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奇异型随机控制问题之研究中 文 摘 要 奇异型随机控制问题之研究 中文摘要 本文讨论两类奇异型随机控制问题，其状态过程均为随机微分方程的解过 程.运用随机分析及最优控制理论得出最优控制策略. 根据内容本文分为以下四章 第一章介绍了随机控制理论的基本模型. 第二章介绍一些预备知识. 第三章主要研究奇异型折扣费用问题,将文献1中的状态过程由 xt=x + wt+ t 推广为 xt=x + z t 0 (x(s)ds + z t 0 (x(s)dws+ t 费用结构模型中的目标函数不限于偶函数,从而费用结构也随之变为非对称型.在 此基础上,寻找最优控制策略. 第四章通过把漂移系数引入到受控于poisson过程的状态中，建立了一非 对称型最优脉冲型随机控制模型. 在此模型的目标函数中,引入停时因素.利用随 机积分及脉冲控制理论,给出了最优回报函数的充分性条件, 从而得出最优控制 策略. 关键词：奇异型随机控制,变分方程,wiener过程,doleans-dade-meyer公式. i 奇异型随机控制问题之研究英 文 摘 要 the research on singular stochastic control problems abstract in this paper,two types of singular stochastic control problem are discussed, their state processes are solution process of stochastic differential equations.by using the stochastic analysis method and the optimal control theorem, the optimal strategy is obtained. the paper is divided into four chapters: in the fi rst chapter,we introduce basic models of stochastic control theorem. in the second chapter,we introduce some preparation knowledge. in the third chapter,we study singular discount expenses problem, the state process in document 1 is xt=x + wt+ t in this chapter the state process is xt=x + z t 0 (xs)ds + z t 0 (xs)dws+ t the function in cost structure are not restricted to even function,and the cost structure is changed to be unsymmetric.on the basis of this, we fi nd the optimal control strategy. in the last chapter,by introducing a drift parameter into controlled state gov- erned by a poisson process,we formulate an unsymmetrical optimal stochastic control problem.the stopping time is introduced into the objective function.by utilizing both stochastic calculus and the control theory,we give a set of suffi cient conditions for its solution in terms of optimal return function.then we get its optimal control strategy. keywords:singularstochasticcontrol;variationequation; wienerprocess;doleans- dade-meyer formula. ii 目录 第一章 引言 .1 1.1 奇异型随机最优控制模型1 1.2 脉冲型随机最优控制模型2 1.3 带有停时的随机最优控制模型 .3 第二章 预备知识 4 第三章 一类具有扩散过程的奇异性随机控制问题.6 3.1 模型描述.6 3.2 变分方程解的存在性.7 3.3 最优控制策略及其证明 11 第四章 一类带poisson跳的随机控制问题 19 4.1 模型描述. 19 4.2 主要定理. 20 参考文献 . 