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年高 数学 第一章 三角形 打包 苏教版 必修

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2015年高中数学 第一章 解三角形学案（打包8套）苏教版必修5,年高,数学,第一章,三角形,打包,苏教版,必修

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1 听课随笔 第 1章 解三角形 【 知识结构 】 正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理 【 重点难点 】 重点： （ 1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 难点： （ 2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 第 1课时 正弦定理（ 1） 【学习导航】 知识网络 直角三角形的边角关系任意三角形的边角关系 正弦定理 学习要求 1正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法； 2正弦定理重点运用于三角形中“已知 两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题 【课堂互动】 自学评价 1正弦定理：在 s 2 , 2正弦定理 可解决两类问题： （ 1） 两角和任意一边，求其它两边和一角 ； （ 2） 两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 奎屯王新敞 新疆 【精典范例】 【例 1】在 中， 30A， 105C，10a ，求 b ， c 分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题 【解】因为 30A， 105C，所以45B因为s i n s i n s i na b C， 所以 s i n 1 0 s i n 4 51 0 2s i n s i n 3 0 ，s i n 1 0 s i n 1 0 5 5 2 5 6s i n s i n 3 0 因此， b ， c 的长分别为 10 2 和5 2 5 6 【例 2】根据下列条件解三角形： （ 1） 3 , 6 0 , 1b B c ； （ 2） 6 , 4 5 , 2c A a 分析：正弦定理也可用于解决已知两 边及一边的对角，求其他边和角的问题 【解】（ 1） s i n 1 s i n 6 0 1s i b ， , 6 0b c B， ， C 为锐角， 3 0 , 9 0， 22 2a b c （ 2）s in s s i n 6 s i n 4 5 3s i a ， 6 0 1 2 0C 或 ， 当s i n 6 s i n 7 56 0 7 5 , 3 1s i n s i n 6 0 b C 时， 当 s i n 6 s i n 1 51 2 0 1 5 , 3 1s i n s i n 6 0 b C 时，所以，3 1 , 7 5 , 6 0b B C 或3 1 , 1 5 , 1 2 0b B C 追踪训练一 1在 0105C ， 045B ， 5c ， 2 听课随笔 则 b 的值为（ A ） A )13(5 B )13(5 C 10 D )26(5 2在 知 3a ， 4b ，32B，则 （ C ） A 43B 61C 21D 1 3（课本 习第 2题 ） 在 （ 1）已知 075A ， 045B ， 23c ，求 a ， b ； （ 2）已知 030A ， 0120B ， 12b ，求a ， c 。 略解：（ 1） 33a ， 32b ； （ 2） 34a ， 34c （可以先判断是等腰三角形再解） 4（课本 习第 3 题 ） 根据下列条件解三角形： （ 1） 40b ， 20c ， 025C ； （ 2） 13b ， 26a ， 030B 。 略解：（ 1）由题意知： 00 122 097 A ， 47a 或 033A ， a（要注意两解的情况） （ 2）由题意知： 3136090 00 【选修延伸】 【例 3】在锐角三角形 A=2B， a 、 b 、c 所对的角分别为 A、 B、 C，试求 分析：本题由条件锐角三角形得到 而得 出 【解】在锐角三角形 ， A、 B、 C900，即： 00000045309031 8 090290 由正弦定理知： 3,2c s 故所求的范围是： 3,2 。 【例 4】在 a c o o o s ，求 值。 【解】由正弦定理得： c o s c o s c o s3 s i n 2 s i n s i a n t a a n t a 又 t a n t a nt a n t a n ( )1 t a n t a C ，225 t a n t a n 1 16 t a n A 63 A。 追踪训练二 （ 1）在 中，已知 8 ， 30B ，45C ，则 b ，c （ 2 ）在 中 ， 如 果 30A ，120B ， 12b ，那么 a ，的面积是 （ 3）在 中， 30， 15 32，则 A 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 1 听课随笔 第 2 课时 正弦定理（ 2） 【学习导航】 知识网络 正弦定理 测量问题中的应用 学习要求 1正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标； 2学会用计算器，计算三角形中数据。 