最新浙江省2010年4月高等教育自学考试常微分方程试题知识点复习考点归纳总结参考.doc

常微分方程试题a卷一、填空题(本大题共11小题，每空3分，共36分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1.方程有只含x的积分因子的充要条件是_,有只含y的积分因子的充要条件是_.2. 方程通过点(6,-1)的解的存在区间为_.3. 如果存在常数l0，使得不等式_对于所有都成立，则函数称为在r上关于y满足利普希兹条件. 4. 方程y-x2y+3y=0的解空间构成_ .5. 若xi(t)(i=1,2,n)为齐线性方程的一个基本解组，(t)为对应的非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _.6. 方程的所有常数解是_.7.方程的基本解组是_.8.n阶非齐线性方程最多存在_个线性无关的解.9.a是一个nn常数矩阵，矩阵(exp at)=_.10.若矩阵a具有n个线性无关的特征向量v1,v2,vn，它们对应的特征值分别为1,2，n,那么矩阵(t)=_是常系数线性方程组x=ax的一个基解矩阵.11.方程组满足_的点(x*,y*)称为此方程组的奇点.二、计算题（本大题共7小题，每小题8分，共56分）1.解方程：.2.解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0.3.求解常系数线性方程：x-2x+3x=e-tcost.4.求方程的通解.5.试求方程组x=ax的一个基解矩阵，并计算exp at，其中a=6.求=-x-y+1, =x-y-5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.7.判断方程组的零解的稳定性.三、证明题（本大题8分）假设m不是矩阵a的特征值，试证非齐线性方程组x=ax+cemt有一解形如(t)=pemt其中c,p是常数向量.b卷一、填空题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1.方程+cosy+2x=0是一阶_方程.2.方程=2x的通解为_.3.方程=g()称为_微分方程,其中g(u)是u的连续函数.4.若函数f(x,y)以及都在区域g内连续,则方程=f(x,y)的解y=(x,x0,y0)作为x,x0,y0的函数在它的存在范围内是_.5.初值问题的第一次近似解为_.6.n阶齐次线性微分方程的n个解构成的朗斯基行列式或者_,或者在方程的系数为连续的区间内处处不等于零.7.n阶齐次线性微分方程的一组n个线性无关解称为方程的一个_.8.方程x=的解为_.9.如果t是非奇异矩阵,则exp(t-1at)=_.10.n次多项式p()=det(e-a)称为a的_,其中e,a是nn矩阵.11.函数v(x,y)=x2-2xy2的定号性是_.12.方程组的唯一奇点(0,0)的类型是_.二、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)13.求解方程14.求解方程(x+2y)dx+xdy=0.15.求解方程=-.16.求解方程x2+(y)2=1.17.求方程x(4)-2x+x=t2-3的通解.18.求方程y-y=的通解.19.求方程组的一个基解矩阵.20.用李雅普诺夫函数讨论方程组零解的稳定性,其中为参数.三、证明题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)21.设k为非负常数,f(t)和g(t)为在区间t上的连续非负函数,且满足不等式f(t)k+(f(s)g(s)ds,t,则有f(t)k expg(s)ds),t.22.证明:对