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高中数学 三角函数 系列 课时 教案 打包 13

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用心 爱心 专心 - 1 - 第四章 三角函数 第一教时 教材： 角的概念的推广 目的： 要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 过程： 一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数” 它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1 回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形 象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2 讲解：“旋转”形成角（ 突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于 x 轴正半轴 3 “正角”与“负角” 这是由旋转的方向所决定的。 记法：角 或 可以简记成 4 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1 角有正负之分 如： =210 =150 =660 2 角可以任意大 实例：体操动作：旋转 2周（ 360 2=720） 3周（ 360 3=1080） 3 还有零角 一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于 x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一 个象限） 例如： 30 390 330是第象限角 300 60是第象限角 585 1180是第象限角 2000是第象限角等 四、关于终边相同的角 1观察： 390， 330角，它们的终边都与 30角的终边相同 2终边相同的角都可以表示成一个 0到 360的角与 )( 个周角的和 390=30+360 )1( k 用心 爱心 专心 - 2 - 330=30360 )1( k 30=30+0 360 )0( k 1470=30+4 360 )4( k 1770=305 360 )5( k 3所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合 ,3 6 0| 即：任何一个与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和 4例一 （ ） 五、小结： 1 角的概念的推广 用“旋转”定义角 角的范围的扩大 2“象限角”与“终边相同的角” 六、作业： 练习 1、 2、 3、 4 习题 1 用心 爱心 专心 - 1 - 第 二 教时 三角函数 教材： 复习已知三角函数值求角 目的： 要求学生对反正弦、反余弦、反正切函数的认识更加深，并且能较正确的根据三角函数值求角。 过程： 一、 复习：反正弦、反余弦、反正切函数 已知三角函数值求角的步骤 二、 例题： 例一、 1用反三角函数表示 )23,(,65s x 2用反三角函数表示 )27,3(,5 x 解： 1 23 x 02 x )65 x )65273 x230 x 得 5)3x 5x 5x 例二、 已知21)32x，求角 解：21)32x )(32232 由32232 )(324 由32232 )(24 故角 x 的集合为 ,24324| 或例三、求 3a rc ta rc ta rc ta n 的值。 解： , 则 = 2， = 3 且24 ， 24 1321 32t a nt a n1 t a nt a n)t a n ( 而 2 + = 43用心 爱心 专心 - 2 - 又 4 3a rc ta rc ta rc ta n = 例四、 求 y = (323 x)的值域 解：设 u = x 323 x 123 u65)c o s (s x所求函数的值域为 65,0 三、作业：导学 。 创新 用心 爱心 专心 - 1 - 第三教时 三角函数 教材： 弧度制 目的： 要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集 R 一一对应关系的概念。 过程： 一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制 角度制的定义。 二、提出课题：弧度制 另一种度量角的单位制 它的单位是 作弧度 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。 如图： 周角 =21 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0 2 角 的弧度数的绝对值 （ l 为弧长， r 为半径） 3 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 三、角度制与弧度制 的换算 抓住： 360=2 180= 1= 把 3067 化成弧度 解： 21673067 ra d 8321671 803067 例二 把 3化成度 解： 1081805353 ra d注意几点： 1度数与弧度数的换算也可借助“计算器”中学数学用表进行； o r C 2r l=2r o A A B 用心 爱心 专心 - 2 - 2今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“ 以省略 如： 3 表示 3示 3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本 4应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 任意角的集合 实数集 R 四、练习（ 练习 1 2） 例三 用弧度制表示： 1终边在 x 轴上的角的集合 2终边在 y 轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合 解： 1终边在 x 轴上的角的集合 ,|1 2终边在 y 轴上的角的集合 2|2 3终边在坐标轴上的角的集合 2|3 例四 老精编 4、 5、 6、 7 五、 小结： 1弧度制定义 2与弧度制的互化 六、作业： 课本 练习 3、 4 2、 3 正角 零角 负角 正实数 零 负实数 用心 爱心 专心 - 1 - 第四教时 三角函数 教材： 弧度制（续） 目的： 加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。 