高中数学 同步教学（课件+课下作业）：第二章 函数 对函数的进一步认识
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高中数学 同步教学（课件+课下作业）：第二章 函数 对函数的进一步认识,高中数学,同步,教学,课件,作业,功课,第二,函数,对于,进一步,认识
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1 第二章 函数 数概念 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！ ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) ( ) y y x ( x)2与 y x 3 y x 【解析】 中 y x|x0 ，而 y x 的定义域为 R； 中 y ( x)2的定义域为 0， ) ，而 y x 的定义域为 R，故 A、 C 错； 中 y |x|与 y x 的对应关系不同，所以 B 错； 中 y 3 x 与 y x 定义域与对应关系均相同，故 D 对 . 【答案】 y 1x 1 的定义域是 ( ) 1， 1,0) 1， 1,0) 【解析】 要使函数式有意义，须满足 x 10， x 1，故定义域为 ( 1， ). 【答案】 表示函数图象的是 ( ) 【解析】 因为在 图中，给定 x 的一个值，有两个 y 值与它对应，不满足函数的定义，而 、 、 均满足函数定义 . 2 【答案】 f(x) 1，则 f f( 1)的值等于 ( ) 【解析】 f( 1) 2， f(f ( 1) f(2) 5. 【答案】 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) (1)x|x1 . (2)x|2 1 且 x2 . 【答案】 (1) 1， ) (2)(2,4 (3)( 1,2)(2 ， ) 6. 函数 y 2x 1 的值域为 . 【解析】 y 2x 1 (x 1)2 22 ， 函数的值域是 ( ， 2 . 【答案】 ( ， 2 . 三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分 ) (1)f(x) x 1x 1； (2)f(x) 11 1x. 【解析】 (1)要使函数有意义，须 x 10x 1 0 x 1x 1 1 f(x) 的定义域为 (1， ) (2)要使函数有意义，须 x01 1x0 0 且 x 1 f(x) 的定义域为 x|x R 且 x0 且 x 3 1. 2 21 1 1 1 1 3( 1 ) ( 1 ) ( , 1 , 1 ) 1 1f x x a x x x f(x) x 1. (1)求 f(2)； (2)求 f(1x 1)； (3)若 f(x) 5，求 x 的值 . 【解析】 (1)f(2) 4 2 1 5. (2) 221 1 1 1 3( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1f x x x x x . (3)f(x) 5，即 x 1 5， 即 x 6 0，解得 x 2 或 x 3. 9.(10 分 )已知函数 y 1(a 0 且 a 为常数 )在区间 ( ， 1上有意义，求实数a 的取值范围 . 【解析】 已知函数 y 1(a 0 且 a 为常数 )， 10 ， a 0， x 1a，即函数的定义域为 1,a . 函数在区间 ( ， 1上有意义， 1, 1 ,a ， 1a1 ， 而 a 0， 1a 0， 即 a 的取值范围是 1,0). 1 生活中的变量关系 2 对函数的进一步认识 数概念 y b， (k0)， y c， (a0)， (k0)分别叫 ， ， . y b，已知 0，则函数的图象经过第 象限 . y 23x 1.当 x 1时的函数值为 . 一次函数 二次函数 反比例函数一、二、四 或一、三、四 0 (1)函数的定义 定两个 ，如果按照某个对应关系 f，对于集合 x，在集合 的数 f(x)与之对应，那么就把对应关系 上的函数，记作 或 . (2)函数的定义域与值域 对于函数 y f(x)， x A，其中 叫做函数的定义域， 叫做函数的值域 . 