第七章 习题答案

习题习题 7-1 1. 下列向量的终点各构成什么图形？ （1）空间中一切单位向量归结为共同的始点； （2）平行于同一平面的一切单位向量归结为共同的始点； （3）平行于同一直线的所有单位向量归结为同一始点； （4）平行于同一直线的所有向量归结为同一始点。 答：（1）单位球面 （2）单位圆 （3）两个点 （4）直线。 2 设点是正六边形的中心，在向量 OABCDEF 中，哪些向量是相等的？,OA OB OC OD OE OF AB BC ,CD DE EF FA 答：,OAEF ,OBFA ,OCAB ,ODBC ,OECD .OFDE 3.平面四边形点分别是的中点，证明：,ABCD, ,K L M N,AB BC CD DA 当四边形是空间四边形时，上等式是否仍然成立？.KLNM ABCD 证明：连结 AC, 则在BAC 中，KLAC. 与方向相同；在DAC 中， 2 1 KLAC NMAC. 与方向相同，从而 KLNM 且与方向相同，所以. 2 1 NMACKLNMKLNM 当四边形是空间四边形时，上等式仍然成立。 ABCD 4 解下列各题： （1）化简 2332;xyxyabab （2）已知求 123123 23,322,aeee beee,32ab abab. 解：（1） 2332xyxyabab 23322332xyxyxyxy ab 55xyxy =ab; （2） 123123123 233225;abeeeeeeeee 123123123 23322; abeeeeeee +ee 123123123123 323 232 322693644abeeeeeeeeeeee 23 5.ee 5四边形中，对角线的中点分别是ABCD2 ,568ABCD acabc,AC BD 求,E F.EF 解： 1111 5682335 2222 EFCDAB abcacabc. 6 设的三条边的中点分别为另为任意一点，证明：ABC,AB BC CA,L M NO .OAOBOCOLOMON 证明：（1）如果在内部（如图 1） ，则把分成三个三角形OABC OABC OAB,OAC,OBC。 又因为 L,M,N 分别是 BC，CA，AB 的中点，所以 所以 111 (),(),(), 222 OLOBOC OMOCOA ONOAOB 111 ()()() 222 OLOMONOBOCOAOCOAOBOAOBOC 如果 O 在ABC 外部（如图 2） ，同样有OAB,OBC,OAC,所以 111 (),(),(), 222 OLOBOC OMOCOA ONOAOB 所以 .OAOBOCOLOMON 如果 O 在ABC 某个边上，不妨设在 AB 边上或延长线上（如图 3） ，则 11 (),(), 22 111 ()() 222 OLOBOC OMOCOA ONOAANOAABOAOBOAOBOA 所以 .OAOBOCOLOMON 综上所述，可知命题成立。 图 1 图 2 图 3 7设是平行四边形的中心，为任意一点，证明： MABCDO 4.OAOBOCODOM 证明： 11 (),() 22 ONOAOC OMOBOD 1 2() 2 OMOAOBOCOD 4.OAOBOCODOM 8 点是平面正多边形的中心，证明： O12n A AA 12n OAOAOA 0. 证明： 132 243 11 11 1212 12 , , , , 2()() (2)( nn n nn OAOAOA OAOAOA OAOAOA OAOAOA OAOAOAOAOAOA OAOAOA )0 2,20 n 12n OAOAOA 0. 9 在上题的条件下，设是任意一点，证明： P 12 . n PAPAPAnPO 证明： 0 21 n OAOAOA 0 21 POPAPOPAPOPA n 即 POnPAPAPA n 21 10 在平行四边形中, ABCD (1)设对角线求 ACBD a,b,;AB BC CD DA (2)设边的中点为且求 ,BC CD,M NAMAN p,q,.BC CD 解：（1） abDAabCDabBCabAB 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 （2） PqPPqMCBCPqAC3 2 1 22, 2 1 pqqqpACANCNCD 2 1 2 1 222 11 在中,设 ABC12 ,.ABAC ee (1)设是边的三等分点,将向量分解为的线性组合; ,D E BC ,AD AE 12 ,e e (2)设是的平分线(它与交与点),试将分解为的线性组合. ATABCTAT 12 ,e e 解：（2）且与的方向相同， 1 2 , BT e eTC BT TC , 1 2 e BTTC e 1 12 22112 1 12 2 1 e ee ee ee e AT eee e 12 在空间直角坐标系下，设点分别求这两点 ; , ,O i j k2, 3, 1 , ,PM a b c 关于坐标平面，坐标轴，坐标原点的各个对称点的坐标. 