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子集、全集、补集 教学目标：理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系 . 教学重点：子集的概念，真子集的概念 . 教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算 . 课 型：新授课 教学手段：讲、议结合法 教学过程： 一、创设情境 在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集合而言，类似的关系就是 “ 包含 ” 与 “ 相等 ” 关系 奎屯王新敞 新疆 二、活动尝试 1回答概念：集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图 奎屯王新敞 新疆 2用列举 法表示下列集合： 32 | 2 2 0 x x x x 1， 2 数字和为 5的两位数 14， 23， 32， 41， 50 3用描述法表示集合： 1 1 1 11, , , , 2345 *1 | , 5 x x n N 且 4用列举法表示：“与 2相差 3的所有整数所组成的集合” | 2 | 3x Z x =5 5问题：观察下列两组集合，说出集合 的关系（共性） （ 1） A=1， B=0， 1， 2 （ 2） A=N， B=R （ 3） A=， B= (4)A ， B 0 （集合 的元素） 三、师生探究 通过观察上述集合间具有如下特殊性 (1)集合 1， 1同时是集合 (2)集合 是集合 (3)集合 的元素 . (4) ，自然 素”也是 由上述特殊性可得其一般性，即集合 的一部分 四、数学理论 定义：一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说集合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合 B（或 B A），这时我们也说集合 的子集 . 请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举 例子是否符合定义 . 2真子集：对于两个集合 ，如果 ，并且 ，我们就说集合 的真作： A A, 读作 或 奎屯王新敞 新疆 这应理解为：若 A B，且存在 b B，但 b A，称 的真子集 . 注意：子集与真子集符号的方向 奎屯王新敞 新疆 3当集合 A 不包含于集合 B，或集合 B 不包含集合 A 时，则记作 A B（或B A） . 如： A 2， 4， B 3， 5， 7，则 A B. 4说明 （ 1）空集是任何集合的子集 奎屯王新敞 新疆 A （ 2）空集是任何非空集合的真子集 奎屯王新敞 新疆 A 若 A，则 A （ 3）任何一个集合是它本身的子集 奎屯王新敞 新疆 （ 4）易混符号 “ ”与“ ”：元素与集合之间是属于关系； 集合与集合之间是包含关系 奎屯王新敞 新疆如 ,1,1 R， 1 1， 2， 3 0与： 0是含有一个元素 0的集合，是不含任何元素的集合 奎屯王新敞 新疆 如 0 奎屯王新敞 新疆不能写成 =0， 0 五、巩固运用 例 1（ 1） 写出 N， Z， Q， 用文氏图表示 奎屯王新敞 新疆 （ 2）判断下列写法是否正确 A A A A 解（ 1）： N Z Q R （ 2）正确；错误，因为 正确；错误； 思考 1： 与 能否同时成立？ 结论：如果 A B，同时 B A，那么 A B. 如： a， b， c， d与 b， c， d， a相等； 2， 3， 4与 3， 4， 2相等； 2， 3与 3， 2相等 . 问： A x x 2m 1， m Z， B x x 2n 1， n Z.（ A=B） 稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨 . 思考 2：若 A B， B C，则 A C？ 真子集关系也具有传递性若 A B， B C，则 A C. 例 2写出 a、 b的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集 . 分析：寻求子集、真子集主要依据是定义 . 解：依定义： a， b的所有子集是 、 a、 b、 a， b，其中真子集有 、 a、 b. 变式：写出集合 1， 2， 3的所有子集 解：、 1、 2、 3、 1， 2、 1， 3、 2， 3、 1， 2， 3 猜想： (1)集合 a,b,c,d的所有子集的个数是多少？ ( 1624 ) （ 2） 集合 , 21 的所有子集的个数是多少？ ( 注：如果一个集合的元素有 么这个集合的子集有 2子集有 2n 1个 . 六、回顾反思 1概念：子集、集合相等、真子集 2性质：（ 1）空集是任何集合的子集 奎屯王新敞 新疆 A （ 2）空集是任何非空集合的 真子集 奎屯王新敞 新疆 A （ A） （ 3）任何一个集合是它本身的子集 奎屯王新敞 新疆 （ 4）含 非空子集数为 12 n ；真子集数为 12 n ；非空真子集数为 22 n 奎屯王新敞 新疆 七、课外练习 1下列各题中，指出关系式 A B、 A B、 A B、 A B、 A (1)A 1， 3， 5， 7， B 3， 5， 7. 解：因 的元素，而 的元素， 故 A (2)A 1， 2， 4， 8， B x 的约数 . 解：因 的约数，则 x： 1， 2， 4， 8 那么集合 的元素，集合 的元素，故 A B. 式子 A B、 A B、 A 2判断下列式子是否正确，并说明理由 . (1)2 x x 10 解：不正确 不是集合，也就不会是 x x 10的子集 . (2)2 x x 10 解：正确 是集合 x x 10中数 ” . (3)2 x x 10 解：正确 2是 x x 10的真子集 . (4) x x 10 解：不正确 是集合，不是集合 x x 10的元素 . (5) x x 10 解：不正确 是任何非空集合的真子集 . (6) x x 10 解：正确 是任何非空集合的真子集 . (7)4， 5， 6， 7 2， 3， 5， 7， 11 解：正确 4， 5， 6， 7中 4， 6不是 2， 3， 5， 7， 11的元素 . (8)4， 5， 6， 7 2， 3， 5， 7， 11 解：正确 4， 5， 6， 7中不含 2， 3， 5， 7， 11中的 2， 3， 11. 