高中数学第2章 数列教师版教案全套苏教版必修5【精品打包】
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听课随笔 第 15、 16 课时 数列复习课 (2 课时 ) 一、 二、数列知识回顾 （一）数列的概念 数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。 数列的通项公式。 求数列通项公式的一个重要方法： 对于任一数列 通项 )2()1(11 ）等差数列和等比数列 1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和 性质 等差数列 等比数列 定义 (n n P a a d 1为 常 数 ） 常数）为 ( 1 通项公式 1a +（ d= （ d= 1a -d 11 求和公式 (22)1(2)(1211 )1(11)1()1(111qq A=2广： 2na= 2 。 推广： 2性质 1 若 m+n=p+ 若 m+n=p+q，则 。 2 若 中 ）则 为 若 （其中 ），则 等比数列。 3 32 , 成等差数列。 32 , 成等比数列。 4 )(1 1 11 )( 等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前 n 项和通项定义数列正整数集上函数及性质数列知识结构听课随笔 2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法 :对于 n 2的任意自然数 ,验证 )(11 (2)通项公式法。 (3)中项公式法 :验证212 )( 22 1都成立。 3. 在等差数列 ,有关 最值问题： (1)当 1a 0,足100的项数 在解含绝对值的数列最值问题时 ,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法：公式法，倒序 相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。 1. 公式法 :适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 适用于1中 是各项不为 0的等差数列， 分无理数列、含阶乘的数列等。 适用于 等差数列， 的 等比数列。 类似于等差数列前 1） : 1+2+3+.+n = ()12） 1+3+5+.+(2= 2n 3） () 23 3 3 11 2 12n n n 4） ( ) ( )2 2 2 2 11 2 3 1 2 16n n n n 5） ()1 1 111n n n n()()1 1 1 12 2 2n n n n6） ( ) ( )1 1 1 1 q q p p q 【精典范例】 一 函数方程思想在研究数列问题中的运用 听课随笔 函数作为高中数学最重要的内容，几乎贯穿中学数学的始终，数列作为特殊的函数，与函数有着千丝万缕的联系： 数列的通项公式及前 n 项和公式都是关于 n 的函数，当 d 0 时，等差数列的通项是关于 n 的一次函数，前 n 项和是关于 n 的一元二次函数；等比数列的通项公式及前 n 项和公式都与指数函数有关。 在解决数学问题的过程中，把变量之间的制约关系用函数关系反映出来，便形成了函数思想；把众多待求量通过列方程、解方程来确定，便形成了方程思想，函数与方程之间的辩证 思维便形成了函数方程思想。 因此，我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。 例 1（ 1）首项为正数的等差数列 其中 11 ，问此数列前几项和最大？ （ 2）等差数列 ， 00， 00，求 （ 3）等差数列的公差不为 0， 5,a5,等比数列，求 分析 （ 1）等差数列前 n 项和 (2d)n(d 0)是关于 n 的二次函数且常数项为 0，故可设 用配方法求最值； （ 2）由 10=100， 00，求出 A、 B 后再求 （ 3）求 于求 an= d)(d 0)知，它是关于 n 的一次函数，故可设 ，由条件列出方程组求 A、 B。 【 解 】（ 1）设 A 0）， 11 ， 9A+3B=121A+11B，即 14A+B=0。 又 （ n+2 当 n= 时， 7。 另解由 11 ，得 a5+a6+a7+a8+a9+0, 又 a7+ 4(a7+0, a7+. 由于 0,据题意知 0， 0 因此，前 7 项和最大。 听课随笔 （ 2）设 0) 00， 00, 1 0 0 A + 1 0 B = 1 0 04 0 0 A + 2 0 B = 3 0 01A= 2B=5 0021+30 5=600。 另解 00， 00，又 （ 00 （ 3）设 n+B(A 0) 5, 23 A + B = 1 5( 5 A + B ) = ( 2 A + B ) ? 1 4 A + B ) A= 2B=n 1 2 1 1)+(2 2 1)+ +（ 2 n 1） =2 (1+2+ +n) n =n(n+1) n= 评析 从函数角度考察等差数列中的通项公式，前 n 项和公式，从而把数列问题转化为函数解决，体现了函数的思想和方法的应用。 