北京市崇文区2004年高三第一次模拟考试数学

北京市崇文区 2004 年高三第一次模拟考试数学试卷 （理工农医类） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。 第 I 卷（选择题共 40 分） 参考公式： 三角函数的积化和差公式 sincosin()si()cocsisi()si()ncc1212 一. 选择题：本大题共 8 小题；每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）函数 是偶函数，则 的一个值是（ ）yxsin() A. B. 42 C. D. （2）平面内有一固定线段 AB，|AB|4，动点 P 满足 ，O 为 AB 中点，则|OP| 的最小值为（ ）|AB3 A. 3 B. 2 C. D. 1 （3）下列不等式中成立的是（ ） ABCtgt Dctgt.sin()si().os()s()5656 （4）直线 与 互相平行的一个充分条件是（ ）l12 A. 都平行于同一平面， B. 与同一平面所成的角相等l12， C. 平行 所在的平面 D. 都垂直于同一平面l12， （5）极坐标方程 的图形是（ ）sincos3 （6）6 本不同的图书全部分给 2 个学生，每个学生最多 4 本，则不同的分法种数为（ ） A. 35 B. 50 C. 70 D. 100 （7）无穷等比数列 的首项 ，前 n 项和为 且 ，则 等于（ ）an13Sn3687limnS A. 2 B. C. 6 D. （8）设函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则函数 的单调递减区间为（ yfx()yx2yxfx()23 ） A. B. ()， 1(， 1 C. D. 2， )2， 第 II 卷（非选择题共 110 分） 二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 （9）复数 的共轭复数的平方是_。13i （10）已知两点 ，点 P（ x，1）分 所成的比为 ，则 _， _。P23()()， 、 ， 12x （11）已知某海滨浴场的海浪高度 y（米）是时间 t（ ，单位：小时）的函数，记作 。下表是某日各时04yft() 的浪高数据： t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测， 的曲线可近似地看成是函数 ，根据以上数据，函数的解析式为_。yft() yAtbcos （12）设全集为 R，若集合 ，集合 ，则 _，Ax|230Bxx|lglo()1212B _AB （13）已知二次函数 ，若在区间0，1 内至少存在一个实数 c，使 ，则实数 P 的取值范围fxp()231 f()0 是_。 （14）正四棱锥的全面积为 2，当正四棱锥的高为 h 时，底面边长 _；体积 V 的最大值为_。a 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15） （本小题满分 12 分） 在 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足 4272sincosACB （I）求角 B 的度数； （II）如果 且 ，求 a、c 的值。bac3， （16） （本小题满分 15 分） 如图，已知正四棱柱 的底面边长为 3，侧棱长为 4，连结 ，过 A 作 ，垂足为 F，且 AF 的ACDB1 B1FB1 延长线交 于 E。B1 （I）求证： 平面 AECDB1 （II）求三棱锥 的体积AEC （III ）求二面角 的大小。 （17） （本小题满分 12 分） 某地区预计从 2005 年初的前 n 个月内，对某种商品的需求总量 （万件）与月份 n 的近似关系为fn()fnN()()()1503212， （I）求 2005 年第 n 个月的需求量 g(n)（万件）与月份 n 的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过 1.4 万件。 （II）如果将该商品每月都投放市场 P 万件，要保持每月都满足供应，则 P 至少为多少万件？ （18） （本小题满分 13 分） 已知等差数列a n的公差不为零，首项 且前 n 项和为 。a12Sn （I）当 时，在数列 an中找一项 ，使得 成为等比数列，求 m 的值。S936mN()am39， ， （II）当 时，若自然数 满足 并且ak12， ， ， ， 12nk 是等比数列，求 的值。nnk1312， ， ， ， ， ， n （19） （本小题满分 13 分） 设不等边三角形 ABC 的外心与重心分别为 M、G，若 且 MG/AB。AB()()10， ， ， （I）求三角形 ABC 顶点 C 的轨迹方程； （II）设顶点 C 的轨迹为 D，已知直线 过点（0，1）并且与曲线 D 交于 P、N 两点，若 O 为坐标原点，满足 ，l OPN 求直线 l 的方程。 （20） （本小题满分 15 分） 已知函数 （其中 且 ）fxx()223x2 （I）求函数 f(x)的反函数 f1( （II）设 ，求函数 g(x)最小值及相应的 x 值；gxfx()()31 （III ）若不等式 对于区间 上的每一个 x 值都成立，求实数 m 的取值范围。()1fmx142， 【参考答案】 一. 选择题 （1）B （2）C （3）D （4）D （5）C （6）B （7）A （8）A 二. 填空题： （9） （10）23i 1425； （11） （12）yt16cos|xx12； 或 （13） （14）()， h216； 三. 解答题： （15）解： （I）在 中，ABC180 由 4272sincos 得 3 分1 ()B 所以 102ssB 于是 6 分co6， （II）根据余弦定理有 bac22os 又 ba3， 所以 2()scB 得 10 分 又 解得 12 分 ac32ac21， （16）证： （I） 是正四棱柱ABCD1 平面 ABCD1 连 AC，又底面 ABCD 是正方形 由三垂线定理知， DBAC1 同理， E1， 平面 AEC 5 分 （II） VBAECB 平面 ABC 的长为 E 点到平面 ABC 的距离 RtABEt1 2194 VSEBBAECBAC3294 10 分78 （III ）连 CF 平面 ，又CBA1BFAE 由三垂线定理知， 于是， 为二面角 的平面角FC 在 中，RtE95 在 中，CBtg3 Farc5 即二面角 的大小为 15 分AEarctg5 （17）解： （I）由题意知， gf1012315() 当 时，n2n() 1503215032172nnn()()()() 又 12515()g 5 分gnnN)()12， 由 得14(.n30 ，又57， 6 即 6 月份的需求量超过 1.4 万件 7 分 （II）要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数 P（万件）应满足 Pnf() 即 Pnn15032() n175325() ，当 时， 的最大值为 1.14 万件N80) 即 P 至少为 1.14 万件 12 分 （18）解： （I） 数列a n的公差daS023619， ， 3692183639da， ， 分 由 a3，a 9，a m 成等比数列 则 ，得212 又 7 分1() （II） 是等差数列，anad1362， ， 2 又 成等比数列，所以公比n131， ， q aqnkkk 1 又 是等差数列中的项k nnkkk2231， 13 分N31() （19）解： （I）设 C（x，y） ()0 ，可设 G(a，b)，则 M（0，b）MGAB/ (1)ab3， 是不等边三角形 ABC 的外心 |C 即 (2)122bxy() 由(1)(2)得 231 所以三角形顶点 C 的轨迹方程为 5 分xyx2310() （II）设直线 l 的方程为 ，又设ykPNxy()12， ， ， 由 消 y 得 ykx132()320x 直线 l 与曲线 D 交于 P、N 两点 back222480() 又 xk1223 OPNxyxkkk， 121212120331()()() 直线 l 的方程为 13 分yx31 （20）解： （I） fxxxx()()21122且 03且 函数 的值域为fxx()22)()091， ， 由 ，得f()12fx1() 因此，函数 的反函数yfx()f