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第 10 课时 本算法语句 【 学习导航 】 学习要求 1 进一步 掌握 循环 语句 结构 ， 并能 进行简单的综合应用 . 2进一步培养学生的探索问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生思维的严谨性和条理性 . 【课堂互动】 自学评价 当型循环 ： 常用“ 循环语句 和“ 循环 语句表示 句 一般形式为 ： 环语句 一般形式为： 【 说明 】 当循环的次数确定时，我们通常用环语句，而当 循环的次数不确定时，我们通常用 两种语句都是前测试语句，即先判断后执行。若初始条件不成立，则一次也不执行循环体中的内容，任何一种需要重复处理的问题都可以用这种前测试循环来实现。 【经 典范例】 例 1 读入 100 个自然数，统计出其中奇数的个数，并将所有奇数输出，用伪代码表示解决这个问题的算法过程 【解】 算法的伪代码如下： 0k I 1 80 n 220T n k 例 2 假定 有一房地产投资 ,投资 10 000元，按11 25的 回报率 ，一年后连本带 利润 将变为11 125元，若将此款继续 做房地产投资 ，试问 ：多长时 间就会连本带利翻一番 ?请用 适当 语句写出程序 。 【解】 程序： s 11125 i 1 r S f I 1 8 S 2I+1 I I+1 S 0 I 1 i 100 S S+i i i+1 第 11 课时 法 案例 重点难点 重点 ： 通过案例分析，体会算法思想 ，熟练算法设计 ，进一步理解算法的基本思想，发展有条理的思考和表达能力，提高逻辑思维能力。 难点 ： 在分析案例的过程中设计规范合理的算法 学习要求 1 理解剩余定理的内涵 2 能 利 用剩余定理解决“韩信点兵 孙子问题” 【 课堂互动 】 历史背景 ： 韩信是秦末汉初的著名军事家，据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么办法，不要逐个报数，就能知道场上士兵的人数。 韩信先令士兵排成 3 列纵队，结果有 2人多余；接着他立刻下令将队 形改为 5列纵队，这一改，又多出 3人；随后他又下令改为 7列纵队，这一次又剩下 2人无法成整行。韩信看此情形，立刻报告共有士兵 2 333人。 众人都愣了，不知韩信用什么办法清点出准确人数的。 这个故事是否属实，已无从查考，但这个故事却引出一个著名的数学问题，即闻名世界的“孙子问题”。 这种神机妙算，最早出现在我国算经十书之一的孙子算经中，原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。” 所以人们将这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理” 。 【 分析 】 “孙子问题” 相当于求关于 x， y， z 的不定方程组 273523正整数解。 根据题意， m 应该满足三个条件： （ 1） m 被 3 除后余 2，即 2)3,( （ 2） m 被 5 除后余 3，即 3)5,( （ 3） m 被 7 除后余 2，即 2)7,( 在自然数中可能存在满足条件的数， 首先让 m=2开始检验条件，若三个条件中有任何一个不满足， 则检验下一个数，即 ， 如此循环下去， 一直到 这种解决 问题的方法也称为“穷举法”，这种方法在利用计算机解决问题时非常有效，因为计算机最 擅 长重复机械的操作。 【 流程图 】 【 伪代码 】 【 思考 】 上述算法只能求出最小的满足条件的数，如果要求出 10 个满足条件的数，程序要做何修改 ？ 你能否用数学 上最小公倍数的知识 分析m 2 od(m,3) 2 或 m,5) 3 或 m,7) 2 m m+1 m N Y m m+1 结束 输出 m 开始 1 m 2 2)7,(3)5,(2)3,(解决该问题的方法 吗 ？ 可以这样考虑： 5 和 7 的公倍数中能被 3 除余 2 的最小的公倍数是 35； 3 和 7的公倍数中能被 5除余 3的最小的公倍数是 63； 3和 5的公倍数中能被 7除余 2的最小的公倍数是 30；因此满足条件的其 中的一个数就应是 35+63+30，为 128，若减去 3,5,7的最小公倍数 105 得 23， 23就是满足题目要求的最小的数。 你能画出这种算法的流程图吗？ 【解】算法流程图如下 : 经 典范例 例 1 古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。我国东汉的数学家刘徽利用 “割圆术 ”计算圆的面积及圆周率 。 “割圆术 ”被称为千古绝技，它的原理是用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积。具体计算如下： 在单位圆内作正六边形，其面积记为 长为 此基础上作圆内接 十二 边形，面积记为 长为 ，一直做下去，记该圆的内接正 1 边形面积为边长为 由于所考虑的是单位圆，计算出的 值即是圆周率 的一个近似值，且 n 越大， 圆周率 越接近。你能否设计一个算法，计算圆周率的近似值？ 思路点拨 :画图可知 2，1 ， 1. 