南理工现代电路理论混沌电路

现代电路理论设计论文 混沌电路设计 1 南京理工大学 现代电路理论课程实验 混沌电路设计 (题名和副题名) 庄智强 (作者姓名) 116104000572 (学号) 指导教师姓名 孙建红 老师 学院 电 子 工 程 与 光 电 技 术 学 院 年级 2016 级 专业名称 电磁场与微波技术 论文提交日期 2017.04 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 2 摘 要 蔡氏电路是可以表现出标准的混沌理论行为的典型非线性电路。文章利用 Multisim 软件强大的电路仿真功能，在介绍蔡氏混沌电路基本原理和非线性电阻等效 电路的基础上，叙述了在 Multisim 界面下对混沌电路的构建，通过设置不同的电路参 数，运行仿真功能，出现了相应的萨如图形和时域波形，从而得到了丰富的混沌行为。 文章对仿真结果进行了分析，结果发现，用 Multisim 软件可以展示各种丰富分岔和混 沌的现象，对混沌实验研究具有良好的借鉴意义。 关键词：非线性特性、蔡氏电路、混沌现象 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 3 目 录 摘 要 .2 1 绪论 .4 1.1 混沌现象的定义 .4 1.2 课题意义 .4 1.3 本文主要工作 .5 2 混沌电路基本原理 .6 2.1 蔡氏电路 .6 2.2 倍周期 .7 2.3 费根勒姆常数 .8 2.4 有源非线性电阻 .8 3 混沌电路的设计与仿真 .10 3.1 实验电路的构建 .10 3.2 实验电路仿真 .10 4 分析与总结 .15 参考文献 .17 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 4 1 绪论 1.1 混沌现象的定义 混沌是非线性动力学系统中所特有的一种运动形式，它广泛存在于自然界，诸如 生物学、物理、化学、地质学，以及技术科学、社会科学等各种科学领域。一般而言， 混沌现象隶属于确定性系统而难以预测（基于其动力学性态对于初始条件的高度敏感 性），有稠密轨道的拓扑特征，以及呈现多种混乱无序却又颇有规则的图像（如具有 稠密的周期点）。混沌主要分为四大类：时间混沌、空间混沌、时空混沌和功能混沌。 混沌不仅是混沌研究者、数学家和物理学家等作为理论研究的对象，而且在自然科学、 电子通信以及其他工程应用领域中有着广泛的应用前景。 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学家庞加莱，他是在研究天 体力学，特别是在研究三体问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊人 的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性。他在科学的价值一书中 写道：“初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促 成了后者的巨大误差，于是预言变的不可能了”。这些描述实际上已经蕴涵了“确定 性系统具有内在的随机性”这一混沌现象的重要特征。 1963 年，美国气象学家洛伦茨在确定论非周期流一文中，给出了描述大气湍 流的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科学深入研究 的序幕。非线性科学被誉为继相对论和量子力学之后，20 世界物理学的“第三次重大 革命”。由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序和无序、偶然性与必然性等 范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻的影响人类的思维方法，并 涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。 迄今为止，最丰富的混沌现象是非线性振荡电路中观察到的，这是因为电路可以 精密元件控制，因此可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果，串联谐振电 路是华裔科学家蔡少棠设计的能产生混沌的最简单的电路，它是熟悉和理解非线性现 象的经典电路。 