【课堂互动】 自学评价 1正弦定理：在 s 2 , 变形：（ 1） ， ， （ 2），2三角形的面积公式： （ 1） 2） s= （ 3）【精典范例】 【例 1】 如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡 前进后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度（精确到） 分析：要求，只要求，为此考虑 解 【解】 过点 作 交 于，因为 ，所以，于是又，所以 在中，由正弦定理，得21 0 0 0s A B ） 在中， 000 2 （） 答 山的高度约为 【例 2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了）， A= 050 ， B= 055 ， 20m，如何求得它的高？ （ 8 1 6 0 ） 分析：本题可以转化成：（ 1）解三角形，确定顶点 C； （ 2）求三角形的高。 【解】 （ 1）先分别 沿 A、 定交点 C， C=1800- B，用正弦定理算出 s i ns i 00120 s i n 5 5 1 0 1 . 8s i n 7 5 （ 2）设高为 h，则 7850s 【例 3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。（请用计算器解答，精确到 【解】 2 听课随笔 连接 ，则由正弦定理知 s )60s 50s 7t ，从而有 000 B D A ， 0 由 于B A s 175s 0 而梯形的高 33560s A B 所以有 1 ()2A B C D A B h1 ( 5 0 1 0 1 . 2 ) 3 5 3 4 5 8 3 . 02 注：本题也可 以构造直角三角形来解，过 E ，过 D 作 即可。 【 例 4】已知 a 、 b 、 c 是 A、 B、 S 是 a =4，b =5， S = 35 ，求 c 的长度。 【解】 由三角形的面积公式得：11s i n 4 5 s i a b C C 35 3 s i n 2C 221c o s 2 c o c a b a b C 11 6 2 5 2 4 52 ， 6121 或c 追踪训练一 1 海上有 A、 0海里，从 岛和 0 的视角，从 和 A 岛成 75 的视角，则 B、 C 间的距离是 ( D 海里 C. 5 2 海里 海里 2 有一长为 1 公里的斜坡，它的倾斜角为20 ，现要将倾斜角改为 10 ，则坡底要伸长 ( A ) A. 1公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 3如图：在斜度一定的山坡上的一点 对于山坡的斜度为15，向山顶前进 100从点 5，假设建筑物高 50m，求此山对于地平面的斜度 奎屯王新敞 新疆 【解】在 100m , 15, 4515 = 30 由正弦定理： 15C 200在 ， 50m , 45, 90 + 由 正 弦 定 理 ：)90s 15s 045s = 13 , = 42 奎屯王新敞 新疆94 【 选修延伸 】 【 例 5】在湖面上高 h 处，测得云彩仰角为 3 听课随笔 ，而湖中云彩影的俯角为 ，求云彩高 . 【解】 C、 C 关于点 云高 x， 则 x h， C D = x + h， 在 t )s )s t a nt a n t a nt a n 追踪训练二 1 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南 偏西 60 ， 另一灯塔在船的南 偏 西 75 ，则这只船的速度是每小时 ( C ) 海里 海里 2某人站在山顶向下看一列车队向 山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离 1d 与第二辆车与第三辆车的距离 间的关系为 ( C ) A. 21 B. 21 C. 21 D. 不能确定大小 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 1 听课随笔 第 3 课时 正弦定理（ 3） 知识网络 解的个数的判定平面几何中某些问题判断三角形状正弦定理的应用 学习要求 1 掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形 ； 2熟记正弦定理及其变形形式； 3判断的形状 . 【课堂互动】 自学评价 1正弦定理：在 s 2 , s i n s i n s i n s i n s i na b a b A B C R 为 的 外接圆的半径 2三角形的面积公式： （ 1） s= 2） s= （ 3） s=典范例】 【例 1】在中，已知判断的形状 【 解 】 令，由正弦定理，得s in,s in,s 代 入 已 知 条 件 ， 得 又， （，）， 所以，从而为正三角形 点评 : 通过正弦定理，可以实现边角互化 【例 2】在中，是的平分线，用 正弦定理证明 【 证 】 设，则，在和中分别运用正弦定理，得 180 又（），所以 【例 3】根据下列条件，判断 有没有解？