非空数集 唯一确定 f： A B y f(x)， x 集合 f(x)|x A定义 名称 符号 几何表示 x|a x b 闭区间 x|a x b 开区间 x|a x b 左闭右开区间 x|a x b 左开右闭区间 设 a， a b， a， b (a， b) a， b) (a， b 定义 x|x R x|x a x|x a x|x a x|x a 符号 (1)实数集 ， “ ” 读作 ， “ ” 读作 ， “ ” 读作 . (2)无穷区间的表示 ( ， ) 无穷大负无穷大 正无穷大 ( ， ) a， ) (a， ) ( ， a ( ， a) 【 提示 】 函数的定义中“任一 x” 与“有唯一确定的 y” 说明函数中两变量 x、 对一”或“多对一”时可以构成函数 . 2.f(x)与 f(a)的含义有何不同？ 【 提示 】 f(x)与 f(a)的区别与联系： f(a)表示当 x f(x)的值，是一个常量，而 f(x)是自变量 示的是变量 . 如图是某条公共汽车线路收支差额 图象 (收支差额车票收入支出费用 )，由于目前本条线 路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议 ( )是不改 变车票价格，减少支出费用；建议 ( )是不改变支出费用， 提高车票价格 变量间的关系 在这些图象中 ( ) A. 反映了建议 ( )， 反映了建议 ( ) B. 反映了建议 ( )， 反映了建议 ( ) C. 反映了建议 ( )， 反映了建议 ( ) D. 反映了建议 ( )， 反映了建议 ( ) 【 思路点拨 】 解答本题应从 y与 析出票价与斜率的关系，然后就 () ， () 两种建议分别描出图象，与题中、对应便可求解 . 【 解析 】 由题可知直线与 率表示票价，建议 ( )中票价不变，即直线的斜率不变；减少支出即直线与 应 )中，直线与 率变大，对应 . 【 答案 】 B (1)解答此类题目的关键在于借助变量间的图象分析实际问题中所隐含的东西，然后结合已学知识加以综合分析，从而把问题解决 . (2)判断两变量之间是否为函数关系，关键是看变量之间的关系是否为确定的关系，如中收入与消费支出的关系是一种趋势而非确定关系，而其余均为确定关系 . 中哪些 是函数关系？ 球的体积和它的半径； 速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间； 家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势； 正三角形的面积和它的边长 . 【 解析 】 中两个变量间都存在依赖关系，其中 是函数关系 . 下列各组中的两个函数是否表示同一函数 . 同一函数的判定 (1 )f( x) g (x ) ( x )2； (2 )f( x) g (x ) (x 1)2； (3 )f( x) 1x 1， g (x ) x 1 ； (4 )f( x) | x| ， g (x ) x ， x 0 ， x ， x 0 ；(5 )f( x) g (x ) 1( x 0) ； (6 )f( x) x 1x， g (t ) t 1t. 【 思路点拨 】 逐一考查两个函数的定义域，对应关系和值域 . 【 解析 】 (1)两个函数定义域显然不同，故两个函数不表示同一函数 . (2)两个函数的对应关系显然不同，故两个函数不表示同一函数 . (3)两个函数的定义域显然不同，故两个函数不表示同一函数 . (4)定义域、对应关系、值域均相同，两个函数表示同一函数 . (5)定义域、对应关系、值域均相同，两个函数表示同一函数 . (6)定义域、对应关系、值域均相同，两个函数表示同一函数 . 只有定义域、值域和对应关系都相同的两个函数才是同一函数，三者中只要有一个不同就不是同一函数 义域和对应关系相同的两个函数的值域也一定相同 . (1)f(x) x ， g (x) )f(x) 9x 3， g (x) x 3 (3)f(x) g (x) (x 1)2(4)f(x) (x 1)0， g (x) 1 【 解析 】 (1)定义域相同，都是 R，但是 g(x) |x|，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不相等 . (2)f(x) x 3(x3)，它与 g(x) x 3的定义域不同，故不是相等函数 . (3)定义域相同，都是 R，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不相等 . (4)f(x)的定义域是 x|x1， g(x)的定义域是 R，它们的定义域不同，故不相等 . 