高中数学第2章简单随机抽样 全套课件新人教版必修3（精品打包）
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1. 众数、中位数、平均数 用样本的数字特征估计总体的数字特征 广州一中 数学高二备课组 2008年 9月 19日 一 众数、中位数、平均数的概念 中位数 ：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数 众数 ：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛 . 平均数 : 一组数据的算术平均数 ,即 x= )练习 : 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 17名运动员的成绩如下表所示： 成绩 (单位：米 ) 1 50 1 60 1 65 1 70 1 75 1 80 1 85 1 90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 一组数据的算术平均数 即 解：在 17个数据中， 次，出现的次数最多，即这组数据的众数是 上面表里的 17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第 9个数据 这组数据的中位数是 这组数据的平均数是 答： 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 ）、 ）、 ） . 二 、 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 1、 众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。 频率 组距 1 2 3 4 月平均用水量 (t) 例如，在上一节调查的 100位居民的月均用水量的问题中，如图所示： 从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是 2、 在样本中，有 50的个体小于或等于中位数，也有 50的个体大于或等于中位数 ，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。 频率 组距 1 2 3 4 月平均用水量 (t) 下图中用虚线代表居民 月均用水量的中位数近似值， 此数据值为 明 : 与样本的中位数值 这是因为样本数据的频率分布直方图 ,只是直观地表明分布的形状 ,但是从直方图本身得不出原始的数据内容 ,所以由频率分布直方图得到的中位数近似值往往与样本的实际中位数值不一致 . 3、 平均数是频率分布直方图的“重心” . 是直方图的平衡点 . 等于频率分布图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 频率 组距 1 2 3 4 月平均用水量 (t) 下图中用虚线代表居民 月均用水量的平均数的估计值， 此数据值为 平均数等于频率分布图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 三种数字特征的优缺点 1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征 5t,它告诉我们 ,月均用水量为 但它并没有告诉我们多多少 . 2、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。如上例中假设有某一用户月均用水量为 10t，那么它所占频率为 乎不影响中位数 ,但显然这一极端值是不能忽视的。 3、由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因如此 ，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。 四 众数、中位数、平均数的简单应用 例 某工厂人员及工资构成如下： 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 周工资 2200 250 220 200 100 人数 1 6 5 10 1 23 合计 2200 1500 1100 2000 100 6900 （ 1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数 （ 2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？ 分析 ：众数为 200，中位数为 220，平均数为 300。 因平均数为 300，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。 平均数向我们提供了样本数据的重要信息 ,但是平均有时也会使我们作出对总体的片面判断因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽略的因此，只有平均数这个特征还难以概括样本数据的实际状态 如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10次，每次命中的环数如下： 甲： 乙： 如果你是教练 ,你应当如何对这次射击作出评价 ? 如果看两人本次射击的平均成绩 ,由于 77 乙甲 x，的平均成绩是一样的 4 5 6 7 8 9 10 环数 频率 甲 ) 4 5 6 7 8 9 10 数 频率 (乙 ) 甲的成绩分布比较分散 乙的成绩分布比较集中 因此 ,我们还需要从另外的角度来考察这两组数据 在作统计图 ,表时提到过的极差 . 甲的环数极差 =10 乙的环数极差 =9. 它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度 ,与平均数一起 ,可以给我们许多关于样本数据的信息 极差对极端值非常敏感 , 注意到这一点 ,我们可以得到一种 “ 去掉一个最高分 ,去掉一个最低分 ”的统计策略 . 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差 标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用 所谓“平均距离”，其含义可作如下理解： ：x。距离是到表示这组数据的平均数假设样本数据是 ,., 21).,2,1( i ：n 是平均距离的到样本数据于是 ”“, 21由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差 .)()()(1 22221 n)()()(1( 222212 n方差2 21显然 ,标准差（方差）越大 ,则数据的离散程度越大 ;标准差（方差）越小 ,数据的离散程度越小 . 1x 2虑一个容量为 2的样本 : , 121221 记其样本的标准差为一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图表示 : 可算出甲 ,
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