3设集合 A=四边形 ， B=平行四边形 ， C=矩形 D=正方形 ，试用 4 已知 A x x 2或 x 3， B x 4x m 0，当 A 实数 分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系 解：将 两集合在数轴上表示出来 要使 A B，则 中元素 即 那么由 x 2或 x 3及 x 4m 知 4m 2即 m 8 故实数 m 8 5满足 A , 集合 A 有多少个 ? 解析 :由 A 可知 ,集合 A 必为非空集合 ; 又由 A , 知 ,此题即为求集合 , 所有非空子集。 满足条件的集合 A 有 , , , , , 十五个非空子集。 此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式 12 n 进行检验， 15124 ，正确。 答案 :15 6已知 ,1, ，若 ，求 。 解析 : ，即 两集合的元素相同，有两种可能： 解得 ； 111x 或 1y 。 答案 : 1x 或 1y 。 八、教学后记 本 节讲子集，先介绍集合与 集合之间的 “ 包含 ” 与 “ 相等 ” 关系，并引出子集的概念，然后，对比集合的 “ 包含 ” 与 “ 相等 ” 关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质 奎屯王新敞 新疆 子集、全集、补集 教学目标：了解全集的意义，理解补集的概念，能利用 透相对的观点 . 教学重点：补集的概念 . 教学难点：补集的有关运算 . 课 型：新授课 教学手段：发现式教学法，通过引入实例，进而对实例的分析，发现寻找其一般结果，归纳其普遍规律 . 教学过程： 一、创设情境 1复习引入：两个集合之间的关系 （ 1）子集：若任意 x A x B ，则 有两种可能情形： A 是 B 的一部分（真子集）； 是同一集合（相等） 当集合 ，或集合 时，则记作 A A （ 2）集合相等：若 ， ，则 A=B （ 3）空集是任何集合的子集， A；空集是任何非空集合的真子集，若 A ，则 A （ 4）任何一个集合是它本身的子集 （ 5）含 n 个元素的 集合 12,na a a 的所有子集的个数是 2n ，所有真子集的个数是 21n ，非空真子集数为 22n 2相对某个集合 S ，其子集中的元素是 S 中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于 S 构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”。集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系 二、活动尝试 请同学们由下面的例子回答问题： 例 2、指出下列各组的三个集合中，哪两个集合之间具有包含关系。 （ 1） 2 , 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 2 , 2S A B （ 2） , | 0 , , | 0 ,S R A x x x R B x x x R （ 3） | | |S x x A x x B x x 是 地 球 人 ， 是 中 国 人 ， 是 外 国 人 答案：在（ 1）（ 2）（ 3）中都有 A S， B S 思考：观察例 2， A， B， 们的元素之间还存在什么关系？ A， ，即 中元素，即为 之亦然。 三、师生探究 如： A 班上男同学 B 班上女同学 S 全班同学 共同特征：集合 中除去集合 以用文氏图表示。 我们称 对于全集 四、数学理论 补集：设 A S，由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 的补集，记作 读作“ 中的补集”即 |,S A x x S x A 且 。 显然， 。 用阴影部分表示。 全集：如果集合 时 集通常用字母 注意： 1） , A U则 2）对于不同的全集，同一集合 如： 121 , 2 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4A U U ，则 123 3 4， ，痧 。 3） ，痧 五、巩固运用 1举例，请填充 (1)若 S 2， 3， 4， A 4， 3，则 _. (2)若 S 三角形 ， B 锐角三角形 ，则 _. (3)若 S 1， 2， 4， 8， A ，则 _. (4)若 U 1， 3， 2a 1， A 1， 3， 5，则 a _ (5)已知 A 0， 2， 4， 1， 1， 1， 0， 2，求 B _ (6)设全集 U 2， 3， 2m 3， a m 1， 2， 5，求 m. (7)设全集 U 1， 2， 3， 4， A x 5x m 0， x U，求 m. 师生共同完成上述题目，解题的依据是定义 例 (1)解： 2 评述：主要是比较 的区别 . 例 (2)解： 直角三角形或钝角三角形 评述：注意三角形分类 . 例 (3)解： 3 评述：空集的定义运用 . 例 (4)解： 2a 1 5， a 1 5 评述：利用集合元素的特征 . 例 (5)解：利用文恩图由 1， 0， 1， 2， 4，再求 B 1， 4. 例 (6)解：由题 2m 3 5且 m 1 3解之 m 4或 m 2 例 (7)解：将 x 1、 2、 3、 4代入 5x m 0中， m 4或 m 6 当 m 4 时， 5x 4 0，即 A 1， 4 又当 m 6时， 5x 6 0，即 A 2， 3 故满足题条件： 1， 4， m 4； 2， 3， m 6. 评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想 . 2不等式组 2 1 03 6 0 的解集为 A， ，试求 并把他们分别表示在数轴上。 解：见课本 六、回顾反思 本 节 主要介绍 全集与补集 ， 是在子集概念的基础上讲述补集的概念，并介绍了全集的概念 含有与研究的问题有关的各个集合的全部元素，通常用“ U”表示全集 集也不一定相同 . 集合 A 是集合 S 的子集，则 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合称为 S 中子集 A 的 补集（余集），记作 即 x| 且, . 当 S 不同时，集合 思考： ()？ 七、课后练习 a， b， A S，则 （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 （ D） 2. 已知 全集 U x 1 x 9， A x 1 x a，若 A ，则 ） （ A） a 9 （ B） a 9 （ C） a 9 （ D） 1 a 9 =（ x， y） x 1， 2