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年高 数学 第二 平面 解析几何 初步 练习 打包 34 苏教版 必修

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2015年高中数学 第二章 平面解析几何初步（学案+练习）（打包34套）苏教版必修2,年高,数学,第二,平面,解析几何,初步,练习,打包,34,苏教版,必修

内容简介：

1 点到直线的距离 （） 【学习导航】 知识网络 学习要求 1 掌握点到直线的距离公式，并能熟练运用这一公式 解决一些简单问题 ； 2 会通过方程的思想，根据已知若干点到直线的距离大小（或关系）求点的坐标或直线的方程 ； 3 掌握 两 条 平行直线之间的距离 求法 【课堂互动】 自学评价 1 点00( , )P x l ： 0 0022|A x B y 注意： （ 1） 公式中的直线方程必须化为一般式； （ 2） 分子带绝对值，分母是根式 22； 思考：当 0A 或 0B 时 公式成立吗 ？ 答： _成立 _ 2. 两条平行直线 1l ： 01 2l ：02 21 ）之间的距离为d ，则 1222| 注意： 两条平行直线 1l 与 2l 的形式必须是一般式，同时 x 和 y 前面的系数必须化为一致 【 精典范例 】 例 1： 求点 )2,1(P 到下列直线的距离： （ 1） 0102 （ 2） 23 x 分析： 直接利用 点到直线的距离公式 求解 【 解 】 （ 1）由点到直线的距离公式， 得 ：22 12|102)1(2|d 510 52 ； （ 2）因为直线 23 x 平行于 y 轴， 所以 )1(32 d=35 点评 :本题（ 1）直接利用 点到直线的距离 公式即可得到相应的距离（ 2）可以运用公式（ 0B ），亦可利用该直线 平行于 y 轴 的性质求解 例 2： 求过点 )2,1(P ，且与原点的距离等于22的直线方程 分析： 已知直线经过一个点的情况下通 常可以设点斜式，然后利用 点 到直线的距离 公式求出相应的斜率即可 得出相应的直线方程 【 解 】 当 直线 斜率不存在时， 方程为 1x ，不合 题意 ； 当 直线 斜率存在时， 设方程为： 2 ( 1)y k x ， 即 ： 20kx y k ， 由题意：22122 解得 ： 1k 或 7k ， 所以，所求的直线 方程为： 01 057 点评 :本题设直线方程 时一定要先考虑直线的斜率是否存在，体现数学 思维 的严密性与分类的思想 例 3： 求 两条 平行线 043 0962 间 的距离 分析 ： 两 条 平行直线 之间的距离只要在其中一条上任意取一个点，算出该点到另一直线的距离即可，从而 将 平行直线之间的距离 转化为点到直线的距离 【 解 】 在直线 043 任取一点， 例如取 )0,4(P ，则点 )0,4(P 到直线 0962 距离 d 就是两平行线之间的距离， 2010401629064222 d 点评 :本题将所学的点到直线的距离进行了灵活运用，使我们通过点到直线的距离公式算出了平行直线间的距离 通过本题将问题一般化，对于任意两条 平行直线 1l ： 01 2l ： 02 21 ）之间的距离为2221 例 4:若直线 1l 与直线 2l 3 4 2 0 0 平行点到直线的距离 点到直线的距离公式 两 条 平行直线之间 的距离公式 听课随笔 2 且距离为 3 ，求直线 1l 的方程 分析：因为直线 1l 与 2l 平行，所以直线 1l 与 2以设直线 1l 为 3 4 0x y m 【 解 】 设所求直线方程为 3 4 0x y m ， 由题 意可得，22| 2 0 | 334m ， 解得 ： 5m 或者 35m ， 所以，所求的直线方程为： 3 4 5 0 或 3 4 3 5 0 点评 :本题的关键是怎样设 直线 1l ，充分利用了 两条 直线 平行的性质，从而减少未知量，简化解题步骤 追踪训练一 在直 线 2 4 0 上， O 为原点，则 最小值为 455； 2. 直线 l 过点 (5,10)P ，且与原点的距离等于 5 ，则直线 l 的 方程 为 ： 3 4 2 5 0 或 5x 3. 