多元函数微分法及其应用_期末复习题_高等数学下册_(上海电机学院)

第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 1 - 第八章 偏导数与全微分 一 、 选择 题 1.若 u=u(x, y)是可微函数，且 ,1),(2 则 2 A. 21B. 21C. D. 1 2622 D A. 在点 (3)处取极大值 B. 在点 (3)处取极小值 C. 在点 (3, 取极大值 D. 在点 (3, 取极小值 ,f x y 在点 00, 0 0 0 0, , ,x y f x f 在该点可微的 B A. 充分而非必要条件 件 4. 设 u= 2x +2 2y +3 2z +(0, 0, 0)指向点 A(1, 1, 1)方向的导数 D A. 3355. 函数 33 B A. 在点 (0, 0)处取极大值 B. 在点 (1, 1)处取极小值 C. 在点 (0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点 (0, 0), (1, 1)处都取极小值 ,f x y 在点 00, ,f x y 在该点连续的 A A. 充分而非必要条件 7. 已知 )10(0s 则 B A. C. D. 8. 函数050 （ x0， y0） D A. 在点 (2, 5)处取极大值 B. 在点 (2, 5)处取极小值 5, 2)处取极大值 D. 在点 (5, 2)处取极小值 ,f x y 在点 00, ,f x y 在点 00,A A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 2 - 10. 曲线 x=t, y= 2t , z= 3t 所有切线中与平面 x+2y+z=4 平行的切线有 B A. 1 条 C. 3 条 11设22( , )x y ，则 ( , ) B A. 42 B. 2244. 2244D. 224412 为使二元函数 ( , ) x 沿某一特殊路径趋向 (0,0) 的极限为 2，这条路线应选择为 B A. 4x yB. 3x yC. 2x yD. 23x y13设函数 ( , )z f x y 满足 22 2，且 ( ,1) 2f x x， ( ,1) 1yf x x ，则 ( , )f x y B A. 2 ( 1) 2y x y B. 2 ( 1) 2y x y C. 2 ( 1) 2y x y D. 2 ( 1) 2y x y 14设 ( , ) 3 2f x y x y，则 ( , ( , )f xy f x y C A. 3 4 4xy x y B. 2xy x y C. 3 6 4xy x y D. 3 4 6xy x y 15为使二元函数 222( , )x 在全平面内连续，则它在 (0,0) 处应被补充定义为 B D. 16已知函数 22( , )f x y x y x y ，则 ( , ) ( , )f x y f x C B. 22 C. D. 17若 22() ( 0)x ，则 ()B A. 2 1x B. 2 1x C. 2 1 D. 2 118若 ，则在点 D 处有 A.(0,1) B.(,1)e C.(1, )e D. ( , )第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 3 - 19设 2，则下列结论正确的是 A A. 220y y x B. 220y y x C. 220y y x , 0( , ) 11s i n s i n , 0x y x y x ，则极限00 , )xy f x y（ C） . (A) 等于 1 (B) 等于 2 (C) 等于 0 (D) 不存在 z 在点 (0,0) ( D ). (A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 2z x y在原点 (0,0) 处（ A） . (A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微 (C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微 23设 ()u f r ，而 2 2 2r x y z ， ()有二阶连续导数，则 2222 2 2y z （ B） . (A) 1( ) ( )f r f B) 2( ) ( )f r f C) 211( ) ( )f r f (D) 212( ) ( )f r f 24函数 ( , )z f x y 在点00( , ) D） . (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25函数 221z x y 的极大值点是 （ D ） . (A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0) 26设 ( , ) a r c s i n yf x 则 (2,1) （ B ） . (A) 14(B) 14(C) 12(D) 1227极限 24200 （ B ） . 