高中数学 向量的概念及表示课件（打包2套）苏教版必修4
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想一想： 位移和距离这两个量有什么不同？ o B A 2000米 1500米 位移既有大小又有方向 距离只有大小没有方向 向量的概念及表示 生活中有向量 生活中用向量 阅读课本 58完成下列问题 : 示向量 ? 殊向量 ? 殊关系 ? 既有 大小 又有 方向 的量称为向量 . 1）几何表示； 2）字母表示； 指向量的 长度 : | |零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 (1) 和解 O A(2) ) 虽 然 ， 且 = ， 但 它 们 方 向相 反 , 故 这 两 个 向 量 并 不 相 等 B C O A B B ： 已 知 为 正 六 边 形 的 中 心 ， 在 图 中 所 标 出 的向 量 中 ：（ 1 ） 试 找 出 与 共 线 的 向 量 ；（ 2 ） 确 定 与 相 等 的 向 量 ；（ 3 ） 与 相 等 吗 ？ 若 不 相 等 ，则 它 们 之 间 有 什 么 关 系 ？A B C D E F O 变 1:以图中 A,B,C,D,E,F,始点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量 相等的向量有几个？ ： 的相反向量有几个？ 4个 34：在图中的 方格纸中有一个向量 ， 分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与 相等的向量有多少个？与 长度相等的共线向量 有多少个？（ 除外） 7 个 向 量 与 相 等(1)( 2 ) 1 5 个 向 量 与 共 线A B 1、下列说法正确的是（ ） O A B C A O B O C O， 、 、；C . 设 是 正 的 中 心 则 向 量是 模 相 等 的 向 量；A. 共 线 的 向 量 ， 若 起 点 不 同 ， 则 终 点 一 定 不 同A B C D A B C 向 量 与 是 共 线 向 量 ， 则 、 、 、四 点 必 在 一 直 线 上 .a b a b ；B. 若 和 都 是 单 位 向 量 ， 则 =课堂练习 C 2、判断下列说法是否正确： a b b c a c（ 3 ） 若 = , = , 则 =;a b b c a c（ 4 ） 若 / / , / / , 则 / / .a b a b= ， 则变 题 ： ；a b a b（ 2 ） 若 , 则 =;a b a b ；= ， 则 =变 题 ：a b a b（ 1 ） 若 =; 则 =;探究 ： 如图，以 方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？ 3相等向量与相反向量 课堂小结： 单位向量与零向量 向 量 A B au u ur 的 表 示 ： 或向量的大小 (长度、模 ) 向量的方向 有向线段 平行向量(共线向量 ) 课本 1， 3， 4； 课后作业 数学作业本 7. 向量的表示方法 ： 手写时写成 : 量的大小 箭头所指的方向表示 向量的方向 几何表示法： 用一条有向线段 来表示 . 用字母 a、 b、 c(黑体字 )或 来表示 . 点） B（终点） 2、 单位向量： 长度为 1 个单位长度 的向量 . 零 向量模为 0，方向不确定 . 单位向量 模为 1，方向不一定相同 . 两个特殊向量 ： 思考： 平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量， 它们的终点的轨迹是什么图形？ 1、 零向量： 长度为 0 的向量 . 记作 . 0O y x 平行向量： 规定 零向量 与任一向量平行 . ab 记 作 ：e 与 是 平 行 向 量 ？两向量的平行 与平面几何里 两线段的平行 有什么区别？ 方向相同或相反的 非零向量 叫做平行向量 . 任意 一组平行向量都可以平移到同一直线上 共线向量： 平行向量又称共线向量 平面几何里 两线段的共线 是否一样？ 、 为 线共 向 量 / b / / 长度相等 且 方向相同 的向量 . 相反向量 : 长 度 相 等 ， 方 向 相 反 的向 量 叫 做 的 相 反 向 量 .- ：ab 相 等 记 作与 ， - ) = ？思考： ?向量的概念及表示 1民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班每次飞行都是民航客机的一次位移由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移 (如图甲 ) 2某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度 ，平均出手速度大小为 v m/s(如图乙 ) 3起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起 问题 1：上述实例中的 “位移 ”、 “速度 ”、 “力 ”与生活中，我们接触到的长度、面积、重量等有什么区别？ 提示： “位移 ”、 “速度 ”、 “力 ”既有大小，又有方向；长度、面积、重量只有大小，没有方向 问题 2：如何表示上述既有大小又有方向的量？ 提示： 用有向线段表示 向量的基本概念 定义 既有 又有 的量称为向量 表示方法 (1) 几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的 ，箭头所指的方向表示向量的 ，以 A 为起点、 B 为终点的向量记为 ； (2) 字母表示：用小写字母 a ， b ， c 表示 模 向量 大小称为向量的 ( 或称为模 ) ，记作 | | 大小 方向 大小 方向 定义 模 (大小 ) 方向 零向量 长度为 的向量，记作 0 任意的 单位向量 长度等于 个单位长度的向量 与起点、终点位置有关 0 0 1 1 几类向量 定义 模 (大小 ) 方向 平行向量 (共线 )向量 方向 或 的非零向量，亦称共线向量，规定零向量与任一向量平行 不定 相等向量 长度 且方向 的向量 相反向量 长度 且方向 的向量 相同 相反 相同 相等 相等 相反 相等 相同或相反 相同 相反 相等 1对向量的理解 向量不同于数量，数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性且不能比较大小 2 对相等向量的理解 ( 1) 平面向量 a 与平面向量 b 相等，并不要求它们有相同的起点与终点 ( 2) 将相等向量的起点平移到同一点，则这时它们的终点必重合所以我们可以说：一个平面向量的直观形象是平面上“ 同向且等长的有向线段的集合 ” ( 