若有解，判断解的个数 （ 1） 5a ， 4b ， 120A，求 B ； （ 2） 5a ， 4b ， 90A，求 B ； （ 3） 10 6a ， 20 3b ， 45A，求 B ； （ 4） 20 2a ， 20 3b ， 45A，求 B ； （ 5） 4a ， 10 33b ， 60A，求 B 【 解 】 （ 1） 120A， B 只能是锐角，因此仅有一解 （ 2） 90A， B 只能是锐角，因此仅有一解 （ 3 ）由于 A 为 锐 角 ， 而21 0 6 2 0 3 2，即 ，因此仅有一解 90B （ 4）由于 A 为锐角，而22 0 3 2 0 2 2 0 3 1 0 62 ，即a b A ，因此有两解，易解得6 0 1 2 0B 或 （ 5）由于 A 为锐角，又1 0 34 s i n 6 0 53 ，即 b A ， 2 听课随笔 B 无解 追踪训练一 1. 在 知 b = 6， c = 10， B = 30 ，则解此三角形的结果是 （ C ） 2. 在 ，若 ，则 a 等于（ D ） A B C D 3. 在 ， 若22，则 D ） A直角三角形 B等腰或直角三角形 C不能确定 D等腰三角形 【 选修延伸 】 【例 4】如图所示，在等边三角形中，,AB a O 为三角形的中心，过 O 的直线交 M ，交 N ， 求2211N 的最大值和最小值 【 解 】 由于 O 为正三角形 中心， 33AO a， 6M A O N A O ，设 ，则 233， 在 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ：s i n s i n ( ) 6O M O O ， 36s i n ( )6，在 中，由正弦定理得：36s i n ( )6，2211N22212 s i n ( ) s i n ( ) 66a 221 2 1( s i n )2a ， 233， 3 4 ，故当2时2211N 取得最大值218a ， 所以，当 2,33时 2 3，此时2211N 取得最小值215a 追踪训练二 中， : : 4 : 1 : 1A B C ，则: ( D ) A 4:1:1 B 2:1:1 C 2:1:1 D 3:1:1 中，若s i n : s i n : s i n 4 : 5 : 6A B C ，且15 ，则 a 4 ， b 5 ， c 6 a b c 1 3 2 ，则A B A ) A 123 B 231 C 132 D 312 A、 东方向射出的太阳光线与地面成 40角，为了使遮阴影面 阳棚 地面所成的角为( C ) 已知 k( 1 3k(k 0)，则 ( B ) 3 听课随笔 A (2， ) B (61，41) C )0,21(D ),21( 6在 证明：2222112c o o s a A . 证明：222222s i i o o s b b 222222s 222 a A 2222112c o o s a A 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 1 听课随笔 第 4 课时 余弦定理（ 1） 知识网络 三角形中的向量关系余弦定理 学习要求 1 掌握余弦定理及其证明 ； 2 体会向量 的 工具性 ； 3 能初步运用余弦定理解斜三角形 【课堂互动】 自学评价 1余弦定理 ： (1) Ac o 22 ，co ，Cc o 22 . (2) 变形： ， ， 2利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （） 已知三边，求三个角 ； （） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 【精典范例】 【例 1】 在 中， （ 1）已知 3b ， 1c ， 060A ，求 a ； （ 2）已知 4a ， 5b ， 6c ，求 A （精确到 【解】 （ 1）由余弦定理，得2 2 2 2 2 02 c o s 3 1 2 3 1 c o s 6 0 7a b c b c A ， 所以 7a （ 2）由余弦定理，得2 2 2 2 2 25 6 4c o s 0 . 7 52 2 5 6b c aA ， 所以， 点评 : 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三 角形的问题：（）已知三边，求三个角；（）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 【例 2】 ,选择 另 一 点 C ， 测 得182 ,CA m 126 ,CB m 063，求 ,确到 1m ） 【解】 由余弦定理，得 c o 所以， 168( )AB m 答 ,68m 【例 3】用余弦定理证明：在 中，当C 为锐角时， 2 2 2a b c；当 C 为钝角时，2 2 2a b c 【 证 】 当 C 为锐角时， C ，由余弦定理，得2 2 2 2 22 c o sc a b a b C a b ， 即 2 2 2a b c 同理可证，当 C 为钝角时， 2 2 2a b c 点评 :余弦定理可以看做是勾股定理的推广 追踪训练一 在中， （）已知， 求 a； （）已知 a，求 略解：（ 1） a 37 略解：（ 2）32A 2 听课随笔 听课随笔 若三条线段的长为，则用这三条线段（ ） 能组成直角三角形 能组成锐角三角形 能组成钝角三角形 不能组成三角形 在中，已知 222 ，试求的大小 略解：32游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北行驶，另一艇以的速度向北偏东的方向行驶，问：经过，两艇相距多远？ 略解：两艇相距 选修延伸】 【 例 4】在 ， a ， b ，且 a ， b 是方程 02322 两根， 1 （ 1） 求角 （ 2） 求 长； （ 3）求 解： (1) c o s c o s C A B c o s 01 1202 C （ 2 ）因为 a ， b 是方程02322 两 根 ， 所 以2322 2 2 02 c o s 1 2 0A B b a a b 2 1 0 1 0a b a b A B （ 3）23s B C【例 5】在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a ， b ， c ，证明： C ba s 。 