平行的判定定理可知， m n ，但 m n 充分 ” 答案：充分 8如图在正四棱柱 E、 F、 G、 H 分别是棱 中点，N 是 中点，点 M 在四边形 其内部运动，则 M 满足条件 _时，有 平面解析：因为 H， D，所以平面 平面 线段 任一点 M 与 N 相连，有 平面 填 M 线段 答案： M 线段 、解答题 3 9 (2012 高考辽宁卷 )如图，直三棱柱 B C ， 90 ， 2， 1，点 M， N 分别为 A B 和 B C 的中点 (1)证明： 平面 A ； (2)求三棱锥 A 体积 (锥体体积公式 V 13中 S 为底面面积， h 为高 ) 解： (1)证明：法一：如图，连接 、 ，因为 90 ， 以三棱柱 B C 为直三棱柱， 所以点 M 为 的中点 又因为点 N 为 B C 的中点， 所以 又 面 A ， 平面 A ， 因此 平面 A 法二：取 A B 的中点 P，连接 而点 M， N 分别为 与 B C 的中点， 所以 ， A C ， 所以 平面 A ， 平面 A 又 P，因此平面 平面 A 而 面 因此 平面 A (2)法一：连接 题意得 A N B C ， 平面 A B C 平面 B B C ， 所以 A N 平面 又 A N 12B C 1. 故 12 12 16. 法二： 12 16. 10已知：如图，斜三棱柱 D、 C、 (1)当 平面 4 (2)若平面 平面 解： (1)如图，当 1时 1，连结 ，连结 由棱柱的性质，知四边形 所以点 O 为 中点 在 O、 1B、 又 面 面 平面 1 时， 平面 (2)由已知，平面 平面 且平面 平面 平面 平面 因此 理 又 1，所以 1，即 1. 11 (探究选做 )(2011 高考山东卷 )在如图所示的几何体中，四边形 平行四边形， 90 ， 平面 2(1)若 M 是线段 中点，求证： 平面 (2)若 2二面角 大小 解： (1)证明：法一： 因为 90. 所以 90 ， 由于 2 因此 2连接 于 12 在 ， M 是线段 中点， 5 则 12此 所以四边形 平行四边形，因此 又 面 面 所以 平面 法二：因为 90 ，所以 90 ， 由于 2 所以 2取 中点 N，连接 因此四边形 平行四边形，所以 在 ， M 是线段 中点，连接 则 因为 N，所以平面 平面 又 面 以 平面 (2)法一：因为 90 ，所以 90. 又 平面 所以 两垂直 分别以 在直线为 x 轴， y 轴和 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 22，则由题意得 A(0,0,0)， B(2， 2,0)， C(2,0,0)， E(0,0,1)， 所以 (2， 2,0)， (0,2,0) 又 12以 F(1， 1,1)， ( 1,1,1) 设平面 法向量为 m ( 则 m 0， m 0，所以 0， 取 1，得 1，所以 m (1,0,1) 设平面向量 法向量为 n ( 则 n 0， n 0，所以 y2，0， 取 1，得 1，则 n (1,1,0) 所以 m， n m n|m| n| 12. 因此二面角 大小为 60. 6 法二：由题意知，平面 平面 取 中点 H，连接 因为 所以 则 平面 过 H 向 垂线交 R，连接 所以 二面角 平面角 由题意，不妨设 22， 在直角梯形 ，连接 又 2 2，所以 1， 2， 因此在 ， 63 . 由于 122， 所以在 ， 263 3. 因此二面角 大小为 60. 1 2014 届高考数学一轮复习 线与平面平行、平面与平面平行（ A、 B）随堂检测 文（含解析）新人教 A 版 (2011 高考安徽卷 )如图， 多面体，平面 平面 直，点 O 在线段 ， 1， 2， 是正三角形 (1)证明直线 (2)求棱锥 F体积 解： (1)证明：如图所示，设 G 是线段 长 线与线段 长线的交点 由于 是正三角形，且 21，所以 22. 同理，设 G 是线段 长线与线段 长线的交点，有 2 和 G 都在线段 延长线上，所以 G 与 G 重合 在 ，由 2 2知 B、 C 分别是 中点，所以 中位线，故 (2)由 1， 2， 60 ，知 S 32 ，而 边长为 2 的正三角形，故 S 3. 