四个新数学符合.22doc

4 个新数学符号已开始在初高中数学教材中应用 河南荥阳邢轸 2012.10.10 国家颁布的 GB 3102.11-93物理科学和技术中使用的数学符号 （以下简称国标）已于 1994 年 7 月 1 日实施。为了宣传、贯彻好国 标，国家又组织编写了国家标准统一宣贯教材量和单位国家标准 实施指南 （以下简称指南） ，其中第 13 章是对 GB 3102.11-93 的贯 彻、实施说明。我从 1984 年起在很多领导和老师的鼎力相助下，创 制和规定的 9 个新数学符号在国标和指南中，得到认可。2004 年 2 月 25 日，国家质监总局计量司下函教育部基教司，函件的附件是我 在全国量和单位标准化技术委员会数学分委会主任委员李志深教授指 导下撰写并经批准的关于在现行中小学数学教材中贯彻和实施国标 数学符号标准的若干意见和建议 ，附件核心内容是推荐新创数学符 号。根据国标、指南、函件精神，新创数学符号已于 2005 年起，开 始在初高中数学教材中应用。其应用情况如下： 1、圆弧度数符号：“” 北师大出版社高中数学选修 4-1，2005 年版 P11。 人民教育出版社 B 版高中数学选修 4-1，2009 年版 P14。 2、圆弧长度符号：“ ” 北师大出版社九年级下册 2005 年版 P132。 人民教育出版社九年级上册 2008 年版 P121。 3、二面角符号：“ 2 ” 北师大出版社高中数学必修 2 2007 年版 P38。 2 人民教育出版社 A 版高中数学必修 2 2009 年版 P68。 人民教育出版社 B 版高中数学选修 2-1 2009 年版 P108。 人教社 B 版因必修中不讲二面角，所以在选修教材中应用。我认 为司空见惯的二面角应该放在必修教材中。 4、平面符号“ ” 北师大出版社高中数学必修 2 2009 年版 P22。 下面就新数学符号创制的背景及应用的优越性和意义加以说明。 一、圆弧的度数符号及弧长符号 圆弧具有长度和度数双重度量这是任何人也回避不了的客观现实， 正因圆弧具有双重度量才使圆弧的问题变得丰富多彩，才使它的问题 特别值得关注，值得研究。 关于圆弧的符号，现在世界上还不统一，大多数国家用“” ， AB 前苏联则用“”表示，并用“”表示圆弧的度数。由于圆弧的AB 双重度量没有科学合理的统一符号，使得圆弧的记法表现为： 1、记法繁杂混乱，不便于国际间科学技术的交流。如的度数 AB 为 45， 的长度为 3cm，我国记作：的度数=45， 的长=3cm。 AC AB AC 2、记法不严谨，在推导中就容易出现理解性 错误。如图一中： =45， =45， =3cm， BC DE AC =3cm 由上可推出： = ， = ，因为度数 BC DE AC 和长度都相等的圆弧才叫等弧，而 和 只是度数 BC DE 相等， 和 只是长度相等，所以推出等弧就 AC 是错误的。 3 3、记法规定不明确，让人们在理解上无所适从。如： ： =1:2，在没有明确规定的情况下。它表示的是：长度之比？还 AB CD 是度数之比？还是长度和度数之比都是 1：2 呢？ 由于对圆弧的双重度量理解不深，认识不够，重视不足，更由于 圆弧的双重度量符号没有解决，教材关于圆周角定理、弧切角定理的 阐述在二十世纪八十年代初短短的几年中教材就变了三次：如图二 1、八十年代以前圆周角定理表示为：ACB 的度数=的度数， 2 1 AB 弦切角定理表示为：DAB 的度数=的度数。这种写法是我国和世 2 1 AB 界上绝大多数国家的传统写法。这是数学语言和汉字混写，既繁杂又 不便国际间科学技术的交流。 2、八十年代初改成：ACB，m 2 1 AB DAB， “”是从国外引进的符号。这样m 2 1 AB m 做圆周角定理和弦切角定理的写法完全变成了 数学语言，既简单又规范显然这是很大的进步。 