1l ： 2 3 4 0 ,2l ： 4 6 5 0 之间的距离为 132 已知平行线 0332 0932 求与它们等距离的平行线的方程 【 解 】 设所求直线方程为 2 3 0x y m ， 由题意可得，22| 3 |23m 22| 9 |23m，解得6m 所以，所求的直线方程为： 2 3 6 0 思维点拔： 点00( , )P x l ： 0 A ， B 不同时为 0 ） 的距离 ：0022|A x B y 使用该公式时应该注意： （） 公式中的直线方程必须化为一般式；（） 若点00( , )P x l 上，则 P 到直线 l 的距离为 0 ，此时公式仍适用； （） 特别 地，点00( , )P x y到 x 轴的距离为0|y，到 y 轴的距离为0|x 两条平行直线 1l ： 01 2l ：02 21 ）之间的距离 ：1222|使用该公式时应该注意： 两条平行直线 1l 与 2l 的形式必须是一般式，同时 x 和 y 前面的系数必须化为一致 学生质疑 教师释疑 听课随笔 听课随笔 1 第 10 课时 点到直线的距离（） 分层训练 点 (0,1) 到直线 3 4 6 0 的距离 ( ) ()A 25 ()B 35 ()C 95 ()D 2 两条平行线 5 1 2 2 0 ， 5 1 2 1 1 0 之间的距离等于（ ） ()A 1699 ()B 131 ()C 139 ()D 1 若直线 21与直线 2y x b之间的距离等于 5 ，则 b 等于 ( ) ()A 4 ()B 5 或 5 ()C 6 ()D 4 或 6 4点 P(, m )到直线 1 ( ) ()A 22 ()B 22 ()C 22 ()D 22 5直线 l 过点 (1,2) ，且两点 (2,3) ， (4, 5) 到 l 的距离相等 , 则直线 l 的方程为 ( ) ()A 4 6 0 ()B 4 6 0 ()C 3 2 7 0 或 4 6 0 ()D 2 3 7 0 或 4 6 0 6以 (2,1)A ， (4,2)B ， (8,5)C 为顶点的三角形中 上的高等于（） ()A 25 ()B 45 ()C 65 ()D 2 7 过点 (1,1)作直线 l ,点 P(4,5)到直线 l 的距离的最大值等于 _ 8点 ( , 6 )直线 3 4 2的距离等于 4 ，a _ 9 已知平行四边形两条对角线的交点为 (1,1) ，一条边所在直线的方程为 3 4 12，则这条边的对边所在的直线方程为 【解】 在第一、三象限角平分线上求一点 P ，使它到直线 2 4 0 的距离等于 5 ，求点 P 的坐标 【解】 拓展延伸 直线 l 在两坐标轴上的截距相等，且(4,3)P 到直线 l 的距离为 32，求直线 l 的方程 【解】 已知直线 l 经过点 ( 1,1)P ，它被两平行 2 直线 1l ： 2 1 0 ， 2l ： 2 3 0 所截得的线段 1M 2M 的中点 M 在直线3l：10 上，试求直线 l 的方程 【解】 第 10 课时 点到直线的距离（ 1） ()A ()C ()D ()A ()C ()A 5 2a 或 463 设所求直线方程为 3 4 0x y m ， 由题意可得，2 2 2 2| 1 | | 3 4 1 2 |3 4 3 4m ， 解得 ： 14m 或 12m （舍）， 所以，所求的直线方程为： 3 4 1 4 0 由题意第一、三象限角平分线的方程为，设 00( , )P x y ，则 00，即 00( , )P x x 所以0022| 2 4 | 512 ， 解得：0 1x 或0 9x ， 所以点 P 的坐标为： (1,1) 或 ( 9, 9) 11由题意：当直线 l 在两坐标轴上的截距为 0时， 设 l 的方程为 y （截距为 0 且斜率不存在时不符合题意） 则22| 4 3 | 321，解得： k 12 3 142， 所以直线 l 的方程为： 1 2 3 1 42 当直线 l 在两坐标轴上的截距不为 0 时， 设 l 的方程为 1，即 0x y a， 则 | 4 3 | 322a ，解得： a 13 或 1a ， 所 以 直 线 l 的 方 程 为 ： 13 0 或10 综上所述：直线 l 的方程为： 1 2 3 1 42或13 0 或 10 设 ( , 1)M t t ，则 M 到两平行线段的距离相等， 22| 2 ( 1) 1 |12 22| 2 ( 1) 3 |12 43t，即 41( , )33M直线 l 过 ( 1,1)P ， 41( , )33以， l 的方程为 2 7 5 0 本节学习疑点： 学生质疑 教师释疑 1 二 节 点到直线的距离（） 【学习导航】 知识网络 学习要求 1 巩固 点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式； 2 掌握点、直线关于点成中心对称（或关于直线成轴对称）的点、直线的求解方法 ； 3 能运用 点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式灵活解决一些问题 【课堂互动】 自学评价 0( , )Q x , )Qx y 关于点 ( , ) 则 02a , 02b 2. 