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听课随笔 第 10课 时 等比数列的概念和通项公式 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型 ,理解等比数列的概念， 2. 掌握等比数列的通项公式 ,并能运用公式解决一些简单的实际问题 . 【自学评价】 1 如果 0，且 2= 对任意的 n N*都成立，则数列 等比数列 . 2 等比数列的递增和递减性 . 在等比数列 (1)若 0， q 1 或 0， 0 q 1 则数列递 增 ， (2)若 0,0 q 1,或 0， q 1 ,则数列递 减 ； (3)若 q=1，则数列为 常数列 ； (4)若 q 0，则数列为 摆动数列 . 3对于 k、 l、 m、 n N*，若 m n p q ，则 【选修延伸】 【 例 1】 （）在等比数列 ，是否有 （）？ （）如果数列 ，对于任意的正整数（），都有 ，那么， 定是等比数列吗？ 【解】 （） 因为 等比数列，所以 成立 （ 2） 不一定例如对于数列 ， 总有 ， 但这个数列不是等比数列 【 例 2】 如图， 一个边长为的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（），如此继续下去，得图（）试求第个图形的边长和周长 【 解 】 这 序 列 图 形 的 边 数 构 成 的 数 列 为 ：;,43,43,43,3 12 n 它们的边长构成的数列为： ,3 1,31,31,1 12 n . 第 n 个图形的 周长111143 4 3 追踪训练一 三个数成等比数列，它们的积等于，它们的平方和等于，求这三个数 【答案】 这三个数 为 1， 3， 9 或 3， ， 3， 1 或 3， 如图，在边长为的等边三角形中，连结各边中点得 ，再连结 各边中点得 如此继续下去，试证明数列 ， ， ，是等比数列 【答案】 以43为首项，41为公比的 等比数列 3 在等比数列 ，如果 ,，那么 于 ( A ) 公比为 2，则432122 aa 的值为 ( A ) 选修延伸 】 【 例 3】 数列 a，1 21 求证 1是等比数列； 求 数列 听课随笔 【解】 证明：1 211 1 2 2 2 ( 1 )n n na a a 又1 1 1 0 故1 1 21 1是等比数列 解： 1是等比数列 ，且1 1 2 , 2 11 2 2 2 故 21【 例 4】 在等 比数列 ， 已知 512， 124， 且公比为整数，求 【解】 由 512 知， 512 解方程组1245128383 aa q 为整数得412812848383 ( 舍去 )q 2538 4( 2)7 512. 【点评】 充分地利用等比数列的性质，灵活地使用等比数列的通项公式，能使解题的过程简捷明快 . 追踪训练 二 1已知等比数列中 4,4, 则 729. 2将 20， 50， 100 这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，则其公比是353在等比数列 各项都是正数，1， ,则 a4+_7_. 4 在n+1 之间插入 n 个正数，使这 n+2个数依次成等比数列，求所插入的 n 个数之积 . 【解】 设等比数列 公比为 q，a1=n1,=n+1, 11 n+1,=n(n+1), 1 2 3 n )1( ( 2121 ) = 2)1( 即插入的 n 个数之积为 2)1( 5已知各项都为正数的等比数列 ，26， 00，求数列的通项公式 . 【解】 由已知条件 26,00 知1002362255323255323100)(36)(2532531065353 aa 或1065353 aa 解得 , q=3521 , an=1)n 3=(21)n 6 解得 :, q=352, an=)n 3=2n 2 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第 11课时 等比数列的概念和通项公式 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1 灵活应用等比数列的定义及通项公式 ； 2 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 ； 3 灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 . 【 自学评价 】 1. 等比数列的性质： （ 1） a q （ ,m n N ）； (2）对于 k、 l、 m、 n N*，若 m n p q ，则 （ 3）每隔 k 项（ ）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为 等比数列 ； 4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。 2. (1) 若 等比数列，公比为 q，则 是 等比数列 ，公比为 (2) 若 等比数列，公比为 q(q 1),则 1+是 等比数列 ，公比为 (3) 若 等比数列，则 是 等比数列 . (4) 三个数 a、 b、 c 成等比数列的，则02 【精典范例】 【 例 1】 已知四个数前 3 个成等差，后三个成等比，中间两数之积为 16，前后两数之积为 128，求这四个数 . 