所以 S 四边形 S S 3 32 . 过点 F 作 点 Q，由平面 平面 ， 是四棱锥 F 3，所以 13S 四边形 32. 1 2014 届高考数学一轮复习 线与平面垂直、平面与平面垂直（ A、 B） 课时闯关 文（含解析）新人教 A 版 一、选择题 1 (2011 高考浙江卷 )下列命题中错误的是 ( ) A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l 平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析：选 平面 ， 垂直时，设交线为 l，则在平面 内与 l 平行的直线都平行于平面 ，故 A 正确；如果平面 内存在直线垂直于平面 ，那么由面面垂直的判定定理知 ，故 B 正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故 C 正确；两个平面 ， 垂直时，平面 内与交线平行的直线与 平行，故 D 错误 2 (2012 高考安徽卷 )设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线b 在平面 内，且 b m，则 “ ” 是 “ a b” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既 不充分也不必要条件 解析：选 ，因为 m， b ， b m，则根据两个平面垂直的性质定理可得 b ，又因为 a ，所以 a b； 反过来，当 a m 时，因为 b m，一定有 b a，但不能保证 b ，所以不能推出 . 3已知 、 表示两个互相垂直的平面， a， b 表示一对异面直线，则 a b 的一个充分条件是 ( ) A a ， b B a ， b C a ， b D a ， b 解析：选 ，若 a ， b ，则直线 a， b 不一定垂直，不合题意；对于 B，若 a ， b ，则 直线 a， b 不一定垂直，不合题意；对于 C，若 a ， b ，则直线a， b 不一定垂直，不合题意；对于 D，若 a ， b ，则 a . 4 (2011 高考大纲全国卷 )已知直二面角 l ，点 A ， l， C 为垂足，点 B ， l， D 为垂足若 2， 1，则 ( ) A 2 B. 3 C. 2 D 1 解析：选 接 直二面角 l 中， l， ， 直角三角形， 22 12 3. 在 ， 3， 1， 3 2 1 2. 5. 如图：正方体 在侧面 且总保持 动点 P 的轨迹是 ( ) 2 A线段 线段 D 点与 解析：选 1， 的轨迹上两点，则 A、 A、 2确定一个平面 ，与平面 于直线 知 平面 ， 在平面1C 与点 A 确定的平面与 P 点的轨迹为线段 二、填空题 6从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题： 斜足连线能构成正三角形； 斜足连线不能构成直角三角形； 垂足是斜足连线所构成三角形的外心； 垂足是斜足连线所构成的三角形的内心 其中正确命题的序号是 _ 解析：由斜线段、垂线段、射影构成的三角形全等，且垂足是斜足连线构成三角形的外心，故 、 正确 答案： 7如图所示，在四棱锥 P ， 底面 面各边都相等， M 是 的一动点，当点 M 满足 _时，平面 平面 注：只要填写一个你认为正确的即可 ) 解析：由三垂线定理可知 (或 ，即有 平面 以平面 平面 答案： 、 是两个不同的平面， m、 n 是平面 及 之外的两条不同直线给出四个论断： m n； ； n ； m . 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_ 解析：如图，由 ， n ， m ，得 m n. 3 由 m n， n ， m ，得 . 答案： 或 三、解答题 9 (2012 高考大纲全国卷 )如图，四棱锥 P ，底面 菱形， 底面2 2， 2， E 是 的一点， 2(1)证明： 平面 (2)设二面角 A C 为 90 ，求 平面 成角的大小 解： (1)证明：因为底面 菱形，所以 又 底面 所以 如图，设 F，连接 因为 2 2， 2， 2 2 3， 2 33 ， 2， 从而 6， 6. 