求下列函数的定义域 求函数的定义域 (1 )y 2x 3 1x 1 ； (2 )y ( x 1 )02 x 分析所给函数解析式 列不等式组 求 x 范围，得定义域 【 思路点拨 】 【解析】 (1) 要使函数有意义，需满足2x 3 0 ，x 1 0， 即x 32x 1， 原函数定义域为x| x 32且 x 1 (2) 要使函数有意义， 需满足x 1 02 x 0解得 x 2 且 x 1 故函数定义域为 x| x 2 且 x 1 . 定义域的求法： (1)如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R； (2)如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为 0的实数的集合； (3)如果 f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0的实数的集合； (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合 . (5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况 . 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视 . (1 )f (x ) 4 x 2x ； (2 )f (x ) 1 x . 【 解析 】 (1)由题意知 4 x0， x 4，故 f(x)的定义域是 x|x 4. (2)由 1 x0且 1 x0，得 x1且 x 1，故 f(x)的定义域是 x|x1且 x 1. 求函数值 ( 式 ) 若 f( x) 1 x (x 1) ，求 f( 0) ， f( 1) ， f(1 x) ， f( f( x) ). 【 思路点拨 】 直接将自变量 【解析】 f(0 ) 1 01 0 1 ； f(1 ) 1 11 1 0 ； f(1 x) 1 ( 1 x )1 ( 1 x ) x(x 2) . f(f (x ) 1 f ( x )1 f ( x )1 1 1 x x( x 1) . (1)当 应的函数值也用字母表示，但要注意化简 . (2)当求多重函数值时，一般要由里到外逐步计算 . 4. 已知 f( x ) 11 x， g (x ) x 2 2 (x R ). (1 ) 求 f( x ) 的定义域； (2 ) 求 f( 2 ) ， g (2 ) ， f( g (2 ) 的值 . 【解析】 (1) x 1 0 ， x 1. 故 f(x) 的定义域为 ( ， 1) ( 1 ， ). (2)f(2 ) 11 213， g (2) 22 2 6 ， f(g (2) f(6) 17. (1)对应法则 所选择的字母无关 用符号 f(x)外，还常用 g(x)， F(x)， G(x)等符号来表示 f(x) x 1与 f(t) t 1是同一个函数 . (2)符号 y f(x)是 “ y是 的数学表示，应理解为： 是对应法则所施加的对象； 既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述 f(x)仅仅是函数符号，不能认为 “ f与 . (3)虽然 f(x) f(x 1) 是，由于对应法则 一个为 x，而另一个为 x 1)，因此函数的解析式是不同的 . (4)f(a)与 f(x)的关系： f(a)表示当 x f(x)的值，是一个常量 .而 f(x)是自变量 示的是变量 . 区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具 1,1表示 x| 1x1，而 1,1)表示 x| 1x 1等 . 【 注意 】 (1)无穷大是一个符号，不是一个具体的数； (2)若 a， b是确定区间，则一定有 a b. 求函数 y x 2 x 2 的定义域 . 【错解】 y x 2 x 2 4 ， 由 4 0 ，得 x 2 或 x 2 ， 函数的定义域为 x| x 2 或 x 2 . 【 错因 】 求函数定义域时，不能先进行变形，否则，会使定义域发生改变，造成错误 须根据原始函数解析式来求定义域 . 【正解】 由 x 2 0x 2 0，得 x 2x 2，得 x 2 ， 函数的定义域为 x | x 2 . 1. 下列表达式中，表示函数的是 ( ) 1 x 0 )1 ( x 0 )x ( x 0 )0 ( 1 x 0 )2 x 【 解析 】 A ， 1 0， 根式无意义，不表示函数； B ，当 x 0时对应的函数值有两个，不符合函数的定义； D ，任意 x，与 此也不表示函数 . 【 答案 】 C ( ) A. 匀速航行的轮船在 2小时内航行的路程 B. 