若0 0 0( , )Q x , )Qx y 关于直线 0 称 , 则0 0 0( , )Q x , )Qx y 的中点 落 在 直线0 , 且0 的连线与 0 直 . 【 精典范例 】 例 1： 在直线 30上找一点 ,使它到原点和直线 3 2 0 的距离相等 分析： 直线 30与直线 3 2 0 平行， 即 可 算出 它们之间的距离 ，然后利用两点之间的距离公式算出该点的坐标 【 解 】 直线 30与 3 2 0 之间 的距离为 ：22| 2 0 | 10513 设直线 30上的点00( , )P x 0022 2003010()5 ， 解得 003515 或 003515 ， 所求点的坐标为 31( , )55或 31( , )55 点评 :本题主要利用两条平行直线之间的距离公式解决问题，是对上节课所学内容的一个复习与巩固 例 2： 求直线 2 1 1 1 6 0 关于点 (0,1)方程 分析： 解题的关键 是 中心对称的两直线互相平行，并且两直线与对称中心的距离相等 【 解 】 设所求直线的方程为 2 1 1 0x y C ， 由点到直线的距离公式可得 2 2 2 2| 0 1 1 1 6 | | 0 1 1 |2 1 1 2 1 1C ， 16C （舍去）或 38C ， 所以，所求直线的方程为 2 1 1 3 8 0 点评 :本题也可以利用点与点的对称，设直线2 1 1 1 6 0 上任意一点 0 0 0( , )A x y （0 0 0( , )A x 1 1 1 6 0 上，所以002 1 1 1 6 0 ） 与 (0,1)P 对称的点为( , )Ax y 则 0 02 ， 0 12 解得0，0 2，然后将0x，0入002 1 1 1 6 0 求出所求直线，比较而言 ， 此法注重轨迹的推导过程 ，而前面的方法比较简便， 为 求直线关于点对称的直线方程的基本方法 （直线关于点对称的问题） 例 3： 已知直线 1l ： 01 2l ： 032 求直线 2l 关于直线 1l 对称的直线 l 的方程 分析 ： 直线关于直线对称，可以在 2l 上任意取两个点，再分别求出这两个点关于直线 1l 的对称点，最后利用两点式求出所要求的方程 这里可以通过求出交点这个特殊点 以 简化计算 点到直线的距离公式 两 条 平行直线之间 的距离公式 直接运用公式求值 对称问题的运用 平面几何中的运用 听课随笔 2 【 解 】 由03201 解 得 ：3532 l 过点 25( , )33P ， 又显然 )1,1(Q 是直线 2l 上一点，设 Q 关于直线 1l 的对称点为00( , )Q x y， 则000011 10221 ( 1 ) 11 ， 解 得 ： 0002，即 (0,2)Q ， 因为 直线 l 经过点 P 、 Q ， 所以 由两点式得它的方程为 ： 042 点评 : 本题为 求直线关于第三条直线对称的直线方程的基本方法（两条直线关于第三条直 线对称的问题） 注意： 这里有一种特殊情况： 直线 0 于直线 对称的直线方程为 ： 0A y B x C 例 4： 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 分析： 要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离，故可考虑用点到直线的距离公式计算距离，因此必须建立直角坐标系 . 【 证明】 设 是 等腰三角形，以底边所在直线为 x 轴，过顶点 B 且垂直与 直线为 y 轴，建立直角坐标系（如图） 设)0,( ),0( 0a ， 0b )，则 )0,( 直线 方程： 1 即 ： 0 直线 方程： 1 即 ： 0 设底边 任意一点为 )0,(（ ）， 则 P 到 距离 2222)(| ， P 到 距离 2 2 2 2| | ( )b x a b b a b a b， A 到 距离 22222| 2 2 2 2( ) ( )b a x b a P Fa b a b 222 ab 故原命题得证 点评 :本题主要利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明方面的运用 ，运用代数方法研究几何问题 . 