二 求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前 n 项和等，看来，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。 1. 观察法 观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数 n 的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。 例 2写出下面各数列的 一个通项公式 听课随笔 （ 1）21，,1716,109,54； （ 2） 1，,311,151,71,31 ； （ 3）,3231,1615,87,43； （ 4） 21， 203， 2005， 20007，； （ 5） ； （ 6） 1， 0， 1， 0，； （ 7） 1， ,67,51,45,31,23 【 解 】（ 1）注意各项的分子分别是 12 ， 22 ， 32 ， 42 ，分母比分子大 1， 数列的通项公式为 22(2)奇数项为正，偶然项为负，各项分母可看作 21 1=1， 22 1=3， 23 1=7， 24 1=15，25 1=31，各项分子均为 1。 数列的通项公式为 1） n 121n（ 3）各项的分母分别是 22 ， 23 ， 24 ， 25 ，分子比分母小 1。 数列的通项公式为 12 12 （ 4）各项可看作 21=2 10+1203=2 100+32005=2 1000+5 20007=2 10000+7， 数列的通项公式为 10n +（ 2n 1） . (5)把各项适当变形 22(1101), 22(1101),2(110001),2(1100001),， 数列的通项公式为 2（ 1。 （ 6）奇数项皆为 1，偶然项为 0， 数列的通项公式为 )1(11 n 听课随笔 （ 7）各项可看作 1=1+0，23=21+1，31=31+0，45=41+1，51=51+0，67=61+1，数列的通项公式为 an= )1(1n . 评析 用观察法写数列的通项公式，一般考虑如下几点： （ 1） 观察数列各项符号变化，考虑通项公式中是否有（ 1） n 或者（ 1） 1n 部分，如本例中（ 2），（ 6），（ 7）也有所涉及。 （ 2） 分解分子分母的因数（式），考虑其变化规律与序号的关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后规律表现得不那么明显的项，同时要特别注意等差，等比关系，如本例（ 2），（ 3），（ 4）等。 （ 3） 考虑分子、分母与一些特殊数列如 2n ， 3n ， 的关系，如本例（ 1），（ 2），（ 3）等。 2. 已知 n与 前 n 项和 注意运用 11,1,2n n 例 3已知下列各数列 前 n 项和 通项公式。 （ 1） 0n 1；（ 2） 0n +1； 【 解 】（ 1）当 n=1 时， 9, 当 n 2 时， S1n=（ 10n 1）（ 10 1n 1） =10n 10 1n =9 10 1n ， 且 n=1 时， 9 也适合上式， 10 1n （ n ） . (2)当 n=1 时， 101 +1=11, 当 n 2 时， S1n=（ 10n +1）（ 10 1n +1） =9 10 1n ， 而 n=1 时， 11，不适合上式， 11 1 , 19 1 0 , 2n 评析 已知 前 n 项和 （ 1） 应重视分类类讨论的应用，要先分 n=1和 n 2两种情况讨论，特别注意由 S1n= 听课随笔 n 2。 （ 2） 由 S1n= 得的 n=1 时， 适合“ 则需统一“合写”。 （ 3） 由 S1n= n=1 时， 适合“ 则数列的通项应分段表示（“分号”），即 11,1,2n n 如本例中（ 2），（ 3）。请观察本例中（ 1）与（ 2）的差异及联系。 3. 累差法 若数列 足 a1n an=f(n)(n ),其中 f(n)是易求和数列，那么可用累差法求请你复习求等差数列通项公式的部分） 例 4求数列 1， 3， 7， 13， 21，的一个通项公式。 【 解 】 3 1=2, 7 3=4, 3 7=6, a1n=2(n 1) 以上 n 1 个等式左右两边分别相加，得 21+2+3+ +（ n 1） =（ n 1） n， an= n+1. 且 n=1 时， 1 适合上式。 an= n+1. 评析 我们应验证 n=1 时 1 适合 an= n+1 式，这是什么原因。 4. 累商法 若数列 足f(n)( n ),其中数列 f(n)前 n 项积可求，则可用累商法求 例 5在数列 ， 2， a1n=通项 【 解 】 2， a1n=听课随笔 122， 233， 1 以上 n 1 个等式左右两边分别相乘得 n, n. 且 n=1 时， 2 也适合上式。 n . 5. 构造法 直接求通项 以通过整理变形等， 从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项 例 6各项非零的数列 首项 1,且 2an,n 2,求数列的通项 【 解 】 1， 2n 2,又 S1n. 22 n S1n， 11 （ n 2）（怎么得到的？） 数列是以1 为首项，以 2 为公差 的等差数列， 1+（ n 1） 2=2n 1, 121n . S1n=121n32 1n=)32)(12( 2 nn(n 2) 又 1,不适合上式， 听课随笔 1 , 12,2( 2 1 ) ( 2 3 ) 有些求通项的题目可能要综合应用几种方法和技巧；当然了，有些题可能有多种解法。 