甘肃省2017届高三第二次诊断考试数学（文）试题含答案

2017 年甘肃省第二次高考诊断考试 文科数学 第卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、若集合 | 1 2 , | 2 1 A x x B x x ，则集合 A | 1 1 B | 2 1 C | 2 2 D | 0 1 2、如图所示，向量12,Z，则12A 42i B 2 i C 22i D 3 i 3、某研究性学习小组调查研究性别对喜 欢吃甜食的影响， 部分统计数据如下表： 经计算 2 10K ，则下列选项正确的是 A 有 把握认为性别对喜欢吃甜食无影响 B 有 把握认为性别对喜欢吃甜食有影响 C 有 把握认为性别对喜欢吃甜食无影响 D 有 把握认为性别对喜欢吃甜食有影响 4、已知 4，且 x 角的终边在第三象限，则 A 45B 45C 35D 355、函数 3l o g ( 3 ) , 0( 1 ) , 0x x ，则 (3)f 的值为 A B C 1 D 2 6、如图所示，四面体 四个顶点是长方体的四 个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体 三视图（用代表图形） A B C D 7、设 D 为 的所在平面内一点， 4D ，则 A 1344A B A CB 1344A B A CC 3144A B A CD 3144A B A C8、某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图中记录了每天的销售量（单位：台），把这些数据经过如图所示的程序框图处理后，输出的 S A 196 B 203 C 28 D 29 9、已知函数满足一下两个条件：任意12, ( 0 , )，且12，1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x ；对定义域内任意 x 有 ( ) 0f x f x ，则符合条件的函数是 A 2f x x B 1f x x C 1f x D 1)f x x 10、已知点 A 是直角三角形 直角顶点，且 ( 2 , 2 ) , ( 4 , ) , ( 2 2 , 2 )A a B a C a，则 外接圆的方程是 A 22( 3 ) 5 B 22( 3 ) 5 C 22( 3 ) 5 D 22( 3 ) 5 11、已知三棱锥 各顶点都在一个球面上， 所在截面圆的圆心 O 在 ，平面 , 3 , 1A B C A C B C，若三棱锥的体积是 33，则球体的表面积是 A 254B 2512C 12548D 25 12、将函数 3 s i n ( 2 )3f x x 的图象向左平移6个单位，在向上平移 1 个单位，得到 1216g x g ，且 12 33, , 22 ，则 122的最大值为 A 2312B 3512C 196D 5912第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13、数列 11( 1 ) 0 , 1a a ，则6a14、已知实数 , 4 0103 ，则 3z x y 的最大值是 15、已知抛物线 2 8上一点 P 到焦点的距离为 4，则 的面积为 16、已知函数 2 21与函数 2y 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分 12 分） 设数列 1是一个各项均为正数的等比数列，已知377 , 1 2 7. （ 1）求的1 （ 2）求数列 n 项和 . 18、（本小题满分 12 分） 甘肃省瓜州县自古就以生产“美瓜”面名扬中外，生产的“瓜州蜜瓜”有 4 个系列 30 多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖 量达 14%19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用 ,示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的相关程度， 它们进行量化： 0 表示一般， 1 表示良， 2表示优，在用综合指标 w x y z 的值平定蜜瓜的顶级，若 4w ，则为一级；若23w，则为二级；若 01w，则为三级，今年来，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了 10 块蜜瓜种植地，得到如下结果： 种植地编号 A B C D E ( , , )x y z (1,0,0) (2,2,1) (0,1,1) (2,0,2) (1,1,1) 种植地编号 F G H I J ( , , )x y z (1,1,2) (2,2,2) (0,0,1) (2,2,1) (0,2,1) （ 1）若有蜜瓜种植地 110 块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量； （ 2）从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块 种植地的综合指标 w 至少有一个为 4 的概率 . 19、（本小题满分 12 分） 如图，在 中， C ，点 ,C 上， 2 , 3A D D B A C E C，沿 翻折起来，使得点 A 到 P 的位置，满足 3D . （ 1）证明： 平面 （ 2）若 3 , 6P B B C P C ，点 M 在 ，且，求三棱锥 P 的体积 . 20、（本小题满分 12 分） 已知椭圆 221 : 1 ( 0 )a 的顶点到直线 :l y x 的距离分别为 62,22. （ 1）求椭圆1 （ 2）过圆 22:4O x y上任意一点 P 作椭圆1M 和 别与圆交于点, 求 面积的最大值 . 21、（本小题满分 12 分） 已知函数 s i n c o sf x x x x. （ 1）当 ( , )4x 时，求函数 （ 2）若存在 ( , )42x ，使得 2 c o sf x k x x成立，求实数 k 的取值范围 . 