【解】 设所求四个数为 aq，得 16 a 4 或 a 4 由得2 128 将 16 代入整理得 28 0 解得 4 q 2 或 q 2 因此所求的四个数为 4， 2， 8， 32 或 4， 2， 8， 32. 【点评】 根据四个数前 3 个成等差，后三个成等比，列方程可利用 a、 q 表示四个数，根据中间两数之积为 16，将中间两个数设为样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便 . 【 例 2】 若 a、 b、 c 成等比数列， 试证： 成等比数列 . 【证明】 由 a、 b、 c 成等比数列， 则 a b c 0 且 ( ac(ac)2 b2(a c)2 ( 显然 不等零， 且 0 等比数列 . 【点评】 证明数列成等比数列，可利用等比数列的定义，而证明三个数 a， b， c 成等比，可证明 注意说明 a、 b、 c 全不为零 . 追踪训练一 1在等比数列 ， 1,q=2,则 等比中项是 ( B ) A. 4 C.41D. 412在等比数列 ，已知 2,则这个数列的前 9 项的乘积等于 ( B ) B. 512 D. 256 3 2， x,y,z,162 是成等比数列的五个正整数，则 z 的值等于 ( A ) 4已知 等比数列，且 0，5,那么 a3+ A ) 5已知等差数列 公差 d 0,且 a1，等比数列，则1042931 的值为1613. 【选修延伸】 则由已知1 2 8)()2(16)()(3【 例 3】 在 ， 23,1 11 nn 试求 】设 )(31 nn 231 nn 得 1 )1(311 nn 1 等比数列，首项为 11a =2,公比为 3 1321 132 1 【 例 4】 在 ,1 11 n nn 试求 】原式可变为： 1311 nn 可构造为 )211(3211 1 nn 11 项232111 a，公比 3 1323211 13 2 例 5】 在 1132，1 5,6a 求通项】 法一： 原式变形为： 12322 11 )2(322 11 即32322 11 3 ， 即 )32(3232 11 32 等比数列，首项 321 a34，公比321)32(3432 223 法二： 设 )2(312 11 ，即 11 21331 3 即 )23(312 3 11 ， 23 为等比数列， 首项231a32，公比31， 1313223 223 追踪训练 二 1在等比数列 ，若 6,a315，则公比 q 值的可能个数为 ( D ) 2在各项都为正数的等比数列 ，若 9，则 +于 ( B ) 3已知一个直角三角形三边的长成等比数列，则 ( C ) 4 5 3 3 554公差不为 0 的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为 ( C ) 5 已知数列满足 7,且 =211,n N* (1)求证 2是等比数列 . (2)求数列 通项公式 . 【解】 (1)【证明】 由 =211得 听课随笔 )32(2132 2 0 2132321即，数列 2构成等比数列 . (2)由 (1)知 2=(2)（21） n 1, 且 7即 )21)(32n 1+32=32)21(245 1 n=32)21(35 2 n【师生互动】 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第 12 课时 等比数列的 前 n 项和 (1) 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1掌握用“错位相减”的方法推导等比数列的前 握等比数列的前2会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 【 自学评价 】 前 n 项和为 1q 时，1)1(1 或11 当 q=1 时，1当已知 1a , q, n 时用公式； 当已知 1a , q, 公式 . 前 n 项和 p(1 且p 0， q 1，则数列 等比数列 . 【精典范例】 【 例 1】 在等比数列 中， （）已知 1a 4， q 12，求 10S ； （）已知 1a ， 243， q 3，求 【解】 （ 1）根据等比数列的前项和公式，得 （ 2）根据等比数列的前项和公式，得 【 例 2】 在等比数列 中，263,27 63 【解】 若，则 ，这与已 知263,27 63 以从而 将上面两个等式的两边分别相除，得 所以，由此可得211a，因此 点评 :等比数列中五个基本量 q、 n、三可求二 . 【 例 3】 在等比数列 ， a1+6,1=128,且前 n 项和 26,求 n 及公比 q. 【解】 1=128,又 a1+6, 方程 66x+128=0 的两根， 解方程得 ,4, ,4 或 4,显然 q 1. 若 ,4,由n11=126 得 2 64q=126 126q, q=2, 由 an=1得 2n 1=32, n=6. 若 4,同理可求得 q=21,n=6. 综上所述， n 的值为 6，公比 q=2 或21. 点评 :等比数列中五个基本量 q、 n、三可求二，列方程组是求解的常 用方法 1，进而求出 注意 两组解 . 