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高中数学 导数 几何 意义 课件 新课 选修

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内容简介：

用心 爱心 专心 学生动手实践 一、 提问： 1导数 )(0/ 义 是什么？请写数学表达式。 导数的 定义 是函数 )( 处的 即： 2、求导数 )(0/ 几步？ 3函数 )(均变化率x )()( 00的几何意义是什么，请在函数图 像中画出来。 y )(0 0 4 、切线的新定义 5导数 )(0/ 导数 )(0/ )(1）平均变化率x )()( 00的几何意义： 2）当 0x 时，观察图形变化。 用心 爱心 专心 二、例题 例 2在函数 2 图像上，（ 1）说说 (/ h ， h 的几何意义。（ 2） 请描述、比较曲线 )(210 , ）以及增（减）快慢的情况。在43, (1) (2) t O 用心 爱心 专心 例 3 如图表示人体血管中的药物浓度 )(（单位： ）随时间 t （单位： 变化的函数图像，根据图像，估计 .0t (，血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到 把数据用表格的形式列出。 t 物浓度的 瞬时变化率 抽象概括： （导函数的定义） 三、 课堂 小结： （ 本节课你学习到了什么？） x x )(000/用心 爱心 专心 科目 数学 课题 数的几何意义 教师 高峰 时间 2009学目标 知识与技能 （ 1）使学生掌握 函数 )(0的导数 0/ 图像在 0处的切线的斜率。（数形结合），即： x x )(000/ 切线的斜率 (2)会利用导数的几何意义解释 实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。 过程与方法 通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的 情感、态度与价值观 导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，用数学的意识 感受数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，体会数学的博大精深以及学习数学的意义 教材分析 重点 导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法 难点 发现、理解及应用导数的几何意义 疑点 以直代曲”的思想方法 学法引导 在学习时多从生活中的实例 ， 借助于图形直观帮助对概念的理解。 课时安排 1 课时 教法 启发式 教学手段 多媒体辅助教学 教 与 学 过 程 设 计 教与学过程设计 设计意图 一、创设情境、导入新课 （ 1） 求导数0()步骤有哪几步 ? (2) 观察函数 ()y f x 的 图 象 ， 平 均 变 化 率 00()f x x f 在图形中 表示什么？ 板书 导数的几何意义 二、 引导探究、获得新知 到切线的新定义 （演示两个动画） 当点00( , ( ) )nP x x f x x 沿着曲线 ()近点00( , ( )P x f 0x ，割线个确定位置上的直线 为 点 P 处的切线。 注：解释曲线的切线 老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，下面探究导数的几何意义 也是依据导数概念的形成，寻求解决问题的途径。 带着问题观察动画，借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线， 学生 更 易 感 知 当0x ，割线的变化趋势。 用心 爱心 专心 教 与 学 过 程 设 计 究导数的几何意义 函数 () 的导数就是曲线在该点处的切线斜率 k ，即： 0000()l i m ( )xf x x f xk f 直代曲思想 把点 P 附近函数的图象放大，引导学生理解以直代曲思想是指某点附近一个很小的研究区域内，曲 线与切线的变化趋势基本一致，故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线。 三、知识应用、巩固理解 例 1 应用几何意义 例 2 体会导数与单调性的关系 例 3 “以直代曲”的应用 抽象概括出导函数（简称导数）的概念： 四、课堂练习 （见课本 知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状。 五、归纳小结：（开放式，由学生总结） 六、作业布置，分层要求 分三个层次 七、板书设计（略） 通过将曲线一点处的局部 “ 放大、放大、再放大 ” 的直观方法，形象而逼真地再现 “ 以直代曲 ”思想。 教学 后记 P PP用心 爱心 专心 教 学 过 程 设 计 意 图 一、创设情境、导入新课 出研究的问题： 前面我们初步了解了一些微积分 背景 知识， 对有“微积分之父”之称的牛顿和莱布 尼慈，也相识了 （ 幽默： 同时知道当爹的不易 ） ，之后重点 学习了函数在0的 导数0()是函数在该点处的 瞬时变化 率 。