江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数学试题含答案

江苏省南通、扬州、泰州 2017 届高三第三次模拟考试 数学试题 第 卷（共 70 分） 一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上） z a b i (,i 为虚数单位），若 (4 3z i)i ，则 值是 | 0 , | 2U x x A x x ，则 3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的 2 首，则甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放 的概率是 4. 如图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 一带一路 ” 政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 500 的样本，其中大一年级抽取 200 人，大二年级抽取 100 人 000人，则该校学生总人数是 n 项和为公差52, 10，则10 中， 3, 4C，若 的面积为 33，则 长是 ，若双曲线 2 22 10x 经过抛物线 2 8的焦点，则该双曲线的离心率是 9. 已知圆锥的侧面展开图是半 径为 3 ，圆心角为 23的扇形，则这个圆锥的高为 y x b为曲线 xy e x的一条切线，则实数 b 的值是 ，则 4最小值是 直角梯形 ， / / , 9 0 , 3 , 2A B D C A B C A B B C D C ，若 ,C 和 的动点，则 F 的取值范围是 13. 在平面直角坐标系 ，已知点 0, 2A ，点 1, 1 ,为圆 222上一动点，则 3,3,x x x x a 若函数 2g x f x a x恰有 2 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 第 卷（共 90 分） 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分 明过程或演算步骤 .） 15. 已知函数 s i n 0 , 03f x A x A 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，且经过点 3,32. （ 1）求函数 （ 2）若角 满足 3 1 , 0 ,2 ，求角 值 . 16. 如图，在四棱锥 P 中，底面 矩形，平面 平面, , ,A B C D A P A D M N 分别为棱 ,C 的中点 （ 1） /面 （ 2） 平面 17. 在平面直角坐标系 ，已知椭圆 22 10xy 的左焦点为 1,0F ，且经过点 31,2. （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）已知椭圆的弦 点 F ，且与 x 轴不垂直 为 x 轴上的一点， B ，求 18. 如图，半圆 某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径 百米 地管理部门从道路 l 上选取一点 C ，修建参观线路 C D E F ,且,E 均与半圆相切，四边形 等腰梯形，设 DE t 百米，记修建每 1 百米参观线路的费用为 测算 15 , 03118 , 23 . （ 1）用 t 表示线段 长； （ 2）求修建参观线路的最低费用 . 19. 已知 d 的等差数列， q 的等比数列， 1q ，正整数组 ,E m p r m p r . （ 1）若1 2 2 3 3 1a b a b a b ，求 q 的值； （ 2）若数组 E 中的三个数构成公差大于 1 的等差数列，且m p p r r ma b a b a b ，求 （ 3）若 11 ,02nn m m p p r rb a b a b a b ，试写出满足条件的一个数组 E 和对应的 通项公式注：本小问不必写出解答过程 ) 20. 已知函数 2 c o s (f x a x x a R ），记 （ 1） 证明：当 12a时， 上的单调函数； （ 2）若 x 处取得极小值，求 a 的取值范围； （ 3）设函数 ，区间 , ,m 上是单调函数，则称 上广义单调 f x x x在 0, 上广义单调 . 数学 (附加题 ) 21. 【选做题】 本题包括 A、 B、 C、四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 按作答的前两题评分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . A. 选修 4 何证明选讲 如图，已知 圆 O 的一条弦，点 P 为弧 中点，过点 P 任作两条弦 ,D 分别交 点 ,求 证： P E P C P F P D . B. 选修 4阵与变换 已知矩阵 11 ，点 1, 1 在 M 对应的变换作用下得到点 1, 5 ，求矩阵 M 的特征值 . C. 选修 4标系与参数方程 在坐标系中，圆 C 的圆心在极轴上，且过极点和点 3 2,4，求圆 C 的极坐标方程 . D. 选修 4修 4等式选讲 已知 , , ,a b c d 是正实数，且 1，求证： 5 5 5 5a b c d a b b d . 【必做题】 第 22、 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 22. 如图， 在四棱锥 S 中， 平面 四边形 直角梯形，9 0 , 2 , 1A D C D A B S D A D A B D C . （ 1）求二面角 S 的余弦值； （ 2）设 P 是棱 一点， E 是 中点，若 平面 成角的正弦值为 2 2613，求线段 长 . 23. 已知函数 0 0 , 0c x df x a a c b da x b ，设 1导数， n N . （ 1）求 12,f x f x； （ 2）猜想 证明你的结论 . 江苏省南通、扬州、泰州 2017 届高三第三次模拟考试数学 试题参考答案 一、填空题 : 1 12 2. | 0 2 7. 13 8. 12： 4,6 14. 3,22二、解答题 : 15. 解： (1)由条件，周期 2T ，即 2 2 ，所以 1 ，即 s i x A x ,32，所以 23s i n , 1 , s i 3A A f x x . (2)由 312 ，得 s i n 3 c o s 13 3 2 ，即 s i n 3 c o s 1 , 2 s i n 13 3 3 3 ，即 1 0 , , 6 或 56 . 16. 解： (1)因为 ,C 的中点，所以 /C ，又因为底面 矩形，所以 / / , / /A B D C M N A B B 平面 ,N 平面 所以 /面 (2)因为 ,D M 为 中点，所以 D 平面 又平面 面 ,A B C D A D C D A D C D 平面 所以 平面 又平面 所以 M D 平面 ,P C D C D P D D A M 平面 17. 