【解】 算法步骤如下： n a1 To n A I a4a1 I,A,a 追踪训练 】 1. m 是一正整数 ,对两个正整数 ,若 是m 的倍数 ,则称模 m 同余 ,用符号 )表示 27a 中 , a 的取值可能为 ( D ) 五 个 五个 地数 ,最后余下 2 个；七 个 七 个地数 ,最后余下 3 个； 九 个 九 个地数 ,最后余下 4 个 求出这堆棋子至少有多少个 . 【解】 算法如下 : m 2 od(m,5) 2或 m,7) 3 或 m,9) 4 m m+1 m 3.（ 李白买酒 )无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒设计求酒壶中原有多少酒的一个算法并写出伪代码 【解】 算法如下 : x 0 i 3 x x+1 x x/2 x 输出 m ,3) 2m 且 ,5) 3m 且 , 7) 2m 1 开始 1m 结束 Y N 5 其中 y 为自然数 )的所有小于 100 的 x 的正整数解 . 【解】 算法如下 : y 0 x 0 x100 x 5y+3 x y y+1 第 12 课时 法 案例 重点难点 重点 ： 通过案例分析 理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法 ，体会算法思想 . 难点 ： 把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言 . 学习要求 1 理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析 . 2 基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序 . 【 课堂互动 】 问题 ： 写出求两个正整数 a,b(ab)的最大公约数的一个算法。 公元前 3 世纪，欧几里得介绍了求两个正整数 a,b(ab)的最 大公约数的方法，求出一列数： 0,121 nn ，这列数从第三项开始，每一 项都是前两项相除所得的余数（即 ),(12 余数等于0的前一项是 a和 种方法称为“欧几里得辗转相除法”。 例 1 求两个正数 8 251 和 6 105 的最大公约数 （分析： 8 251 与 6 105 两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数） 【 解 】 8 251 6 105 1 2 146 显然 8 251和 的 2 146最大公约数也必是 2 146的约数，同样 6 105与 2 146的公约数也必是 8 251 的约数，所以 8 251 与 6 105 的最大公约数也是 6 105 与 2 146 的最大公约数 6 105 2146 2 1813 2 146 1813 1 333 1 813 333 5 148 333 148 2 37 148 37 4 0 则 37为 8 251与 6 105的最大公约数 【 小结 】 以上我们求最大公约数的方法就是欧几里 得 辗转相除法 其 求最大公约数的步骤如下： 第一步： 用较大的数 m 除以较小的数 n ,得到一个商0 第二步：若0 0r ，则 n 为 ,0 0r ，则用除数 n 除以余数0r,得到一个商 1q 和一个余数 1r ； 第三步：若 1 0r ，则 1r 为 , 1 0r ，则 用除数0r 得到一个商 2q 和一个余数 2r ； 依次计算直至 0，此时所得到的1为所求的最大公约数 . 【 练习 】 求 a=204， b=85的最大公约数，步骤为： 204 85 的余数为 34， 85 34 的余数为 17， 34 17 的余数为 0。 所以它们的最大公约数为 17。 算法描述：计算出 a b 的余数 r，若 r=0，则 b 为 a， b 的最大公约数；若 r 0，则把前面的除数 b 作为新的被除数，把余数 r 作为新的除数 （ a， b 要重新赋值， a b， b r） ，继续 进行上述 运算，直到余数为 0(用 环语句，循环的 执行 条件是 r 0，当 r=0 时，循环终止 )，此时的除数即为所求的最大公约数。 算法如下 : 输入 两个正整数 a,b(ab)； 若 a， b)=0，则 转 则， ra,b)， a b， b r，转 输出最大公约数 b. 【 流程图 】 开始 b r Y N 结束 输入 a， b a b r a,b) a,b) 0 输出 b 【 伪代码 】 2. 更相减损法 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术 更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之 翻译出来为： 第一步：任意给出两个正数 ,判断它们是否都是偶数 若是，用 2约简；若不是，执行第二步 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把 较小的数与所得的差比较，并以大数减小数 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数 再从 这 个角度看一下“求 a=204， b=85的最大公约数”的问题， 可以等价为等式： 34285204 。 1723485 。 这两步从减法的角度可以理解为： 204得的差与减式中的较小数比较，再用大的数减小的数， 循环执行以上步骤 ,直到结果为 0。