第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 4 - (A) 等于 0 (B) 不存在 (C) 等于 12(D) 存在且不等于 0 及 1228 ( , )z f x y 若在点0 0 0( , )P x （ B ） . (A) ( , )f x y 在点0 (B) 0( , )z f x y在点0 (C) 00|z d x d (D) A,B,C 都不对 29. 设函数 ，则 （ A ） (A) yy (B) yy (C) yy (D) yy 30. 已知 , C ） （ A） （ B） （ C） （ D） 31函数 z= 22 的定义域是（ D ） （ A.） D=(x,y)|x2+ （ B.） D=(x,y)|x2+1 （ C.） D=(x,y)|x2+ （ D.） D=(x,y)|x2+1 32设22),( ，则下列式中正确的是（ C ）； )A( ),(, ； )B( ),(),( ； )C( ),(),( ； )D( ),(),( 33设 e ，则 D ）； )A( e y ； )B( e e ； )C( e y ； )D( e y 34已知 22),( ，则 C ）； 第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 5 - )A( 2 ； )B( ； )C( 2 )D( 35. 设 2 32 ，则 B ） （ A） 6 （ B） 3 （ C） （ D） 2. 0 , , 则 （ B ） （ A） x 00000 , （ B） x 0000 , （ C） x 00000 , （ D） x 00 ,37. 设由方程 0 定的隐函数 , （ B ） （ A） （ B） 1C） （ D） 38. 二次函数 11)4222 D ） A. 1 22 4 ； B. 1 22 4； C. 1 22 4 ； D. 1 22 4。 39. ),( 点 ),( 的偏导数 ),( ,( ,( 微分的（ B ） 40. 抛物面 22 上点 032 则点 C ） A. )0,21,1(； B. )0,21,1(； C. )45,21,1(； D. )45,21,1(41. 设 2 ，则 )2,1(（ B ） A. 1e ； B. 12e ； C. 12 e ； D. 12 e 。 42. 设二元函数 23 3 23 3 9z x y x 的极小值点是（ A ） A.（ 1， 0）； B.（ 1， 2）； C.（ 0）； D.（ 2） 第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 6 - 43. 设 , 则 （ B ） （ A） 0 （ B） 21 （ C） （ D） 1 44. 设 是由方程 ) 决定的隐函数，则 D ） （ A） （ B） C） D） 45. 设 2 , 则( B ) （ A） 1e （ B） 12e （ C） 12 e （ D） 12 e 二 、 填空 题 1. 1(2. 函数 u= 222 )在点 M(1, 2, 梯度 921, 2, 3. . 已知 )( 是可微函数，则 dz ()( 5. 240,0(),( 4 6设 2 2 2r x y z ，则 2 2 2 2x i y j z k 7曲线 2211z x 在点 (1,1, 3) 处的切线与 Y 轴的正向夹角是 38设 2 2 2l n ( )r x y z ，则 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2x y zi j kx y z x y z x y z 9函数33 的间断点是 0 10函数 u 在点 (1,1,1) 沿方向 (2,1, 3) 的方向导数是 0 第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 7 - 11. 函数 的定义域是 ( , , ) 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0x y z x y z x y z x y z x y z 或 或 或 2 241l n a r c s i y x y的定义域是 2214 13函数 223 2 4 6u x y y x z 在原点沿方向 2,3,1l 的方向导数为 z x y的定义域是 ( , ) | 0 , 1 0 , 0 1 x y x y x y 或 xe xy z 在点 (0,1,2) 处的法线方程为 122 0 1x y z16极限 0024li 14 17若 ( , ) 3 2f x y x y，则 , ( , )f xy f x y 6 4 3x y 18设有函数 ( , , ) yu x y z x z ，则(1,2,2)|4dx 21z x y 的极大值点是 (0,0) 20设函数 2 3 22, , 0 , ,u x ly z 则方 向导数 1,1,12 21设函数 22, zz f x y yx y 可 微 则122f22曲面 222z 上一点（ 1， 3）处的切平面方程为 4 2 3 0x y z 23. 