追踪训练一 1 某厂去年的产值记为，计划在今后五年内每年 的产值比上年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ） )1 5 )0 6 2 求下列等比数列的各项和： （）， 2187； （），21，41，81，5121. 【答案】 （ 1） 3280； （ 2）512341听课随笔 3 等比数列 各项都是正数，若 81， 16，则它的前 5 项和是（ B ） 若等比数列 前 n 项之和 n+a,则 a 等于（ D ） D. 1 5 已知等比数列的公比为 2，若前 4 项之和等于 1，则前 8 项之和等于（ B ） 选修延伸】 【 例 4】 n 项和，数列32 , （ 是否仍成 等比数列？ 【解】 设 ,a ，公比为 q, 当 q= 1 且 k 为偶数时，32 , 不是等比数列 . 此时，32 =0. 例如：数列 1, 1,1, 1,是公比为 1 的等比数列，46242 , 当 q 1 或 k 为奇数时， kS 321 0S 2 )(321 kk 0S 23 )(3212 kk 0 32 , （ 成等比数列 追踪训练 二 ， n 项和，若 1， ,则公比 q 等于（ A ） B. 3 C. 1 ， ,前 3 项之和 1, 则公比 q 的值为（ C ） B.21D. 1 ，已知18， 12，那么 于（ A ） 4 与87之间插入 n 个数，使这 n+2 个数组成等比数列，若各项的和为877,则此数列的项数为（ B ） 5. 在 等 比 数 列 中 ， 公 比q=2, +5, 则a1+ +1023. 6. 已知等比数列 各项均为正数， 80， 6560，且在前 n 项中最大项为54，求此数列的公比 q 和项数 n. 【解】 由 2q 1 得： 1 82，即 81 q 1 则 1 54 得 :231 2q 将、代入得 q 3 n 4 ，项数为偶数，其奇数项之和为 85，偶数项之和为 170，求这个数列的 公比及项数 . 【解】 设此数列的公比为 q,项数为 2n. 由题意得： 1701)1(85112222,2n=8 故此数列的公比为 2，项数为 8. 根据已知6 5 6 01)1(801)1(211 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第 13 课时 等比数列的 前 n 项和 (2) 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 2. 了解杂数列求和基本思想，解决简单的杂数列求和问题。 【 自学评价 】 1 常见的数列的前 （） n321 =2 )1( )1( 2）6 )12)(1(1 2 3） 213 2 )1( 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并这种方法叫做 分组求和法 3错位相减法：适用于 na 前 n 项和，其中 4裂项法：求 n 项和时，若能将111 5倒序相加法 项数为偶数 2n 时，S 奇 ；项数为奇数 21n 时，1S a q S奇 偶【精典范例】 【例 1】求 数列211，412，813，的前 n 项和 . 分析： 这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和 法 【解】 211 ） +（ 412 ） + +（1 ） （） （ ） = 1( 【例 2】 设数列 31, 2 , 3 , 4x x x , , 1 0x 求此数列前 n 项的和 . 分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积 ，因此可以 用错项相减法 【解】 2 3 11 2 3 4 x x x n x 231231 x x xn x n x 由 得 111 x x n x ， 当 1x 时， 111x 111 x 111 1 21111 当 1x 时， 214321 n 追踪训练一 1 求和 101)23(【答案】 2076 2求和132 )12(7531 nn 听课随笔 【答案】 21)1()1()12()12( 3 若数列 ，则前 n 项和为 ( B ) 11 2 121 C. nn 11 2 121 4 数列 1，211，321 1，n 21 1的前 n 项和为 ( B ) 121求和 1 2+3 4+5 6+ +( 1)n+1n. 【解】 设 n=2k,则 (1 2)+(3 4)+ + (2k 1) (2k) = k=2n设 n=2k 1,则 (1 2)+(3 4)+ + (2k 3) (2k 2) +2k 1= (k 1)+2k 1=k=21n 1 2+3 4+5 6+ +( 1) =为奇数为偶数【选修延伸】 【例 3】 已知数列 ， 1 2n， 3，求 【解】 由 1 2n 得 1 2n 1即222212332221111 )21(21n 2n 2 因此 2n 2 2n 1 点评 :利用数列的求和 ,可求出一些递推关系为 1 f(n)的数列的通项公式 . 【例 4】 已知 等比数列，且nS=a，b，（ 0），求【 解】 设等比数列 q. 