13 已知向量的坐标如下: , ,a b c (1)在标架下, 12 ;,O e e 0,1 ,1,0 ,1, 1 ;a =b =c = (2)在标架下, 123 ;,O e e e0, 1,0 ,1,2,3 ,2,0,1 ,a =b =c = 求向量的坐标. 23a+ bc 解：(1) 23 = 012103 11，a+ bc = 02312 03 ( 1)5,4 ， (2) 23 = 012 12,33 21，-1,，0,a+ bc 023 212 23 0,02 33 14,3,3 ，- 14 证明： 1 1221122 . lnnllnln PrjPrjPrjPrjaaaaaa 证明：根据向量射影的性质得： 1 1221 122lnnlllnn PrjPrjPrjPrjaaaaaa 1122 . llnln PrjPrjPrjaaa 习题习题 7-27-2 1.已知向量互相垂直，向量与的夹角都是且计算：, a bc, a b60 , 1,2,3,abc （1）（2）（3）（4） 2 ;+ab;+abab323;abbc 2 2.abc 解：（1） 22222 ()|145abaabbab （2） 22 1 43+ ababab （3） 2 3233926abbcabacbbc 2 3|cos609|cos602|6|cos60 277 8 18 22 a ba cbb c （4） 2 222 2abca + 4ab+ 4b -2ac -4bcc 222 | 1 0 163 129 11 a | +4 |a |b|cos60 + 4 |b| -2|a |c|cos60 -4 |b|c|cos60c| 2 证明：（1）向量垂直于向量 a ab cac b; （2）在平面上如果不平行于，且那么就有 1 m 2 m1,2 , ii a mb m i ;ab （3） 0.AB CDBC ADCA BD 证明：（1）()()()()()()0aab cac ba ab ca ac bac abab ac （2）由则1,2 ,a mb m ii i1,2 ,abmii01,2 ,abmii 垂直于所决定的平面，但又在所决定的平面ab1,2mii ab1,2mii 上，所以.ab 0 （3） 0.AB CDBC ADCA BD 3 计算下列各题： （1）已知等边三角形的边长为 1，且求 ABC ,BCCAAB abc ; a bb cc a （2）已知与垂直，且与垂直，求的夹角. 3ab75ab4ab72ab , a b 解：（1）| a bb cc a =|a |b|cos120 + |b|c|cos120c|a |cos120 1113 2222 （2）因为与垂直，且与垂直 3ab75ab4ab72ab 所以3542(ab) (7ab)= 0,(ab) (7ab)= 0, 即 22 22 716150(1) 73080(2) aa bb aa bb 得 2 4623a bb 所以代入（1）得而 2 2 b a b ,abab 不 1 cos( , ) 2 a b a b ab 4.用向量法证明下列各题: (1)证明三角形的余弦定理 222 2cos ;abcbcA (2)证明内接于半圆且以直径为一边的三角形为直角三角形. 证明：（1）设且 ,ABb ABc BCa |,|,|.aa bb cc 则,即,abc 222222 ()22|cosabcbcb cbcbcA 222 2cos ;abcbcA (2)平行四边形 ABCD 为菱形 22 =ABADABAD 对角线互相垂直。() ()00ABADABADACDB 5已知向量 (11 2), ,a ， (0 1 0), ,b ，求 (0,0,1)c （1） a b，a c，b c；（2）aa，ab，ac，bc 解：（1）,1 0 1 12 01a b 1 0 1 02 12a c 0 0 1 00 10b c (2)0,( 2,0,1),(1, 1,0),(1,0,0)aaabacbc 6已知向量 (1 0 0), ,a ， (2 2 1), ,b ，求 a b，ab及a与b的夹角余弦 解：，1 20 20 12a b (0, 1,2)a b 222 1 20 20 12 cos( , ) |3 100221 a b a b a b 7.