过程： 一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。 口答教学与测试 习题 1 5 并注意紧扣，巩固弧度制的概念，然后再讲 二 二、由公式： 比相应的公式180简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 例一 （课本 三） 利用弧度制证明扇形面积公式 中 l 是扇形弧长， R 是圆的半径。 证： 如图：圆心角为 1扇形面积为： 221 R弧长为 l 的扇形圆心角为 121 2 比较这与扇形面积公式 3602扇要简单 例二 教学与测试 直径为 20圆中，求下列各圆心所对的弧长 34 165 解： 0 ： )(3401034 ： r a dr a 1 651 801 65 )(655101211 例三 如图，已知扇形 周长是 6扇形 的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。 解： 设扇形的半径为 r，弧长为 l ，则有 22162 扇形的面积 2)(221 例四 计算4o R S l o A B 用心 爱心 专心 - 2 - 解： 454 2245s 5 r a d 785ta n 例五 将下列各角 化成 0 到 2 的角加上 )(2 的形式 319 315 解： 63319 243 60453 15 例六 求图中公路弯道处弧 长 l （精确到 1m） 图中长度单位为： m 解： 360 )( 三、练习： 6、 7 教学与测试 练习 6 四、作业： 课本 12 练习 8、 9、 10 习题 5 14 教学与测试 7、 8 及思考题 R=4560 用心 爱心 专心 - 1 - 第五教时 三角函数 教材： 任意角的三角函数（定义） 目的： 要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解 角与 =2k+(kZ)的同名三角函数值相等的道理。 过程： 一、提出课题：讲解定义： 1 设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P（ x,y） 则 2222 图示见 2比值的正弦 记作： 的余弦 记作： 的正切 记作： 的余切 记作： 的正割 记作： 的余割 记作： 角是“任意角”，当 =2k+(kZ)时， 与 的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明） 三角函数是以“比值”为函数值的函数 0r ，而 x,三角函数的符号应由象限确定（今后将专题研究） 定义域： )(2 )()(2)(二、例一 已知 的终边经过点 P(2,3)，求 的六个三角函数值 解 ： 13)3(2,3,2 22 x o y P(2,用心 爱心 专心 - 2 - 13133131322332213313例二 求下列各角的六个三角函数值 0 23 2解： 的解答见 当 =2时 ,0 1 0 存在 0 存在 1 例三 教学与测试 一 求函数 的值域 解： 定义域： 又 当 限角时， 0,0 y=2 , 0,0 | y=2 , 0,0 0,0 yx yx| y=0 例四 教学与测试 二 已知角 的终边经过 P(4,3),求 2值 已知角 的终边经过 P(4a,3a),(a0)求 2值 解： 由定义 ： 5r 5354 252若 0a 则 5354 252若 0a 则 5354 252三、小结：定义及有关注意内容 四、作业： 课本 习 1 3 教学与测试 4、 5、 6、 7 用心 爱心 专心 - 1 - 第六教时 三角函数 教材： 三角函数线 目的： 要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。 过程： 一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值” 二、 提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义： 用单位圆中的线段表示三角函数值 三、新授： 1 介绍（定义）“单位圆” 圆心在原点 O，半径等于单位长度的圆 2 作图：（课本 4） 此处略 设任意角 的顶点 在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，角 的终边也与单位圆交于 P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于 A、 过 P(x,y)作 PM，过点 A(1,0)作单位圆切线，与 角的终边或其反向延长线交于 T，过点 B(0,1)作单位圆的切线，与 角的终边或其反向延长线交于 S 3 简单介绍“向量”（带有“方向”的量 用正负号表示） “有向线段”（带有方向的线段） 方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。 例：有向线段 长度分别为 当 OM= 若 0x 有正值 x 若 0x x 4 1s 1c o s 有向线段 M,称作 ta n角的正弦线 ,余弦线 ,正切线 ,余切线 c o 一利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1 32与542 ： 如图可知： 3254A B o 1 2 2 心 爱心 专心 - 2 - 二 利用单位圆寻找适合下列条件的 0到 360的角 1 212 33解： 1 2 30 150 30 90或 210 270 例三 求证：若20 21 时，则 证明： 分别作 1,2的正弦线 = =20 21 即 五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线 六、作业： 课本 练习 2 补充：解不等式： ( )2,0 x ) 1232 31x y o 2 x y o T A 210 30 x y o 2 2 用心 爱心 专心 - 1 - 第七教时 三角函数 教材： 三角函数的值在各象限的符号 目的： 通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。 过程： 一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值 二、 提出课题 然后师生共同操作： 1 第一象限 ： 0,0. 0, 0, 0, 0, 0, 0 第二象限 ： 0,0. 0, 0, 0, 0, 0, 0 第三象限 ： 0,0. 