此时减数就是 a 和 b 的最大公约数。 这一算法根据它的特点，也可以用循环语句完成。 参考代码 ： /If a r a b b r a r f r a b /确保相减后仍用较大的数减去较小的数 b 用 “更相减损 法”求多于两个数的最大公约数就可以显示出其优越性 【 小结 】 比较辗转相除法与更相减损术的区别 （ 1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显 （ 2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到 【 追踪训练 】 m,n m/n m/n) c nt(m/n) n m n n c n (x)表示不超过 x 的最大整数 ) 【 解 】 求 m， n 的最大公约数 。 （ 1） 225,135; （ 2） 98,196. a,b od(a,b) 0 r a,b) a b b r b 相减损法求下列各组数的最大公约数。 （ 31） 72,168; （ 2） 153,119. 4. 现有长度为 360 780种规格的钢筋若干 问 :怎样才能保证正方体体积最大且不浪费 ? 思路点拨 : 正方体的所有棱长都相等 ,故 必须将钢筋剪裁成长度相等的钢筋条 ;又必须不浪费 ,这就说明必须剪后无剩余 故剪的钢筋的最大长度为 360 780最大公约数 ,可用更相减损术求最大公约数 . 第 13 课时 法 案例 重点难点 重点 ： 理解区间二分法的意义 ； 学会分析类似的问题 ； 通过案例分析，体会算法思想 ， 难点 ： 理解 二分法的算法思想和算法表示 学习要求 1 理解 区间二分 法的 意义 ,二分法主要是采用了循环结构处理问题要会分析类似的问题 。 2 能由流程图分析出期所含有的结构并用为代码表示出相应的算法 句的认识及其他语句的进一步熟悉 。 【 课堂互动 】 问题 ： 用 区 间 二 分 法 写出 方程013 区间 1， 的一个近似解（误差不超过 的一个算法 。 算法设计 思想 ： 令函数 1)( 3 如图，如果估计出方程 ( ) 0在某区间 , 有一个根 *x ，就能用二分法搜索求得符合误差限制c 的近似解 取 a， b的中点0x，如果 f(0x)=0，则0则判断根 *x 在0果在左侧，就用 a，0x代替区间 a， b。如果在右侧，就用 0x，b代替区间 a， b，如此循环下去，直到|(c 是约定的误差范围，终止，此时 *x 0x。 算法步骤 ： 取 a， b的中点 )(210 ，将区间一分为二； 若 0)(0 0则判断根 *x 在0 若 )()(00，则 ),(0* ，以0a； 若 )()(00，则 ),(0* ，以0b； 若 c，计算终止，此时 *x 0x，否则转 【 流程图 】 【 伪代码 】 代码 1: a,b,c 0 2|a b c 30010 0)( 0 )()( 0 0 开始 Y 结束 输入 a， b， c )( 13 )( 0 1030 输出0x)(210 a00x c N Y N Y N 3( 1) 300( 1)0 00f 0 2: 10 ,0 0 ()230 3( ) 1f a a a 40 30 0 0( ) 1f x x x 50 ( ) 020 60 ( ) ( ) 0f a f x 70 00 0 000 10 |a b c 0 120 x【 追踪训练 】 和 4 的图 象 ,根据图象 判断方程 42 的解的范围 ,再用二分法求这个方程的近似解 (误差不超过 并写出这个算法的伪代码 ,画出流程图。 【 解 】 由图像可知方程 42 有一个根在 1， 2内。 a 1 b 2 c c 0x (a+b)/2 )( 42 )(04200 (0 f )()(00 b0a0f 开始 Y 结束 输入 a， b， c )( 42 )( 0 42 00 输出0x)(210 a00x c N Y N Y N )()( 0 0)( 0 N i 1 S 1 i =n S S i i i+1 第 14 课时 本算法语句 及算法案例 重点难点 重点 ： 运用 基本算法语句 表示顺序、选择、循环这三种基本结构 . 难点 ： 掌握 循环 语句的综合应用 . 【 学习导航 】 知识网络 区间二分法辗转相除法剩余定理算法案例语句语句循环语句条件语句输入输出语句赋值语句基本算法语句F o rW h i l 1. 进一步巩固基本算法语句：赋值语句、输入输出语句、条件语句、 循环 语句的概念，并掌握其结构 . 本算法语言 表示顺序、选择、循环这三种基本结构；能 进行初步的综合应用 . 【 自学评价 】 1. 我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是宋、元时期的 “ 算法 ” ，其中可以同欧几 里德辗转相除法相媲美的是（ B ） A割圆术 B更相减损术 C秦九韶算法 D孙子 剩 余定理 2. _)_) I _)15,6(_ _ _ _ _ _)6,15( M o dM o 2,6 (图象 是连续不断的 , x 与)(对应值如下表所示 : 则函数 定存在根的 区间有 ( C ) A.1,2和 2,3 B.2,3和 3,4 C.2,3和 4,5 D.3,4和 4,5 4. 