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 5 1.2 课题意义 本课题的目的是了解混沌现象和混沌电路，学习使用 Multisim 软件仿真电路，使 用示波器观察混沌电路的行为，通过实验感性认识混沌现象，研究混沌电路敏感参数 对混沌现象的影响。学习有源非线性负阻元件的工作原理，借助串联谐振电路掌握非 线性动力学系统运动的一般规律性。通过本实验的学习扩展视野、活跃思维，以一种 崭新的科学世界观来认识事物发展的一般规律。 1.3 本文主要工作 本文主要使用 Multisim 软件完成了混沌电路的仿真设计，对混沌电路进行了分析， 并且观察了混沌的典型波形。 论文一共分为四章，其结构如下： 第 1 章 绪论，主要介绍混沌现象的发展现状，简要分析了本课题的研究意义，最 后给出了本文的主要工作内容。 第 2 章 介绍了混沌现象的基本原理，简单叙述了蔡氏电路、倍周期、费根勒姆常 数及有源非线性电阻的相关概念。 第 3 章 构建了相关实验电路，在此基础上进行了仿真，观察分析了倍周期分岔和 混沌现象。 第4章 论文总结，对本实验过程中出现的问题进行反思总结，并且对未来可以展 开的工作进行了展望。 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 6 2 混沌的相关原理 2.1 混沌现象的基本原理 粗略地讲，非线性电路的混沌或混沌振荡是指确定性电路中产生的不确定、类似 随机的输出。所谓确定性电路是指电路的参数和输人都为确定值，没有随机因素。所 谓不确定、类似随机的输出是指电路的输出既不是周期的，又不是拟周期的；既不趋 于无穷、又不趋于静止，而是在一定区域内永不重复的输出。这种性质的输出与平衡 点，周期解和拟周期解相比有如下几个特征:（1）不确定性。即在给定的初始状态下， 不能精确预测它在其后任一时刻的行为。（2）对初始值的极端敏感性。任意靠近两个 初始值出发的轨道在一定的时间间隔内将会以指数方式分离。初始值的极其微小的改 变，可以使振荡的输出产生本质的差异。这种差异绝不是计算误差形成的，而是非线 性电路的固有特性。（3）周期或拟周期振荡信号的频谱是离散谱。混沌振荡输出信号 则是一定频率范围内的连续谱。（4）周期或拟周期振荡的庞加莱映射是点或无限填充 的封闭的椭圆线。但混沌振荡对应的庞加莱映射在庞加莱截面上的表现，则是杂乱无 章的点集合。 随着时间的增加，相空间中的轨道都向某一定的区域逼近，它就是吸引子。在相 空间中，吸引子共有 4 种类型，平衡点(不动点)、周期吸引子、拟周期吸引子和混沌吸 引子( 也称奇怪吸引子) 。吸引子可以在任意阶的电路中出现，但混沌吸引子只可能在三 阶或高于三阶的动态电路中出现，而且它是整体稳定(耗散能量消耗、最终无源)和局部 不稳定( 双曲、局部有源) 相结合的产物。在相空间的表现是“伸长”和“折叠”。 由于非线性电路中混沌解的特殊性，目前分析研究混沌的方法主要有如下几种： （1）应用非线性动力学理论对其定性性质进行研究，以确定混沌产生的机制并在一定 条件和特定电路中得到出现混沌的可能参数范围；（2）使用计算机对非线性电路的解 进行数值计算，以获得特定参数、初始值下的电路的数值解，进而可以得到相图、频 谱、李雅普诺夫指数等用来判别混沌特征的信息；（3）直接进行实验，在实验中对混 沌的各种现象进行观察、分析。显然，用实验方法研究非线性电路中的混沌具有其他 学科不可替代的优势，因为需要研究分析的对象已经是电信号，而不再需要各种转换 用的传感器。因此，非线性电路的混沌研究，具有广泛的意义。 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 7 2.2 费根勒姆常数 尽管混沌行为是一种类随机运动，但其步入混沌的过程在非线性系统中具有普适 性。一个完全确定的系统，即使非常简单，由于系统内部的非线性作用，同样具有内 在的随机性，可以产生随机性的非周期运动。在许多非线性系统中，既有周期运动， 又有混沌运动。费根鲍姆发现，一个动力学系统中分岔点处参量 收敛服从普适规律。 他指出，出现倍周期分岔预示着混沌的存在。 =4.699 201 609 102 9。非线性参数可以 表征一个非线性系统趋于混沌的速度， ， 越接近 ，系统进入混沌就越快。 =2132 2.3 有源非线性电阻 一般的电阻器件是有限正阻，即当电阻两端的电压升高时，电阻内的电流也会随 之增加，并且 i-v 呈线性变化，所谓正阻，即 I-U 是正相关，i-v 曲线的斜率 为正。