但“”的使用具有很大的局限性。m 3、八十年代中期后采用日本的做法圆周角定理表示为：ACB= AOB，弦切角定理表示为：DAB=ACB， “”从此在教材中销声 2 1 m 匿迹了。教材这样改变的目的，正如人民教育出版社出版的教学参考 书中所写“可使这一部分内容简化，同时也可避免有些学生不注意把 角与弧度数相等说成角与弧相等的错误” 。圆中角与弧的度数之间存 4 在有等量关系。这是任何人也回避不了的。可教材这样改动的实质是 采用了回避而不让涉及的办法，这样做的结果不但起不到简化内容的 作用，反而产生了不少副作用。与传统表示法相比显得不够直观， 需要添加辅助线；弦切角定理的表述缺乏科学性。弦切角所夹的弧 是确定的。可弧所对的圆周角是不确定的；圆周角定理和弦切角定 理的表述缺乏系统性、规律性。一个是与圆心角发生关系，一个是与 圆周角发生关系。一个是等量关系，一个是等量关系。这样做使得 2 1 与圆有关的一组角与圆弧之间的度量关系的五个定理，在表述的形式 上容易混淆，不便于理解和记忆。 按照以上做法，圆弧的度数这一概念逐渐被淡化了。 到二十一世纪初，随着义务教育数学课程标准的出现，弦切角定 理被删除了（我认为弦切角定理、圆内角定理、圆外角定理作为知识 的延伸迁移编入习题该有多好啊！以往我国和国外常把这些定理用黑 体字编入习题） 。不可理解的是，后来把圆心角定理连同圆弧的度数 这一重要概念也从初中教材中删除了，而改在高中选学，这一做法造 成很多问题没法解释，错误百出。据我所知，现在世界上初中不讲圆 弧度数的国家只有我国。 关于圆弧的双重度量的概念如果模糊不清或者疏忽，就会出现理 解性错误。最近几年我与一些教此内容的年轻数学教师交谈时。当我 问及=3cm， =3cm，这两弧什么关系呀？就有一些年轻教师直截了 AB CD 当的说两弧相等。更有甚者：1985 年出版的中招数学试题分类汇 编在解答“O1的半径 O1A 是O2的直径，半径 O1B 交O2于 C， 5 求证：的长和 的长相等”时， 数学教师编辑部解答完全错误， AB AC 河南教育学院编辑部把两圆弧只有长度相等推导成等弧。两本书还如 此，老师或学生在解答此类问题时出现繁杂、混乱的局面就不足为奇 了。造成此局面我认为是近三十年对圆弧度数概念教学逐渐淡化，直 到原课标删除圆弧度数的教学而造成的。 由以上叙述足可说明圆弧的双重度量教学的重要性和不可缺失。 值得庆幸的是 2011 年版的义务教育数学新课标对此做了纠正， 新课标有关圆部分内容为： 1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧 的概念 2、探索证明垂径定理，垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两 条弧。 3、探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角 定理及推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 4、会计算圆的弧长 新课标显然强化了圆弧双重度量的内容，尤其是圆弧度数的内容。 有一点值得商讨的是我认为新课标圆内容第条，圆周角定理应该恢 复到我国二十世纪八十年代前与现在世界上绝大多数国家传统叙述法： 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，这样表述它反映了角与弧 这两个不同概念之间的等量关系，比只反映角与角之间的关系要科学 优越，并能强化和鼓励学生的思维想象能力。 