已知试求：1,5,3,aba b （1）（2）（3）;ab 2 ; abab 2 22. abba 解：（1）， 3 cos( , ) |5 a b a b a b 4 sin( , ) 5 a b 4 | |sin( , )5 312 5 a ba ba b （2） 2 22 222 2 () ()676ababaa bb abab （3） 2 22222 2 (2 ) ()222abbaa babb aa bab 8求与向量 324aijk ， 2 bijk 都垂直的单位向量 解：a b 向量与两向量 324aijk ， 2 bijk 都垂直，则 ab ab 为所要求的单位 向量。 9如果非零向量满足那么是彼此垂1,2,3 i i r 123231312 ,rrr rrr rrr 123 ,r r r 直的单位向量，并且按上面的顺序构成右手系. 证明：由向量积的定义知彼此垂直，且构成右手系. 下面证明均为单位矢 123 ,r r r 123 ,r r r 量. 因为 1 r 2 r 3 r ， 2 r 3 r 1 r ,所以 | 1 r | 2 r | 3 r |, | 2 r | 3 r | 1 r |, 所以 | 1 r | 3 r |2| 1 r |.由于 | 1 r |0，从而 | 3 r |21，| 3 r |1.同理可证 | 2 r |1，| 1 r |1。从而都是单位矢量. 123 ,r r r 10.在直角坐标系内已知三点试求（1）三角形5,1, 1 ,0, 4,3 ,1, 3,7 ,ABC 的面积；（2）三角形的三条高线的长.ABCABC 解：=55 41,1,4 ,4,4, 8ABBCCA 不不不 222222 ( 5)( 5)466,(1)(1)43 2ABBC 222 44( 8)4 6CA (1) 1 2 ABC SABAC 554242424,24,0 448 ijk ABACij 故 222 1 =( 24)24012 2 2 ABC S (2)AB 边上的高为，BC 边上的高为 22 12 2248 =33 116633 ABC S AB ，CA 边上的高为。 22 12 2 =8 3 2 ABC S BC 22 12 2 =2 3 4 6 ABC S CA 习题习题 7-37-3 1.一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程.4,0,0AxOy 解：设在给定的坐标系下，动点为,所求的轨迹为, ,M x y z,C 则, ,M x y zC ( , , )M x y zCMAz 即。 222 (4)xyzz 22 (4)0xy 2.空间中选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： （1）到两定点距离之比等于定值的点的轨迹； （2）到两定点距离之和为常数的点的轨迹方程； （3）到两定点距离之差为常数的点的轨迹方程； （4）到一定点和一定平面之比等于常数的点的轨迹. 解：（1）取二定点的连线为 x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距 离之比的常数为 m，二定点的距离为 2a，则二定点的坐标为设动点( ,0,0),(,0,0),aa ，所求的轨迹为 C，则( , , )M x y z 222222 ( , , )()()M x y zCxayzmxayz 即 2222222 ()()xayzmxayz 2222222 (1)()2 (1)(1)0mxyzamxm a （2）建立坐标系如（1),但设两定点的距离为 2c，距离之和常数为 2a。设动点，( , , )M x y z 要求的轨迹为 C，则 222222 ( , , )()()2M x y zCxcyzxcyza 即 222222 ()2()xcyzaxcyz 两边平方且整理后，得： 2222222222 ()()acxa ya zaac 222 acbac 不 从而 22222222 b xa ya za b 即 22222222 b xa ya za b （3）建立如（2）的坐标系，设动点,所求轨迹方程为 C，( , , )M x y z 则 222222 ( , , )()()2M x y zCxcyzxcyza 解得,其中 222 222 1 xyz abc 222( )bcaca （4）取定平面为面，并让定点在 z 轴上，从而定点的坐标为,再令距离xoy(0,0, )c 之比为 m。设动点,所求的轨迹为 C，则 ( , , )M x y z 222 ( , , )M x y zCxyzm z 化简得： 22222 (1)20xymzczc 3.求下列各球面的方程： （1）球心半径 2, 1,3O4;R （2）球心在原点，且经过点； 3,2,-3 （3）一条直径的两个端点是与； 2, 3,54,1, 3 （4）通过原点以及 4,0,0 , 1,3,0 , 0,0, 4 . 