证明：由余弦定理知： c o ，c o 则 22 22 2 c o s 2 c o sb a b c A a c B ， 整理得 : c ba c o sc o ， 又由正弦定理得 : 222s i n c o s c o s s i ns i na b A B A 追踪训练二 1在 知 2b ， 1c ， B= 045 ，则 a （ B ） A 2 B 2 26 C 2 26 D 2 26 3 2在 知 ， ， 31 ，则 A= （ A ） A 3B 32C 6D 43在 10b ， 15c ， C=6，则此三角形有 一 解。 提示：由余弦定理得： 2 2 2c o b cC 23 1 0 0 2 2 52 2 0a a2 1 0 3 1 2 5 0 5 3 1 0 2a 负值不合题意，舍去。 4、 222 ， 则 A= 3。 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 1 听课随笔 第 5 课时 余弦定理（ 2） 【学习导航】 知识网络 判断三角形的形状航运问题中的应用余弦定理 学习要求 1 能把一些简单的实际问题转化为数学问题； 2余弦 定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标； 3初步利用定理判断三角形的形状。 【课堂互动】 自学评价 1余弦定理 ： (1) Ac o 22 ，co ，Cc o 22 . (2) 变形： ， ， 2利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （） 已知三边，求三个角 ； （） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 【精典范例】 【 例 1】 在长江某渡口处，江水以 5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的 A 码头出发，预定要在 到达江北岸 B 码头，设 正北方向，已知 B 码头在 A 码头的北偏东 015 ，并与 A 码头相距 该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到 速度精确到 km h ）？ 【 解 】 如图，船按 向开出， 向为水流方向，以 一边、 对角线作 平 行 四 边 形 其 中1 . 2 ( ) , 5 0 . 1 0 . 5 ( )A B k m A C k m 在 中，由余弦定理，得 )1590c o s (0222 1 . 1 7 ( )A D B C k m 因此，船的航行速度为1 . 1 7 0 . 1 1 1 . 7 ( / )k m h 在 中 ， 由 正 弦 定 理 ， 得 0s i n 0 . 5 s i n 7 5s i n 0 . 4 1 2 81 . 1 7A C B A C 所以 02 4 所以 001 5 9 . 4D A N D A B N A B A B C 答：渡船应按北偏西 方向，km h 的速度航行 【 例 2】在 中，已知s s in c o C ，试判断该三角形的形状 【 解 】 由正弦定理及余弦定理，得2 2 2s i n , c o ss i n 2A a a b b a b， 所以 2 2 222a a b cb a b，整理得 22 因为 0, 0，所以 因此， 等腰三角形 【 例 3】 如图， 中 上的中线，求证：2 2 21 2 ( )2A M A B A C B C 【 证明 】 设 ，则0180A M C 2 听课随笔 在 中，由余弦定理，得 2 2 2 2 c o A M B M A M B M 在 中，由余弦定理，得2 2 2 02 c o s ( 1 8 0 )A C A M M C A M M C 因为 0 1c o s ( 1 8 0 ) c o s , 2B M M C B C ， 所以 2 2 2 2122A B A C A M B C ， 因 此 ， 2 2 21 2 ( )2A M A B A C B C 追踪训练一 1. 在中，如果 ， 那 么 等 于（ ） 32323141的梯子靠在斜壁上，梯脚与壁基相距，梯顶在沿着壁向上的地方，求壁面和地面所成的角（精确到 略解： 3. 在中，已知，试证明此三角形为锐角三角形 【 选修延伸 】 【 例 4】在 ，设 3 3 3 2a b c ca b c ，且 3s in s 请判断三角形的形状 。 【 解 】 由3 3 3 2a b c ca b c ,3 3 3 2 3()a b c a b c c 即2 2 2( ) ( ) 0 ,a b a a b b c 而0 ，得2 2 2 2 2 20 , ,a a b b c c a b a b 2 2 2 01c o s , 6 022a b 而由 3s in s 13 c o s ( ) c o s ( ) 24A B A B c o s c o s ( ) , c o s ( ) 1C A B A B 而 , 0 ,A B A B A B ， 三角形为等边三角形。 