0, 0, 0, 0, 0, 0 第四象限 ： 0,0. 0, 0, 0, 0, 0, 0 记忆法则： 正 全正 正 正 2 由定义： +2k)= +2k)= +2k)=+2k)= +2k)= +2k)=三、例一 （ 略） 例二 （ 证角 为第三象限角的充分条件是0 )2()1( 证： 必要性： 若 是第三象限角，则必有 0, 0 充分性： 若 两式成立 若 0 则 角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于 若 0，则角 的终边可能位于第一或第三象限 都成立 角的终边只能位于第三象限 角 为第三象限角 例三 （ 五 略） 四、练习： 1 若三角形的两内角 ， 满足 0，则此三角形必为（ B） A：锐角三角形 B：钝角三角形 C：直角三角形 D：以上三种情况都可能 2 若是第三象限角，则下列各式中不成立的是（ B） A： 0 B： 0 C： 0 D： 0 3 已知 是第三象限角且 02，问2是第几象限角？ 解： 2)12()12( 用心 爱心 专心 - 2 - 4322 则2是第二或第四象限角 又 02则2是第二或第三象限角 2必为第二象限角 4 已知 121 2 ，则 为第几象限角？ 解： 由 121 2 0 2k 2 2k+ )( k k+2 为第一或第三象限角 五、小结：符号法则，诱导公式 六、作业： 课本 练习 4,5,6 题 6用心 爱心 专心 - 1 - 第八教时 三角函数 教材： 同角 三角函数的基本关系 目的： 要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正确运用进行三角函数式的求值运算。 过程： 一、 复习任意角的三角函数的定义： 计算下列各式的值： 90c 2 30c 2 二、 1导入新课 ：引导学生观察上述题目的结果（并像公式“方向”引导） 引导猜想： 12 2理论证明：（采用定义） 1c o tt a n,23t a nc o ss 221c o ss o s,s 2222且 3推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有： 12 12 似的商数关系还有： 这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有：1 1 4点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。 5注意： 1“同角”的概念与角的表达形式无关， 如： 13c 2 22上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。 3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用心 爱心 专心 - 2 - 用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。 三、 例题： 例一、（课本 例一） 略 注：已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。 例二、（课本 例二） 略 注：根据已知的三角函数值可以分象限讨论。 例三、（课本 例三） 略 实际上： 12 即 22 c 为第二、三象限角当为第一、四象限角当22t a a o s 而 为第二、三象限角当为第一、四象限角当22t a a nt a a nc o s 四、 小结：三种关系，八个公式 五、 作业： 练习 1 4 28 习题 4 4 1 4 用心 爱心 专心 - 1 - 第九教时 三角函数 教材： 同角 三角函数的基本关系 (2) 求值 目的： 要求学生能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧。 过程： 一、 复习同角的三角函数的基本关系： 练习：已知 的其他三角函数值。求 ),1,0(c os 解：若 在第一、二象限，则 22221c o a s e 若 在第三、四象限，则 22221c o a s e 二、 例一、 （见 例四）化简： 440 解：原式 80c o o 0360(s 22 例二、已知 求 的值。及 c o ss o c o 解： 2ta nc o 6112 22t a t a nc o c o 5614 241t a n t a a nc o ss in c o ss o ss 22222 强调（指出）技巧： 1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 2“化 1法” 例三、已知33co ，求 的值。及 c o ss o n 解：将 33co 两边平方，得：31用心 爱心 专心 - 2 - 3c c n 35321c c s 315co ss 例四、已知 ,1225c c o ss in,c o tt a n,c o tt a n,c o tt a n 3322求 解：由题设： ,214 462 5c o n 22 1274144625co tt 144175)127(1225)c ( t a nc t a nc a n 22 1 7 2 84 8 2 51 4 41 9 31225)11 4 43 3 7(1225)co tt t) ( t t( t tt 233 57251221co ss ss (2512c c a n ) 例五、已知 )0(51c o ss ，求 的值。及 33 c o ss n 解： 1 由 ),2(0c ,2512c 得：由57c o ss 549)c o s( s 得：联立：34t o o ss o ss 2 12591)53()54(c o ss 333 例六、已知 是第四象限角， ,53c o s,524s in 值。解 ： + = 1 1)53()524( 22 理得： 8,00)8( 21 用心 爱心 专心 - 3 - 当 m = 0时， 是第四象限角不合）与， (53c 4s m = 8时，512t a o s,1312s ，三、 小结：几个技巧 四、 作业：课课练 例题推荐 1、 2、 3 课时练习 6、 7、 8、 9、 10 例题推荐 1 精编 14 用心 爱心 专心 - 1 - 第十教时 三角函数 教材： 同角 三角函数的基本关系 (3) 证明 教学与测试第 50 课 目的： 运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。 过程： 一、 复习同角的三角函数的基本关系： 例：（练习、教学与测试 一） 已知45，求 的值。 