因为 所以 90 ， 由此知 因为 平面 两条相交直线 垂直，所以 平面 (2)在平面 过点 A 作 G 为垂足 因为二面角 A 为 90 ，所以平面 平面 又平面 平面 平面 因为 平面 两条相交直线 垂直，故 平面 是 以底面 正方形， 2， 2 2. 设 D 到平面 距离为 d. 因为 面 面 故 平面 A、 D 两点到平面 距离相等， 即 d 2. 设 平面 成的角为 ，则 12. 所以 平面 成的角为 30. 4 10 (2013 山东淄博模拟 )在正方体 M、 N 分别是 中点 (1)求证：平面 平面 (2)在棱 ，使得 平面 存在，确定点 P 的位置；若不存在，请说明理由 解： (1)证明：连结 又 M、 N 分别是 中点， 平面 面 B， 平面 面 平面 平面 (2)在棱 ，使得 平面 且 3 1，即在线段 靠近点 设 交点为 Q，连结 则平面 平面 当 平面 ，根据线面平行的性质定理得 3 1. 11 (探究选做 )(2011 高考江西卷 ) 如图，在 ， B 2 ， 2， P 为 上一动点， 点 D，现将 折至 ，使平面 平面 (1)当棱锥 A 体积最大时， 求 长； (2)若点 P 为 中点， E 为 A C 的中点，求证： A B 解： (1)令 x(0 x 2)，则 A P x， 2 x. 因为 A P 平面 A 平面 故 A P 平面 所以 13 16(2 x)(2 x)x 16(4x 令 f(x) 16(4x 5 由 f( x) 16(4 3 0，得 x 23 3(负值舍去 ) 当 x 0， 23 3 时， f( x) 0， f(x)单调递增； 当 x 23 3， 2 时， f( x) 0， f(x)单调递减 所以当 x 23 3时， f(x)取得最大值 故当 2 33 . (2)证明：设 F 为 A B 的中点，如图所示，连接 则有 22所以 D. 所以四边形 平行四边形所以 又 A P 以 A B，故 A B. 1 2014 届高考数学一轮复习 线与平面垂直、平面与平面垂直（ A、 B）随堂检测 文（含解析）新人教 A 版 (2011 高考江苏卷 )如图，在四棱锥 ，平面 平面 60 ， E， F 分别是 中点 求证： (1)直线 平面 (2)平面 平面 证明： (1)在 ，因为 E， F 分别为 中点，所以 F平面面 以直线 平面 (2)如图，连接 因为 60 ， 所以 正三角形 因为 F 是 中点，所以 因为平面 平面 面 面 平面 所以 平面 又因为 平面 以平面 平面 1 2014 届高考数学一轮复习 间向量及其运算（ B） 随堂检测 文（含解析）新人教 A 版 (2011 高考陕西卷 )如图，在 ， 60 ， 90 ， 的高，沿 起，使 90. (1)证明：平面 平面 (2)设 E 为 中点，求 与 夹角的余弦值 解： (1)证明： 折起前 上的高， 当 起后， 又 D， 平面 面 平面 平面 (2)由 90 及 (1)，知 两垂直 不妨设 | 1，以 D 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 x， y， z 轴建立如图所 示的空间直角坐标系，易得 D(0， 0,0)， B(1， 0,0)， C(0,3,0)， A(0,0， 3)， E 12， 32， 0 ， 12， 32， 3 ， (1,0,0)， 与 夹角的余弦值为 ， | |121 224 2222 . 1 2014 届高考数学一轮复习 间向量及其运算（ B）课时闯关 文（含解析）新人教 A 版 一、选择题 1已知正方体 A B C D 中，点 F 是侧面 C 的中心，若 ，则 x y 等于 ( ) A 0 B 1 D 12 解析：选 12 12 . 2已知点 A( 3， 1， 4)关于原点的对称点为 A 在 面上的射影 为 在 y 轴正方向上的投影为 ( ) A 2 B 1 C 1 D 2 解析：选 3,1,4)， 3,0， 4) ( 6， 1， 8)， y 轴正方向上的单位向量 e (0,1,0)， 投影为 e 1. 