29 奇异型随机控制问题之研究第一章 引言 第一章引言 随机控制理论是研究具有随机信号、随机噪声和随机特性的系统控制理 论.作为现代控制理论与随机优化理论的重要组成部分, 近二十多年来有了迅速 发展. 运用随机过程、随机分析、随机微分方程以及变分方程等理论来解决卫星 遥控跟踪、金融决策、证券投资、风险管理、信号处理等领域的实际问题, 主要 是分析随机系统受控状态过程在随机控制作用下的特征, 以及在一定费用结构下 最佳随机控制的存在性及其作用状态. 随机优化控制是随机控制理论的一个重要 分支, 对于随机控制问题, 就其受控状态而言, 可以分为脉冲型和奇异型, 就其费 用结构而言, 可以分为折扣费用问题和平均期望费用问题. 以下介绍随机控制的 基本模型. 1.1 奇异型随机最优控制模型 设(,f,p) 为一概率空间,wt,t 0为其上标准wiener过程,ft= (ws,0 s t). 以b 表示全体ft适应左连续零初值有限变差过程全体, 对任意 = t,t 0 b 有正规分解t= + t t ,t= + t + t 为其全变 差.+,皆为b 中单调非降过程. 称t为奇异型随机控制. 通常研究以下两种问 题: 1)折扣费用问题: 对某 0 及x r, b, j(x,) = e z + 0 eth(xt)dt + dt 为依赖于初值x的折扣费用, 称为折扣因子. 其中xt= x + wt+ t为状态过 程,h(x) 一般为非负偶函数. 模型为求最优控制 t b,使 j(x, t) = min tb j(x,t); j(x, t)为最佳控制费用函数. 2)平均期望费用问题: 在这种情况下, 对初值x r, b,平均期望费用函 数定义为 j(x,) = liminf t 1 t e z t 0 h(xt)dt + dt 1 奇异型随机控制问题之研究第一章 引言 最优控制即是寻找 t b,使得 j(x, t) = min tb j(x,t). 关于奇异型随机控制问题,karatzas在1983年的工作是开创性的, 有很重要的 理论价值, 但决策控制是即时的和连续调节的, 这在实际中往往难于施行, 特别是 在控制时域为无穷时. 因此决策者引入下面的脉冲型控制问题. 1.2 脉冲型随机最优控制模型 脉冲控制由于其应用上的可操作性最先受到重视.其原始模型最初 由bensoussan 和lions 在1973年提出, 后来richard 将该模型推广到无限时域 上. 模型描述如下: 设(,f,p) 为一概率空间,wt,t 0 为其上wiener 过 程,ft= (ws,0 s t).一个脉冲控制 即指一列上升的ft停时1,2,及 对应的fi可测随机变量列1,2,的组合, 表示为 = (i,i),i 1, 令v 表 示其全体,称为控制集.同样分为两种情况: 1)折扣费用问题:对x r, v , 定义折扣费用函数为: j(x,) = e z + 0 eth(xt)dt + i=1e ib(i) 式中, 0为折扣因子. h(),b()为满足条件的实值函数, xt为状态过程. 最优控 制问题就是求一控制 v 使 j(x,) = inf j(x,); 2)平均期望费用问题:对 v , 定义平均期望费用函数为 j(x,) = 1 t e z t 0 h(xt)dt + x i 0,x r, 存在控制= ( i, i),i 1 使 lim t j(x,) = = inf liminf t j(x,) 2 奇异型随机控制问题之研究第一章 引言 其中xt满足分段随机微分方程 dxt= t+ (xt)dwt(t (i,i+1) xi+= xi+ i. 脉冲控制模型对于具有跳变控制的问题（如存储问题）有广泛的应用相应 的研究后文将予以叙述. 1.3 带有停时的随机最优控制模型 此类模型即指费用函数中含有停时, 这就要求不但要得出最优控制, 而且要 求出最优停时. 以奇异型最优控制为例, 条件同1.1 中所述, 并设t 表示全体ft 适应停时, 则对 b, t , 费用函数定义为 jx(,) = e z 0 eath(xt)dt + dt + g(x) 最佳控制是指 b, t , 使 jx(,) =min b,t jx(,). 此类问题有很强的实际背景,如跟踪问题和投资中的最佳停止问题等都为此 类控制问题. 需要指出,上述问题的研究中除了对费用函数的结构进行扩展外, 对状态空 间的研究与扩展也是一个重要的方面.如将状态空间xt= x+wt+t扩展为如下 随机微分方程的解 xt= x + z t 0 (xs)ds + z t 0 (xs)dws+ t 函数(),() 为满足某些条件的实值函数, 分别称为漂移系数和扩散系数. 由此 又可以得到一大批更为深刻的随机控制模型. 3 奇异型随机控制问题之研究第二章 预备知识 第二章预备知识 定义 2.1 17 (,f)上一 r+-值随机变量t为f-停时, 若对每个t 0,t t f. 定义 2.2 17 设m为一鞅, 称m 为平方可积鞅, 若suptem2 t s 0,k 0 p(nt ns= k|fs) = (ts)k k! e(ts). 