224 在点 P（ 0,1,3）处的切平面方程 2y+z=5 ，法线方程 130 2 1x y z 24、设 2 ，则全微分 x d 222 25、设 z= 222 ),(121 则= 222 )(226、已知 y ,(),(,),( 2222 第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 8 - 27. = 1428. 已知 xz 29. 已知 ,则 c o sc o s 三 、 计算与证明 1. 设 z=f (x+y, 二阶偏导数连续 , 求2 解：= 21 2 = 2221211 )( fx y 1043 22 交线上与 面距离最短的点 解：设 (x, y, z)是交线上任一点，由已知，距离函数 f (x, y, z)=z 又设 )1()11043(),( 22 令：)5(01)4(011043)3(0102)2(024)1(02322(1) 与 (2)相比，得： 代入 (5), 得：54x；相应的有：53)635,53,54(， )685,53,54( 其中：点 )635,53,54(到 面的距离是635点 )685,53,54( 到 面的距离是685比较得：所求点是 )635,53,54(第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 9 - yx 不存在 证明：当 (x, y)沿着曲线 2y =x 趋于 (0, 0)时， 42200yx 21 x, y)沿着曲线 2 2y =x 趋于 (0, 0)时， 42200yx 5242 限42200yx 不存在 4.设 z= , 求2 解：= 1 2 = 12112212 fx y 5. 求曲线 x= y=1z=42在点 M( 12, 1, 22 )处的切线及法平面方程 解：因为 12( 12, 1, 22 )所对应的参数为 t=2点 M 的切向量 T =1, 1, 2 故点 M 处的切线方程为22211121 M 处法平面方程为 : x+y+ 2 z= 426. 求曲面 3 z 在点 (2, 1, 0)处的切平面方程及法线方程 解：令 F(x, y, z)= 3 z 则 1, 第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 10 - 故 0)0,1,2(,2)0,1,2(,1)0,1,2( 因此 :点 (2, 1, 0)处的切平面方程为 (0,即： x+2 点 (2, 1, 0)处的法线方程为0 21127. 已知 z=x+y),求全微分 ： )c ， )c o s ()s i n ( 故： x+y)x+y)+x+y) x+y), x+y)+x+y) 8. 设直线030:平面 上，而平面 与曲面 22 相切于点 M(1, 5), 求 a,解：点 n=2x, 2y, =2,1 点 (4(y+2)-(0 即 : 2, 此即平面 之方程 由直线 l 可得 y= z=x+b) 代入 得 : (5+a)x+4b+ 解得 : a= b= z=f (u, v), 则 u, v 具有二阶连续偏导数，其中 u=3x+2y, v= 求2 解：= 21 13 2 = 2212222311 1)32(6 10. 662 4 5( , ) ( 0 , 0 )l i m ()是否存在？如果存在，等于多少？如果不存在，说明理由。 解：不存在。 662 4 500li m 0() 。 26 6 92 4 5 2 500,l i m l i m( ) ( 2 )xx y xx y xx y x 。 11.求 u 关于 x,y,z 的一阶偏导数： 解： 1 。 1 zy x l n l x y x 第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 11 - 12、说明函数在何时取得极值，并求出该极值： 2( 1)z x y 解：函数定义域 2R 。因为 0z ，故 10 时极小；无极大。 解方程组2 ( 1 ) 02 ( 1 ) 0z ，可知函数驻点分布在直线 10 上。对于此直线上的点都有 0z 。但是 0z 恒成立。所以函数在直线 10 上的各点取得极小值 0z 。 , ) ( 0 , 0 )l i m ( ) 解：2222( , ) ( 0 , 0 )l i m ( ) =2 2 2 2l n ( )( , ) ( 0 , 0 )l i m x y x e 而 22 2 2 2 2 2 2 21l n ( ) l n ( )4x y x y x y x y 2 2 2 2 2, ( 0 , 0 )1l i m ( ) l n ( ) 04xy x y x y ，。