解：（1） 222 21316;xxx （2）球面半径为 222 = 3 +2 +(-3)22R 222 22;xyz （2）球心坐标为球的半径为 243 153 3,1,1, 222 abc 222 1 =(42)(1 3)(53)21, 2 R 所以球面方程为 222 31121;xxx （3）设出球面方程的一般形式为，又经过四 222 2 xaxbxcR 个点，所以代入方程可得 2222 2222 2222 2222 (0)(0)(0) (4)(0)(0) (1)(3)(0) (0)(0)( 4) abcR abcR abcR abcR 解得，所以球面方程为 2 2,1,2,9abzR 222 229.xxx-b 4 求下列球面的球心和半径： （1） 222 682100;xyzxyz （2） 222 363636362472950.xyzxyz 解：（1）原方程可化为故中心在（3，-4，-1） ，半 222 (3)(4)(1)16xyz 径为 R=4. （2）原方程可化为故中心在，半径为 222 11 ()()(1)4 23 xyz 11 ( ,1) 23 R=2. 5 求下列旋转曲面的方程： （1）绕旋转； 1 211 xyz 1 112 xyz （2）空间曲线绕轴旋转. 2 22 , 1 zx xy z 解：（1）对母线上任一点，过该点的纬圆为： 1111 ( ,)Mx y z 1 222222 111 zz xyzxyz 又在母线上，所以： 1 M 111 1 133 xyz 消去 ，得到： 111 ,x y z 222 9() 10690xyzz 此为所求的旋转面方程。 （2）对母线上任一点，过的纬圆为： 1111 ( ,)Mx y z 1 M 1 222222 111 zz xyzxyz 又在母线上，所以 1 M 2 11 22 11 1 zx xy 消去，得到： 111 ,x y z 22 1xy 2 11 101zzxz 即旋转面的方程为：。 22 1(01)xyz 6.已知柱面的准线为且（1）母线平行于轴； 222 13225, 20, xyz xyz x （2）母线平行于直线试求这些柱面的方程. ,xy zc 解：（1）从方程 02 25)2() 3() 1( 222 zyx zyx 中消去，得到：x25)2()3()3( 222 zyyz 即：0 2 3 56 22 zyyzzy 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：),( 0000 zyxM 0 M cz yx zz tyy txx zz tyy txx 0 0 0 0 0 0 而在准线上，所以 0 M 022 25)2() 3() 1( 222 tzyx ztytx 上式中消去 后得到：t02688823 222 zyxxyzyx 此即为要求的柱面方程。 7.求过三条平行直线与的圆柱面的方程. ,11xyz xyz 112xyz 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为 x + y + z = 0 ：它与已知直线的交点为 这三点所定的在平面x + y + z = 0 上的圆的圆心为 11 4 (0.0.0),( 1,0,1),( , ), 23 3 ,圆的方程为： 0 211 13 (,) 1515 15 M 222 2111398 ()()() 15151575 0 xyz xyz 此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点，且方向为1, 1, 1的直 1111 ( ,)Mx y z 线方程为： 11 11 11 xxtxxt yytyyt zztzzt 将此式代入准线方程，并消去 t 得到： 222 5()211130xyzxyyzzxxyz 此即为所求的圆柱面的方程。 8 已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为面与面，且过点和 xOz yOz 1,2,6 ，求这个椭圆抛物面的方程. 1 1,1 3 ， 解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为： z b y a x 2 2 2 2 2 令确定与ab 和均在该曲面上。)6 , 2 , 1 () 1 , 1, 3 1 ( 有： 2 1 9 1 12 41 22 22 ba ba 从而 5 61 , 5 361 22 ba 所以要求的椭圆抛物面的方程为：即：。z yx 2 5 6 5 36 22 zyx5318 22 9.试