2017年中考数学备考《开放探究问题》专题复习(含答案解析)

2017年中考备考专题复习：开放探究问题 一、单选题（共 3题；共 6分） 1、（ 2016泰安）如图，四个实数 m， n， p， q 在数轴上对应的点分别为 M， N， P， Q，若 n+q=0，则 m， n， p， q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ） A、 p B、 q C、 m D、 n 2、（ 2016贺州） n 是整数，式子 1（ 1） n（ 1）计算的结果（ ） A、是 0 B、总是奇数 C、总是偶数 D、可能是奇数也可能是偶数 3、（ 2016绍兴）抛物线 y=x2+bx+c（其中 b， c 是常数）过点 A（ 2， 6），且抛物线的对称轴与线段 y=0（ 1x3）有交点，则 c 的值不可能是（ ） A、 4 B、 6 C、 8 D、 10 二、填空题（共 2题；共 2分） 4、（ 2016济宁）如图， ， 足分别为 D、 E， 于点 H，请你添加一个适当的条件： _，使 5、（ 2016娄底）如图，已知 A= D，要使 需添加一个条件，你添加的条件是 _（只需写一个条件，不添加辅助线和字母） 三、综合 题（共 13题；共 164分） 6、（ 2016淄博）如图，正方形 对角线相交于点 O，点 M， N 分别是边 的动点（不与点 B， C， D 重合）， 别交 点 E， F，且 终保持 45不变 (1)求证： = ； (2)求证： (3)请探索：在 旋转过程中，当 于多少度时， 出你的探索结论，并加以证明 7、（ 2016南充）已知正方形 边长为 1，点 P 为正方形内一动点，若点 M 在 ，且满足 长 点 N，连结 (1)如图一，若点 M 在线段 ，求证： N； (2) 如图二，在点 P 运动过程中，满足 点 M 在 延长线上时， N 是否成立？（不需说明理由） 是否存在满足条件的点 P，使得 ？请说明理由 第 3 页 共 32 页 第 4 页 共 32 页 8、（ 2016临沂）如图 1，在正方形 ，点 E， F 分别是边 的点，且 F连接 点 E 作 E，连接 (1)请判断： 数 量关系是 _，位置关系是 _； (2)如图 2，若点 E， F 分别是边 长线上的点，其它条件不变，（ 1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； (3)如图 3，若点 E， F 分别是边 长线上的点，其它条件不变，（ 1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断 9、（ 2016内江）问题引入： (1)如图 ，在 ，点 O 是 分线的交点，若 A=，则 _（用 表示）；如图 ， A=，则 _（用表示）拓展研究： (2)如图 ， A=，请猜想 _（用 表示），并说明理由 类比研究： (3)别是 外角 n 等分线，它们交于点 O， A=，请猜想 _ 10、（ 2016南宁）已知四边形 菱形， ， 0， 两边分别与射线 C 相交于点 E， F，且 0 (1)如图 1，当点 E 是线段 中点时，直接写出线段 间的数量关系； (2)如图 2，当点 E 是线段 任意一点时（点 E 不与 B、 C 重合），求证： F； (3)如图 3，当点 E 在线段 延长线上，且 5时，求点 F 到 距离 11、（ 2016眉山）如图， 为等腰直角三角形，且 0， ，点 P 为线段 长线上一点，连接 直角边向下 作等腰直角 段 交于点 F (1)求证： ； (2)连接 你判断 什么位置关系？并说明理由； (3)设 PE=x， 面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式 12、（ 2016东营）如图 1， 等腰直角三角形， 0， C，四边形 正方形，点 B、 C 分别在边 ，此时 F， 立 (1)当 点 A 逆时针旋转 （ 0 90）时，如图 2， F 成立吗？若成立，请证明，若不成立 ，请说明理由； (2)当 点 A 逆时针旋转 45时，如图 3，延长 点 H 求证： 当 ， 时，求线段 长 13、（ 2016包头）如图，已知一个直角三角形纸片 中 0， ， ， E、 C、 上点，连接 (1)图 ，若将纸片 一角沿 叠，折叠后点 A 落在 上的点 D 处，且使 S 四边形S ， 求 长； (2)如图 ，若将纸片 一角沿 叠，折 叠后点 A 落在 上的点 M 处，且使 试判断四边形 形状，并证明你的结论； 求 长； (3)如图 ，若 延长线与 延长线交于点 N， ， ，求 的值 14、（ 2016贵港）如图 1，在正方形 作 5， 点 E， 点 F，连接 点 A 作 足为 H (1)如图 2，将 点 A 顺时针旋转 90得到 求证： 若 ， ，求 长 (2)如图 3，连接 点 M，交 点 N请探究并猜想：线段 间有什么数量关系？