3 O、 A、 B、 C 为空间四个点，又 、 、 为空间的一个基底，则 ( ) A O、 A、 B、 C 四点不共线 B O、 A、 B、 C 四点共面，但不共线 C O、 A、 B、 C 四点中任意三点不共线 D O、 A、 B、 C 四点不共面 解析：选 、 、 三个向量不共面，但 A、 B、 C 三种情形都有可能使 、 、 共面只有 D 才能使这三个向量不共面，故应选 D. 4已知 A、 B、 C 是平面上不共线的三点， O 是三角形 重心，动点 P 满足 13(12 12 2)，则点 P 一定为三角形 ( ) A 中线的中点 B 中线的三等分点 (非重心 ) C重心 D 的中点 解析：选 B 边的中点 M， 则 2， 由 13(12 12 2)可得 3 3 2， 2 23，即点 P 为三角形中 上的中线的一个三等分点，且点 P 不过重心，故选B. 5已知空间任一点 O 和不共线的三点 A， B， C，满足 (x， y， zR)，则 “ x y z 1” 是 “ 点 P 位于平面 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 C.若 x y z 1，则 x 1 y z. (1 y z) ， y( ) z( )， ， ， ， 共面，即四点共面反之也成立 二、填空题 6 (2011 高考大纲全国卷 )已知点 E、 F 分别在正方体 1 22面 面 成的二面角的正切值等于 _ 解析：如图，建立空间直角坐标系 设面 法向量为 (0,0,1)， 面 法向量为 (x， y， z) 设正方体的棱长为 1， A(1,0,0)， E 1， 1， 13 ， F 0， 1， 23 ， 0， 1， 13 ， 1， 0， 13 ， 则 y 13z 0， x 13z 0，取 x 1，则 y 1， z 3， 故 (1， 1,3)， n2| 3 1111 ， 面 面 成的二面角的平面角 满足 3 1111 ， 2211 ， 23 . 答案： 23 7 (2012 高考四川卷 )如图，在正方体 1M、 N 分别是棱 异面直线 成的角的大小是 _ 3 解析：以 D 为原点， 图略 )，设 1，则 D(0,0,0)， N 0， 1， 12 ， M 0， 12， 0 ， ,0,1)， 0， 1， 12 ， 1， 12， 1 ， 10 1 12 121 0， ， 成的角的大小是 90. 答案： 90 8已知平行六面体 顶点 A 为端点的三条棱长都等于 1，且两两夹角都是 60 ，则对角线 _ 解析： |2 2 ( )2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 12 2 12 2 12 6，所以 | 6. 答案： 6 三、解答题 9如图所示，平行六面体 E、 F 分别在 ，且 | 13| 23| (1)求证： A、 E、 F 四点共面； (2)若 ，求 x y z 的值 解： (1)证明： 13 23 ( 13) ( 23) ( ) ( ) . A、 E、 F 四点共面 (2) ( ) 23 13 13， x 1， y 1， z 13， x y z 13. 10 (2011 高考四川卷 )如图，在直三棱柱 1 90 ， 棱 P 是 延长线与 平面 4 (1)求证 ： (2)求二面角 A 的平面角的余弦值； (3)求点 C 到平面 距离 解：如图，以 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 则 ,0,0)， ,0,0)， ,1,0)， B(1,0,1) (1)证明：设 x， x. 由此可得 D(0,1， x)， P(0,1 x， 0) (1,0,1)， (0,1， x)， 1， 1 x， 0 . 设平面 一个法向量为 (a， b， c)， 则 a c 0， b 0，令 c 1，则 (1， x， 1) 平面 1( 1) x 1 x ( 1)0 0. 由此可得 x D (2)由 (1)知，平面 一个法向量 1， 12， 1 . 又 (1,0,0)为平面 一个法向量， n2| 11 32 23. 故二面角 A 的平面角的余弦值为 23. (3) (1， 2,0)， 0， 1， 12 ， 设平面 一个法向量为 ( 5 则 20， 0.