某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 C. 正方形的面积 D. 光照时间和果树的亩产量 【 解析 】 D . 【 答案 】 C g(x) 2x 1， x 1,2,3,4的值域是 . 【 答案 】 3,5,7,9 f(x) x 1. (1)求 f(2)， . (2)若 f(x) 5，求 x 【 解析 】 (1)f(2) 22 2 1 5， . (2) f(x) x 1 5， x 6 0， x 2或 x 3. 1() 1 1( ) 1 x x x 1 第二章 函数 函数的表示法 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！ ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1,0)和 (0,1)，则此一次函数的解析式为 ( ) x x 1 x 1 x 1 【答案】 f(x 1) 3，则 f(2)的值为 ( ) A. 2 解析】 方法 一：令 x 1 t，则 x t 1， f(t) (t 1)2 3， f(2) (2 1)2 3 6. 方法二： f(x 1) (x 1)2 2(x 1) 2， f(x) 2x 2， f(2) 22 22 2 6. 方法三：令 x 1 2， x 3， f(2) 32 3 . 【答案】 B f(x) 11， g(x) x 1，则 f(g(x)的表达式是 ( ) 12x 1 2x 11 【解析】 f(g(x) 1(x 1)2 1 12x. 【答案】 y f(1) 0f(n 1) f(n) 3， n N* ，则 f(3)等于 ( ) 2 【解析】 f(2) f(1 1) f(1) 3 0 3 3， f(3) f(2 1) f(2) 3 3 3 6. 【答案】 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是 ，值域是 . 【解析】 由图象可看出 x 3， y 2. 【答案】 f(x)与 g(x)分别由下表给出 那么 f(g(3) . 【解析】 由表可得 g(3) 4， f(g(3) f(4) 1. 【答案】 1 三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分 ) (1)若 f(x 1) 21，求 f(x)； (2)若函数 f(x) b， f(2) 1，又方程 f(x) x 有唯一解，求 f(x). 【解析】 (1)令 t x 1，则 x t 1， f(t) 2(t 1)2 1 24t 3.f(x) 24x 3. (2)由 f(2) 1 得 22a b 1，即 2a b 2； 由 f(x) x 得 b x 变形得 x( 1b 1) 0，解此方程得： x 0 或 x 1 又因为方程有唯一解，所以 1 0，解得 b 1，代入 2a b 2 得 a 12，所以所求解析式为 f(x)x 1 2 3 4 f(x) 4 3 2 1 x 1 2 3 4 g(x) 3 1 4 2 3 22. (1)y 24x 3(0x 3)； (2)y |x 1|； 【解析】 (1)0x 3， 这个函数的图象是抛物线 y 24x 3 介于 0x 3 之间的一段弧 (如图 (1). (2)所给函数可写成分段函数 y x 1 x11 x x 1 是端点为 (1,0)的两条射线 (如图 (2). 9.(10 分 )已知函数 f(x) 2x， (x 1)1， ( 1 x1 ) 2x， (x 1). (1)求 f(x)的定义域、值域； (2)作出这个函数的图象 . 【解析】 (1)f(x)的定义域为 x|x 1x| 1 x1x|x 1 x|x 1 或 1 x1 或 x 1 R， f(x)的值域 为 y|y 21y|y 2 y|y 2 或 y 1， f(x) 的定义域为 R，值域为 y|y 2 或 y 1. (2)根据解析式分段作图如图 数的表示法 相同，且 完全一致 . 意的 x A，在 x)与之对应 和 . 3. 的定义域为 ( ) 2 3 7f x x x 3 ,72定义域 对应关系 存在性 唯一性列表法 用 的形式表示两个变量之间 关系的方法 图象法 用 把两个变量间的 关系表示出来的方法 解析法 一个函数的 可以用自变量的 (简称 )表示出来的方法 在函数的定义域内，如果对于自变量 着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数 . 图象 函数 对应关系 解析表达式 解析式 表格 函数 每个函数都可以用列表法、图象法、解析式法三种形式表示吗？ 