复数·复数的开方

复数复数复数的开方复数的开方教案教案 复数 r（cosisin）的 n 次方根 （二）探求复数 r（cosisin）的 n 次方根，并推导开方公式 师：（提出课题）求复数 r（cosisin）的 n 次方根 如何研究这一问题呢？首先，我们对复数的 n 次方根有几个值能有一个预测吗？ 生：我认为有 n 个 师：这只是预测，这要通过求复数 r（cosisin）的 n 次方根来证实或否定如何 求复数的 n 次方根？要解决“如何求”，首先要弄清什么是复数 n 次方根？让学生回 忆实数集中方根的概念 复数 n 次方根的意义：如果 xn=z（nN，zC），那么 x 叫做 z 的 n 次方根 因为复数的 n 次方是复数，所以一个复数的 n 次方根也是复数 师：在建立复数 n 次方根概念的基础上，如何推导复数开 n 次方的公式呢？ 由上面分析可知，复数 r（cosisin）的 n 次方根仍是复数，设它为 （cos+isin），那么这两个复数有什么联系呢？ 生：r（cosisin）=（cos+isin）n（nN） 师：求复数的 n 次方根的问题，就转化为在上面等式中求出 和 r（cosisin）=（cos+isin）n=n（cosn+isinn） 这样就得到两个用三角形式表示的复数两个用三角形式表示的复数相等的充要条件 是什么？ 生：它们的模相等，辐角可以相差 2 的整数倍 师：由式可得 由复数 n 次方根的意义和复数相等的条件，得到复数 n 次方根的表达式，下面的工作 是什么？ 生甲：用公式解题 生乙：这个公式还没有推导完，它表示几个值？各是什么？还要对公式进一步认识 师：对首先要认识公式对一个数学公式通常从以下几个方面认识：公式的推导； 公式成立的条件；公式所反映的数量关系；公式的使用 对公式的推导，不是停留在重复推导过程上，而是要求提炼推导的基本想法和所运用 的基础知识本公式是运用复数 n 次方根的概念和复数相等条件，建立方程求解方程 推导的 公式成立的条件是：nN+，也就是说，我们研究的是复数开正整数次方 个虚数根 进一步深化对复数 r（cosisin ）的 n 次方根的认识提出以下问题： 师：问题 1 复数 r（cos isin ）的 n 次方根有几个，它们的模等于什么？ 师：问题 2 复数 r（cos isin ）的 n 次方根的几个辐角有什么规律？ 学生讨论，教师归纳总结 解题后思考以下问题： （1）1 的立方根在实数集中有几个值？在复数集中有几个值？各是什么？ 1 的立方根在实数集中有 1 个值，是 1在复数集 C 中，1 的立方根有 3 个值，有一个 实数两个虚数，其中实数为 1，两个虚数是一对有 （2）方程 x3=1 除用复数开方公式求解，还有其他解法吗？（因式分解法，本节不展 开） （四）小结 由实数集扩充到复数集我们对一个数的 n 次方根的认识有了发展在复数集 C 中，复 数 r（cos isin ）的 n 次方根有 n 个值这 n 个值可由复数开方公式得到它们 的对应点在复平面内是以原点为圆心， （五）作业 1高中代数下册 P214215 练习第 3，第 4 题 2复数-i 的一个立方根是 i，它的另外两个立方根是 课堂教学设计说明课堂教学设计说明 本节课设计的指导思想是：激发兴趣、注重过程、发展思维、指导学法 1复数的有关知识比较抽象，离生产、生活实际较远在复数教学中如何激发学生的 学习兴趣，这是值得思考的问题本节以解方程引入，通过对复数开方公式的推导得 出公式，又回到在复数集中解方程 x3=1，求出它的一个实根两个虚根，发展了在实数 集中方程 x3=1 只有一根为 1 的认识从学生熟悉的数学问题引入，提出问题，分析问 题，解决问题，通过问题解决发展学生的认识，引起学生学习兴趣 2注重对复数开方公式推导过程的教学复数开方公式推导是本节课的重点也是难 点在教学中是分四个层次展开的：由解方程引入；由 n 次方根的意义切入；通过复 数相等求解；由正弦、余弦函数的周期性确定复数的 n 次方根有 n 个值完成公式的推 导在推证过程中启发学生探求，发展思维，培养推理能力 3指导学法，会学公式在学习数学过程中学生遇到许多数学公式，如何认识数学公 式，学好公式，会学公式是指导学生学法的一个重要方面