令 1，可得 1， 12， 1 . 又 0， 0， 12 ， C 到平面 距离 d | 13. 11 (探究选做 )已知空间三点 A(0,2,3)， B( 2,1,6)， C(1， 1,5) (1)求以 ， 为边的平行四边形的面积； (2)若 |a| 3，且 a 分别与 A B ， 垂直，求向量 a 的坐标 解： (1)由题意可得： ( 2， 1,3)， (1， 3,2)， ， | | 2 3 614 14 714 12， ， 32 ， 所以，以 ， 为边的平行四边形的面积 S 2 12| | ， 14 32 7 3. (2)设 a (x， y， z)， 由题意得 3， 2x y 3z 0，x 3y 2z x 1，y 1，z 1，或 x 1，y 1，z 1. a (1,1,1)或 a ( 1， 1， 1) 1 2014 届高考数学一轮复习 间角（ A、 B）课时闯关 文（含解析）新人教 A 版 一、选择题 1 (2011 高考辽宁卷 )如图，四棱锥 底面为正方形， 底面 下列结论中不正确的是 ( ) A 平面 平面 成的角等于 平面 成的角 D 成的角等于 成的角 解析：选 C 平面 而 A 正确； 面 平面 B 正确；由于 平面 相对位置一样，因而所成的角相同 2若二面角 l 的大小为 3 ，直线 m ，则 所在平面内的直线与 m 所成角的取值范围是 ( ) A (0， 2) B 3 ， 2 C 6 ， 2 D 6 ， 23 解析：选 l 的大小为 3 ，直线 m ，得 m 与 所成的角的大小为 6 ，于是 所在平面内的直线与 m 所成的角的最小值为 6 ，而最大值为 2. 3正方体 ) A. 23 B. 33 D. 63 解析：选 结 O，连结 于 易知 为所求 设正方体的棱长为 1， 则 1， 22 ， 62 ， 26 63 . 3 . 4已知正四棱柱 2E 为 异面直线 ) 2 A. 1010 010 析：选 结 异面直线 E 与 a，则 a， 5a， 2a. 在 ，由余弦定理得 252a 5a3 1010 . 5如图，在长方体 2， 2 ，则 成角的正弦值为 ( ) A. 63 . 155 D. 32 解析：选 1C，则 2 ， 长方体 ， 连结 平面 成的角， 2， 2， 2 2， 12，故选 B. 二、填空题 6. 3 如图，过边长为 1 的正方形 顶点 A 作线段 平面 A 1，则平面 成角为 _ 解析：由二面角的平面角的定义易知 为两个侧面所成的平面角 在 ， 90. 11， 45 ， 即平面 平面 成角为 45. 答案： 45 7 (2012 高考大纲全国卷 )三棱柱 面边长和侧棱长都相等， 60 ，则异面直线 _ 解析：连接 ，取 ，连接 O、 D 分别为 设各棱长为 a，则 32 a. 60 ， 32 a. 又 ， 2 ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | 2a. 1222 a. 在 由余弦定理得 32 a 2 22 a 2 32 a 22 32 a 22 a 66 ， 6 . 答案： 66 8已知 90 ，过 O 点引 在平面的斜线 别成 45 、 60角，则以 棱的二面角 A B 的余弦值等于 _ 解析：在 取一点 D，使 1，过 D 分别作 E， F， 为二面角 A B 的平面角又 1， 2， 3， 2， 在 ， 6， 4 在 ，由余弦定理得 33 . 答案： 33 三、解答题 9正方体 ， P 是 中点，求二面角 A P 的大小 解：如图所示 过点 P 作 ， ，连结 因为 面 以 又 A，所以 面 E 以 所以 所求二面角的平面角 易得 52 ， 32 ，所以 22 . 又 22 24 ，所以 12， 所以 30 ， 即二面角 A P 的大小为 30. 10 (2012 高考四川卷 )如图，在三棱锥 P， 90 ， 60 ， P 在平面 的射影 O 在 (1)求直线 平面 成的角的大小； (2)求二面角 B 的大小 解：法一： (1)如图 (1)，连结 直线 平面 成的角 图 (1) 设 中点为 D，连结 因为 以 90 ， 60 ，所以 等边三角形 不妨设 2，则 1， 3， 4. 所以 2 3， 1 12 13. 