追踪训练一 点 P 在 x 轴上 ,若它到直线 4 3 3 0 的距离等于 1 ，则 P 的坐标是(2,0) 或 1( ,0)2 直线 43 于点 )1,2( P 对称的直线的方程为 3 1 0 0 3. 光线沿直线 l 1： 032 射到直线l 2： 40 上后反射，求反射线所在直线 3 【 解 】 由 2 3 040 ，解得： 711， 37, 11)P ， 又显然 (1,1)Q 是直线 1l 上一点，设 Q 关 于直线2l 的对称点为 00( , )Q x y ， 则000011 40221 ( 1 ) 11 ， 解得： 0055，即 ( 5, 5)Q ， 因为 直线 l 经过点 P 、 Q ， 所以 由两点式得它的方程为 2 1 5 0 求证：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰（所在直线）的距离的差的绝对值等于一听课随笔 3 腰上的高 分 析：要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离，故可考虑用点到直线的距离公式计算距离，因此必须建立直角坐标系 【证明】 设 是等腰三角形，以底边在直线为 x 轴，过顶点 B 且垂直 于直线为 y 轴，建立直角坐标系，如图， 设 ( ,0) (0, )0, 0)， 则 ( ,0)，直线 程为 ： 1，即 ： 0bx ay ， 直线 程为 ： 1， 即 ： 0bx ay ， 设 ( ,0)或 ) 是底边延长线上任意一点， 则 P 到 离为 2 2 2 2| | | ( ) |b x a b b x b a b， P 到 离为 2 2 2 2| | | ( ) |b x a b b x b a b， A 到 离为 2 2 2 2| | 2b a a b a b a b， 当 时， 2 2 2 2( ) ( ) 2| | | | | |b x a b x a a P Ea b a b 222 ab ， 当 时， 2 2 2 2( ) ( ) 2| | | | | |b a x b x a a P Ea b a b 222 ab ， 当 或 时， |E h， 故原命题得证 【 选修延伸 】 一、 数列与函数 例 :分别 过 )3,0(),0,4( 点作两条平行线，求满足下列条件的两条直线方程： （ 1）两平行线间的距离为 4 ；（ 2）这两条直线各自绕 A 、 B 旋转，使它们之间的距离取最大值 分析： （）两条平行直线分别过 ( 4,0)A ， (0, 3)B 两点 ,因此可以设出这两 条直线的方程之间 (注意斜率是否存在 )，再利用两条平行直线之间的距离公式，列出方程，解出所要求的直线的斜率；（）这两条平行直线与 直时，两直线之间距离最大 【 解 】 （ 1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为 0,4 满足题意 当两直线的斜率存在时，设方程分别为 )4( 3 即： 04 与 03 由题意： 41342 解得247k， 所以，所求的直线方程分别为： 028247 072247 综上：所求的直线方程分别为： 028247 072247 或 0,4 （ 2） 结合图形，当两直线与 直时，两直线之间距离最大，最大值为 | | 5，同上可求得两直线的方程此时两直线的方程分别为 01634 0934 点评 :（） 设直线方程时一定要先考虑直线的斜率是否存在 ，利用平行直线之间的距离公式列出相应的方程，解出相应的未知数；（）体现了数形结合的思想，通过图形，发现问题的本质 思维点拔： 对称问题 在遇到对称问题时关键是分析出是属于什么对称情况，这里 大致 可以分为：点关与点对称，点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称这四种情况，一旦确定为哪种情况后对应本节课的四种基本方法进行求解 追踪训练 二 1 两平行直线 1l ， 2l 分别过 (1,0)A ， (0,5)B （） 1l ， 2l 之 间的距离为，求两直线方 程； （）若 1l ， 2l 之间的距离为 d ，求 d 的取值范围 【 解 】（ 1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为 1x ， 0x ，不满足题意 当两直线的斜率存在时，设方程分别为 A C B E D P O x y 听课随笔 4 ( 1)y k x与 5y ， 即： 0kx y k 与 50kx