那么： 提 问： (1) 求导数0()步骤有哪几步 ? 生： 总共分三步 （拉音 ，模仿赵本山 ） ： 第一步：求增量 y 第 二 步：求平均变化率 00()f x x f ； 第 三 步：求 瞬时变化率 0000()( ) l i x x f x . （ 即 0x ，平均变化率 趋近 于的 确定常数 就是该点 导数 ） (2)观察函数 ()y f x 的图象，平均变化率 00()f x x f 在图形中 表示什么 ？ 生： 平均变化率 表示 的是割线 师： 这就是 平均变化率 ( ) 的几何意义 ，那么 瞬时变化率 (0 )在图中 又 表示 什么呢？ 今天我们就来探究导数的几何意义。 板书 老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，下面探究导数的几何意义也是依据导数概念的形成，寻求解决问题的途径。 教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。 突破平均变化率的几何意义， 后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究 问题 导数几何意义 是什么？ （ 复习引入 用时 约 3 分钟） 用心 爱心 专心 二、引导探究、 获得新知 到切线的新定义 要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究 0x ，割线的变化趋势 ，看下面 的动画 。 多媒体显示【动画 1】： 圆上点 P 处的切线 割线 演示点 右边沿着圆逼近点P ,然后再从左边沿着圆逼近点 P ， 即 0x ， 割线 变化 趋势 。 教师引导学生 观察割线与切线是否有某种内在联系呢？ 生： 先感知后发现，当 0x ， 随着点 着圆逼近点 P， 割线限趋近于点 P 处的切线 。 把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线，可得： 多媒体显示【动画 2】： 动态演示 教材 上点00( , ( ) )nP x x f x x 沿着曲线 ()近于点00( , ( )P x f 线势 图。 师： 类比 【动画 1】 ，当点00( , ( ) )nP x x f x x 沿着曲线 (), ( )P x f 即 0x ，研究割线 以 求导数的两个步 骤为依据 ，从平均变化率的几何意义入手探索导数的几何意义 ，抓住0x 的联系，在图形上从割线入手 来研究问题。 带着问题观察动画，借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线， 学生 更易感知当 0x ，割线的变化趋势。 用逼近的方法体会 割线逼近切线 ， 消除 学生对极限的神秘感。 肯定学生的研究结果，并引导学生把这种由割线逼近的方法得到切线推广到一般曲线，并由此得出割线的变化趋势，为研究几何意义做好铺垫。 两个动画，探索 一般曲线中的切线定义 ， 让不同程度的学生都能借助直观的图象感知和发现 ，得出： 0x ，割线逼近该点处的 切 线 用心 爱心 专心 学生观察 【动画 2】 ，类比 得出 一般曲线的切线定义 ： 当点00( , ( ) )nP x x f x x 沿着曲线 (), ( )P x f 0x ，割线个确定位置上的直线 P 处的切线。 突破研究的难点 ： 0x ， 割线 P 处的切线 那么： 0x ，割线的斜率 ？与导数0()有何关系呢？进行下面的探究活动。 究导数的几 何意义 结合 【动画 2】 的变化过程，探究导数的几何意义。 【 探究一 】 点 0 0 0 0( , ( ) ) , ( , ( ) )n x f x P x f x ， 求： (1)结合两点坐标， 割线 生： 00()nf x x f xk x (2)结合 0x ，割线切线 切线 斜率 k 可表 示为什么？ 生： 000()l i x x f xk x 数的几何意义 吗？ 生： 函数 () 的导数就是 曲线在该点处 的 切线 斜率 k ，即 ： 0000()l i m ( )xf x x f xk f 点处的割线斜率与切线斜率与某点附近的平均变化率和瞬时变化率有何联系？ 生 ： 平均变化率 0x 瞬时变化率 割线的斜率 0x 切线的斜率 （直观获得切线的定义，至此用时约 8 分钟） 感知联系， 运用数形结合的方法研究数值表示。 从直观感知到数式研究相对照， 有利于大多数学生主动建构知识 ，进而得出导数的几何意义。 要求学生善于归纳和 总结 并 深入体会知识间的联系 。 三 、 探索小结、重点讲评 学生快速探究活动后，展示研究成果，教师重点讲评： 借助实物投影仪，展示学习成果， 学生经历了用心 爱心 专心 割线) ( )()n f x x f xk x x x , 当点时，k ，即 00 00 ( ) ( )l i m ( )x f x x f xk f 切线 斜率 k 即为函数在0的导数。 导数的几何意义： 00000 ( ) ( )( ) l i mx f x x f xf x x x 曲 线 在 处 的 切 线 的 斜 率师： 由导数的几何意义，我们可以解决 哪些问题 ？ 