并说明理由 15、（ 2016天津）在平面直角坐标系中， O 为原点，点 A（ 4， 0），点 B（ 0， 3），把 点 B 逆时针旋转，得 A点 A， O 旋转后的对应点为 A， O，记旋转角为 (1)如图 ，若 =90，求 长； (2)如图 ，若 =120，求点 O的坐标； (3)在（ ）的条件下，边 的一点 P 旋转后的对应点为 P，当 OP+得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可） 16、（ 2016来宾）如图，在 ， C=90， 平分线交 点 D， 点 E， O 的直径 (1)判断 O 的位置关系，并证明你的结论； (2)求证： (3)若 ， ，求 17、（ 2016来宾）如图，在矩形 ， 0， ，点 M 为 的一动点，将矩形 点 C 与点 M 重合，该直线与 别交于点 P、 Q (1)用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹） (2)如果 相交，试判断 形状并证明你的结论； 第 7 页 共 32 页 第 8 页 共 32 页 (3)设 AM=x， d 为点 M 到直线 距离， y=， 求 y 关于 x 的函数解析式，并指出 x 的取值范围； 当直线 好通过点 D 时，求点 M 到直线 距离 18、（ 2016日照）如图 1，抛物线 y= （ x 2） 2+n与 x 轴交于点 A（ m 2， 0）和 B（ 2m+3，0）（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，连结 (1)求 m、 n 的值； (2)如图 2，点 N 为抛物线上的一动点，且位于直线 方，连接 积的最大值； (3)如图 3，点 M、 P 分别为线段 线段 的动点，连接 否存在这样的点 P，使 等腰三角形， 直角三角形同时成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 答案解析部分 一、单选题 【答案】 A 【考点】实数与数轴 【解析】【解答】解 ： n+q=0， n 和 q 互为相反数， 0 在线段 中点处， 绝对值最大的点 P 表示的数 p， 故选 A 【分析】根据 n+q=0 可以得到 n、 q 的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答 【答案】 C 【考点】因式分解的应用 【解析】【解答】解：当 n 是偶数时， 1（ 1） n（ 1） = 1 1（ 1） =0， 当 n 是奇数时， 1（ 1） n（ 1） = （ 1+1）（ n+1）（ n 1） = ， 设 n=2k 1（ k 为整数）， 则 = =k（ k 1）， 0 或 k（ k 1）（ k 为整数）都是偶数， 故选 C 【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子 1（ 1） n（ 1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题 【答案】 A 【考点】二次函数的性质 【解析】【解答】解： 抛物线 y=x2+bx+c（其中 b， c 是常数）过点 A（ 2， 6），且抛物线的对称轴与线段 y=0（ 1x3）有交点， 解得 6c14， 故选 A 【分析】根据抛物线 y=x2+bx+c（其中 b， c 是常数）过点 A（ 2， 6），且抛物线的对称轴与线段y=0（ 1x3）有交点，可以得到 c 的取值范围，从而可以解答本题本题考查二次函数的性质、解不等式，解题关键是明确题意，列出相应的关系式 二、填空题 【答案】 B 或 B 或 E 【考点】全等三角形的判定 【解析】【解答】解： 足分别为 D、 E， 0， 在 ， 0 又 0 在 ， 0 所以根据 加 B 或 B； 根据 加 E 可证 故 填空答案： B 或 B 或 E 【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断 两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有： 加时注意： 能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键 【答案】 【考点】相似三角形的判定 【 解析】【解答】解： A= D， 当 B= ， ， B= 添加 ，使 故答案为 