【 提示 】 不一定，如函数 y x， x R，就无法用列表法表示 . 求函数解析式 求下列函数的解析式： (1)已知 f(x 1) 3x 2，求 f(x)； (2)已知 f( 1) x 2 ，求 f(x)； (3)已知 f(x) c，若 f(0) 0，且 f(x 1) f(x) x 1，求 f(x). 【 思路点拨 】 (1)(2)小题可以用换元法或配凑法，求 a， b， c，利用条件 x x【解析】 (1) f(x 1) 3x 2 (x 1)2 5x 1 (x 1)2 5(x 1) 6 ， f(x) 5x 6. (2) 令 x 1 t ，则 t 1. 即 x (t 1)2. 则 f(t ) (t 1)2 2(t 1) 1. f(x) 1(x 1). (3) f(0) c 0 ， f(x 1) a (x 1)2 b(x 1) c (2a b)x a b ， f(x) x 1 x 1 (b 1)x 1 ， 2a b b 1 ，a b 1 ，a 12，b 12. f(x) 122x. (1)中解法为直接变换法或称为配凑法，通过观察、分析，将右端“ 3x 2” 变为接受对象“ x 1” 的表达式，即变为含 (x 1)的表达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求 . (2)中解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象 “ 1“ 换作另一个字母“ t” ，然后从中解出 x与 入原式中便可求出关于“ t” 的函数关系，此即为所求函数解析式 则就得不到正确的表达式 . (3)中解法称为待定系数法，我们只要清楚所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，只要想法确定其系数即可求出结果 . (1 ) 已知 f(2 x 1) 1 ，求 f(x ) ； (2 ) 已知 f(1x) f(x ). (3 ) 已知函数 (x ) f(x ) g (x ) ，其中 f(x ) 是 x 的正比例函数， g (x ) 是 x 的反比例函数，且 (13) 16 ， (1 ) 8 ，求 (x ) 的解析式 . 【解析】 (1) 设 t 2x 1 ，则 x t 12， f(t ) (t 12) 2 1. 从而 f(x) (x 12) 2 1. (2) 方法一： 设 t 1x， 则 x 1t(t 0) ， 代入 f(1x) 得 f(t ) 1 (1t)21， 故 f(x) 1(x 0). 方法二： f(1x) x(1x)2 1， f(x) 1(x 0). (3) 可设 f(x ) g (x) mx(k 0 ， m 0) ， 则 (x) 由 (13) 16 ， (1) 8 ， 得13k 3m 16 ，k m 8 ，k 3 ，m 5. (x) 3x 5x. 作函数的图象 作出下列函数的图象 . (1)y 1x， (x 1) ； (2)y 4x 3 ， x 1,3 ； (3)y 1x( 0 x 1 )x ( x 1 )； 【 思路点拨 】 初中阶段我们已经知道，一次函数的图象是直线，二次函数图象是 拋 物线，反比例函数图象是双曲线 到一些关键点，便可画出函数的大致图象 . 【 解析 】 (1)当 x 1时， y 1，所画函数图象如图 1； (2)y 4x 3 (x 2)2 1， 且 x 1,3时， y 0； 当 x 2时， y 1， 所画函数图象如图 2. 图 1 图 2 (3 ) 函数 y 1x ( 0 x 1 )x ( x 1 )的图象如图 3. 图 3 (1)图象法是表示函数的方法之一，画函数图象时，以定义域、对应关系为依据，采用列表、描点法作图 借助一次函数或二次函数的图象帮助作图 . (2)作图象时，应标出一些关键点 象的顶点、端点、与坐标轴的交点等 是空心点 . (1)y x ， | x| 1 ； (2)y 1 x ， x Z 且 | x| 2 ； (3)y x 2 1. 【 解析 】 (1)此函数图象是直线 y (2)此函数的定义域为 2， 1,0,1,2，所以其图象由五个点组成，这些点都在直线 y 1 (这样的点叫做整点 ) (3 ) 先求定义域，在定义域上化简函数式 y x 2 1 x ， x ( ， 1) (1 ， ). 其图象如下： 求分段函数的函数值 已知 f( x ) x 10( x 0 )( x 0 )( x 0 )， 求 f( 1) ， f(f( 1 ) ， f(f(f( 1 ) ). 