定义 2.4 17 一过程称为增过程, 如果它的所有轨道为r+上非负有限值右连续增 函数, 且两个增过程之差称为有限变差过程. 定义 2.5 17 一个流f = (ft)称为完备的,如果f0包含一切p-零概集. 若流f = (ft)既完备又右连续, 则称f = (ft)满足通常条件. 定义 2.6 15 设随机过程 w(t), t 0, 如果满足下列条件: 1) w(t), t 0 是独立增量过程, 且对任意 s, t 0, +), s 0 增量 w(t + h) w(s + h) 具有相同的概率密度; 2) 对任意的 0 6 s 0. 3) w(0) = 0. 则称随机过程 w(t), t 0 为维纳过程, 其中称为漂移, 2称为方差.特 别 = 0, 2= 1时称为标准维纳过程. 定理 2.1 16 设(xn)为随机变量序列, 且对每个xn的期望存在. （1）若存在随机变量y , 使得ey , 且对每个n 1, 有xn y.a.s., 则liminfnxn的期望存在, 且有eliminfnxn|g 6 liminfnexn|g; （2）若存在随机变量y , 使得ey 1, 有xn y.a.s., 则limsupnxn的期望存在, 且有elimsupnxn|g limsupnexn|g; 4 奇异型随机控制问题之研究第二章 预备知识 定理 2.2 16 设xn a.s y (相应的, xn p y ), 若存在非负可积随机变量y, 使 得xn6 y a.s., 则x可积, 且有limnexn|g = ex|ga.s.(相应地, exn|g p ex|g). 定理 2.3 15 设x = (x1, , xd)是连续半鞅, f c2(rd), 则 f(x) = f(x0) + pd i=1 f xi(x) x i + 1 2 pd i=1 2f xixj(x) hx i, xji. 5 奇异型随机控制问题之研究第三章 一类具有扩散过程的奇异性随机控制问题 第三章一类具有扩散过程的奇异性随机控制问题 3.1 模型描述 奇异型的随机控制问题是近年来发展较快的一个课题. 本章主要研究带停时 的奇异型折扣费用问题, 将文献1中的受控状态过程和折扣费用函数进行了推 广. 设wt,t 0为概率空间(,f,p)上的标准维纳过程, ft为由此生成的上升- 域, 用b表示ft适应, 左连续, 零初值的有限变差过程全体. t 表示ft停时全体. 有正规分解t= + t t , t b为非降过程, 用t= + t + t 表示t的全变差. x r, b, t , 原始模型的受控状态过程为 xt=x + wt+ t x0=x 相应的控制费用函数为 jx(,) = e z 0 etx2(t)dt + k1d+ t + k2d t + ex2() 其中,为常数. 本章模型中的的受控状态过程为 xt=x + z t 0 (xs)ds + z t 0 (xs)dws+ t x0=x(3.1.1) 这里(x)为r上的非降有界连续函数, (0)=0, (x)为r上的正值有界连续函数, 且 满足lipschitz条件, 即x,y r,d 0, 使得 |(x) (y)| + |(x) (y)| 6 d|x y| 6 奇异型随机控制问题之研究第三章 一类具有扩散过程的奇异性随机控制问题 相应的折扣费用函数为 jx(,) = e z 0 etg(x(t)dt + k1d+ t + k2d t + eh(x()(3.1.2) 这里、k1、k2为正常数. g(x)为连续函数, h(x)为二阶连续可导凸函数, 且 0, g(x)h(x)满足: h(0) = h0(0) = 0 h 00(x) 0 g(x) h(x) 0 为寻找(,)和v(x), 使它对应的费用函数 v(x) = jx(,) =inf bt jx(,) 3.2 变分方程解的存在性 本节给出主要结果中要用到的变分方程问题, 为此引入三个引理. 引理 3.1设h(x),k1,k2如上所述, 则存在唯一的a, b. 且a 0,m 0, 使得x r有 h(x) + m k|x| . 7 奇异型随机控制问题之研究第三章 一类具有扩散过程的奇异性随机控制问题 证明： 由于h(x)的性质知, 当x 时, 有h0(x) , a1 0, 使得h0(a1) = k. 当x a1时, 有h0(x) k. 所以h(x) h(a1) k(x a1). 即有h(x) + (ka1 h(a1) kx. 记m1= ka1 h(a1), 则h(x) + m1 kx 同理,当x 时, 有h0(x) ,a2 k(x a2). 即有h(x) + (ka2 h(a2) kx = k|x|. 记m2= ka2 h(a2), 则h(x) + m2 kx 当a26 x 6 a1时, 记m3= maxh(a1), h(a2), 显然有h(x) + m3 k|x| 取m = maxm1, m2, m3 0, 则x r, 有h(x) + m k|x|. 引理证明完毕. 