用 秦 九 韶 算 法 计 算 多 项 式76543)( 23456 在1.0x 时的值时 ,需要做乘法和加法的次数分别是 ( D ) A. 6 , 6 B. 5 , 6 C. 5 , 5 D. 6 , 5 【 经 典范例】 例 1 把求 !n 的程序补充完整 .(提示 :n!=1 2 n) 【解】分别填入 例 2 用秦九韶算法求多项式 234567 234567)(在 3x 时的值 . 【解】 ( ) ( ( ( ( ( ( 7 6 ) 5 ) 4 ) 3 ) 2 ) 1 )f x x x x x x x 0 1 2 345677 , 7 3 6 2 7 , 2 7 3 5 8 6 , 8 6 3 4 2 6 2 ,2 6 2 3 6 7 8 9 , 7 8 9 3 2 2 3 6 9 ,2 3 6 9 3 1 7 1 0 8 , 7 1 0 8 3 0 2 1 3 2 4 ,V V V ( 3 ) 2 1 3 2 4f 例 3 用二分法求方程 0135 (0,1)上的近似解，精确到 ，写出算法新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆画出流程图 . 【解】 算法如下： , 点 )(210 ，将区间一分为二 0)(0 0则所求根 *x 在0若 0)()(0 ),(0* ，以0a ； 若 0)()(0 ),(0* ，以0 b ； a b c ，计算终止 ,此时0* ，否则转到第 1 步 流程图： (注 :将程序框图中所有“ :=”换成“” ) 【 追踪训练 】 1. 下面是一个算法的伪代码 0，则输出的 y 的值是（ D ） A 100 B 50 C 25 D 150 5 和 51 的最大公约数时 ,需要做除法的次数为 _3_. n 的值是 _ 3_. 此算法的功能是（ B） A a， b， c 中最大值 B a， b， c 中最小值 C 将 a， b， c 由小到大排序 D 将 a， b， c 由大 到 小排序 x If x 5 y 10x y f y j 1 n 0 j=11 j j+1 j,4)=0 n n+1 f j j+1 1 m a 若 bm， 则 m b 若 cm，则 m c 输出 m. 第 15 课时 章复习 【 自学评价 】 1. 用二分法求方程的近似根，精确度为 e ，则循环结构的终止条件是（ D ） A. 21B. 21 C. 21 D. B ） n 2 s 0 s17 s s+n n n+1 n B. 7 C. 6 D. 5 3. 以下给出的是计算21151311 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 i11 . 【经 典范例】 例 1 下面是计算应纳税所得额的算法过程，其算法如下： 入工资 x(x=5000); 果 x=800,那么 y=0; 如果 800x=1300,那么 y= 否则 y=25+0.1(出税款 y,结束。 请写出该算法的伪代码。 【解】 x x 800 y 0 f x 1300 y y 25+0.1(f y 例 2 编写求乘积为 783 的两个相邻奇数的程序 . 2 是 否 1,1,0 1 输出 s 开始 结束 【解】 程序 : s 1 I 1 S783 I I+2 S I (I+2) ,I+2 例 3 任意给定 3 个正数，设计一个算法 分别 判断以 3 个数为三边的三角形是否存在，画出算法流程图 【解】 例 4 用辗转相除法或者更相减损术求三个数 324 , 243 , 135 的最大公约数 . 【解】 辗转相除法 : 324=243 1 81 243=81 3 0 则 324 与 243 的最大公约数为 81 又 135=81 1 54 81=54 1 27 54=27 2 0 则 81 与 135 的最大公约数为 27. 所以 ,三个数 324、 243、 135 的最大公约数为 27. 更相减损术 : 3 2 4 2 4 3 8 1 , 2 4 3 8 1 1 6 2 , 1 6 2 8 1 8 1; 1 3 5 8 1 5 4 , 8 1 5 4 2 7 , 5 4 2 7 2 7 所以 , 27 为所求 . 【 追踪训练 】 1. 用秦九韶算法计算当 4x 时，多项式 65432)( 2345 值 为 1818 . 是整数 ,且 ),mo d (,0 ,则 a 与 b 的最大公约数为 ( D ) C. r 的最大公约数 3. 下 面 程序运行后输出的结果为 _22, x5 y f 0x xy yy+3 f x y y x 第 6 章 统计 一、知识结构 二、重点难点 重点 ： 三种常见抽样方法；总体分布的估计；总体特征数的估计；线性回归。 难点 ： 三种常见抽样方法的区别和特点；频率分布表；频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图的制作方法；平均数、方差、标准差的计算；变量之间的相关关系及线性回归方程的求法。 样方法 第 16 课时 单随机抽样 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1明白样本、总体、样本容量等基本概念； 2体会简单随机抽样的的概念及抽签法的基本步骤； 3体会随机数表法也是等可能性抽样，感受用随机数表法进行抽样的基本步骤，并能熟运用。 【课堂互动】 自学评价 1. 