在 ， 313 3913 . 故直线 平面 成的角的大小为 913 . (2)过 D 作 E，连结 由已知可得， 平面 根据三垂线定理知， 所以 二面角 B 的平面角由 (1)知， 3. 5 在 ， 2 33 2. 故二面角 B 的大小为 . 图 (2) 法二： (1)设 中点为 D，连结 因为 O 在 ，且 O 为 P 在平面 的射影，所以 平面 所以 由 设 E 为 中点，则 而 如图 (2)，以 O 为坐标原点， 在直线分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 O不妨设 2，由已知可得， 4， 1， 3， 2 3. 所以 O(0,0,0)， A( 1,0,0)， C(1,2 3， 0)， P(0,0， 3) 所以 ( 1， 2 3， 3)，而 (0,0， 3)为平面 一个法向量 设 为直线 平面 成的角， 则 | | 0 0 316 3 34 . 故直线 平面 成的角的大小为 4 . (2)由 (1)知， (1,0， 3)， (2,2 3， 0) 设平面 一个法向量为 n (则 n APn n 0n 0 0， 3 0， 2 3， 3 0，22 3 0.取 3，则 1， 1，所以 n ( 3， 1,1) 设二面角 B 的平面角为 ，易知 为锐角 而平面 一个法向量为 m (0,1,0)，则 n m|n|m| 13 1 1 55 . 故二面角 B 的大小为 5 . 11. (探究选 做 )如图， 圆 O 的直径，点 E、 F 在圆 O 上， 形 在平面和圆 O 所在的平面互相垂直已知 2， 1. 6 (1)求证：平面 平面 (2)求直线 平面 成角的大小； (3)当 长为何值时，二面角 D B 的大小为 60 ？ 解： (1)证明： 平面 平面 面 平面 面 面 又 圆 O 的直径， 平面 面 平面 平面 (2)根据 (1)的证明，有 平面 平面 的射影，因此， 直线 平面 成的角 四边形 等腰梯形， 过点 F 作 H. 2， 1，则 12. 在 ，根据射影定理 得 1， 12， 30 ， 直线 平面 成角的大小为 30. (3)过点 A 作 延长线于点 M，连结 根据 (1)的证明， 平面 二面角 D B 的平面角， 60. 在 ， 12， 1， 32 . 又 四边形 矩形， 32 . 32 3 32. 因此，当 长为 32时，二面角 D B 的大小为 60. 1 2014 届高考数学一轮复习 间角（ A、 B）随堂检测 文（含解析）新人教 A 版 如图，在三棱锥 P ， 底面 60 ， 90. (1)求证： 平面 (2)若 D， E， F 分别为 中点，在 是否存在一点 G，使得 平面 存在，请指出点 G 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)求二面角 A C 的余弦值 解： (1)证明： 底面 90 ， C A， 平面 (2)点 G 为 中点时， 平面 证明如下：取 中点 H，连结 平面 G 平面 H，故平面 平面 又 平面 平面 (3)法一： 底面 平面 底面 点 C 作 点 M，根据面面垂直的性质定理可知， 平面 点 M 作 点 N，连结 为二面角 A C 的平面角 在 ，设 a，则 2a， 3a， 则 32 t ， 2 2a， 7a， 故 7a a 144 t ， 2 a 427 ，故 77 . 2 法二：建立如图所示的空间直角坐标系 A 2， 则 P(0,0,2)， B(0,2,0)， 故 C( 32 ， 32， 0)， (0,2， 2)， ( 32 ， 12， 0) 设 n (x， y， z)为平面 法向量，则 n 0n 0，即 2y 2z 032 x12y 0，取 x 1， 则 y z 3，故平面 一个法向量是 n (1， 3， 3)， 又 v (1,0,0)为平面 一个法向量， 故二面角 A C 的余弦值是 n v|n|v| 17 77 . 