若 q=1（此时数列为常数列），则nS=n 1a =a，12 2n =b， 从而有 2a=b 3 13 （或2333 13 n ） 若 q 1（即 2a b），由已知 1)1(1 a 1)1( 212 b 又 0, /得 n 1, 1 将代入，得 2121 n1)1( 31 1 )1(3 2 )1(1 3aba 追踪训练 二 1等比数列 首项为 1，公比为 q,前 n 项和为 S，则数列的前 n 项之和为（ C ） C.1 D. 12在等比数列 ，已知 5,前三项的和 15,则公比 q 的值为 _ 1 或2_. 3在等比数列 ， 20， a340，则 _140_. 听课随笔 4 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列 1 2a ，公和为 5，求18n 项和【解】 2a ，公和为 5，2 3a，则342 , 3 ,知2 2 13 , 2 ( )a n N ， 18 3a。 数 列 3 , 2 , 3 , 2 , 3 , 2 , 3 ,，5 ()251 ()22 为 偶 数为 奇 数。 答 3；当 n 为偶数时 52当 n 为奇数时， 5122. 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第 14 课时 等比数列的 前 n 项和 (3) 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 2 提高分析、解决问题能力 ，能用等比数列的知识解决某些实际问题。 【 自学评价 】 1 对于分期付款，银行有如下规定： （）分期付款为 复利 计息，每期付款数 相同 ，且在期末付款； （）到最后一次付款时， 各期所付的款额的本利之和 等于商品售价的本利之和 2 若 且公比 1q ，则数列2 3 2,n n n n S S S， 是 等比数列 ; 当 1q ，且 n 为偶数时，数列 2 3 2,n n n n S S S，是常数数列 0，它不是等比数列 . 3. 当 1q 时， 11 11 ，这里0 ，但 0, 0，这是等比数列前 n 项和公式特征，据此判断数列 【精典范例】 【 例 1】 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题全国 9100 万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占国家确定 2000 年西部地区退耕土地面积为 515万亩，以后每年退耕土地面积递增，那么从 2000 年起到 2005 年底，西部地区退耕还林的面积共 有多少万亩（精确到万亩）？ 【解】 根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从 2000 年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列 中 1a 515， ， 则答 从 2000 年起到 2005 年底，西部地区退耕还林的面积共有 4179 万亩 【 例 2】 某人 2004年初向银行申请个人住房公积金贷款 20万元购买住房，月利率 按 复利计算，每月等额还贷一 次，并从贷款后的次月初开始还贷如果 10 年还清，那么每月应还贷多少元？ 分析： 对于分期付款，银行有如下规定： （）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款； （）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和 为解决上述问题，我们先考察一般情形设某商品一次性付款的金额为元，以分期付款的形式等额地分成次付清，每期期末所付款是元，则分期付款方式可表示为： 从而有 运用等比数列求和公式，化简得 这就是分期付款的数学模型 【解】 设每月应还贷元，共付款 12 10=120次，则有 化简得 答 每月应还贷款 追踪训练一 1 回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题： 远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增， 共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？ 听课随笔 【答案】 塔顶 3 盏灯 2我国 1980 年底人口以十亿计算 （）若我国人口年增长率为 则到2005年底我国约有多少人口？ （）要使我国到 2010 年底人口不超过 14亿，那么人口的年平均增长率最高是多少？ 【答案】 （ 1） 2005年底我国约有 口 （ 2） 人口的年平均增长率最高是 3 顾客采用分期付款的方式购买一件5000 元的商品 ，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第 12个月将货款全部付清，月利率 按复利计算，该顾客每月应付款多少元？ 【答案】 顾客每月应付款 430 元 4 某企业年初有资金 1000 万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到 50%，但每年底都要扣除消费基金 下资金投入再生产，为实现经过 5 年资金达到 2000 万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？ 