相 对的有非线性的器件和负阻，有源非线性负阻表现在当电阻两端的电压增大时，电流 减小，并且不是线性变化。负阻只有在电路中有电流时才会产生，而正阻则不论有没 有电流流过总是存在的，从功率意义上说，正阻在电路中消耗功率，是耗能元件；而 负阻不但不消耗功率，反而向外界输出功率，是产能元件。 有源非线性负阻元件实现的方法有很多种，由于本实验研究的是该非线性元件对 整个电路的影响，只要知道它主要是一个负阻电路(元件)，能输出电流维持振荡器不断 振荡，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列现象。 2.4 蔡氏电路 本实验采用蔡氏电路，蔡氏电路是美国贝克莱大学的蔡少棠教授设计的能产生混 沌行为的最简单的自制电路，为混沌电路的典型例子，其结构简单，现象明晰，被广 泛用于高校的实验教学中。 蔡氏电路原理图如图 2.41 所示，电路由 1 个线性电感 L，2 个线性电容 ， ，11 2 个线性电阻 ，一个非线性电阻 R 构成，为三阶自制动态电路，即分为 LC 振荡电路， RC 分相电路和分线性元件三部分。电阻 起调节 ， 的相位差。非线性电阻 R 为 1 2 分段线性电阻。由于加在此元件上的电压增加时，其上面的电流减小，故称为非线性 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 8 负阻元件。负阻曲线的拟合见图 2.42。其中非线性电阻是核心元件，是系统产生混沌 的必要条件。 图 2.4.1 蔡氏电路原理图 图 2.4.2 负阻曲线的拟合 由基尔霍夫结点电流定律可以得到串联谐振电路的非线性动力学方程： 式中，导纳 G = 1/（ + ）, 和, 分别表示加在 和 上的电压， 表示1 2 12 1 2 流过电感器 L 的电流，g 表示非线性电阻的导纳。 2.5 倍周期 将蔡氏电路中的电导值 G 取最小，同时用示波器观察 的李萨如图形。它相12 当于由方程 x= 和 y= 消去时间变量得到的空间曲线，在非线性理论中这种1() 2() 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 9 曲线称为相图。“相”的意思是运动状态，相图反应了运动状态的联系。一开始系统 存在短暂的稳定状态，示波器上的李萨如图形表现为一个光点。随着 G 值的增加（电 阻减小），李萨如图形表现为接近斜椭圆的图形（见图 2.5.1）。它表明系统开始自激 振荡，其频率取决于电感与非线性电阻组成的回路特性。 图 2.5.1 倍周期相图 无论是代表稳态的光点还是开始自己振荡的椭圆，都是系统经过一段暂态的终态。 示波器显示的是系统进入稳定后的相图。实验和理论证明:只要在各自的对应系统参数 下，无论给什么样的激励条件，最终都将落到各自终态极上，故称他们为吸引子。 继续增加电导，此时示波器屏幕上出现两个相交的椭圆，运动轨迹线从其中一个 椭圆跑到另一个椭圆上。他说明原先的一倍周期变成了 2 倍周期。这在非线性理论中 称为倍周期分岔。它揭开了动力学进入混沌的序幕。继续减小电导，依次出现 4 倍周 期、8 倍周期、16 倍周期与阵法混沌。再减小电导值，出现 3 倍周期，随着 1/G 的值进一步减小，系统完全进入混沌区。相点貌似无规则游荡不会重复已走过的路。 线圈的轨道本身是有界的，其极限集合呈现出奇特的形状，具有某种规律。仍把这种 解集称为吸引子，通常叫做奇异吸引子或混沌吸引子。如图 2.5.2。 图 2.5.2 混沌吸引子 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 10 混沌作为一个科学术语，它应该被这样描述：混沌是一种运动状态，是确定性中 出现的无规律性，其主要特征是动力学特性对初始条件的依赖性非常敏感。一个混沌 系统既是确定的又是不可预测的，也不能分解为两个子系统。通向混沌有三条主要途 径：倍周期分岔道路：改变一些系统的参数，使系统周期加倍直到丧失周期性，进入 混沌；阵发性道路：在非平衡的系统中，某些参数的变化达到某一临界值时，系统会 表现出在时间行为上时而周期时而混沌的状况，最终进入混沌；准周期道路：有茹厄 勒-塔根斯提出，由于某些参数的变化使得系统有不同频率的震荡相互耦合时，会产生 一些新的频率，进而导致混沌。另外还有湍流道路，剪切流转等途径产生混沌。 