y ， 由 题 意 ：25 51，解得 0k 或512k ， 所以，所求的直线方程分别为： 1l ： 0y ， 2l ： 5y 或 1l ： 5 1 2 5 0 ， 2l ： 5 1 2 6 0 0 （） (0, 26 d 学生质疑 教师释疑 听课随笔 1 第 11 课时 点到直线的距离 （） 分层训练 的顶点 (2, 4)A ， ( 2,2)B ， (3,4)C ，则 的面积为（ ） ()A 18 ()B 19 ()C 12 ()D 24 已知两点 (0,0)O ， (4, 1)A 到直线 2 60ax a y 的距离相等，则实数 a 可取的不同值共有 （ ） ()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个 直线 3 4 2 7 0 上到点 (2,1)P 距离最近的 点的坐标为 （ ） ()A (5, 3) ()B (9,0) ()C ( 3,5) ()D ( 5,3) 一个正方形的中心坐标是 ( 3,2) ，一条边所在的直线方程为 20 ，则这个正方形的面积等于 _ 点 P 在直线 3 5 0 上，且 P 到直线10 的距离为 2 ， P 的坐标 为 _ 直线 3 4 7 0 关于点 (1,1)P 对称的直线方程为 _ m 变化时两平行直线 3 4 1 0x y m 与 23 4 0x y m 之间的距离最小值为 _. 光线经过 ( 2,3)P 射到 x 轴上，反射后经过点 (1,1)Q ，则入射光线所在直线的方程为 _ 已知直线 l 到平行直线 1l ： 3 2 1 0 ，2l ： 3 2 1 3 0 的距离分别为 1d ， 2d ，比值为 2 ： 1 ，求直线 l 的方程 【解】 设动点 P 的坐标满足方程 221，求证：点 P 到直线 1l ： 0， 2l ： 0的距离之积为定值 【 证明 】 拓展延伸 已知三角形三个顶点 (3,3)A ， (2, 2)B ，( 7,1)C ，求 A 的平分线 在直线方程 【 解 】 x y C A B D 2 如图，已知正方形 中心( 1,0)E ，一边 在的直线方程为 3 5 0 ， 求其它三边所 在直线的方程 【解】 第 11 课时 点到直线的距离（ 2） ()B ()C ()A 18 (1,2) 或 (2, 1) 3 4 2 1 0 320 4 3 1 0 设 l ： 3 2 0x y C 则1| ( 1) |13 ， 2| ( 1 3 ) |13 1221 ，所以 | 1 | 2| 13 | 1 ，解得： 25C或 9 ， 所以 l 的 方 程 为 ： 3 2 2 5 0 或3 2 9 0 证明：设 ( , )则 221 P 到直线 1l ， 2l 的距离分别为1|2 ，2|2 2212| | 1 设 ( , )M x y 为 A 的平分线 任意一点， 由已知可求得 ,B 边所在直线方程分别为5 1 2 0 ， 5 1 2 0 ， 由角平分线的性质得： | 5 1 2 | | 5 1 2 |2 6 2 6x y x y ， 5 1 2 5 1 2x y x y 或5 1 2 ( 5 1 2 )x y x y ， 即 6 或 ， 由图知：D k k， 1 55 ， 6 不合题意，舍去， 所以， A 的平分线 在直线方程 设 在直线方程为 30x y m ， 则2 2 2 2| 1 0 | | 1 0 5 |1 3 1 3m ， 解得 7m 或 5m （舍） 所以 在直线方程为 3 7 0 因为 C 所以设 在直线方程为30x y n ， 则2 2 2 2| 3 0 | | 1 0 5 |1 3 1 3n ，解得 9n 或3n 经检验 在直线方程为 3 9 0 ，在直线方程为 3 3 0 综 上 所 述 ， 其 它 三 边 所 在 直 线 方 程 为3 7 0 ， 3 9 0 ，3 3 0 3 本节学习疑点： 学生质疑 教师释疑 1 第一 节 圆的 方程 （ 1） 【学习导航】 知识网络 学习要求 1 认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法 ； 2 掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径 ； 3 能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程 【课堂互动】 自学评价 1. 以 ( , )圆心， r 为半径的圆的标准方程： 2 2 2( ) ( ) ( 0 )x a y b r r . 