【 思路点拨 】 求 f ( x ) 的解析式 令 x 1 求 f ( 1 ) f ( f ( 1 ) ) f ( f ( f ( 1 ) ) ) 【 解析 】 1 0， f( 1) 0， f(f( 1) f(0) ， f(f(f( 1) f( ) 1. (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得 . (2)象本题中含有多层“ f” 的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理 . 3. 若 f(x) x 4x 2 2x x 2( x 0 )( 0 x 4 )( x 4 )， (1) 求 f(f(f(5) 的值； (2) 若 f(a ) 1 ，求 a 的值 . 【 解析 】 (1) 5 4， f(5) 5 2 3. 3 0， f(f(5) f( 3) 3 4 1， 又 0 1 4， f(f(f(5) f(1) 1 2 1 (2)当 a 4 1时， a 5 0， a 5符合题意， 当 2a 1时， a 1， 0 1 4， a 1符合题意； 当 a 2 1时， a 3 4， a 3不符合题意 . a 5或 a 1. 优点 缺点 解 析 法 一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来 列 表 法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系 图 象 法 能形象直观地表示出函数的变化情况 只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大 (1)分段函数虽由几部分构成，但代表的是一个函数 数对应关系不同 (2)求分段函数的有关函数值的关键是 “ 分段归类 ” ，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式 . (3)作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可 . 已知 f(2) 4 f(x)的解析式 . 【 错解 】 f(2) 4(2)2 4， 设 t 2，则 f(t) 4. f(x) 4. 【 错因 】 本题错解的原因是忽略了函数 f(x)的定义域 乎是无懈可击，然而从其结论，即 f(x) 4来看，并未注明 f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数 f(x) 4的定义域不是全体实数 . 事实上，任何一个函数都由定义域、值域和对应关系 所以，当函数 f(g(x)一旦给出，则其对应关系 么 辖范围” (即 g(x)的值域 )也就随之确定 们由 f(g(x)求 f(x)时，求得的 f(x)的定义域就理应与 f(g(x)中的 辖范围”一致才妥 . 【 正解 】 f(2) 4(2)2 4， 令 t 2(t2)， 则 f(t) 4(t2)， f(x) 4(x2). 1.设 f(x) 2x 3， g(x 2) f(x)，则 g(x)等于 ( ) A. 2x 1 B. 2x 1 C. 2x 3 D. 2x 7 【 解析 】 由题意知 g(x 2) 2x 3 2(x 2) 1， g(x) 2x . 【 答案 】 B 能是函数 f(x)图象的是 ( ) 【 答案 】 C 次数 1 2 3 4 5 分数 85 88 93 86 95 次数学测试，其中智方同学的成绩如表所示，在这个函数中，定义域是 ，值域是 . 【 答案 】 1,2,3,4,5 85,88,93,86,95 笔记本数 x 1 2 3 4 5 钱数 (元 ) 5 10 15 20 25 元，买 x(x 1,2,3,4,5)本笔记本需要 用函数的三种表示法表示函数 y f(x). 【 解析 】 这个函数的定义域是数集 1,2,3,4,5y f(x)为y 5x， x 1,2,3,4,5y f(x)如表所示： 用图象法表示函数 y f(x)如图所示： 1 第二章 函数 射 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！ ) 一、选择题 (每小题 5分，共 20分 ) a， b， B 1,2，则下列对应不是从 的映射的是 ( ) 【解析】 A、 B、 D 均满足映射定义， C 不满足集合 中有唯一元素与之对应，且集合 A 中元素 中无唯一元素与之对应 . 