追踪训练二 1 在 A 60 ， b 1，其面积为 3 ，则s i n s i n s i C等于 ( B ) A 33 B3392C338D2392 在中，设 CB a ， AC b ，且 a ， b 3 ， a b 3 ，求的长 略解： 3272 3 听课随笔 中， （）； （） ； （） 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 1 听课随笔 第 6 课时 余弦定理（ 3） 【学习导航】 知识网络 判断三角形的形状平面几何中的某些问题余弦定理 学习要求 1 余弦 定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标； 2能够利用正、余弦定理判断三角形的形状； 3进一步运用余弦定理解斜三角形 【课堂互动】 自学评价 1余弦定理 ： (1) Ac o 22 ，co ，Cc o 22 . (2) 变形： ， ， 2判断该三角形的形状一般都有 角化边或 边化角 两种思路 . 【精典范例】 【例 1】 在 证： （ 1） ;s in s 22222C （ 2） )c o sc o sc o s(2222 分析： 【 解 】 （ 1）根据正弦定理，可设 k 显然 k 0，所以 左边 =22222222s in s =C 22=右边 （ 2）根据余弦定理的推论， 右边=2(222 +222 +222 ) =( +(+( =左边 【例 2】在 中，已知 断该三角形的形状 . 分析： 利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。 【 解 】方法 1o（余弦定理）得 abc 222 =bca 222 c 44222 )( =)( 2222 22222 或 是等腰三角形或直角三角形 . 方法 2o（正弦定理）得 2A=2B,或 2A+2B=180 A=B 或 A+B=90 是等腰三角形或直角三角形 . 点评 : 判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。 【例 3】 在四边形 2 听课随笔 5 ， 5 ，3 ，求： （ 1） （ 2） 四边形 【 解 】 （ 1）因为 5 ， 5 ， 所以 0 ，又因为 5 ， 所以 80 -（ 75 + 45 + 30 ）=30 ， 所以， C= 3 在 80 -（ 75 + 45 ）=60 ，所以7560 605 2 26 在 2 = 5, 所以， 5 （ 3） S =21 =4 323同理， S = 4 33所以四边形 =4 336追踪训练一 1. 在 090C， 00 450 A ，则下列各式中正确的是（ D ）A. AA B. AB C. BA D. BB 2. 在 1c o sc o sc o s 222 则 _直角三角形 _ 3. 如图，已知圆内接四边形的边长分别为， ，如何求出四边形的面积？ 答案： S=8 3 【 选修延伸 】 【例 4】 如图：在四边形 ， B=D=750， C= 060 ， ， ，求对角线 分析：此题涉及两个三角形， 公共 边。 【 解 】 设 ，AC=x ，则 000s i n s i n 7 5s i n ( 6 0 ) s i n 7 5A D A A C 0004s i n s i n 7 53s i n ( 6 0 ) s i n 7 5 043s i n s i n ( 6 0 ) 3 听课随笔 2 3 3t a n s i n 25 3 7 04 s i n 7 5 3 7 4 2 2 2s i n 6x 追踪训练二 1 在 b2)0，则 D ) A 90 B 120 C 60 D 120 或 60 2 在锐角 中，若 3,2 则边长 c 的取值范围是 )13,5( 3 已知在 B=30 ,b=6,c=6 3 ,求 . 答案： a=6,S=9 3 ;a=12,S=18 3 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 1 听课随笔 第 7 课时正、余弦定理的应用（ 1） 【学习导航】 知识网络 数学问题航海测量学正、余弦定理的应用 学习要求 1 综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方 法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题 2 分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等 概念 3 将实际问题转化为解三角形问题 【课堂互动】 自学评价 1正弦定理、余弦定理及其变形形式， （ 1）正弦定理、三角形面积公式： s ； B C s （ 2）正弦定 理的变形： s s s ； s s s ； s i n s i n s i n: : : :A B C a b c （ 3）余弦定理： 1） co 变形： 2）bc 222 2运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是： 分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； 建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型 ； 求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解； 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 【精典范例】 【例 1】为了测量河对岸两点 ,河岸这边取点 ,得85， 60，47， 72， 100CD m , ,A B C D 在同一平面内，试求 ,确到1m ） . 