基本概念 ： 总体、个体、样本、样本的容量、总体平均数、样本平均数 。 在统计学里，我们把 所要考察对象的全体 叫做 总体 ，其中的每一个考察对象叫做 个体 ，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个 样本 ，样本中个体的数目叫做 样本的容量 总体中所有个体的平均数 叫做 总体平均数 ， 样本中所有个体的平均数 叫做 样本平均数 本思想方法 ： 统计学的基本思想方法 是 用样本估计总体 ，即通过从总体中抽取 一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况因此，样本的抽取是否得当，对于研究总体来说就十分关键究竟怎样统 计 抽样方法简单随机抽样方法 总体分布的估计 总体特征数的估计 变量之间的关系 简单随机抽样 系统抽样简单随机抽样方法 分层抽样简单随机抽样方法 抽签法简单随机抽样方法 随机数表法简单随机抽样方法 频率分布表简单随机抽样 方法 频率 分布直方图简单随机抽样 方法 折线图简单随机抽样方法 茎叶图简单随机抽样方法 平均数及其估计简单随机抽样 方法 方差简单随机抽样方法 标准差简单随机抽样方法 函数关系简单随机抽样方法 相关关系简单随机抽样方法 线性回归简单随机抽样方法 线性回归方程简单随机抽样 方法 相关性检验与相关系数 简单随机抽样 随机数表法 抽签法 从总体中抽取样本？怎样抽取的样本更能充分地反映总体的情况？ 下面 ，我们就通过案例来学习 一 种常用的 基本的 抽样 ： 简单随机抽样 案例 1 为了了解高一 (1)班 50 名学生的视力状况，从中抽取 10 名学生进行检查如何抽取呢 ? 【 分析 】 在这个案例中，总体容量较小， 显然 可以 用 同学们最常见的 抽签法 来抽取样本 关键 问题 在于 ： 抽签法 能使 每 一个人被抽到的机会 均 等吗？对每一个人 都 公平 吗 ？ 好吧，让我们一起实践一次抽签的过程。在实践中思考 抽签法 需要哪些必要的步骤。 3. 抽签法 用抽签法 从个体个数为 取一个容量为 k 的 样本的步骤 为 ： (1)将总体中的所有个体编号 (号码可以从 1 到 N)； (2)将 1 到 N 这 N 个号码写在形状、大小相同的号签上 (号签可以用小球、卡片、纸条等制作 ； (3)将号签放在同一箱中，并搅拌均匀 ； (4)从箱中每次抽出 1 个号签，并记录其编号，连续抽取 k 次 ； (5)从总体中将与 抽得 的签的编号相一致的个体取出 。 注意：对个体编号时，也可以利用已有的编号，如从全班学生中抽取样本时，利用学生的学号作为编号；对某场 电影的观众进行抽样调查时，利用观众的座位号 作 为编号等。 【 小结 】用抽签法抽取样本过程中，每一个剩余个体被抽到的机会是 均等 的，这也是一个样本是否具有良好的代表性的关键前提没有每个个体机会均等，就没有样本的公平性和科学性 当然 ,抽签法简单易行 ,适用于 总体中的个体数不多 的情形 . 在案例 1 中 ,还可以用另一种方法 随机数表法 来抽取样本，它可以有效地简化抽签法的过程。 先让我们一起体会一下随机数表法抽取样本的过程，再完成下面的空格。 (随机数表 中的每个数都 是 用随机方法产生的（称为 随机数 ） 。 按一定规则到随机数表中选取号码，从而获得样本的方法就称为 随机数表 法 随机数表 的制作方法 有 抽签法 、 抛掷骰子法 、 计算机生成法 等等 。 用随机数表法抽取样本的步骤 ： (1)对总体中的个体进行编号 (每个号码位数一致 )； (2)在随机数表中任选一个数作为开始 ； (3)从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满为止 ； (4)根据选定的号码抽取样本 。 从个体数 为 N 的总体中 逐个不放回 地取出n 个个体 作为样本 (nN),每个个体都有 相同的机会 被取到， 这样的抽样方法叫 简单随机抽样 。抽签法 和 随机数表法 都是简单随机抽样 (【经 典范例】 例 1 某校 共有 60 个班级，为了调查 各 班级中男 、女学生所占比例情况，试抽取 8 个班级组成的一个样本。 【解】 按一定的次序将全校所有班级编号： 1,2，3 ,60，在 60 张相同的纸片上分别写上上述号码，号码向内将纸片叠制成统一形状的号签，将号签放入纸盒搅匀，每次一张，从中随机抽取 8 个纸签获得所需样本 (如 ： 2,13,44,14,50,6，37,27) 例 2 总体有 8 个个体，请用随机数表法从中抽取一个容量为 5 的样本。如何操作 (随机数表参见教科书 41 页 ) 【解】 第一步，将全部个体编号，可以 1， 2， 3， 4， 5，6， 7， 8。 第二步，在随机数表中任意选择一个数，比如从第一行第 25 列的数 9 作为开始 第三步，从选定的数 9 开始向下读下去， 9 不在号码范围内，将它去掉，继续向下读，得到 3，将它取出，再向下读， 取出 2，再往下又是 3，前面已经取得，将它去掉，再往下取得 7，再往下又取得 8，再往下又是 8、 7 和 3，都在前面已经取得 ，去掉，再往下又取得 5，于是抽取的样本号码是 3,2， 7,8， 5 例 3 某学校的高一年级共有 200 名学生，为了调查这些学生的某项身体素质达标状况，请使用随机数表法从总体中抽取一个容量为 15 的样本 【解】 第一步，将所有学生编号 ：000,001,002， ,198,199。 