【答案】 C 到 ( ) R， B x|x 1， f： xy |x| Z， B N ， f： xy Z， B Z， f： xy x 1,1， B 0， f： xy 0 【解析】 由函数的定义可知，对于 ， 0 R，且 |0| ，故 不是 A 到 对于 ， 0 Z，且 02 N ，故 不是 的函数； 对于 ，当 x 0时，如 2 Z，但 2无意义，故 不是 的函数； 对于 ，是多对一的情形， 符合函数的定义，是 的函数 . 【答案】 建立从集合 A 1,2,3,4,5到集合 B 0,3,8,15,24的映射的是 ( ) ： xx 2 x ： xx (x 1)2 ： xx 2 1 ： xx 2 1 【解析】 因为集合 1的形式 . 【答案】 2 x|0x4 ， Q y|0y2 ，下列的对应不表示从 P 到 Q 的映射的是 ( ) xy 12x xy 13x xy 23x xy x 【解析】 根据映射的概念，对于集合 合选项 A、 B、 以可构成映射 中 f： xy 23x， P 中的元素 4 按照对应法则有 234 832，即 83 ，所以 P 中元素 4 在 Q 中无对应元素 . 【答案】 C 二、填空题 (每小题 5分，共 10分 ) f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式是 . 【解析】 f(x) 的图象是由两条线段组成， 由一次函数解析式求法可得 f(x) x 1 x 1x 0，0x1. 【答案】 1() 1, 00,1f： AB ，其中 A 3， 2， 1,1,2,3,4，对应任意 aA ，在 B 中都不惟一确定的 |a|和它对应，则映射的值域为 . 【解析】 根据题意，可以发现映射为 f： x|x| ，故值域为 1,2,3,4. 【答案】 1,2,3,4 三、解答题 (每小题 10分，共 20 分 ) 1,2,3,4,5,6，集合 B 1,1,3,5,7,9，集合 C 8，2,4,10,16,22，对应关系 乘 2减 3” ，对应关系 乘 3减 5” ，分别求下列映射所对应的函数表达式 . (1)映射 f： AB ； (2)映射 g： BC ； 3 (3)映射 h： AC. 【解析】 (1)y f(x)， 函数表达式为 y 2x 3； (2)y g(x)， 函数表达式为 y 3x 5； (3)由题意得 y h(x) g(f(x)， g(f(x) 3f(x) 5 3(2x 3) 5 6x 14. 函数表达式为 y 6x 14. 在边长为 4 的正方形 上有一点 P，由点 B(起点 )沿着折线 点 A(终点 )运动 运动的路程为 x， 面积为 y，求： y与 【解析】 当 0x4 时， S4x=2x ； 当 4 x8 时， S44=8 ； 当 8x12 时， S4(12 24 2824 2 04488 129.(10 分 )某市场经营一批进价为 30 元 /件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价 y 件之间有如下表所示的关系 . x 30 40 45 50 y 60 30 15 0 (1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对 (x， y)对应点，并确定 y 与 y f(x)； (2)设经 营此商品的日销售利润为 据上述关系，写出 P 关于 x 的函数关系式，并指出销售单价 能获得最大日销售利润？ 【解析】 (1)由上表作出点 (30,60)， (40,30)， (45,15)，(50,0)，它们近似地在一条直线上，如图 . 4 设它们共线于直线 y=kx+b. 5 0 0 3 ,4 5 1 5 1 5 0 .k b kk b b y= 50(xN). 经检验 (30,60)， (40,30)也在此直线上 . 所以所求函数解析式为 y=50(xN). (2)依题意 P=y(50)(=-3(+300. 当 x=40时， 00， 销售价为 40元时，才能获得最大利润 . 射 中 元素在数集 确定的元素 f(x)和它对应，这种对应关系叫集合 的映射，体现多对一或一对一 . 、 、 . 任何一个 唯一 解析法 图象法 (1)映射的含义 两个 集合 间存在着对应关系 f，而且对 元素 x， 的一个元素 称这种对应为从 的映射，记作 . (2)象与原象的概念 在映射 f： A 称为原象， 称为 作 . (3)一一映射 f： A 一一映射是一种特殊的映射，它满足： 中都有 与之对应； 同 元素的象也不同； 非空 每一个唯一f： A B x x . 设 A、 到 ，那么映射 就叫作 的函数 从 到 的映射 . 