3) 若 则 我们应该理解向量相等是可传递的 3共线向量的理解 (1)平行 (共线 )的概念不是平面几何中平行概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否在一条直线上无关 (2)平行向量就是共线向量，任何一组平行向量都可移到同一条直线上 例 1 给出下列命题： ( 1) 若 | a | | b |，则 a b 或 a b ； ( 2) 向量的模一定是正数； ( 3) 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ( 4) 向量 共线向量，则 A 、 B 、 C 、 D 四点必在同一直线上 其中正确命题的序号是 _ 思路点拨 解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假 精解详析 (1) 错误由 | a | | b |仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它们方向的关系 (2) 错误 模为零 (3) 正确对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的 (4) 错误共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量 须在同一直线上 答案 (3) 一点通 理解向量的有关概念时，注意加以辨析： 向量共线 (平行 )即表示共线 (平行 )向量的有向线段可以在同一条直线上，也可以是平行的；而有向线段共线，即在同一直线上，有向线段平行，即所在直线是平行的 1下列物理量中不是向量的有 _(填序号 ) 质量 速度 位移 力 加速度 路程 密度 功 解析： 由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量 答案： 2 下列各命题中正确的序号是 _ 若 | a | | b |，则 a b 或 a b 若 则 A ， B ， C ， D 是一个平行四边形的四个顶点 若 a b ， b c ，则 a c 若 a b ， b c ，则 a c 解析： | a | | b |只说明其大小相等，不能得出相等或共线的结论，故不正确； 能 A ， B ， C ， D 四点共线，故 不正确； 当 b 0 时， a c 不一定成立，故不正确所以只有 正确 答案： 3给出以下 5个条件： a b； |a| |b|； a与 相反； |a| 0或 |b| 0； a与 中能使 a与 _ (填所有正确的序号 ) 解析： 根据相等向量一定是共线向量知正确； |a| |b|但方向可以任意， 不成立； a与 成立； 由 |a| 0或 |b| 0，得 a 0或 b 与任何向量共线，得成立； 两单位向量的模相等但方向不定， 不成立 答案： 例 2 如图所示， ， 在 ， 圆心 的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径倍的向量有多少个？ 思路点拨 ( 1) 在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i 1,2 ， ， 8) 两类，一般地我们易想到i 1,2 ， ， 8) 这 8 个，而易遗漏i 1,2 ， ，8) 这 8 个 ( 2) 圆内接正方形的一边对应了长为 2 的两个向量，例如边 此与 ( 1) 一样，在解题过程中主要要防止漏算认为满足条件的向量个数为 8 是错误的 精解详析 (1) 模等于半径的向量有两类，一类是i 1,2 ， ， 8) 共 8 个；另一类是i 1,2 ， ， 8) 也有 8个两类合计 16 个 (2) 以 ， O 的内接正方形有两个，一个是正方形 一个是正方形 在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边 ( 看成有向线段，每一边对应两个向量 ) 的长度为半径的 2 倍所以模为半径的 2 倍的向量共有 4 2 2 16 个 一点通 (1)准确画出向量的方法： 确定向量的起点；确定向量的方向；根据向量的长度确定向量的终点 (2)向量的表示方法：向量的几何表示在研究向量运算时，为应用向量处理几何问题打下了基础；字母表示便于向量的运算 4. 右图中，小正方形的边长为 1 ， 则 | _ ； | _ _ ； _. 答案： 3 2 26 2 2 解析： 根据勾股定理可得 | 3 2 ， | 26 ， | 2 2 . 5 如图所示的是中国象棋的半个棋盘， “ 马走日 ” 是马的走法， 即马可从 A 跳到 A 1 ，也可以跳到 A 2 ， 示马走了 “ 一步 ” ，试在图中画出马在 B 、 C 处走了一步的 所有情况 解： 如图所示，在点 B 处走一步有点 C 处走一步有 例 3 如图， D ， E ， F 分别是正三 角形 A B C 各边的中点 (1) 写出图中所示向量与向量 长度相等的向量； (2) 写出图中所示向量与向量 等的向量； (3) 分别写出图中所示向量与向量 线的向量 思路点拨 相等向量考虑向量的方向和大小，共线向量只考虑方向是否相同或相反，向量的长度只考虑大小不考虑方向 精解详析 (1) 与 度相等的向量是 (2) 与 等的向量是 (3) 与 线的向量是 与 线的向量是 一点通 向量有两个要素：一是大小，二是方向两个向量只有当它们的模相等，同时方向相同时才称为相等的向量即 a a| |b|，且 a与 要注意到零向量与零向量是相等向量 6. 如图，四边形 D 为正方形， 为等腰直角三角形， 图中与 线 的向量有 _ ； 图中与 等的 向量有 _ ； 图中与 相等的向量有 _ _ ； 图中与 等的向量有 _ ； 图中与 为相 反向量的有 _ 解析： A ， B ， E 三点共线， 线 且 向相同， | | | | | . | | ，且 向相反 为相反向量 答案： 7. 如图，在四边形 D 中， 且 | | ，则四边形 D 为 _ 解析： 由 可得 所以四边形平行四边形又 | | ，所以 所以四边形 A 为菱形 答案： 菱形 8. 如图所示的 D 中 a ， b . ( 1) 与 模相等的向量有多少个？ ( 2) 与 模相等，方向相反的向量有哪些？ ( 3) 分别写出与 线，与 线的向量 解： ( 1) 3 个，分别是 ( 2) ( 3) 与 线的向量有 与 线的向量有 1解决共线向量问题应注意以下几点 (1)规定零向量与任意向量平行，由于零向量的方向不确定，因而在解题时，要特别注意向量为零的情况 (2)两个非零向量共线或平行有以下四种情况：两个向量方向相同且模相等；两个向量方向相反且模相等；
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