第二步，选定随机数表中第一个数 1 作为开始。 第三步，从选定的数 1 开始按三个数字一组向右读下去，一行读完时按下一行自左向右继续读，将超过 199 或重复的三位数去掉， 保留下来的三位数直到取足 15 个为止。得 所 要 抽 取 的 样 本 号 码 是162,175,068,047,176,025,067,016, 050,074,112,155,100,134,094 点评： 1、在随机数表中，每一个位置上出现某一数字是等可能的，这就决定了从总体中抽到任何一个个体的号码也是等可能的。可见随机数表法属于简单随机抽样。 2、该题在用随机数表选号时，需要剔除大量不在个体编号范围内的号码数，这样挑号码不太方便，能否避免呢？ (可以规定所取的三位数中，凡在 200399 者，均减 200，凡 400 599 者，均减400 ,使所有数组都小于 200) 例 4 假设一个总体有 5 个元素，分别记为a,b,c,d,e,从中采用不重复抽取样本的方法，抽取一个容量为 2 的样本，样本共有多少个？写出全部可能的样本。 【解】 共有 10 种样本： a,b; a,c; a,d; a,e; b,c; b,d; b,e; c,d; c,e; d,e. 追踪训练 1某次考试有 10 000 名学生参加，为了了解这 10 000 名考生的数学成绩，从中抽取 1 000 名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，有以下四种说法： (1)1 000 名 考生是总体的一个样本； (2)1 000 名考生数学成绩的平均数是总体平均数； (3)10 000 名考生是总体； (4)样本容量是 1 000，其中正确的说法有 ( B ) A 1 种 B 2 种 C 3 种 D 4 种 2 关于简单的随机抽样，有下列说法： (1)它要求被抽样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的可能性进行分析； (2)它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽样实践中进行操作； (3)它是一种不放回抽样； (4)它是一种等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相等，而 且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种方法抽样的公平性其中正确的命题有（ D ） A (1)(2)(3) B (1)(2)(4) C (1)(3)(4) D (1)(2)(3)(4) 00 件电子产品中抽取一个容量为 25 的样本进行检测，试用随机数表法抽取样本。 【解】 第一步，将所有电子产品编号 ：00,01,02， ,98,99。 第二步，选定随机数表中第一个数 1 作为开始。 第三步，从选定的数 1 开始按二个数字一组向右读下去，一行读完时按下一行自左向右继续读，将重复的二位数去掉，保留下来的二位数直到取足 25 个为止。 要从 2 000 份试卷中抽取 100 份作为样本，如何用随机数表法进行抽取 ？ 【解】 第 一 步 ， 将 所 有 试 卷 编 号 ：0000,0001,0002， ,1998,1999。 第二步，选定随机数表中第一个数 1 作为开始。 第三步，从选定的数 1 开始按四个数字一组向右读下去，一行读完时按下一行自左向右继续读，将超过 1999 或重复的四位数去掉 ，保留下来的四位数直到取足 100 个为止。 第 17 课时 系统抽样【 学习导航 】 学习要求 1体会系统抽样的的概念及如何用系统抽样获取样本； 2感受系统抽样也是等可能性抽样，是否需要用系统抽样，主要是看总体个数的多少 . 【课堂互动】 自学评价 案例 1 某校高一年级有 20 个班，每班有 50 名学生为了了解高一学生的视力状况，从这 1000 人中抽取一个容量为 100 的样本进行检查，应该怎样抽样 ? 【 分析 】 这个案例的总体中个体数较多，生活中还有容量大的多的总体，面对这样的总体，采用抽签或随机数表等简单随机抽样方法是不科学的抽取样本最关键的就 是要保证抽样过程的 公平性 ，要保证总体中每个个体被抽到的 机会均等 在这样的前提下，我们可以寻求更好的抽样方法 系统抽样以简单随机抽样为基础，通过将 较 大容量的总体分组，只需在某一个组内用简单随机抽样方式来获取一个个体，然后在一定规则下就能抽取出全部样本 . 系统抽样的概念 : 将总体平均分成几个部分，然后按照 一定 的规则，从每个部分中抽取一个个体 作为样本 ， 这样的抽样方法称为系统抽样 (系统抽样的步骤为： (1)采用 随机 的方式将总体中的个体编号 ; (2)将整个 的编号按一定的间隔 (设为 k)分段，当 N/n (是整数时 ， k=N/n； 当 N/n 不是整数时，从总体中剔除一些个体 ，使剩下的总体中个体的个数 N 能被 时， k=N/ (3)在第一段中 用 简单随机抽样 确定起始的个体编号 L; (4)将编号为 L， L+k,L+2k, ,L+( 【小结】 系统抽样是以简单随机抽样为基础的一种抽样方法，对于容量较大、个体差异不明显的总体通常采用这种抽样方法，在保证公平客观的前提下简化抽样过程 在用系统抽样 方法抽取样本时，如果 总体个数不能被样本容量整除， 可以 从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体的个数能被样本容量整除 . 