【解】设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列 000（ 1+50%） x=100023 x； 100032 x)(1+50%) x =1000 (23)2 (1+23)x; 依次类推得 000 (23)51+23+(23)2+(23)3+(23)4x. 由题意知： 1000 (23)5 1+23+(23)2+(23)3+(23)4x =2000 解得 x 424 万元 【选修延伸】 【 例 3】 设 数列 ,前 n 项的和 足关系式 3(2t+3)1=3t(t 为常数 ,且 t0, n=2,3,4,) 。 (1)求证：数列 (2)设 f(t)，作数列 得 ,bn=f(11(n=2,3,4,) ，求 (3)求和： +1 【解】 (1)求得 1=1 S2=a1+入关系式，得 322 ,又 3(2t+3)=3t, 31 (2t+3)2=3t, 两式相减得 3(2t+3)1=0, 321(2)由 f(t)=3213 32 bn=2)1( nn )原式 =b2(b4( +1 ) =)32(94)(34 2242 n 【 例 4】 在数列 )(3)(12为偶数为奇数 项和 分析： 要分成偶数项和奇数项之和分别求解。 【解】当 n=2k(k N+)时， a1,a3,， ，成等差数列，公有效差为 4，首项为1；而 a2,， 成等比数列，公比为 q，首项为 , 2( 1 4 3 ) 9 ( 1 9 )2 1 99( 2 1 ) ( 9 1 )8 . 将 k=213(89)1(2 nn n=2k 1 时，由 1=893812 )1( 1 nn 追踪训练 二 1 已知等比数列 ，前 n 项和4,0,则 C ） 已知 公比为21的等比数列，若a1+a4+ +00,则 a3+a6+ +值是 （ A ） ， 1+2,1+2+22， (1+2+22+ +2n 1)，前 n 项和等于 （ B ） n n 2 n 4 等比数列 2n 项，其和为 240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比q=_2_. 5 若等比数列 ， 2， 6，则值等于 _32_. 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第 15、 16 课时 数列复习课 (2 课时 ) 一、 二、数列知识回顾 （一）数列的概念 数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。 数列的通项公式。 求数列通项公式的一个重要方法： 对于任一数列 通项 )2()1(11 ）等差数列和等比数列 1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和 性质 等差数列 等比数列 定义 (n n P a a d 1为 常 数 ） 常数）为 ( 1 通项公式 1a +（ d= （ d= 1a -d 11 求和公式 (22)1(2)(1211 )1(11)1()1(111qq A=2广： 2na= 2 。 推广： 2性质 1 若 m+n=p+ 若 m+n=p+q，则 。 2 若 中 ）则 为 若 （其中 ），则 等比数列。 3 32 , 成等差数列。 32 , 成等比数列。 4 )(1 1 11 )( 等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前 n 项和通项定义数列正整数集上函数及性质数列知识结构听课随笔 2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法 :对于 n 2的任意自然数 ,验证 )(11 (2)通项公式法。 (3)中项公式法 :验证212 )( 22 1都成立。 3. 在等差数列 ,有关 最值问题： (1)当 1a 0,足100的项数 在解含绝对值的数列最值问题时 ,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法：公式法，倒序 相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。 1. 公式法 :适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 适用于1中 是各项不为 0的等差数列， 分无理数列、含阶乘的数列等。 适用于 等差数列， 的 等比数列。 类似于等差数列前 1） : 1+2+3+.+n = ()12） 1+3+5+.+(2= 2n 3） () 23 3 3 11 2 12n n n 4） ( ) ( )2 2 2 2 11 2 3 1 2 16n n n n 5） ()1 1 111n n n n()()1 1 1 12 2 2n n n n6） ( ) ( )1 1 1 1 q q p p q 【精典范例】 一 函数方程思想在研究数列问题中的运用 听课随笔 函数作为高中数学最重要的内容，几乎贯穿中学数学的始终，数列作为特殊的函数，与函数有着千丝万缕的联系： 数列的通项公式及前 n 项和公式都是关于 n 的函数，当 d 0 时，等差数列的通项是关于 n 的一次函数，前 n 项和是关于 n 的一元二次函数；等比数列的通项公式及前 n 项和公式都与指数函数有关。 