2. 圆心在原点 (0,0) ，半径为 r 时，圆的方程则为 ： 2 2 2 ( 0 )x y r r ； 3. 单位圆： 圆心在原点且半径为的圆 ；其方程为 ： 221 注意： 交代一个 圆 时 要 同时 交代其圆心与半径 【 精典范例 】 例 1： 分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径： 22( 2 ) ( 3 ) 7 ； 22( 5 ) ( 4 ) 1 8 22( 1) 3 22144 22( 4 ) 4 【 解 】 （如下表） 方程 圆心 半径 22( 2 ) ( 3 ) 7 (2,3) 7 22( 5 ) ( 4 ) 1 8 ( 5, 4) 32 22( 1) 3 (0, 1) 3 22144 (0,0) 12 22( 4 ) 4 (4,0) 2 点评 ： 本题考察了对圆的标准方程的认识，根据 圆的标准方程 ，可以写 出相应的圆的圆心与半径 例 2： （）写出圆心为 (2, 3)A ，半径长为 5的 圆 的 方 程 ， 并 判 断 点 (5, 7)M ，( 5 , 1)N 是否在这个圆上； （）求圆心是 (2, 3)C ，且经过原点的圆的方程 分析： 通过圆心，半径可以写出圆的标准方程 【 解 】 （）圆心为 (2, 3)A ，半径长为 5 ， 该圆的标准方程为 ： 22( 2 ) ( 3 ) 2 5 把点 (5, 7)M 代入方程的左边 ， 2 2 2 2( 5 2 ) ( 7 3 ) 3 4 2 5 右边 ， 即点 (5, 7)M 的坐标适合方程， 点 (5, 7)M 是这个圆上的点 ； 把点 ( 5 , 1)N 的坐标代入方程的左边 ， 22( 5 2 ) ( 1 3 ) 1 3 4 5 2 5 即点 ( 5 , 1)N 坐标不适合圆的方程， 点 N 不在这个圆上 （） 法一 ：圆 C 的经过坐标原点， 圆 C 的半径为 ： 22( 2 0 ) ( 3 0 )r 222 3 1 3 ， 因此所求的圆的方程为 ： 22( 2 ) ( ( 3 ) ) 1 3 ， 即 22( 2 ) ( 3 ) 1 3 法二 ：圆心为 (2, 3)C ， 设圆的方程为 2 2 2( 2 ) ( 1 )x y r ， 原点在圆上即原点的坐标满足圆方程 即 2 2 2( 0 2 ) ( 0 1 ) r ，所以 2 13r ， 所求圆的标 准方程为： 22( 2 ) ( 3 ) 1 3 点评 ： 本题巩固了对圆的标准方程的认识，第二小题的解题关键在于求出半径，这里提供了两种方法 例 3： （）求以点 (1,2)A 为圆心，并且和 x 轴相切的圆的 方程； （）已知两点 (4,9)P ， (6,3)Q ，求以线段 直径的圆的方程 分析 ： （） 已知与圆心坐标和该圆与 x 轴相切即可求出半径 （）根据 直径可以得到相应的圆心与半径 圆的标准方程 概念 单位圆 圆的标准方程的简单运用 听课随笔 2 【 解 】 （）圆与 x 轴相切 该圆的半径即为圆心 (1,2)A 到 x 轴的距离 2 ； 所以 圆的标准方程为 ： 22( 1 ) ( 2 ) 4 （） 直径 ， 中点 M 为该圆的圆心即 (5,6)M ， 又因为 22| | ( 6 4 ) ( 3 9 ) 4 3 6 2 10 ， 所以 | 102， 圆的标准方程为 ： 22( 5 ) ( 6 ) 1 0 点评 :本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径对圆的标准方程的 有一个加深认识的作用 例： 已知隧道的截面是半径为 4 m 的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为 3m ，高为 货车能不能驶入这个隧道？ 分析： 建立直角坐标系， 由图象可以分析， 关键 在于 写 出 半圆的方程， 对应 求出当 3x 时的值， 比较得出结论 【 解 】以某一截面半圆的 圆心为原点，半圆的直径 在的直线为 x 轴， 建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为： 22 1 6 ( 0 )x y y 将 3x 代入得 21 6 3 7 9 3 3 . 5y ， 即离中心线 3m 处，隧道的高度低于货车的高度 ， 因此，该货车不能驶入这个隧道 点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系， 用解析法研究问题 思考：假设货车的最大的宽度为 那么货车要驶入高隧道，限高为多少 ？ 