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 11 3 混沌电路的设计与仿真 本课题采用 Multisim 软件进行混沌电路的设计与仿真。相比传统的混沌电路实验 板，采用 Multisim 学生可以自由地修改电路参数并实时观测实验现象; 相比 MATLAB、C 等编程语言，采用 Multisim 完成混沌电路实验教学，学生不需要建立数 学模型和编写程序，只需要在界面中利用软件图形化的功能搭接电路。这将方便学生 操作，使学生更易于自主修改实验模型，有助于学生开展探究性学习，发挥学生学习 的自主作用。 本章节由两部分构成，第一部分为蔡氏电路的构建与仿真，第二部分为改进型蔡 氏电路的构建与仿真，改进的蔡氏电路由 2 个运算放大器（UA741）及电阻组合替代 原电感。最后对两种电路的混沌行为进行分析。 3.1 蔡氏电路的构建 本实验采用蔡氏电路，蔡氏电路是美国贝克莱大学的蔡少棠教授设计的能产生混 沌行为的最简单的自制电路，为混沌电路的典型例子，其结构简单，现象明晰，被广 泛用于高校的实验教学中。 运行 Multisim 软件，建立仿真文件，构建如图 3.1.1 所示的电路图，为了观察混沌 电路的波形，在仿真平台上添加虚拟示波器，将示波器 A,B 两个输入通道与需要观测 的电路节点相连，通道 A 观测电容 C1 两端的电压信号；通道 B 观测电容 C3 两端的电 压信号。 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 12 图 3.1.1 Multisim 仿真电路 3.2 蔡氏电路仿真 运行软件，观察示波器，在示波器窗口上选择“Y/T”模式，进行波形的时域分析； 选择“A/B ”模式，则显示李萨如图形，进行波形的相位测试。R0 的作用是移相，使 电容 C1，C3 两端的电压信号产生相位差，运放的前级和后级的正、负反馈同时存在， 正反馈的大小程度与 R0,R7,R12 有关，负反馈大小与 R8,R9,R10,R11 有关，若调节 R0 的阻值大小，正反馈大小程度就会发生变化，当正反馈程度大于负反馈程度时，电路 才能处于震荡状态。蔡氏电路的运动形态因元件的参数值的不同而具有不同的拓扑性 质，可以把电路元件参数值看作控制参数而使蔡氏电路工作在不同的拓扑结构状态。 现在以电阻 R0 为例，将 R0 以从小到大的顺序进行讨论。 R0=0 时，观察到的李萨如图形为一条直线，如图 3.2.1 所示： 图 3.2.1 R0=0 时的仿真结果 当 R0 增大到 1.35k时，开始出现双引子混沌图形，R0 在增大到 1.35k之前混 沌电路的相图呈单叶周期，这里以 R0=1k为例，如图 3.2.2 所示： 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 13 图 3.2.2 R0=1k时的仿真结果 R0 继续增大，当 R=1.35K时，开始出现双引子混沌图形，也就是蝴蝶图像，由 时域波形可看出了混沌振荡的非周期性，如图 3.2.3 所示： 图 3.2.3 双涡旋混沌吸引子 当 R0 增大到 1.61k时，混沌电路第一次进入四周期运动状态，如图 3.2.4 所示： 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 14 3.2.4 四周期运动状态 R=1.64k时，混沌电路第一次进入二周期运动状态，如图 3.2.5 所示： 3.2.5 二周期运动状态 R0 逐渐增大到 1.67k时，增幅振荡开始，进入一周期运动状态，如图 3.2.6 所示： 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 15 3.2.6 一周期运动状态 R0 增大到 1.71k时, 相图为稳定焦点，呈蝌蚪形，为衰减振荡，最终成为不动点， 如图 3.2.7 所示： 3.2.7 R0=1.71k时的仿真结果 通过以上数据和图案我们可以发现，当我们改变初始电路参数时，混沌现象中的 电路是非周期性的，时而稳定，时而混乱，虽然出现平衡点，但并不稳定。在理想实 验条件下观察到了不同参数条件下出现的极限环，单吸引子，双吸引子，奇异吸引子 等一系列不同混沌现象。随着混沌电路电感值的减小，混沌现象提前，边界化也越明 显。 