在解决数学问题的过程中，把变量之间的制约关系用函数关系反映出来，便形成了函数思想；把众多待求量通过列方程、解方程来确定，便形成了方程思想，函数与方程之间的辩证 思维便形成了函数方程思想。 因此，我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。 例 1（ 1）首项为正数的等差数列 其中 11 ，问此数列前几项和最大？ （ 2）等差数列 ， 00， 00，求 （ 3）等差数列的公差不为 0， 5,a5,等比数列，求 分析 （ 1）等差数列前 n 项和 (2d)n(d 0)是关于 n 的二次函数且常数项为 0，故可设 用配方法求最值； （ 2）由 10=100， 00，求出 A、 B 后再求 （ 3）求 于求 an= d)(d 0)知，它是关于 n 的一次函数，故可设 ，由条件列出方程组求 A、 B。 【 解 】（ 1）设 A 0）， 11 ， 9A+3B=121A+11B，即 14A+B=0。 又 （ n+2 当 n= 时， 7。 另解由 11 ，得 a5+a6+a7+a8+a9+0, 又 a7+ 4(a7+0, a7+. 由于 0,据题意知 0， 0 因此，前 7 项和最大。 听课随笔 （ 2）设 0) 00， 00, 1 0 0 A + 1 0 B = 1 0 04 0 0 A + 2 0 B = 3 0 01A= 2B=5 0021+30 5=600。 另解 00， 00，又 （ 00 （ 3）设 n+B(A 0) 5, 23 A + B = 1 5( 5 A + B ) = ( 2 A + B ) ? 1 4 A + B ) A= 2B=n 1 2 1 1)+(2 2 1)+ +（ 2 n 1） =2 (1+2+ +n) n =n(n+1) n= 评析 从函数角度考察等差数列中的通项公式，前 n 项和公式，从而把数列问题转化为函数解决，体现了函数的思想和方法的应用。 二 求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前 n 项和等，看来，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。 1. 观察法 观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数 n 的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。 例 2写出下面各数列的 一个通项公式 听课随笔 （ 1）21，,1716,109,54； （ 2） 1，,311,151,71,31 ； （ 3）,3231,1615,87,43； （ 4） 21， 203， 2005， 20007，； （ 5） ； （ 6） 1， 0， 1， 0，； （ 7） 1， ,67,51,45,31,23 【 解 】（ 1）注意各项的分子分别是 12 ， 22 ， 32 ， 42 ，分母比分子大 1， 数列的通项公式为 22(2)奇数项为正，偶然项为负，各项分母可看作 21 1=1， 22 1=3， 23 1=7， 24 1=15，25 1=31，各项分子均为 1。 数列的通项公式为 1） n 121n（ 3）各项的分母分别是 22 ， 23 ， 24 ， 25 ，分子比分母小 1。 数列的通项公式为 12 12 （ 4）各项可看作 21=2 10+1203=2 100+32005=2 1000+5 20007=2 10000+7， 数列的通项公式为 10n +（ 2n 1） . (5)把各项适当变形 22(1101), 22(1101),2(110001),2(1100001),， 数列的通项公式为 2（ 1。 （ 6）奇数项皆为 1，偶然项为 0， 数列的通项公式为 )1(11 n 听课随笔 （ 7）各项可看作 1=1+0，23=21+1，31=31+0，45=41+1，51=51+0，67=61+1，数列的通项公式为 an= )1(1n . 评析 用观察法写数列的通项公式，一般考虑如下几点： （ 1） 观察数列各项符号变化，考虑通项公式中是否有（ 1） n 或者（ 1） 1n 部分，如本例中（ 2），（ 6），（ 7）也有所涉及。 （ 2） 分解分子分母的因数（式），考虑其变化规律与序号的关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后规律表现得不那么明显的项，同时要特别注意等差，等比关系，如本例（ 2），（ 3），（ 4）等。 （ 3） 考虑分子、分母与一些特殊数列如 2n ， 3n ， 的关系，如本例（ 1），（ 2），（ 3）等。 2. 已知 n与 前 n 项和 注意运用 11,1,2n n 例 3已知下列各数列 前 n 项和 通项公式。 （ 1） 0n 1；（ 2） 0n +1； 【 解 】（ 1）当 n=1 时， 9, 当 n 2 时， S1n=（ 10n 1）（ 10 1n 1） =10n 10 1n =9 10 1n ， 且 n=1 时， 9 也适合上式， 10 1n （ n ） . (2)当 n=1 时， 101 +1=11, 当 n 2 时， S1n=（ 10n +1）（ 10 1n +1） =9 10 1n ， 而 n=1 时， 11，不适合上式， 11 1 , 19 1 0 , 2n 评析 已知 前 n 项和 （ 1） 应重视分类类讨论的应用，要先分 n=1和 n 2两种情况讨论，特别注意由 S1n= 听课随笔 n 2。 （ 2） 由 S1n= 得的 n=1 时， 适合“ 则需统一“合写”。 （ 3） 由 S1n= n=1 时， 适合“ 则数列的通项应分段表示（“分号”），即 11,1,2n n 如本例中（ 2），（ 3）。请观察本例中（ 1）与（ 2）的差异及联系。 3. 累差法 若数列 足 a1n an=f(n)(n ),其中 f(n)是易求和数列，那么可用累差法求请你复习求等差数列通项公式的部分） 例 4求数列 1， 3， 7， 13， 21，的一个通项公式。 【 解 】 3 1=2, 7 3=4, 3 7=6, a1n=2(n 1) 以上 n 1 个等式左右两边分别相加，得 21+2+3+ +（ n 1） =（ n 1） n， an= n+1. 且 n=1 时， 1 适合上式。 an= n+1. 评析 我们应验证 n=1 时 1 适合 an= n+1 式，这是什么原因。 4. 累商法 若数列 足f(n)( n ),其中数列 f(n)前 n 项积可求，则可用累商法求 例 5在数列 ， 2， a1n=通项 【 解 】 2， a1n=听课随笔 122， 233， 1 以上 n 1 个等式左右两边分别相乘得 n, n. 且 n=1 时， 2 也适合上式。 n . 5. 构造法 直接求通项 以通过整理变形等， 从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项 例 6各项非零的数列 首项 1,且 2an,n 2,求数列的通项 【 解 】 1， 2n 2,又 S1n. 22 n S1n， 11 （ n 2）（怎么得到的？） 数列是以1 为首项，以 2 为公差 的等差数列， 1+（ n 1） 2=2n 1, 121n . S1n=121n32 1n=)32)(12( 2 nn(n 2) 又 1,不适合上式， 听课随笔 1 , 12,2( 2 1 ) ( 2 3 ) 有些求通项的题目可能要综合应用几种方法和技巧；当然了，有些题可能有多种解法。 评析 构造法解决问题希大家尽量掌握，这对于提高我们的数学素质大有帮助。 注意 求数列通项公式的问题是最为常见的试题，特别要注意已知 三 数列求和 数列求 和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。 能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。 例 7数列 通项 an= n，求前 n 项和 【 解 】 12 1） +（ 22 2） + +（ n） =（ 12 +22 + +（ 1+2+ +n） =6 )12)(1( )1( )1)(1( 【例 2】求和 1+43+85+ +2 。 请你独立完成，相信你会有更深的体会。 答案 2 。 例 8在数列 ， 0n +2n 1,求 解 】 101 +2 1 1） +（ 102 +2 2 1） +（ 10n +2n 1） =（ 101 +102 + +10n ） +2（ 1+2+ +n） n =110 )110(10 n +n(n+1) n =910(10n 1)+ 听课随笔 注意 把通项进行合理地分拆与组合，转化为易求和的数列的求和问题。 练习： 求数列 1， 1+2， 1+2+3，的前 n 项的和。 答案 )2)(1( 例 9已知数列 1 1，211，321 1， 11 2 3 n ，求它的前 n 项和。 分析 我们先看通项 an=n 3211 = )1( 1然后想什么办法求 ？将通项分裂成两项之差如何？ 【 解 】 1( 1（111 （为什么呢？） Sn= +(121)+(2131)+(3141)+ +（111 =2（ 111n） =12 （成功了！） 评析 如果数列的通项公式可转化为 f(n+1) f(n)形式，常采用裂项求和的方法，特别地，当数列的通项公式是关于 n 的分式形式时，可尝试采用此法。 常用的裂项技巧如：)( 1 =k1（ 11）； 1 = n ）等。 使用裂项法时要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列 每一项 以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项。 四、等差、等比数列的综合问题 例 10 已知数列 (n N )， 1. (1)设证：数列 (2)设 Cn=求证： 等差数列 . 选题意图：本题考查等差、等比数列的定义及逻辑推理能力 . 证明： (1) 1, 21,相减得21),2(22112 ,21 nn 又 nn 听课随笔 ,1,2411212 32,5 1212 为首项， 2为公比的等比数列， 1n . (2) ,22111 1122n 32 2311 21211 3为公差的等差数列 . 说明：一个表达式中既含有 ，一般要利用