引理 3.3设g(x), h(x)如前所述, v00(x) = 1 2v 00 +(x) + v 00 (x), 则存在r上一连续函 数v(x), 满足变分方程组 (a) v(x) 6 h(x) (b) k16 v0(x) 6 k2 (c) 1 2 2(x) v00(x) + (x)v0(x) v(x) + g(x) 0 证明：定义 v(x) = k1(x a) + h(a),x b 先证变分方程(a) 当a 6 x 6 b时, (a)显然成立. 当x b时, 有: h(x) v(x) =h(x) k2(x b) h(b) 8 奇异型随机控制问题之研究第三章 一类具有扩散过程的奇异性随机控制问题 =h(x) h0(b)(x b) h(b) = z x b (h0(u) h0(b)du 0 当x 0 所以(a)成立. 综合可得x r, (a)式成立. 再证变分方程(b) 当x 6 a, v0(x) = k1 当x b, v0(x) = k2 当a 0, 从而有 1 2 2(x) v00(x) + (x)v0(x) v(x) + g(x) v(x) + g(x) = (k1(x a) + h(a) + g(x) =k1(x a) h(a) + g(x) =(g(x) h(x) + h(x) h(a) + k1(x a) 9 奇异型随机控制问题之研究第三章 一类具有扩散过程的奇异性随机控制问题 h(x) h(a) + k1(x a) =(h(x) h(a) h0(a)(x a) = z x a (h0(u) h0(a)du 0 即x b时, 同理有 v00(x) = 0, v0(x) = k2 0，(x) 0. 从而有 1 2 2 v00(x) + (x)v0(x) v(x) + g(x) g(x) v(x) = (k2(x b) + h(b) + g(x) =g(x) h(x) + h(x) h(b) k2(x b) (h(x) h(b) h0(b)(x b) = z x b (h0(u) h0(b)du 0 即(c)式得证. 当a 6 x 6 b时, 也有(x)v0(x) 0则 v00(x) = h00(x) 0 1 2 2 v00(x) + (x)v0(x) v(x) + g(x) g(x) h(x) 0 综合可得, 引理3.3中的(c)式得证. 引理3.3证得. 10 奇异型随机控制问题之研究第三章 一类具有扩散过程的奇异性随机控制问题 3.3 最优控制策略及其证明 定理 3.1v(x)设如引理3.3中所述, 则 b, t , , 有 v(x) 6 e z 0 etg(x(t)dt+k1d+ t +k2d t +eh(x() = jx(, ) (3.3.3) 证明：若(3.3.3)式右边为无穷大, 则(3.3)式显然成立. 下设右边为有限. (i)由v(x)的构造, 显然v(x)为一阶连续可导, 其二阶导数在a, b点为第一类间断点. 对任意的正整数n, 构造函数列v00 n(x): v00 n(x) = v00(a 1 n) + v00(a+ 1 n)v 00(a1 n) 2c n (x a + 1 n), x (a 1 n, a + 1 n), v00(b 1 n) + v00(b+ 1 n)v 00(b1 n) 2c n (x b + 1 n), x (b 1 n, b + 1 n), , v00(x),x(a 1 n, a + 1 n) s(b 1 n, b + 1 n) 则显然v00 n(x)连续, 并且有 lim n v00 n(a) = 1 2v 00 +(a) + v 00 (a) = 1 2h 00(a) = v00(a) lim n v00 n(b) = 1 2v 00 +(b) + v 00 (b) = 1 2h 00(b) = v00(b) 故当x r, 有v00 n(x) v 00(x)(n ). 注意到v0(0) = h0(0) = 0, v(0) = h(0) = 0. 令 v0 n(x) = z x 0 v00 n(u)du vn(x) = z x 0 v0 n(u)du 则vn(x)为二阶连续可导的, 并且v00 n(x)和v 0 n(x)显然有界. 因为 |v0 n(x) v 0(x)| = | z x 0 (v00 n(u) v 00(u)du| 11 奇异型随机控制问题之研究第三章 一类具有扩散过程的奇异性随机控制问题 6 z |x| 0 |v00 n(u) v 00(u)|du 6 z a+ c n a c n |v00 n(u) v 00(u)|du + z b+ c n b c n |v00 n(u) v 00(u)|du 6 d n (d为正常数) |vn(x) v(x)| = | z x 0 (v0 n(u) v 0(u)du| 6 z x 0 |v0 n(u) v 0(u)|du 6 z |x| 0 d ndu 6 d n|x| 所以任意的x r, 有 v0 n(x) v 0(x), vn(x) v(x).(n ) 由于v00 n(x)和v 0 n(x)有界. 