请考生在第（ 22）、（ 23） 题 中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的 题号涂黑，把答案填在答题卡上 22、（本小题满分 10 分） 选修 4坐标系与参数方程 已知直线222:(22 为参数），曲线 c o s:(s 为参数） . （ 1）使判断 l 与 C 的位置关系； （ 2）若把曲线12倍，纵坐标压缩为原来的 32倍，得到曲线2C，设点 P 是曲线2它到直线 l 的距离的最小值 . 23、（本小题满分 10 分） 选修 4不等式选讲 设函数 3 , 2f x x g x . （ 1）解不等式 2f x g x； （ 2）对于实数 , 1, 1f x g y，证明： 2 1 3 . 2017 年 甘肃省 第 二 次高考诊断 文科 数学试题参考答案及评分标准 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 10. D 11. A 题可知 2( ) 3 s i n ( 2 ) 13g x x ，因为12( ) ( ) 1 6g x g x =所以4)()( 21 为最大值，令 22232 ， 可得 12 ， 又因为1233,22， 可以取得 1 3 1 1,1 2 1 2 1 2x ， 则1221 1 1 3 3 52 ( )1 2 1 2 1 2 ， 答案为 B 第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 31 16. 1 1 1 5 ， ， 16. 答案提示： 2 2 1( 2 ) ( 1 )()1 2 2 1 x x x ， ， 或直线 2 定点 )20( ， ，由函数图像可知结果为： 1 1 1 5 ， ， 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17. 解： （ I） 由题可知 1281,8173 2 分 则有 1 2 88)1)(1()1(7325 可得 3215 15 a； 6 分 （ 1 为首项， 2 为公比的等比数列， 221 1 所以 21 ， 9 分 利用分组求和可得 12 1 2 2212n n n （ ） . 12 分 18. 解： （ I） 计算 10 块种植地的综合指标，可得下表： 编号 A B C D E F G H I J 综合指标 1 5 2 4 3 4 6 1 5 3 由上表可知：等级为三级的有 A， H 2 块 ，其频率为 210, 3 分 用样本的频率估计总体的频率，可估计 等级为三级的块 数为 2110 2210. 6 分 （ （ I）可知：等级是一级的（ 4 ）有 B， D， F， G， I， 共 5 块 ，从中随机抽取两块 ，所有的可能结果为： ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )共计 10 个 ； 10 分 其中综合 指标 4 的有： D， F 2 个，符合题意的可能结果为 ( , ) ( , ) ( , )( , )( , ) ( , )( , ) 7 个， 设“ 两块 种植地的综合指标 至少有一个 为 4”为事件 M 所以概率为 7()10. 12 分 19. （ I） 证明：设 3 , , 3 , 2A B b B D b P B b P D b 则 222 B 4 分 ， 6 分 （ 解： 3 , 3 6P B B C P C ， C ,B D P B B D B C I , 3348P M B E E P M B E P B V . 12 分 I）由直线 1l 的方程知，直线 1l 与两坐标轴的夹角均为 45 ， 故长轴端点到直线 1l 的距离为 22a，短轴端点到直线 1l 的距离为 22 , 1, 3 分 所以 离心率 3 1 633 . 5 分 （ 点 ( , )x y，则 224. （ ） 若两切线中有一条切线的斜率不存在，则 3， 1， 另一切线的斜率为 0，从而 N . 此时， 11| | | | 2 2 3 2 322P M M P N . 6 分 （ ）若切线的斜率均存在，则 3， 设过点 P 的椭圆的切线方程为 ()y k x x ， 代入椭圆方程，消 y 并整理得： 2 2 2( 3 1 ) 6 ( ) 3 ( ) 3 0P P P Pk x k y k x x y k x . 依题意 0 ，得 2 2 2( 3 ) 2 1 0p P P px k x y k y . 设切线 ,N 的斜率分别为12,而 221213 133 ， 8 分 即 N ，线段 圆 O 的直径， | | 4. 所以， 2 2 21 1 1| | | | ( | | | | ) | | 42 4 4P M M P N P M P N M N 当且仅当 | | | | 2 2P M P N时，最大值 4. 综合（ ）（ ）可得：最大值 4. 12 分 I） c o ss o ss ， 2 分 42x ，时， ( ) c o s 0f x x x ， 函数 f(x)在42，上是增函数； 2x ，时， ( ) c o s 0f x x x ， 函数 f(x)在2，上是减函数； 5 分 （ 题意等价于 ，整理得 令x ，则2 si x ， 令 ， 0 g(x)在 ()42x ，上单调递减， 2( ) ( ) ( 1 ) 04 2 4g x g ，即 0s)( 10 分 0si s)(2 x x 在 ()42，上单调递减， 2s i 44 ，即 22k 12 分 22. 解 ： （ I） 1:02: 221 , 2 分 122 200 d , 所以直线与曲线相离 . 5 分 （ 变化后的曲线方程是1 c o s ,23 2 设点 13( c o s s i n )22P ，, 7 分 则点到直线的距离是13c o s s i n 2 s i n 222 622d （ ） 则最小距离