【解】 在 中，85 ，47，则 48. 又100， 由正弦定理，得 s i n 1 0 0 s i n 8 5 1 3 4 . 0 5s i n s i n 4 8D C A D C 中， 60，72， 则 4800， 由正弦定理，得 s i n 1 0 0 s i n 6 0 1 1 6 . 5 4s i n s i n 4 8D C B D C 在中， 由余弦定理，得 2 2 2 2 c o A C B C A C B C A C B 221 3 4 . 0 5 1 1 6 . 5 4 2 1 3 4 . 0 5 1 1 6 . 5 4 c o s 7 2 4 7 ， 所以 57AB m 答 ,7m . 【例 2】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为 45 ，距离为 10n C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105 的方向，以 9/n h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 /n h 的速度前去营救 和靠近渔轮所需的时间（角度精确到 时间精确到 1 . 2 听课随笔 【解】设舰艇收到信号后 x h 在 B 处靠拢渔轮， 则 21AB x ， 9BC x ，又 10， 4 5 1 8 0 1 0 5 1 2 0A C B . 由余弦定理，得 2 2 2 2 c o A C B C A C B C A C B ， 即 2222 1 1 0 9 2 1 0 9 c o s 1 2 0x x x 化简，得 23 6 9 1 0 0 ， 解得 2 4 0 m i （负值舍去） . 由正弦定理，得 s i n 9 s i n 1 2 0 3 3s i n 2 1 1 4B C A C B B x 所以 2 1 ， 方位角为 4 5 2 1 6 . 答 舰艇应沿着方向角 方向航行，经过 40可靠近渔轮 . 【例 3】某海岛上一观察哨 A 在上午 11时测得一轮船在海岛北偏东3的 C 处， 12时 20分测得轮船在海岛北偏西3的 B 处， 12时40 分轮船到达海岛正西方 5 E 港口 船速 . 【解】设 ，船的速度为 /km h ，则 43， 13. 在 中， 15 3s in s 0，15 . 在 中， 43s i n 1 2 0s i n 1 8 0 ， 4 4 1 5s i 23 3 322 . 在 中，225 2 0 2 02 5 2 5 c o s 1 5 03 33 ， 22 5 4 0 0 7 7 52 5 1 0 09 3 3 ， 2 93， 船的速度 9 3 /km h . 追踪训练一 1 曲柄连杆机构示意图如图所示当曲柄在水平位置时，连杆端点在的位置 当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是 知，根据下列条件，求的值（精确到）： （）； （） . 答案：（） x （） x 2如图，货轮在海上以的速度由向航行，航行的方位角，处有灯塔，其方位角 ，在处观察灯塔的方位角，由到需航行，求到灯塔的距离 3 听课随笔 答案： x 3如图，某人在高出海面的山上处，测得海面上的航标在正东，俯角为，航标在南偏东，俯角为，求这两个航标间的距离 答案： 这两个航标间的距离是 600m. 【 选修延伸 】 【 例 4】三角形 00和 450， 4 s i n s i n s i C，求 【解】由条件知三角形的第三个角为 1050，设三角形外接圆半径为 r ，则 4 ( ) 2222a b ca b c 21 s i n 2 s i n s i n s i a b C r A B C 134 262 22142 . 追踪训练二 1在 知 A= 030 ，且1233 则 C ） A 4 B 9 C 4或 9 D 无解 2有一广告气球，直径为 6m， 放在公司大楼的上空，当行人仰望气球中心的仰角为300 时，测得气球的视角 01 ，若 很小时可取 则估算该气球离地高度为（ B ） A 72 m B 86 m C 102 m D 118 m 3在锐角三角形 ， 1a ， 2b ，则边 c 的取值范围是 （ C ） A 31 c B 51 c C 53 c D 33 c 提示：分边 c 是最大边和不是最大边两种情况讨论，用余弦定理。 4在 311，则 B= 600 。 提示：由条件知， ( 2 ) ( ) 3 ( ) ( )a b c a b c a b b c ，2 2 2a c b a c 06021c o s 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 1 听课随笔 第 8 课时正、余弦定理的应用（ 2） 【学习导航】 知识网络 数学问题航海测量学正、余弦定理的应用 学习要求 1利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。 2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。 【课堂互动】 自学评价 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是： 分析 ：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； 建模 ：根据书籍条件 与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学