即 |v0 n(x)| 6 k3, |v 00 n(x)| 6 k 0 3 = maxa 0 (0 b时, = 0, + 0 = x b, 0 = 0, x = b jx(, ) = k2(x b) + h(b) = v(x) 当a 0, 使得 |(x) (y)| + |(x) (y)| 6 d|x y|. x 0为初始状态, w = wt: t 0为完备概率空间(, f, p)上的一维标准维 纳过程. 满足通常条件控制过程 = t;t 0为左连续, 非负的ft适应过程. 其 表现形式为 t= z 0, t) sdns 其中n = nt;t 0是强度为 0的ft适应poisson 过程, = t;t 0非负且 关于tt循序可测. 记为所有容许控制策略的全体. 如果维纳过程w(t)与poisson相互独立.定义停时 0= inft 0;xt6 0 , 定义目标函数为: v(x) = e z 0 0 retdt 其中 0表示折扣因子, r为正常数. 19 奇异型随机控制问题之研究第四章 一类带poisson跳的随机控制问题 本章目的是找一个最优控制策略= t;t 0, 使得 v(x) = max v(x) 4.2 主要定理 引理 4.1 若存在常数m 0, 函数v(x) c(0, ) t c(0, ) t c2(0, ) 使 得 v00(x) 6 0, v0(m) = r 记= arg maxv(x ) v(x) + r : 0 6 6 x, 那么 = ( 0;0 6 x 6 m, x m;x m, 证明：对v(x ) v(x) + r关于求导, 得 (v(x ) v(x) + r)0= v0(x ) + r 当x m时, 由于0 6 6 x, 再由v0(x)的单调性, 则有 (v(x ) v(x) + r)0= v0(x ) + r ( 6 0; x m, 0; 0 6 6 x m, 所以可知v(x ) v(x) + r在 = x m处取得最大值。 当0 6 x 6 m时, 由于0 6 6 x, 则有0 6 x 6 m, 有v00(x)的单调性, 可得 v0(x ) r 20 奇异型随机控制问题之研究第四章 一类带poisson跳的随机控制问题 从而有 (v(x ) v(x) + r)0= v0(x ) + r 6 0 可知v(x ) v(x) + r关于单调非增, 故当0 6 x 6 m时知v(x ) v(x) + r在 = 0取得最大值. 引理4.1证明完毕. 定理 4.1令v(x) c(0, ) t c(0, ) t c2(0, ). (x), (x)为如前所述. 如果存在常数m 0使得 v(0) = 0 v0(m) = r v00(x) 6 0, x 0 max 066x 1 2 2(x)v00(x) + (x)v0(x) ( + )v(x) + (v(x ) + r) 6 0 (4.2.1) 则对所有x 0, q, 有v(x) v (x). 进一步, 如果v(x)还满足 1 2 2(x)v00(x)+(x)v0(x)(+)v(x)+(v(m)+r(xm) = 0, x m, (4.2.2) 1 2 2(x)v00(x) + (x)v0(x) v(x) = 0, 0 6 x 6 m. (4.2.3) 则存在 , 使得 v(x) = v(x) 即为最优控制, v(x)为相应的回报函数. 证明：对t 0对etv(xt)在0, t 0上做d-d-m变换, 可得 e(t0)v(xt0) v(x) = z t0 0 et1 2 2(xt)v00(xt) + (xt)v0(xt) 21 奇异型随机控制问题之研究第四章 一类带poisson跳的随机控制问题 v(xt)dt + z t0 0 et(xt)v0(xt)dwt + x 06t 0, 即 v(x) =e(t0)v(xt0) z t0 0 et1 2 2(xt)v00(xt) + (xt)v0(xt) v(xt)dt z t0 0 et(xt)v0(xt)dwt x 06t max 066xv(x ) v(x) + r (4.2.5) 记 g(x) = max 066xv(x ) v(x) + r = ( 0,0 x m, v(m) v(x) + r(x m),x m, 由于t 0当且仅当在t时刻发生poisson跳, 可得 v(xt t) v(xt) + rt6 g(xt)dnt 又有 z t0 0 retdt= x 06tmax 06t6xv(xt t) v(xt) + rt =g(xt) 代入(4.2.4)式, 可得 v(x) e(t0)v(xt0) + z t0 0 etg(xt)dt z t0 0 et(xt)v0(xt)dwt+ z t0 0 retdt x 06te(t0)v(xt0) + z t0 0 etg(xt)dt z t0 0 (xt)v0(xt)dwt + z t0 0 et(g(xt)dnt+ z t0 0 retdt(4.2.6) 令bn = nt t : t 0, 也是poisson过程. 