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内容简介：

第 24 课时 方差与标准差【 学习导航 】 学习要求 1体会方差与标准差也是对调查数据的一种简明的描述，要求熟练记忆公式，并能用于生产实际和科学实验中； 2体会方差与标准差对数据描述中的异同。 【课堂互动】 自学评价 案例 有甲乙两种钢筋现从中各抽取一个样本 (如下表 )检查它们的抗拉强度 (单位 :kg/通过计算发现，两个样本的平均数均为 125 哪种钢筋的质量较好 ? 【 分析 】 在平均数相同的情况下，观察上述数据表，发现乙样本的最小值 100 低于甲样本的最小值 110，最大值 145 高于甲样本的最大值 135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定 在 平均数 相同的情况下，比较两组数据的 极差 能大概判断它们的稳定程度 极差 : 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差 从数据表上可以看出，乙的极差较大，数据较分散 ;甲的极差小，数据较集中，这就说明甲比乙稳定 运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数 据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论这时，我们考虑用更为精确的方法 方差 在上一课时中，学习了总体平均数的估计，其中提到平均数是 “最理想 ”近似值的缘由同样我们可以考虑每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差，离差越小，稳定性就越高 那么，怎样来刻画一组数据的稳定程度呢？ 在上一课时中，设 n 个实验值ia(i =1，2， ， n)的近似值为 x ，那么它与这 n 个实验值ia(i =1， 2， ， n)的离差分别为12 ，由于上述离差有正有负，故不宜直接相加可以考虑将各个离差的绝对值相加，研究 |1+|2+|取最小值时 x 的值但由于含绝对值，运算不太方便，所以考虑离差的平方和，即(12+(22+(2，当此和最小时，对应的 x 的值作为近似值，因为 (12+(22+(2 =22221212 )(2 nn ， 所以当 )(121 时离差的平方和最小，故可用 )(121 作为表示这个物理量的理想近似值，称其为这 n 个数据1a，2a， ，般记为 )(1 21 在上述过程中，可以发现， 一组数据与其平均数的离差的平方和 最小 ，考虑 用与其平均数的离差的平方和来刻画一组数据的稳定程度是可行的即本案例中，可用各次抗拉强度与平均抗拉强度的差的平方和表示由于比较的两组数据的容量可能不同，因此应将上述平方和除以数据的个数，我们把由此所得的值称为这组数据的方差 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差开方后的值称为这组数据的 标准差 标准差也可以刻画数据的稳定程度 一般地，设一组样本数据, 21 ，其平均数为 x ，则称 ni i 22 )(1为 这 个 样 本 的 方差 ， 其 算 术 平 方 根 ni i 2)(1 为样本的 标准差 ，分别简称样本方差 ， 样本标准差 根据上述方差计算公式可算得甲、乙两个样本的方差分别为 50 和 165，故可认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋 【精典范例】 例 1 甲、乙两种冬水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下（单位： t/, 试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定： 品 种 第 1年 第 2年 第 3年 第 4年 第 5年 甲 0 解】 甲品种的样本平均数为 10，样本方差为 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 222 ) )1010( 22 5 品种的样本平均数也为 10，样本方差为 222 ) 5)22 2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的 100 只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差 天 数 151 180 181 210 211 240 241 270 271 300 301 330 331 360 361 390 灯泡数 1 11 18 20 25 16 7 2 【 分析 】 用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命。 【解】 各 组 中 值 分 别 为165,195,225,255,285,315, 345,375，由此算得平均数约为 %20255%18225%11195%1165 %2375%7345%16315%25285 68 将各组中值对于此平均数求方差得 22 )268195(11)268165(1100 1 22 )268255(20)268225(18 22 )268315(16)268285(25)268375(2)268345(7 22 2） 故标准差约为 答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为 268天，标准差约为 46 天。 例 3（ 1）求下列各组数据的方差与标准差（结果精确到 ： 甲 1 2 3 4 5 6 7 8 9 乙 11 12 13 14 15 16 17 18 19 丙 10 20 30 40 50 60 70 80 90 丁 3 5 7 9 11 13 15 17 19 （ 2）比较计算结果，各组方差和标准差的关系是什么？ 【解】 (1) 甲： 乙： ： 丁： 2) 乙的方差与标准差分别与甲的相同； 丙的方差是甲的方差的 100 倍，标准差是甲的 10 倍； 丁的方差是甲的方差的 4 倍，标准差是甲的2 倍 例 4 某市共有 50 万户居民，城市调查队按千分之一的比例进行入户调查，抽样调查的结果如下 家庭人均月收入(元 ) 工作人员数 管理人员数 500,200 20 5 800,500 60 10 1100,800 200 50 1400,1100 80 20 1700,1400 40 15 合 计 400 100 (1)一般工作人员家庭人均月收入的估计 1x 及其方差的估计 21s ； (2)管理人员家庭人均月收入的估计 2x 及其方差的估计 22s (3)平均数的估计 x 及总体方差的估计 2s 【 解】分组数据用组中值作为本组数据的代表。 (1) 1x =995， 21s =83475 (2) 2x =1040， 22s =90900 (3) x =1004 2s =85284 追踪