解： (1)由题意，知 2222332 1 1 1 1 4 , 222 21 , , 3c a b c b ，所以椭圆的标准方程为 22143. (2)设直线 方程为 1y k x.若 0k 时，2 4 , 1 , 4 a F D F O . 若 0k 时， 1 1 2 2, , , ,A x y B x y A 00,M x y，代入椭圆方程，整理得 2 2 2 23 4 8 4 1 2 0k x k x k ，所以 2 2 2 2 21 2 0 0 02 2 2 24 6 1 4 6 1 4 3, , , 13 4 3 4 3 4 3 4k k k k k kx x x y k xk k k k ， 所以 垂直平分线方程为 2223 1 43 4 3 4k k A ，所以点 B 的垂直平分线与 x 轴的交点，所以2 2 22 2 233, 0 , 13 4 3 4 3 4k k Fk k k ，因为椭圆的左准线的方程为 4x ，离心率为 12，由1142 ，得 11 42A F x，同理 22 1 2 0 21 1 1 2 1 24 , 4 42 2 3 4 x A B A F B F x x x k ，所以 4，综上，得 . 18. 解：设 半圆相切于点 Q ，则由四边形 等腰梯形知， ,O Q l D Q Q E，以 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 (1)设 切于 G ，连结 点 E 作 B ，垂足为 H E H O G O F G E F H G O F H E F ，所以1, 2R t E H F R t O G F H F F G E F t . 由 222 111 1 , 0 224 H F E F t E F . (2) 设修建该参观线路的费用为 y 万元 . 当1 1 3 20 , 5 2 53 4 2tt y t ，由232 5 02y t ，则 y 在 10,3 上单调递减，所以当 13t时， y 取得最小值为 当 1 23 t时， 21 1 1 6 3 28 2 1 242ty t tt t t t ，所以 22 3 31 6 2 4 1 3 3 1 1 2 t t ty t t t ， 21 2 , 3 3 1 03 t t t ，且当 1,13t 时， 0y ；当 1, 2t 时， 0y ，所以 ,13上单调递减，在 1,2 上单调递增 t 时， y 取得最小值为 由 知， y 取得最小值为 答：（ 1） 长为 114 t百米 ；（ 2）修建该参观线路的最低费用为 元 . 19. 解： (1)由条件，知 21 1 1 121 1 1 12a b q a d b qa d b q a d b ，即 21 221, 2 1 01d b q q b q ， 11, 2 . (2)由m p p ra b a b ，即p m p ra a b b ，所以 p m r m d b q q ，同理可得， 1p d b q ，因为 ,等差数列，所以 12p m r p r m ，则有 22 1 0 ， 1, 1 ，故 12t ，即 1 , 1 02 .记 ，则 为奇函数，又公差大于 1 ，所以 113113,22q ，即1312q，当 3 时， q 取最大值为 1312. (3)满足题意的数组 , 2 , 3E m m m ，此时通项公式为11 3 3 1,2 8 8n m m N . 例如： 3 1 11 , 3 , 4 ,88 nE a n. 20. 解： (1)当 12a时， 21 c o s , s i x x x f x x x ，即 s i n , 1 c o s 0g x x x g x x ， 在 R 上单调递增 . (2) 2 s i n , 2 c o sg x f x a x x g x a x . 当 12a时， 1 c o s 0g x x ，所以函数 上单调递增 x ，则 0 0f x f；若 0x ，则 0 0f x f，所以函数 0, ，单调减区间是 ,0 ，所以 x 处取得极小值，符合题意 .当 12a 时， 1 c o s 0g x x ，所以函数 上单调递减 x ，则 0 0f x f；若 0x ，则 0 0f x f，所以 0, ，单调增区间是 ,0 ，所以 x 处取得极大值，不符合题意 . 当 1122a 时， 0 0,x ，使得0即 00但当 00,， ，即 0，所以函数 00,x 上单调递减，所以 0 0f x f，即函数 00,符合题意 a 的取值范围 是 1,2. （ 3）记 2 c o s l n 0h x a x x x x x . 若 0a ，注意到 ，则 1122，即 ， 当 21 4 12 时， 2 s i n 1 l n 2 2 2h x a x x x a x x 1 4 1 1 4 12022 . 所以 21 4 12，函数 ,m 上单调递增 .若 0a ，当 1x 时， 2 s i n 1 l n s i n 1 l n 0h x a x x x x x ，所以 1m，函数 ,m 上单调递减，综上所述，函数 f x x x在区间 0, 上广义单调 . 数学 (附加题 ) 21. A. 解： 连结 , , ,P A P B C D B C，因为 ，又点 P 为弧 中点，所以,P A B P B A P C B P B A ，又 D C B D ，所以P F E P B A D P B P C B D C B P C D ， 所以 , , ,E F D C 四点共圆 E P C P F P D . B. 解：由题意， 1 1 11 1 5 ，即 1115 ，解得 2, 4，所以矩阵1214M 的特征多项式为 11f 22 564 ，令 0f ，得 122, 3，所以 M 的特征值为 2 和 3 . C. 解：因为圆心 C 在极轴上且过极点，所以设圆 C 极坐标方程为 ，又因为点3 2, 4在圆 C 上，所以 3 2 co s 4a ，解得 6a ，所以圆 C 极坐标方程为6 . D. 解：因为 , , ,a b c d 是正实数，且 55 41 , 4 4a b c d a b c d a b c d a ， 同理 5 4b b c d b ， 5 4c b c d c ， 5 4d b c d d ， 将式相加并整理，即得 5 5 5 5d b c d a b c d . 22. 解： (1)以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 D ，则 0 , 0 , 0 , 2 , 2 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 2D B C S，所以 2 , 2 , 2 , 0 , 1 , 2 , 0 , 0 , 2S B S C D S ，设平面 法向量为 1 ,n x y z ，由110 , 0n S B n S C ，得 2 2 2 0x y z 且 20，取 1z ，得 1, 2 ，所以 1 1,2,1n 是平面 一个法向量 D 平面 取平面 一个法向 量 2 0, 0,1n ，设二面角 S 的大小为 ，所以121216