解： 将 代入得 216， 即限高为 216 a m 追踪训练一 （）圆心在原点，半径为 6 ； （）经过点 (6,3)P ，圆心为 (2, 2)C 【 解 】 （） 2236； （） 22( 2 ) ( 2 ) 4 1 求以点 ( 1, 5)C 为圆心，并且和 y 轴相切的圆的 方程 【 解 】 由题意：半径 1r ， 所以圆的方程为： 22( 1 ) ( 5 ) 1 . 圆的内接正方形相对的两个顶点为(5,6)A ， (3, 4)C ，求 该 圆的方程 【 解 】 由题意可得 直径， 所 以 中点 M 为该圆的圆心即 (4,1)M 又因为 22| | ( 5 3 ) ( 6 4 ) 4 1 0 0 2 26 | 262， 圆的标准方程为： 22( 4 ) ( 1 ) 2 6 求过两点 (0,4)A ， (4,6)B ，且圆心在 直线 2 2 0 上的圆的标准方程 【 解 】 设圆心坐标为 ( , )圆半径为 r ， 则圆方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r ， 圆心在直线 2 2 0 上， 2 2 0 又圆过两点 (0,4)A ， (4,6)B ， 2 2 2( 0 ) ( 4 )a b r 且 2 2 2( 4 ) ( 6 )a b r 由、得： 4 , 1, 5a b r ， 圆方程为 22( 4 ) ( 1 ) 2 5 思维点拔： 由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径，反之，由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标准方程在解具体的题目时 ，要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识 听课随笔 3 学生质疑 教师释疑 听课随笔 1 第 12 课时 圆的 方程 （） 分层训练 22: ( 4 ) ( 2 ) 9C x y 的圆心坐标与 半径分别为（ ） ()A (4,2) ， 9 ()B ( 4,2) ， 3 ()C (4, 2) ， 3 ()D ( 4,2) ， 9 圆心为 (3, 4) 且与直线 3 4 5 0 相切的圆的方程为（ ） ()A 22( 3 ) ( 4 ) 4 ()B 22( 3 ) ( 4 ) 4 ()C 22( 3 ) ( 4 ) 1 6 ()D 22( 3 ) ( 4 ) 1 6 圆 22( 3 ) ( 2 ) 1 3 的周长和面积分别为（ ） ()A 26 ,169()B 2 13 ,13 ()C 26 ,13 ()D 2 13 ,169 若点 (1,2) 在圆 22( 2 ) ( 1 )x y m 的内部 ,则实数 m 的取值范围是 ( ) ()A 0 10m ()B 0 10m ()C 10m ()D 10m 若 C 过点 (1,2) 和 (2,3) ，则下列直线中一定经过该圆圆心的是 ( ) ()A 10 ()B 10 ()C 40 ()D 40 自点 ( 1,4)A 作圆 22( 2 ) ( 3 ) 1 的切线，则切线长为（ ） ()A 5 ()B 3 ()C 10 ()D 5 已知圆的方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r ( 0)r ，确定下述情况下 ,满足的条件： （ 1）圆心在 y 轴上： ； （ 2）圆与 x 轴相切： ； （ 3）圆心在直线 3 1 0 上： _ 过点 (12,0)P 且与 y 轴切于原点的圆的方程为 _ 求 C ： 22( 3 ) ( 2 ) 3 6 关于直线10 对称的 C 的标准方程 【解】 C 与直 线 20 相切于点(1,1)P ，且圆心到 y 轴的距离等于 2 ，求 C 的方程 【解】 拓展延伸 若 C 经过点 (2, 1) ， 且和直线 10 相切，并且圆心在直线 2上，求 C 的方程 【解】 2 若 C 与 x 轴 相切 ，圆 心在 直线30 上，且被直线 0截得的弦长为 27，求 C 的方程 【解】 第 12 课时 圆的方程（ 1） ()B ()C ()B ()C ()C ()B （ 1） 0a ；（ 2） |；（ 3） 3 1 0 22( 6 ) 3 6 C 的圆心为 (3, 2)C ， C 的圆心与(3, 2)C 关于 10 对称， 设 C 的圆心为 ( , )C 则32 10222 