生： 已知某点处的导数或者切线的斜率可以求另外一个量。 直代曲思想 把点 P 附近函数的图象放大 ， 引导学生理解以直代曲思想是指 某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势基本一致，故可由 曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线 。 师： 在 某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势 有完整的探究过程后， 教师的讲评就可以有针对性和详略，学生也可以结合自己探究的体会更好地建构知识。 突破导数的几何意义这个学习重点。 通过将曲线一点处的局部 “ 放大、放大、再放大 ” 的直观方法，形象而逼真地再现 “ 以直代曲 ”思想。 渗透用导数的几何意义研究函数的增减性 初中平面几何中，圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。 圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上图中，直线 1l 虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切； 而另一条直线 1l 虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 P 爱心 专心 何关系？如果切线的斜率为正，则 该点附近曲线的 增减 情况 怎样？ 生： 点 P 附近，曲线 和 该点处的切线 的 增减变化情况一致。 如果切线的斜率为正，则 该点附近曲线 呈上升趋势。 至此突破学习重点和难点，用时约 15 分钟 四 、知识应用、巩固理解 例题 1：简单小题 例 题 2：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的 2 图象 。 (1) (2) 【 探究二 】 1 用图形体现 (/ h ， h 的几何意义。 2导数值的正负，反应该点附近的曲线有何变化趋势？ 3 请描述、比较曲线 )(210 , ）以及增（减）快慢的情况。在43, 见学案 “学生活动” 要求学生动脑 (审题 ),动手 (画切线 )，动口(讨论 )，体会利用导数的几何意义 及运用导数来研究函数在某点附近的单调性 ，渗透“数形结合”的思想方法，运用以直代曲的思想方法。 问题 1 由具体的导数入手，熟悉导数的几何意义，帮助学生感知导数与函数单调性之间的联系。 问题 2 引导学生感知导数反映变化率的本质。 问题 3 运用导数的几0t 1t 2t 用心 爱心 专心 分析 ： 附近 ： 瞬时 ，增减 ： 变化率 ，即研究函数在该点处的瞬时变化率 ，也就是导数。可借助切线的变化趋势得到导数的情况。 生： 作出曲线在这些 点处的切线， 在0x 轴，即0( ) 0，说明在0，函数几乎没有增减；在12,线呈下降趋势，即12( ) 0 , ( ) 0h t h t，函数在点附近单调递减。曲线在2是因为12| ( ) | | ( ) |h t h t。 小结 ： 附近 ： 瞬时 ，增减 ： 变化率 ，即研究函数在该点处的瞬时变化率 ，也就是导数。导数的正负即对应函数的增减。作出该点处的切线，可由切线的升降趋势，得切线斜率的正负即导数的正负，就可以判断函数的增减性，体会导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。 同时，结合以直代曲的思想，在某点附近的切线的变化情况与曲线的变化情况一样，也可以判断函数的增减性。都反应了导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。 例 3 如图表示人体血管中的药物浓度 )(（单位： ）随时间 t （单位： 变化的函数图像，根据图像，.0t （ ，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。 (精确到 t 物浓度的 瞬时变化率 （注记：要求学生动脑（ 审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解 释 实际问题，渗透“数何意义，借由切线的变化趋势，得出切线的斜率即该点处的导数的情况 ，进而判断函数的单调性。 给出曲线上各点的切线的变化图，体会导数就是反映函数变化率的，借助曲线可以得出切线斜率的情况即该点处导数的情况。体会导数在研究函数增减和变化快慢的应用。 用心 爱心 专心 形结合”、“以直代曲”的思想方法。） 抽象概括， （先由学生小结） 抽象概括出导函数（简称导数）的概念： 0/ 态）， 是 x 的函数（动态） 由 x x )(000/（特殊 一般 ） x x )(（静 态 动态） （说明：体验 从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想 五 、分层练习、提升能力 （定时不定量的练习，期望学生熟能生巧） 六 、归纳总结、深化认识 这节课我们学习了哪些知识和方法？ 