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 16 3.3 改进型蔡氏电路的构建 改进型蔡氏电路如图 3.3.1 所示，改进的蔡氏电路使用 2 个 UA741 和 1 个 50 nF 的 电容，3 个 1 k 电阻和 1 个 200 电阻替代原电感，经过调节可呈现混沌现象。运行 Multisim 软件，再次建立仿真文件，构建如图 3.3.1 所示的电路图，为了观察混沌电路 的波形，在仿真平台上添加虚拟示波器，将示波器 A,B 两个输入通道与需要观测的电 路节点相连，通道 A 观测电容 C2 两端的电压信号；通道 B 观测电容 C3 两端的电压信 号。 图 3.3.1 Multisim 仿真电路 3.4 改进型蔡氏电路仿真 这里我们重复 3.2 节的仿真步骤，这里我们以从小到大的顺序调节 R6 的值来观察 混沌电路的行为。 R6=0 时，观察到的李萨如图形为一条直线，如图 3.4.1 所示： 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 17 图 3.4.1 R6=0 时的仿真结果 当 R6 增大到 1.4k时，开始出现双引子混沌图形，R6 在增大到 1.4k之前混沌 电路的相图呈单叶周期，这里以 R6=1.2k为例，如图 3.4.2 所示： 图 3.4.2 R6=1.2k时的仿真结果 R6 继续增大，当 R=1.4K时，开始出现双引子混沌图形，也就是蝴蝶图像，由 时域波形可看出了混沌振荡的非周期性，如图 3.4.3 所示： 图 3.4.3 双涡旋混沌吸引子 当 R6 增大到 1.65k时，混沌电路第一次进入四周期运动状态，如图 3.4.4 所示： 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 18 3.4.4 四周期运动状态 R=1.68k时，混沌电路第一次进入二周期运动状态，如图 3.4.5 所示： 3.4.5 二周期运动状态 R6 逐渐增大到 1.7k时，增幅振荡开始，进入一周期运动状态，如图 3.4.6 所示： 3.4.6 一周期运动状态 R6 增大到 1.75k时, 相图为稳定焦点，呈蝌蚪形，为衰减振荡，最终成为不动点， 如图 3.4.7 所示： 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 19 3.4.7 R6=1.71k时的仿真结果 由以上仿真分析和实验可见，当选择适当的电路参数时，改进的蔡氏电路的动态 特性出现混沌现象，吸引子具有双涡旋结构，本实验通过改进简单的电路产生混沌， 讨论了产生混沌的过程与途径，同时了解非线性电阻对产生混沌的作用，了解混沌现 象的一些基本特性。 现代电路理论设计论文 混沌电路设计 20 4 分析与总结 混沌大体包含以下一些主要内容：系统进行着貌似无归律的运动，但决定其运动 规律的基础动力学却是决定论的；具体结果敏感地依赖初始条件，从而其长期行为具 有不可预测性；这种不可预测性并非由外界噪声引起的；系统的长期行为具有某些全 局和普适性的特征，这些特征与初始条件无关。 混沌在相图上的表现为轨道在某侧绕几圈似乎是随机的，但这种随机性和真正随 机系统中不可预测的无规律又不相同。因为相点貌似无规律地游荡，不会重复已走过 的路，但并不是以连续概率分布在相平面上随机行走，类似“线圈”的轨道本身是有 界的，显然其中有某些规律。 在本次实验中，我初步了解了混沌的一些知识，并对混沌的理论和实际应用产生 了兴趣。在实验后，通过查阅相关资料了解到，20 多年来，混沌一直是举世瞩目的前 沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序与无序的 统一、稳定性与随机性的统一，拓宽了人们的视野，加深了人类对客观世界的认识。 混沌现象在非线性科学中指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表 现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动 力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限 小的初值变动和微绕也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底 偏离原来的演化方向。混沌现象是自然界中的普遍现象，天气变化就是一个典型的混 沌运动。而在人类的实际生活中