故原式 = 0 1e 14.求 u 的一阶全微分：22zu 解：2 2 22 ()()zd u x d x y d 22 15、求函数2 2 2y z 在点 M（ 1， 2， 曲线 2422 在此点的切线方向上的方向导数。 解： 2232 2 2 2()u y zx x y z ，32 2 22()u x yy x y z ， 32 2 22()u x zz x y z 。 在点（ 1， 2， 们的值分别是 8 2 2,27 27 27曲线在该点切线方向余弦为 1 4 8,9 9 9。 方向导数为 8 1 2 4 2 8 1 6( ) ( )2 7 9 2 7 9 2 7 9 2 4 3 第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 12 - 16.( , ) ( 0 , )s )y ：( , ) ( 0 , )s )y ( , ) ( 0 , )s i n ( )l i mx y a z 关于 x 和 y 的一阶偏导数： ()x y zx y z e 。 解：等式两端对 x 求偏导数，得 ()1 ( 1 )x y 故 1。利用对称性可 得 122,1x ( 0, 0)解：设 22( , ) ( 1 )x y x ，解方程组 1201201 可得 2 2 2 22 2 2 2 2 22 ,a b a b a b a b a b 。 由于当 x 或 y 时都有 z 。故函数只能在有限处取得极小值（最小）值：当 222 2 2 2,a b a b a b时，函数取得极小（最小）值 2222 320011l i m s i n ( ) 解：原式 220011 s i n ( )l i y x y 222200200(1 1 ) (1 1 ) s i n ( )l i m ( 2 )(1 1 )1 s i n ( )l i m (1 )111( 2 ) y x y y x 分分分第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 13 - 2( , )z f x y x y ，求 2. 解：1 2 1 2 2 2 , ( 2 )z f x f y x f y 分21 1 1 2 2 2 1 2 22 ( 2 ) ( 2 ) z x f y f x f y f y f 221 1 1 2 2 2 1 2 24 2 2 ( 3 )x y f x f f y f x y f 分. 21. 求抛物面 22z x y到平面 10x y z 的最近距离。 解：设 ( , , )M x y z 在 22z x y上， M 到 10x y z 的距离为 d ，则 | 1 | (1 ) ,3x y 分 22 ( 1 ) y 记 2 2 2( , , , ) ( 1 ) ( )L x y z x y z x y z ， 令222 ( 1 ) 2 02 ( 1 ) 2 0( 2 )2 ( 1 ) 00x y z xL x y z yL x y zL x y z 分 解得： 1122, ( 2 )x y z 分. 所以 1 1 1 1 1| 1 | ( 2 ) 23 2 3d 2z x y上与平面 2 4 0x y z 平行的切平面方程。 解：曲面 22z x y的切平面的法向量为 2 , 2 , 1 ( 2 )1n 分， 平面 2 4 0x y z 的法向量为 2 2 , 4 , 1 .2z x y切平面与平面 2 4 0x y z 平行，必有 /12 第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 14 - 2 2 1 ( 2 ) 1 分解之得， 1, 2, 从而 5 (2 )z 分 . 因此为 2 ( 1 ) 4 ( 2 ) ( 5 ) 0 ,x y z 23 函数 (1,1)|解：因为 2 2 2 2( 1 ,1 ) ( 1 ,1 )2( 1 ,1 )11( ) ( 2 ) ,21z y x x 分 2 22( 1 ,1 ) ( 1 ,1 )2( 1 ,1 )1 1 1 ( 2 ) ,21x x 分 所以 ( 1 ,1 ) 11| ( 1 ) z d x d y 分24设函数 ( , )z z x y 由方程 2 2 2 ()yx y z x 确定，求 。 解： (方法一 ) 令 2 2 2( , , ) ( ) x y z x y z x 则 2 ( ) ( ) , 2 ( ) , 2 ( 2 )x y zy y y yF x f f F y f F zx x x x 分， 因此 ( ) ( ) 2 ( 3 )2y yf f x x z 分 . (方法二 ) 方程 2 2 2 ()yx y z x 两边对 x 求导，并注意 z 是 , 22 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,z y y y y y yx z f x f f fx x x x x x x 解得 ( ) ( ) 22y y yf f xz x x . 