学生进行开放式小结：（回顾学习的两个知识和数学思想方法） (1)切线的定义： 当点00( , ( ) )nP x x f x x 沿着曲线 (), ( )P x f 0x ，割线个确定位置上的直线 为点 P 处的切线。 (2)函数 ()的导数 0()的几何意义就是函数 ()的切线的 斜率。 （ 3） 数学思想方法：体会“数形结合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法 。 （ 4） 导函数的定义 （ 七 ）作业布置，分层要求： 1习题 . 2如图（函数图像参见“学生动手实践”，此略）是利用信息技术画出的函数)50(43)( 3 的图像，请根据图像，估计 时，气球的瞬时膨胀率。有什么发现？ 剩余 2 分钟左右时间给 学生 总结本节课学习的知识和数学方法 ， 教师投影 进行补充，便于课后进行查漏补缺 . 用心 爱心 专心 3 请给出求函数 )( 在0的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切线的题目。 （探索：若把 3 “在点 )(,(00 为“过点 )(,(00 算法有何不同？并小组自编四个求切线的题目。） （八）板书设计 我们学校的黑板是由四部分组成，上下可以拉动的，以往老师们用汇报课 上课板书非常少，甚至没有，其实多媒体只是辅助教学的手段，绝不能象放电影一样，从头放到尾，尤其是学习数学的，老师用课件放一遍和老师 用粉笔在黑板上写一遍是完全不同的，说多了！ 1 1 3 导数的几何意义 1、曲线的切线新定义 2、导数的几何意义 3、“以曲代直”的思想 4、导函数的定义 画框图 （本节课的网络图形） （在最下面） 例 1 （找学生上黑板来做） 例 2 （电脑演示） 例 3 （电脑演示） 刚开始的时候画图象 （引出几何意义） 5043)( 3 爱心 专心 平均变化率 瞬时变化率 导 数 割线的斜率 切线的斜率 割 线 切 线 逼 近 导数的几何意义 函数的增减性 应 用 数形结合 类 比 求函数 y=f(x)在点 00( 1 ) ( ) ( ) ;y f x x f x 求 函 数 的 增 量00( ) ( )( 2 ) ;f x x f 求 平 均 变 化 率0 0( 3 ) ( ) l 求 瞬 时 变 化 率 ， 得 导 数回顾 )( )( 00你能借助函数 的图象说说平均变化率 表示什么吗？请在函数 图象中画出来 割线斜率 平均变化率表示的是割线 圆的切线 0 x 割线 在 的过程中， 请在函数图象中画出来 你能描述一下吗？ 曲线切线 曲线的切线定义 , ( ) )P x f x 0x当点 00( , ( ) )nP x x f x x ()逼近点 时，即 ， 割线 趋近于确定的位置，这个确定位置上 的直线 函数 在 处的导数 的 几何意义 就是 函数 的图像在点 处的 切线的斜率 . （数形结合） )( 0/ 0( , ( ) )P x f 圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 而通过 逼近 的方法，将 割线趋于的确定位置的直线 定义为切线 （交点可能不惟一） 适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 2 点 线可以 用在点 。 .,., 4 163 大多数 函数曲线 就 一小范围 来看，大致可看作 直线， 所以， 某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲” （以简单的对象刻画复杂的对象） 例 1: （ 1）求函数 y=3(1,3)处的导数 . （ 2）求曲线 y=f(x)=在点 P(1,2)处的切线方程 . 2 2 2 21 1 1 13 3 1 3 ( 1 )| l i m l i m l i m 3 ( 1 ) 611x x x 2 2 21 00 ( 1 ) 1 ( 1 1 ) 2| l i m l i m 2x x 2 2 ( 1 ) 20 例 的 图像上， (1)用图形来体现导数 ， 的几何意义 . 2 (/ t (2)请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在 附近呢？ ,0t ,1t 2t,3t 4t 0t 1t 2 (2)请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在 附近呢？ ,0t ,1t 2t,3t 4 ): 增（减） 快慢： =切线的斜率 附近： 瞬时 变化率 （正或负） 即：瞬时变化率（导数） （数形结合，以直代曲） 画切线 即：导数 的绝对值的大小 =切线斜率的绝对值的 大小 切线的倾斜程度 （陡峭程度） 以简单对象刻画复杂的对象 (2) 曲线在 时，切线平行于 线在 附近比较平坦，几乎没有升降 0 处切线 的斜率 0 在 附近，曲线 ，函数在 附近单调 0t,1t,1t 2线 的倾斜程度大于切线 的 倾斜程度， 2t 1t,3t 4上升 递增 2l 1这说明曲线