113 ，解得： 34， C 的标准方程为： 22( 3 ) ( 4 ) 3 6 由题意可设 C 的圆心为 ( , )径为r ，则 | | 2a 当 2a 时， C ： 2 2 2( 2 ) ( )x y b r 因为 C 与直线 20 相 切 于 点(1,1)P ， 2 2 2(1 2 ) (1 ) 且 1 ( 1) 112b 联立方程组，解得： 2b ， 2r 所以 C 的方程为： 22( 2 ) ( 2 ) 2 同理，当 2a 时， C 的 方 程 为 ：22( 2 ) ( 2 ) 1 8 综上所述： C 的 方 程 为 ：22( 2 ) ( 2 ) 2 或22( 2 ) ( 2 ) 1 8 由 题 意 设 C 的 方 程 为2 2 2( ) ( )x a y b r ， 由 C 经过点 (2,1) ， 得 ：2 2 2( 2 ) ( 1 )a b r 由 C 与直线 10 相 切 ， 得| 1 |2ab r 由圆心在直线 2 上，得： 2 联立方程组，解得：91813 2 ，或122 所以， C 的方程为：22( 9 ) ( 1 8 ) 3 3 8 或22( 1 ) ( 2 ) 2 设 C 的 方 程 为 ：2 2 2( ) ( )x a y b r ， C 与 x 轴相切，所以 22 ， 又圆心 ( , )直线 0 的距离为：|2 ， 2|()222( 7 ) r，即 22( ) 1 4 2a b r ， 又圆心在直线 30 上，所以 30 联立方程组，解得 133 或 133 所以 C 的方程为： 22( 1 ) ( 3 ) 9 或22( 1 ) ( 3 ) 9 3 本节学习疑点： 学生质疑 教师释疑 1 第二 节 圆的方程（ 2） 【学习导航】 知识网络 学习要求 1 掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程； 2 能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题 ； 3 解题过程中能分析和运用圆的几何性质 【课堂互动】 自学评价 1 以 ( , )圆心， r 为半径的圆的标准方程： 2 2 2( ) ( ) ( 0 )x a y b r r 2 2( ) ( )x a y b r 展开得 ： 2 2 2 2 22 2 0x y a x b y a b r 2 0x y D x E y F 的都表 示圆吗？ 不是 （）当 2240D E F 时，方程表 示以 ( , )22为圆心， 2242D E F为半径的圆 ； （ 2）当 2240D E F 时，方程表示 一个点 ( , )22； （ 3）当 2240D E F 时， 方程无实数解，即方程不表示任何图形 ； 圆的一般方程： 22 0x y D x E y F 22( 4 0 )D E F 注意： 对于圆的一般方程 （） 2x 和 2y 的系数相等，且都不为 0 （通常都化为 1 ）； （）没有 样的二次项； （）表示圆的前提条件： 2240D E F ，通常情况下先配方配成22( ) ( )x a y b m ， 通过观察 m 与 0 的关系，观察 方程是否为圆的标准方程 ，而不要死记 条件 2240D E F 【 精典范例 】 例： 求过三点 12( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 4 , 2 )O M 分析： 由于 12( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 4 , 2 )O M 此经过 12,O M M 三点有唯一的圆 【 解 】 ： 法一 ：设圆的方程为 22 0x y D x E y F ， 12,O M M 三点都在圆上， 12,O M M 三点坐标都满足所设方程，把12( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 4 , 2 )O M 得： 0 204 2 2 0 0 F ， 解 得： 860 ， 所以，所求圆的方程为 ： 22 8 6 0x y x y 法二 ：也可以求 1 2垂线的交点即为圆心，圆心到 O 的距离就是半径也可以求的圆的方 程： 22 8 6 0x y x y 点评 :通常在求圆心与半径方便时用标准方程，在已知圆三个点时通常用一般方程求解 例 2： 已知线段 端点 B 的坐标是 (4,3) ，端点 A 在圆 22( 1) 4 上运动，求线段 点 M 的坐标