【 经 典范例】 例 1 在 1 000 个有机会中奖的号码 (编号为000 999)中，在公证部门监督下随机抽取的方法确定后两位数为 88 的号码为中奖号码，这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的？依次写出这 10 个中奖号码？ 【解】 本题中是运用了系统抽样的方法来确定中奖号码 的 ， 中 奖 号 码 依 次 为 ：088,188,288,388,488,588,688,788,888,988 例 2 某单位在岗职工共 624 人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取 10%的工人进行调查 试 采用系统抽样方法 抽取所需的样本 . 【 分析 】 因为 624 的 10%约为 62， 624 不能被 62 整除，为了保证 “等距 ”分段，应剔除 4 人 【解】 第一步 将 624 名职工用随机方式进行编号； 第二步 从总体中剔除 4 人（剔除方法可用随机数表法），将剩下的 620 名职工重新编号（分别为 000， 001， 002， ， 619），并分成62 段； 第三步 在第一段 000， ， 009 这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码 第四步 将编号为 0， ， 10的个体抽出，组成样本 例 3 某制罐厂每小时生产易拉罐 10 000 个，每天生产时间为 12h，为了保证产品的合格率，每隔一段时间要抽取一个易拉罐送检，工厂规定每天共抽取 1 200 个进行检测，请你设计一个抽样方案。 【解】 每天共生产易拉罐 120 000 个，共抽取1200 个，所以分 1200 组，每组 100 个，然后采用简单随机抽样法从 001 100 中随机选出一个编号，例如选出的是 013 号，则从第 13个易拉罐开始，每隔 100 个，拿出一个送检，或者根据每小时生产 10 000 个，每隔36360010000100 s 拿出一个易拉罐送检。 例 4 现要从 999 名报名者中随机选取 100 名参加某活动，请你用系统抽样法设计一种方案，叙述其步骤。你能找到另外的抽样方案吗？比较两种方案的合理性和易操作性 【解】 按系统抽样法，因为 100不能整除999，所以首先将 999人编号，采用随机数表法剔除 99 名，再将剩下的 900名报名者重新编号 001 900，从 001号顺次下去每 9人一组，等分成 100组，利用抽签法或随机数表法，从 1 9个数中随机选出一个数，新编号为该数字加上 9的倍数的报名者 入选。例如选出的随机数为 3，则新编号为003,012,021， 894共 100 人入选。 还可以采取以下抽样方法：首先将 999名报名者编号为 001 999，因为 111可以整除 999，将这 999个编号从 001开始顺次每9个一组，然后选用简单随机抽样法从 1 9的 9 个数字中随机地抽出一个数字，编号为该数字加上 9的倍数的共 111名报名者先挑选出来，例如 ： 随机抽到的是 7，则编号为007,016,025， ,988,997共 111名，最后，再利用随机数表从 111名中随机抽取 11名剔除。 点评：此方法较之系统抽样法更易操 作，因为虽然 999不能被 100整除，但余数 99非常大，接近于除数 100，而且采用随机数表法从 999个数字中随机抽出 99个数剔除的工作量也较大。后一种方法先通过系统抽样，随机抽取 111名，再利用随机数表法，从 111个数字中随机抽出 11个来剔除，操作起来要相对方便得多。 追踪训练 1为了了解参加一次知识竞赛的 1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50的样本，那么总体中应随机剔除个体的数目是 （ A ） （ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 2 全班有 50 位同学，需要从中选取 7 人，若采用系统抽样的方法来选取，则每位同学能被选取的可能性是5073 一个总体中有 100 个个体，随机编号为0,1,2, ， 99,依编号顺序平均分成 10 个小组，组号依次为 1,2,3, ,10现用系统抽样的方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为 m ，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 的个位数字相同若 6m ，则在第 7 组中抽取的号码是 _63_ 4. 要从 1003 名学生中选取一个容量为 20的样本，试叙述系统抽样的步骤。 【解】 第一步 将 1003 名学生有随机方式进行编号； 第二步 从总体中剔除 3 人 (剔除方法可用随机数表法 )，将剩下的 1000 名学生重新编号并分成 20 段 ; 第三步 在第一段 000、 001、 002、 003、049 这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码，比 如 013 第四步 将 013 逐次加上部分的“长度”(第一部分中个体的个数 )的 0 倍、 1 倍、 2 倍、19 倍得到样本 :013、 063、 113、 163、 963. 