25 如何 将已知正数 a 分成两个正数 ,得 中 p 、 q 是已知的正第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 15 - 数。 解：由拉格朗日乘数法，令 ( , , ) ( ) ( 2 ) x y x y x y a 分 由1100 ( 2 )0p x yL q x yL x y a 分 解得驻点 ( , ) ( 2 )a p a qp q p q 分. 又由题意当点 ( , )于边界 0x 或 0y 时，目标函数 f 趋于零，所以连续函数 f 在驻点 取最大值。因此当 ,a p a q p q时， 26设 3( , ) ( , ) , , yz f x y g u v u x v x ，其中 , 解： ( 2 )x u vz u vf g gx x x 分 2 1 3 ( 3 ) u vf x g y x g 分 27求曲线 22 , c o s ( ) , 2 l nx t y t z t 在对应于 2t 点处的切线及法平面方程 。 解：当 2t 时，对应点的坐标为 (8,1, 2) ；又参数方程的切线方向向量为： 22 2| 4 , s i n ( ) , | 8 , 0 , 1 ( 2 )t n 分， 故切线方程为 8 1 2 l n 2 ( 2 )8 0 1x y z 分， 或 8 8 ( 2 l n 2 )10 . 而法平面方程为 8 ( 8 ) ( 2 l n 2 ) 0 ( 2 ) 分. 3u xy z 在点0(1,1,1) 解： u 在点0(1,1,1)l 的方向导数为： 002 3 3 2 2( c o s 2 c o s 3 c o s ) |c o s 2 c o s 3 c o s ( 2 ) y z x y z x y 分令 0 c o s , c o s , c o s , 1 , 2 , 3 , 八章 偏导数与全微分 参考答案 - 16 - 则00 0 0| | | | c o s , g l g l g 的夹角。 要使0取最大 值，则 ，即 0 ，也就是 0向时，0取最大值，即：当 1 1, 2 , 3140取最大值 | | 1 4 ( 3 ) .g 分 同理，要使0取最小值，则 - ，即 ，也就是 0向时，0取最小值，即：当 1 1, 2 , 3140l 时，0取最小值 | | 1 4 ( 3 ) .g 分 29. 设函数 )e,( 2 ，求， 解：设 ， e ，那么 ， 2 ， e ， e 故 =2+=2+设 是由 06333 确定的隐函数，求它在点（ 1， 2， 的偏导数 及 的值。 0 00 02022231, = ( 1 , 2 , 1 )353 1 13(3)53)(M z y x x x 分分31. 斜边长为 m 的所有直角三角形中，求有最大周长的直 角三角形直角边的边长 解：设两条直角边的边长为 x， y，周长为 S，则 （ 1 分） 并满足 222 由 第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 17 - )(),( 222 （ 2 分） 令 0021021222 （ 3 分） 解得 因为所有直角三角形的直角顶点位于直径为 m 的半圆周上，最小周长不存在，从而实际问题只有最大值，此时 有最大周长的直角三角形的边长均是 22 m。 32. 设 u ，而 , ,求 , = 1co ss = u （ 3分） = 1 = u 33. 设 ,22 可微，求 。 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 0 ( 2 )z z z zx f y f y xx y x y 分 分 分34求曲面 3 z 在点 0,1,2 处的切平面与法线 的方程 . 3, z 则 10,1,2 20,1,2 00,1,2 3分） 切平面方程为 000122 042 2分） 第八章 偏导数与全微分 参考答案 - 18 - 法线方程为02112 2分） 2分成三个正数 , 之和，使得 3 为最大 .（ 8分） 解：令 )12(),( 23 ，则 120020323322（ 3分） 解得唯一驻点 )2,4,6( （ 4分），故最大值为 1 2246 23m a x 知 z= 2, 。 解：22222222 )(, 22 ,z f x ,求 2,x y 122z ， 21 1 1 2 2 1 2 2 22 2 2z x y y x y xf f f f 38. 已知 z= 2, 。 解： 2 2 22 2 2 2 2( 3 ) , ( 3 )()z y z y xx x y x y x y 分 分39、设