解：1625)c os( 即：1625c 329c 二、 提出课题：利用同 角的三角函数的基本关系证明三角恒等式（或化简） 例一、 （见 例四）化简： 440 解：原式 80c o o 0360(s 22 例二、已知s 简 （教学与测试例二） 解：)s s s s s s s s 原式 |c o s| s c o s| s s s s 222 0c 是第三象限角， t a （注意象限、符号） 例三、求证： c c 本 例 5） 证一： 22 c o s)s c o ss s c o s)s s )s c o 右边 等式成立 （利用平方关系） 证二： 0co s,0s ss s s 22 且 c o ss c o s（利用比例关系） 证三：c o s)s i s i n1(c o sc o s)s i s i s c o sc o ss o s 222 用心 爱心 专心 - 2 - 0c os)s c 2 c o ss c o s （作差） 例三、已知方程 0)13(2 2 两根分别是 ， 求 的值。 ta n1 c o sc o t1 s 教学与测试 例三） 解： co ss ss in co ss s co ss in s 2 13 由韦达定理知：原式（化弦法） 例四、已知 2222,t ec,t ec 求证： 证：由题设：)2(ta ns e c)1(ta ns e 2222222222 t s )2()1( ： 222222 s s 2222 例五、消去式子中的)2(c n)1(c 解：由 )3(2 1co ss ss (22 由 )4(1c o ss o ss s o sc o ss ( ：12)4()3( 2 入将（平方消去法） 例六、（备用）已知 2co s,t an,s 解：由题 设： 22 22 /： 22 co 用心 爱心 专心 - 3 - +： 42 42 83 三、 小结：几种技巧 四、 作业：课本 练习 5， 6， 习题 8， 9 教学与测试 4， 5， 6， 7， 8，思考题 用心 爱心 专心 - 1 - 第十一教时 三角函数 教材： 诱导公式（ 1） 360 k + , 180 , 180 + , 360 , 目的： 要求学生掌握上述诱导公式的推导过程，并能运用化简三角式，从而了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想。 过程： 一、 诱导公式的含义： 任意角的三角函数 0到 360角的三角函数 锐角三角函数 二、 诱导公式 1 公式 1：（复习） 2 对于任一 0到 360的角，有四种可能（其中 为不大于 90的非负角） 为第四象限角），当为第三象限角），当为第二象限角），当为第一象限角，当36027036027018018018090180)900（以下设 为任意角） 3 公式 2： 设 的终边与单位圆交于点P(x,y)，则 180+终边与单位圆交于点 P( y) 80+) = 80+) = 80+) = 80+) = 80+) = 80+) = 4公式 3： 如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得： ) = ) = ) = ) = ) = ) = 5 公式 4： 80) = 80+() = ) = 80) = 80+() = ) = 同理可得 ： 80) = 80) = 80) = 80) = 80) = 80) = x y o P(x,P(x,y) M x y o P (x,y) P (y) 60k+) = 60k+) = 60k+) = 60k+) = 60k+) = 60k+) = 用心 爱心 专心 - 2 - 6 公式 5： 60) = 60) = 60) = 60) = 60) = 60) = 三、小结： 360 k + , 180 , 180 + , 360 , 的三角函数值等于的同名三角函数值再加上一个把 看成锐角时原函数值的符号 四、 例题： 30 例一、例二、例三 32 例四、例五、例六 略 五、 作业： 练习 练习 习题 4.5 用心 爱心 专心 - 1 - 第十二教时 三角函数 教材： 诱导公式（ 2） 90 k , 270 , 目的： 能熟练掌握上述诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会另外四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。 过程： 一、 复习诱导公式一至五： 练习： 1已知)900t a n()180s i n()180c )540t a n()720c )180s i n(,31)3s i n(求 解： 31s i n,s i n)s i n()3s i n( 31s i n)1 8 0t s i n)1 8 0co t ( t ss i n 原式2已知 的值。求 )65co s (,3 3)6co s ( 解：3 3)6co s ()65(co s )65co s ( 二、 诱导公式 1 公式 6：（复习） 2 公式 7： 如图，可证： 则 0 +) = MP = 0 +) = = 从而： 或证： 0 +) = 80 (90 ) = 0 ) = 0 +) = 80 (90 ) = 0 ) = 3 公式 8： 70 ) = 80+ (90 ) = 0 ) = （其余类似可得， 学生自己完成） 4 公式 9： （学生证明） 0 ) = 0 ) = 0 ) = 0 ) = 0 ) = 0 ) = x y o P P(x,y) M M 0 +) = 0 +) = 0 +) = 0 +) = 0 +) = 0+) = 70 ) = 70 ) = 70 ) = 70 ) = 70 ) = 70) = 70 +) = 70 +) = 70 +) = 70 +) = 70 +) = 70+) = 用心 爱心 专心 - 2 - 三、小结： 90 , 270 的三角函数值等于 的余函数的值，前面再加上一个把 看成锐角时原函数值的符号 四、 例一、)2c o s ()5c o s ()2s i n ()4s i n ()c o t ()2t a n ()23c o s ()2s i n ( ： s o s c o ss o tt a n s o s o s c o ss o s c o ss = 右边 等式成立 例二、 的值。求 )4(c o s)4(c o s 22 解： 1)4(c (s i n)4(c 4(2c 222 原式例三、 )2s ,1)s 31s 求，已知解： )(221)s 从 而 ：31s i n)4s i n()22(2s i n)2s i n( )( s 7c c os 若 解： )90(17co s )90 co s ()( s i n 7s i n)1790co s ()17903604co