第 18 课时 分层抽样 【 学习导航 】 学习要求 1体会分层抽样的的概念及如何用分层抽样获取样本； 2感受分层抽样也是等可能性抽样，它适用于总体由差异明显的几部分组成的； 3简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的特点及适用范围。 【课堂互动】 自学评价 案例 1 某校高一、高二和高三年级分别有学生 1000， 800 和 700 名，为了了解全校学生的视力情况，欲从中抽取容量为 100 的样本，怎样抽样较为合理 【 分析 】如果在 2500 名学生中随机抽取 100名学生作为样本，或者在三个年级中平均抽取学生组成样 本，这样的样本是否合理？能否反映总体情况？ 由于不同年级的学生视力状况有一定的差异， 为准确反映客观实际 ,不仅要使每个个体被抽到的机会均等 ,而且要注意总体中个体的层次性 ,从而使抽取的样本具有良好的代表性 . 对于 这种 容量较大、个体差异较大且明显分成几部分的总体 ,就考虑用 分层抽样 来抽取样本 分层抽样的概念： 当总体由 差异明显的几个部分 组成时，为了使样本 更客观地反映总体情况 ，我们常常将 总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分 ，然后 按各部分在总体中所占的比实施抽样 ， 这样的抽 样 方 法 称 为 分层抽样 (分层抽样的步骤为： (1)将总体按一定标准分层 ； (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比 ； (3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量 ； (4)在每一层进行抽样 (可用简单随机抽样或系统抽样 )。 【小结】 分层抽样适用于总体由差异比较明显的几个部分组成的情况，是等可能抽样，它也是客观的、公平的； 分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以根据情况采用不同的抽样方法， 因此在实践中有着非常广泛的应用 2 三种抽样方法 的比较 类别 特点 相互联 系 适用范 围 共同 点 简单随机抽样 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 系统抽样 将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取 在起始部分抽样时，采用简单随机抽样 总体中的个体数较多 分层抽样 将总体分成几层，按各层个体数之比抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 【精典范例】 例 1 某政府机关有在编人员 100 人，其中副处级以上干 部 10 人，一般干部 70 人，工人 20 人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为 20 的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取。 【解】 因为机构改革关系到各种人的不同利益，故采用分层抽样方法为妥。 4520,14570,2510,520100 所以从副处以上干部中抽取 2 人，从一般干部中抽取 14 人，从工作中抽取 4 人。 例 2 某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为 12000人，其中持各种态度的人数如下表所示： 很喜爱 喜爱 一般 不喜爱 2435 4567 3926 1072 电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取 60 人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？ 分析：因为总体中人数较多，所以不宜采用简单随机抽样，又由于持不同态度的人数差异较大，故也不宜用系统抽样方法，而以分层抽样为妥。 【解】 可用分层抽样方法，其总体容量为12000， “很喜爱”占2400487120002435 ，应取12240048760 人 “ 喜 爱 ” 占120004567， 应 取2312000456760 人 “ 一 般 ” 占120003926，应取2012000392660 人 “ 不 喜 爱 ” 占120001072， 应 取512000107260 人 因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的 2435 人、4567 人、 3926 人和 1072 人中分别抽取 12人、 23 人、 20 人和 5 人。 例 3 某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生之比为5： 2： 3，且已知初中 生有 800 人，现要从这所学校中抽取一个