可知bn是一个局部鞅. 可得 z t0 0 etg(xt)dt + z t0 0 et(g(xt)dnt = z t0 0 etg(xt)dbnt 则(4.2.6)式可转化为 v(x) e(t0)v(xt0) z t0 0 etg(xt)dbnt z t0 0 (xt)v0(xt)dwt+ z t0 0 etdt 23 奇异型随机控制问题之研究第四章 一类带poisson跳的随机控制问题 z t0 0 retg(xt)dbnt z t0 0 (xt)v0(xt)dwt + z t0 0 retdt(4.2.7) 令zt= r t0 0 etg(xt)dbnt, mt= r t0 0 (xt)v0(xt)dwt 由g(x)的定义, 可知g(x)连续, 则zt有是一个局部鞅. 又因为(x), v0(x)均连续, 则有mt也是一个局部鞅. 因此(zt+ mt)也是一个局部鞅, 故存在一个停时序列n, n , n , 使 得(ztn+ mtn)是一个0初值的鞅, 则 e(ztn) + mtn = 0 又由(4.2.7)式知 (zt+ mt) 6 v(x) 应用fatou引理可得 e(zt+ mt) = e lim n sup(ztn) + mtn lim n supe(ztn) + mtn = 0 因此对(4.2.7)式两边取期望可得 v(x) e z t0 0 retdt 令t , 则 v(x) e z 0 0 retdt= v(x), 24 奇异型随机控制问题之研究第四章 一类带poisson跳的随机控制问题 下面证明最优控制的存在性. 对0 6 s m, (4.2.8) 其中x(t) = x + r t 0 (x t)ds + r t 0 (x t)dws t. 令 0 = inft 0;x(t) 0. 下证v(x) = v(x). 类似(4.2.4)式, 有 v(x) =e(t 0)v(x t 0 ) z t 0 0 et1 2 2(x t)v 00(x t) + (x t)v 0(x t) v(x t)dt z t 0 0 et(x t)v 0(x t)dwt x 06t 0 由于 z t 0 0 retd t = x 06t m, 知 z t 0 0 et1 2 2(x t)v 00(x t) + (x t)v 0(x t) v(x t)dt + z t 0 0 etg(x t)dnt = z t 0 0 etg(x t)dt + z t 0 0 etg(x t)dnt = z t 0 0 etg(x t)d(nt t) = z t 0 0 etg(x t)d b nt, 则 v(x) = e(t 0)v(x t 0 ) (z t + m t) + z t 0 0 retd t (4.2.10) 26 奇异型随机控制问题之研究第四章 一类带poisson跳的随机控制问题 其中 z t = z t 0 0 etg(x t)d b nt m t = z t 0 0 et(x t)v 0(x t)dwt 由于z t, m t为局部鞅, 则存在停时列 00 n , (n )使得(z t00 n + m t00 n)是 一个0初值的鞅, 即有 e(z t00 n + m t00 n) = 0 用t 00 n代替(4.10)中的t, 得 v(x) = e(t 00 n0)v(x t00 n0)(z t00 n +m t00 n)+ z t00 n0 0 retd t (4.2.11) 对 0分两种情况进行讨论 (i)当 0 m时, v(x) = v(m) + v0()(x m) 6 r(x) + v(m) r(m) 6 r(x) + v(m) 当0 6 x 6 m时, v0(x) r 0有 v(x) 6 v(m) 故对x 0,v(x) 6 r(x) + v(m), 因此 0 6e lim t etv(x(t)(4.2.12) =e lim t etv(x + z t 0 (x s)ds + z t 0 (x s)dws t) (4.2.13) 6e lim t etr(x + z t 0 (x s)ds + z t 0 (x s)dws t) + v(m) (4.2.14) 由于(x), (x)均为有界连续函数, 则存在a1 0, a2 0使得 |(x)| 6 a1, |(x)| 6 a2 则 (4.2.12) e limsup t etr(x + a1t + a2|wt|) + v(m) = 0 所以 v(x) = e z 0 retd t = e z 0 0 retd t, 0 = . 综合以上结果知v(x) = e r 0 0 retd t 故定理4.1得证. 28 奇异型随机控制问题之研究参考文献 参考文献 1 刘向丽,刘坤会.一类奇异型随机控制问题的推广j.北方交通大学学报,2000,24:73-80. 2 alvarez h r.singular stochastic control in the presence of a state-dependent yield s