1 2014 届高考数学一轮复习 间距离课时闯关 文（含解析）新人教 A 版 一、选择题 1与空间不共面的四点等距离的平面共有 ( ) A 3 个 B 4 个 C 6 个 D 7 个 解析：选 作平面有两种情况：即平面两侧有一点和三点，平面两侧各有两点 (1)平面两侧有一点和三点，可把四面体看作一个三棱锥，作这个三棱锥的高的中垂面，满足条件，这样的平面有 4 个； (2)平面两侧各有两个点，可把四面体看作两条异面直线， 则异面直线的公垂线段的中垂面满足条件，这样的平面有 3 个故共有 7 个，选 D. 2 (2011 高考大纲全国卷 )已知直二面角 l ，点 A ， l， C 为垂足， B ， l， D 为垂足，若 2， 1，则 D 到平面 距离等于 ( ) A. 23 B. 33 C. 63 D 1 解析：选 如图，在直二面角 l 中， l， ， 平面 平面 过 D 作 足为 H， 则 平面 即 D 到平面 距离 ， ， 在 ， 1， 2， 90 ， 22 12 3. 在 ， 3， 1， 3 1 2. 由 1212 121 2 12 3 63 . 法二： 如图，连接 2， 1，同法一可得 3， 2. 2 12 121 3 32 ， 1212 21 22 . 设 D 到平面 距离为 h， 则由 V 三棱锥 DV 三棱锥 A 13S h 13S 即 13 32 h 13 22 1 ， h 63 . 3 (2011 高考重庆卷 )高为 24 的四棱锥 S底面是边长为 1 的正方形，点 S、 A、B、 C、 D 均在半径为 1 的同一球面上，则底面 中心与顶点 S 之间的距离为 ( ) A. 24 B. 22 C 1 D. 2 解析：选 四棱锥 S外接球球心为 E，底面 中心为 O，则 平面 t ， 1， 22 ， 22 . 四棱锥 S高为 24 ， 2过 S 作 点 M，则 24 . 在 ， 1， 1 24 2 78， 78， 78 18 1. 4 (2013 新乡模拟 )如图，正方体 ， O 是底面 点 O 到平面 ) B. 24 3 C. 22 D. 32 解析：选 B. O 为 到该平面距离的 2 倍 如图，连结 1， A平面 又 | 22 ， O 到平面 4 . 5 (2012 高考大纲全国卷 )已知正四棱柱 2， 2 2， E 为点，则直线 距离为 ( ) A 2 B. 3 C. 2 D 1 解析：选 图 (1)，连接 点 O，连接 图 (1) O， E 分别为 面 平面 平面 又由正四棱柱的性质知 C， 平面 又 平面 平面 平面 直线 距离 分别过 C， E 作 足为 F， P，则 为所求，且 2在 ， 2 2. 在 2 2 2 2 4. 4 由 1212F 2， 121. 即直线 距离为 1. 图 (2) 法二：如图 (2)，连接 点 O，连接 O， E 分别为 而 平面 平面 平面 又由正四棱柱的性质知 C， 平面 又 平面 平面 平面 直线 距离即为点 A 与平面 距离，设此距离为 h， 由 3S h 13S 由题意知 2， S 1222 2. 又 2， 2， 22 2 2 6. 同理可求得 6， 在 ， 2 2， 2. 在 ， 2. S 12122 22 2 2. 由 13S h 13S h 1. 直线 距离为 1. 二、填空题 6 (2011 高考福建卷 )如图，正方体 12，点 E 为 中点，点F 在 若 平面 线段 长度等于 _ 解析：由于在正方体 12， 2 2. 5 又 E 为 点， 平面 平面 平面 平面 F 为 点， 122. 答案： 2 7 (2013 石家庄模拟 )如图，在正三棱柱 2，二面角 C 1的大小为 60 ，则点 C 到平面 _ 解析：取 中点 D，连结 则有 60. 又 2，因此 3， 又 3， 故 3， 32 22 13. 设点 C 到平面 h， 则由 得 13S h 13S h S 34 223122 13 1 32， 即点 C 到平面 2. 答案： 32 8已知 平面 所成角分别为 60 、 45 、 30 ， 平面 ， O 为垂足 ，又斜足 A、 B、 C 三点在同一直线上，且 10 长等于 _ 解析：由已知得 次为 平面 所成的角， 则 60 ， 45 ， 30 ， 设 h，则 33 h， h， 3h， 而 0， 6 于是， 102 30 h 102 0 h 0，解得 h 5 6. 答案： 5 6 三、解答题 9. 如图，已知四边形 正方形， 平面 a， a，求：