评析 构造法解决问题希大家尽量掌握，这对于提高我们的数学素质大有帮助。 注意 求数列通项公式的问题是最为常见的试题，特别要注意已知 三 数列求和 数列求 和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。 能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。 例 7数列 通项 an= n，求前 n 项和 【 解 】 12 1） +（ 22 2） + +（ n） =（ 12 +22 + +（ 1+2+ +n） =6 )12)(1( )1( )1)(1( 【例 2】求和 1+43+85+ +2 。 请你独立完成，相信你会有更深的体会。 答案 2 。 例 8在数列 ， 0n +2n 1,求 解 】 101 +2 1 1） +（ 102 +2 2 1） +（ 10n +2n 1） =（ 101 +102 + +10n ） +2（ 1+2+ +n） n =110 )110(10 n +n(n+1) n =910(10n 1)+ 听课随笔 注意 把通项进行合理地分拆与组合，转化为易求和的数列的求和问题。 练习： 求数列 1， 1+2， 1+2+3，的前 n 项的和。 答案 )2)(1( 例 9已知数列 1 1，211，321 1， 11 2 3 n ，求它的前 n 项和。 分析 我们先看通项 an=n 3211 = )1( 1然后想什么办法求 ？将通项分裂成两项之差如何？ 【 解 】 1( 1（111 （为什么呢？） Sn= +(121)+(2131)+(3141)+ +（111 =2（ 111n） =12 （成功了！） 评析 如果数列的通项公式可转化为 f(n+1) f(n)形式，常采用裂项求和的方法，特别地，当数列的通项公式是关于 n 的分式形式时，可尝试采用此法。 常用的裂项技巧如：)( 1 =k1（ 11）； 1 = n ）等。 使用裂项法时要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列 每一项 以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项。 四、等差、等比数列的综合问题 例 10 已知数列 (n N )， 1. (1)设证：数列 (2)设 Cn=求证： 等差数列 . 选题意图：本题考查等差、等比数列的定义及逻辑推理能力 . 证明： (1) 1, 21,相减得21),2(22112 ,21 nn 又 nn 听课随笔 ,1,2411212 32,5 1212 为首项， 2为公比的等比数列， 1n . (2) ,22111 1122n 32 2311 21211 3为公差的等差数列 . 说明：一个表达式中既含有 ，一般要利用 na ），消去里是消去了例 11在等比数列 4 0 0,60,364231 n 的范围 . 解： 3622131 61 又 601 2142 且 01 2 q ， 01 101,6 21 之：3232 11 当 3,21 ， 4 0 134 0 02132111 6n （ 27335 72936 ） 当 3,21 ， 80134004 132 *且必须为偶数 8n ，（ 6 5 6 13,2 1 8 73 87 ） 例 12 设 是等差数列，它们的前 已知1235课随笔 求85 解法 1：)(12(21)(12(21)()(12112112112112124 210 解法 2： 是等差数列1235设n+3), nB=na=kn(5n+3)-(5(3)=0 nb=nB=kn(2(2(1) = 34( )210( 4 210 ：由解法 2，有 na=kn(5n+3)-(5(3)=0 nb=nB=kn(2(2(1) = 5a k 5 (10 5240k 8b k 8 (4 8232k 85930232240 踪训练】 1 一等差数列共有 9项，第 1项等于 1，各项之和等于 369，一等比数列也有 9项，并且它的第 1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第 7项 。 解：设等差数列为 公差为 d，等比数列为 ,公比为 q. 由已知得： 1, 813692 )(9 9919 9， 8 81， 2 ， 1 6 27，即等比数列的第 7项为 27. 听课随笔 说明：本题涉及的量较 多，解答要理清关系，以免出错 . 2 已知 1a , 3a, , 构成一等差数列，其前 设nb 记 前 (1) 求数列 通项公式； (2) 证明：. 解： (1) 1a 1S 1, 当 n 2 时 , na2n 1; 由于 n 1时符合公式， 2n 1 (n 1). (2) nT22759331 , 31 3123 3227391 , 两式相减得 32 113123227292 31 31 (1131n)1312 121(1131n)2 1. 3 已知等差数列 前 nb 且 3a 3b 21 ,
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