原象 映射 f： A 空数集 【 提示 】 对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射 . f： A 【 提示 】 不一定，如在映射 f： AB 如图所示： ，在 映射的判定 判断下列对应 到集合 (1)A N， B N ， f： x |x 1|； (2)A x|0x6， B y|0y2， f： x y x； (3)A x|x|3， x N， B a|a0， a Z， f： x a 2x 4. 12【 思路点拨 】 先从映射定义出发，观察 中是否都有唯一元素与之对应 . 【 解析 】 (1)集合 A 在对应关系 f： x |x 1|下为 0，而 0 N ，即 在对应关系下 不是映射 . (2)在对应关系 f： x y B，故不是映射 . (3)对 A x|x|N中的任意元素，总有整数 2x 4 (x 1)23 故是 的映射 . 12要判断对应 f： AB 是否是 的映射，必须做到两点：明确集合 A、 根据映射定义判断 中找到唯一确定的对应元素 . 到 否构成函数？ (1 )A R ， B R ， f ： x y 1x 1； (2 )A a | a n ， n N ， B b| b 1n， n N ， f ： a b 1a； (3 )A 0 ， ) ， B R ， f ： x x ； (4 )A x| x 是平面 M 内的矩形 ， B x| x 是平面 M 内的圆 ， f ：作矩形的外接圆 . 【 解析 】 (1)当 x 1时， 不是映射，更不是函数 . (2)是映射，也是函数，因 中的元素 . (3)当 以不是映射，更不是函数 . (4)是映射，但不是函数，因为 A， 象与原象 已知映射 f： A B (x， y)|x R， y R， f： (x， y) (x 2y 2,4x y). (1)求 5,5)的象； (2)求 5,5)的原象 . 【思路点拨】 f ： A B 中， A B (x ， y)|x R ， y R ； 对应关系 f ： (x ， y) (x 2y 2,4x y) ； A 是原象集， B 是象集，解答本题中的 (1) 可利用 x 5 ， y 5 代入对应关系求出 (x 2y 2,4x y) 的值便可，解答 (2) 可利用方程的观点解方程组x 2y 2 54x y 5，求出 x ， y 的值便可 . 【解析】 (1) 当 x 5 ， y 5 时， x 2y 2 17, 4x y 25. 故 A 中元素 (5,5 ) 的象是 (17 ,25 ). (2) 令x 2y 2 54x y 5，得x 1y 1， 故 B 中元素 (5,5 ) 的原象是 (1,1 ). (1)解答此类问题的关键是： 分清原象和象； 搞清楚由原象到象的对应关系； (2)对 象只需将原象代入对应关系即可，对于 先设出它的原象，然后利用对应关系列出方程组求解 . 集合 a， b)使它的象仍是自身？若存在，求出这个元素，若不存在，请说明理由 . 【解析】 假设 A 中存在这样的元素 (a ， b) ，则由题意得a 2b 2 b b，所以a 0b 1，所以 A 中存在元素 (a ， b) 使它的象仍是它自己，这个元素为 (0 ， 1). 函数的实际应用 某市空调公共汽车的票价如下： 5公里以内 (包括 5公里 )，票价 2元； 5公里以上，每增加 5公里，票价增加 1元 (不足 5公里的按 5公里计算 ). 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为 1公里，如果沿途 (包括起点站和终点站 )有 21个汽车站，请根据题意写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象 . 【 思路点拨 】 解答本题可根据题意写出相应区间上的解析式，并注意变量的分界点问题 . 【解析】 设票价为 y ，里程为 x ，根据题意，如果某空调汽车运行路线中设 21 个汽车站，那么汽车行驶的里程约为 20 公里，所以自变量 x 的取值范围是 (0,2 0 . 则可得到以下函数解析式： y 2 ， 0 x 53 ， 5 x 104 ， 10 x 155 ， 15 x 20， 根据这个函数解析式，可画出函数图象，如图所示 . 该类问题属于函数建模问题，解答此类问题的关键在于先将实际问题数学模型化，然后结合题设选择合适的函数类型去拟合 即 实际问题 建立数学模型 解此函数问题 选择合适的
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