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内容简介：

听课随笔 第 14 课时 等比数列的 前 n 项和 (3) 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 2 提高分析、解决问题能力 ，能用等比数列的知识解决某些实际问题。 【 自学评价 】 1 对于分期付款，银行有如下规定： （）分期付款为 复利 计息，每期付款数 相同 ，且在期末付款； （）到最后一次付款时， 各期所付的款额的本利之和 等于商品售价的本利之和 2 若 且公比 1q ，则数列2 3 2,n n n n S S S， 是 等比数列 ; 当 1q ，且 n 为偶数时，数列 2 3 2,n n n n S S S，是常数数列 0，它不是等比数列 . 3. 当 1q 时， 11 11 ，这里0 ，但 0, 0，这是等比数列前 n 项和公式特征，据此判断数列 【精典范例】 【 例 1】 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题全国 9100 万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占国家确定 2000 年西部地区退耕土地面积为 515万亩，以后每年退耕土地面积递增，那么从 2000 年起到 2005 年底，西部地区退耕还林的面积共 有多少万亩（精确到万亩）？ 【解】 根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从 2000 年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列 中 1a 515， ， 则答 从 2000 年起到 2005 年底，西部地区退耕还林的面积共有 4179 万亩 【 例 2】 某人 2004年初向银行申请个人住房公积金贷款 20万元购买住房，月利率 按 复利计算，每月等额还贷一 次，并从贷款后的次月初开始还贷如果 10 年还清，那么每月应还贷多少元？ 分析： 对于分期付款，银行有如下规定： （）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款； （）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和 为解决上述问题，我们先考察一般情形设某商品一次性付款的金额为元，以分期付款的形式等额地分成次付清，每期期末所付款是元，则分期付款方式可表示为： 从而有 运用等比数列求和公式，化简得 这就是分期付款的数学模型 【解】 设每月应还贷元，共付款 12 10=120次，则有 化简得 答 每月应还贷款 追踪训练一 1 回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题： 远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增， 共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？ 听课随笔 【答案】 塔顶 3 盏灯 2我国 1980 年底人口以十亿计算 （）若我国人口年增长率为 则到2005年底我国约有多少人口？ （）要使我国到 2010 年底人口不超过 14亿，那么人口的年平均增长率最高是多少？ 【答案】 （ 1） 2005年底我国约有 口 （ 2） 人口的年平均增长率最高是 3 顾客采用分期付款的方式购买一件5000 元的商品 ，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第 12个月将货款全部付清，月利率 按复利计算，该顾客每月应付款多少元？ 【答案】 顾客每月应付款 430 元 4 某企业年初有资金 1000 万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到 50%，但每年底都要扣除消费基金 下资金投入再生产，为实现经过 5 年资金达到 2000 万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？ 【解】设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列 000（ 1+50%） x=100023 x； 100032 x)(1+50%) x =1000 (23)2 (1+23)x; 依次类推得 000 (23)51+23+(23)2+(23)3+(23)4x. 由题意知： 1000 (23)5 1+23+(23)2+(23)3+(23)4x =2000 解得 x 424 万元 【选修延伸】 【 例 3】 设 数列 ,前 n 项的和 足关系式 3(2t+3)1=3t(t 为常数 ,且 t0, n=2,3,4,) 。 (1)求证：数列 (2)设 f(t)，作数列 得 ,bn=f(11(n=2,3,4,) ，求 (3)求和： +1 【解】 (1)求得 1=1 S2=a1+入关系式，得 322 ,又 3(2t+3)=3t, 31 (2t+3)2=3t, 两式相减得 3(2t+3)1=0, 321(2)由 f(t)=3213 32 bn=2)1( nn )原式 =b2(b4( +1 ) =)32(94)(34 2242 n 【 例 4】 在数列 )(3)(12为偶数为奇数 项和 分析： 要分成偶数项和奇数项之和分别求解。 【解】当 n=2k(k N+)时， a1,a3,， ，成等差数列，公有效差为 4，首项为1；而 a2,， 成等比数列，公比为 q，首项为 , 2( 1 4 3 ) 9 ( 1 9 )2 1 99( 2 1 ) ( 9 1 )8 . 将 k=213(89)1(2 nn n=2k 1 时，由 1=893812 )1( 1 nn 追踪训练 二 1 已知等比数列 ，前 n 项和4,0,则 C ） 已知 公比为21的等比数列，若a1+a4+ +00,则 a3+a6+ +值是 （ A ） ， 1+2,1+2+22， (1+2+22+ +2n 1