为了使圆弧的记法简单、规范、准确，更为了加深人们对圆弧的 6 双重度量意义的认识，减少不必要的理解性错误，经过从 1984 年到 1993 年的反复论证，反复实践，圆弧的度数符号“”作为中国 人第一个创制的数学符号被编入国标 GB310211-93，圆弧的长度符 号“ ”被编入 1996 年出版的国家标准统一宣贯教材量和单位 国家标准实施指南 ，圆弧的双重度量符号被规定之后，书写非常简 单、规范、准确。如：的度数，就可写成，的长= 的长，就 AB AB AB CD 可写成=，圆周角定理就可写成ACB=。更重要的是圆弧 AB CD 2 1 AB 的双重度量符号规定之后，能强化人们对圆弧双重度量的认识。经过 从 1996 年至今的努力，圆弧的双重度量符号终于被各方理解和接受， 已经被编入教科书。 二、二面角符号和平面符号 二面角与平面是立体几何中的重要概念，也是现实生活中经常遇 到的客观现实，可至今世界上没有统一的符号，使得二面角与平面的 记法繁杂、混乱，甚至错误，请看现实： 我国用汉字和符号混写的办法来表示二面角，如：二面角 P-a- Q，这样表示因不是数学语言，既繁杂，又不便国际间科学技术的交 流，更为不妥的是，如人民教育出版社 2004 年出版的高中数学必 修版课本前面所写，本书部分常用符号中说“-AB-”是二面角 符号，显然是错误的，符号都是确定的，说“-AB-”是二面角符 号，那“A-BC-D”是什么呢？再说“-AB-”前面没有二面角三个 字能行吗？这与说“ABC”是三角形符号有什么不同。 “-AB-” 只能说是一个二面角表示中的一部分。这种情况教材现已纠正为： 7 二面角-AB-。 前苏联借用平面角表示二面角，如：二面角-AB- 记作： “-AB-” ，这样做有以下缺点： 1、平面角和二面角是两个不同的概念，用一个数学符号表示不 科学、不合理，使符号失去了确定性原则。 2、借用平面角表示二面角，不便于简化二面角的记法，当一个 顶点上只有一个平面角时，有简化的记法，当一条棱上只有一个二面 角时若简化，就会造成混淆。 平面的表示：常用一个希腊字母来表示，这样的表示在特定情况 下是可以的，若离开特定条件就不知是什么了。 平面也常用汉字和符号混写的办法来表示，如平面 、平面 AC、平面 ABC 等，以往也见有刊物用平行四边形符号来表示平面，这 就更不科学合理了。 我国从 1986 年至今的 20 多年中，经过反复实践、论证，在 1996 年 11 月中国标准出版社出版的国家标准统一宣贯教材量和 单位国家标准实施指南中对二面角和平面规定了符号：规定二面角 符号为“ 2 ” ，同时规定 n 面角的符号为“ n ” 。规定平面符号 为“” 。 这样规定之后，就使得二面角的记法科学合理、简单规范，如二 面角“-AB-” ，就可计做：“2-AB-” 。当棱 AB 上只有一个 二面角时，就可简记为：“2AB” 。又因同时规定了 n 面角符号，使 得角的表示前后连贯，形成一个系统的整体。在 n 面角符号内，当 8 n=1 时省略不写就成了平面角，当 n=2 时就是二面角。 平面符号为 “ ” ，规定理 由是“ ”是平面角符号旋转 180 而形成的，也可理解为两相交直线确定一平面。这样规定既形象科学又简单 规范如平面 AC，就可记作：“ AC” 。 数学符号是数学中的特殊文字，它书写简单规范，内涵深刻，它 便于国际间科学技术的交流，尽量多用数学符号诠释数学语言是国际 潮流的大趋势。在 2011 年版义务教育数学新课标的“课程设计思路” 中讲到“在数学课程中，应当注重发展符号意识特别注重发 展学生的应用意识和创新意识” ，从此可看出符号意识的培养、应用 与创新也是数学教学的一大任务。圆弧的度数符号“” 、弧长符 号 “ ” 、二面角符号“ 2 ” 、平面符号“ ” ，我国已经规定并开 始在教材中应用。实践证明这些新数学符号应用的重大意义和优越性 已是不争的事实。但现在的数学教材是一个课标多个版本，初中教材 有 9 家