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似 三、综合题 【答案】 （ 1）证明： 四边形 正方形， 5， 0， 5， 第 11 页 共 32 页 第 12 页 共 32 页 A、 B、 M、 F 四点共圆， 80， 0， 5， （ 2）证明：由（ 1）可知 0， 3）结论： ， 由： A、 B、 M、 F 四点共圆， ， C， N， N， 在 ， ， 5， 5， 【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的综合题 【解析】【分析】（ 1）先证明 A、 B、 M、 F 四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明 0，根据等腰直角三角形性质即可解决问题（ 2）由（ 1）的结论即可证明（ 3）由： A、 B、 M、 出 为 以 出 到 ，推出 N，再证明 可解决问题本题考查四边形综合题、等腰直角三角形性质、四点共圆、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用四点共圆的性质解决问题，题目有点难，用到四点共圆 【答案】 （ 1）证明：如图一中 四边形 正方形， C=D， D=90， ， 0， 0， 0， 0， ， ， C， M （ 2）解： 仍然成立， N理由如图二中， 四边形 正方形， C=D， D=90， ， 0， 0， 0， 0， ， C， M 这样的点 P 不存在 理由：假设 ， 如图三中， 以点 C 为圆心 为半径画圆，以 直径画圆， = 1+ ， 两个圆外离， 90，这与 盾， 假设不可能成立， 满足 的点 P 不存在 【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用 【解析】【分析】（ 1）由 出 0，推出 0即可证明 出 = = ，由 出 = ，得到 = ，由此即可证明（ 2） 结论仍然成立，证明方法类似（ 1） 这样的点 P 不存在利用反证法证明假设 ，推出矛盾即可本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题，有一定难度，属于中考压轴题 【答案】 （ 1） E； 2）证明：过点 G 作 延长线 于点 H， 0， 0， 在 ， ， 第 15 页 共 32 页 第 16 页 共 32 页 E， D， F， F， 四边形 矩形， H， 四边形 正方形， C， C B=B C C （ 3）证明： 四边形 正方形， D， 0， 在 ， ， E， E， G， 0 0 四边形 行四边形， E 【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质 【解析】【解答】解：（ 1） E， 【分析】（ 1）只要证明四边形 平行四边形即可得出 E， 2）构造辅助线后证明 用对应边相等求证四边形 矩形后，利用等量代换即可求出， 3）证明 ，即可证明四边形 平行四边形本题三角形与四边形综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换，从而求证出平行四边形 【答案】 （ 1） 90+ ； 120+ （ 2） 120 （ 3） 【考点】角的计算 【解析】【解答】解：（ 1）如图 ， ， （ 在 ， 80（ =180 （ =180 （ 180 A） =90+ A=90+ ； 如图 ，在 ， 80（ =180 （ =180 （ 180 A） =120+ A=120+ ；（ 2）如图 ，在 ， 80（ =180 （ =180 （ A+ A+=180 （ A+180） =120 ；（ 3）在 ， 80（ =180 （ =180 （ A+ A+=180 （ A+180） = 故答案为 90+ ， 120+ ； 120 ； 【分析】（ 1）如图 ，根据角平分线的定义可得 后表示出 根据三角形的内角和等于 180列式整理即可得 0+ ；如图 ，根据三角形的内角和等于 180列式整理即可得 20+ ；（ 2）如图 ，根据三角形的内角和等于 180列式整理即可得 20 ；（ 3）根据三角形的内角和等于 180列式整理即可得 本题考查了三角 形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键 【答案】 （ 1）解：结论 F=由：如图 1 中 ， 连接 四边形 菱形， B=60， C=D， B= D=60， 等边三角形， 0 C， 0， 0， 0， F（菱形的高相等）， 等边三角形， F= （ 2）解：证明：如图 2 中 ， 0， 在 ， ， F （ 3）解： 过点 A 作 点 G，过点 F 作 点 H， 5， 0， 5， 在 ， 0， ， ， 在 ， 5， E=2 ， G 2， F， F=2 2， 5， 0， F， 等边三角形， 0 5， 0， 5， 在 ， 5， 5， 0， 5， 5， 0， 在 ， 0， 2， F（ 2 2） =3 点 F 到 距离为 3 【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的性质 【解析】【分析】（ 1）结论 F=要证明 F 即可证明 等边三角形 （ 2）欲证明 F，只要证明 可（ 3）过点 A 作 点 G，过点 F 作 点 H，根据 F因为 E，只要求出 可解决问题 本题 第 19 页 共 32 页 第 20 页 共 32 页 考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、 全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题 【答案】 （ 1）证明： 为等腰直角三角形， 5， 0， （ 2）解： 理由： 5， 又 ， 0， 0， （ 3） 解：如图所示： 作 M， ， 为等腰直角三角形， E=4， ，即 = ， x， 5， E+x， ， 面积 S= M= x = x 【考点】平行线的判定与性质，相似三角形的判定 【解析】【分析】（ 1）直接利用相似三角形的判定方法得出 而得出答案； （ 2）首先得出 而求出 可得出 位置关系； （ 3）首先利用相似三角形的性质表示出 长，进而表示出 面积此题主要考查了相似形综合、平行线的判定方法以及相似三角形的判定与性质等知识，正确表示出 【答案】 （ 1）解： F 理由如下：由题意得， ， 在 ， ， F； （ 2）解： 由（ 1）得 0， 0， 0，即 连接 长 M， 四边形 正方形， ， ， M=3， M ， = ， 5， 0，又 0， ，即 = ， 解得， 【考点】正方形的性质，相似三角形 的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形 【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转变换的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握旋转角的定义和旋转变换的性质、正确作出辅助性是解题的关键（ 1）根据旋转变换的性质和全等三角形的判定定理证明 明结论；（ 2） 根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可； 连接 长 M，根据题意和等腰直角三角形的性质求出 长，根据勾股定理求出 长，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可得到答案 【答案】 （ 1）解：如图 ， 一角沿 叠，折叠后点 A 落在 上的点 D 处， S S ， S 四边形 S ， S S ， 在 ， 0， ， ， =5， =（ ） 2 ， 即（ ） 2= ， ； （ 2）解： 四边形 菱形理由如 下： 如图 ， 一角沿 叠，折叠后点 A 落在 上的点 D 处， M， F， F， M=F， 四边形 菱形； 连结 点 O，如图 ， 设 AE=x，则 EM=x， x， 四边形 菱形， ，即 = = ，解得 x= ， ， 在 ， = = ， S 菱形 M=M， = ； （ 3）解：如图 ， 第 23 页 共 32 页 第 24 页 共 32 页 作 H， E： 1： ： ： 7， 设 x， x，则 x 1， （ 7x 1） =4 7x， H： （ 4 7x）： 3=4x： 4，解得 x= ， x= ， 7x= ， 在 ， =2， B 2=3， = 【考点】勾股定理的应用，菱形的判定与性质，翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】本题考查了三角形的综合题：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长解决此类题目时要各个击破（ 1）先利用折叠的性质得到 S S ， 则易得S S ， 再证明 然后根据相似三角形的性质得到 =（ ）2 ， 再利用勾股定理求出 可得到 长；（ 2） 通过证明四条边相等判断四边形 连结 点 O，如图 ，设 AE=x，则 EM=x， x，先证明 = = ，解出 x 后计算出 ，再利用勾股定理计算出 后根据菱形的面积公式计算 3）如图 ，作 H，先证明 用相似比得到 H=4： 7，设 x， x，则 x 1， （ 7x 1） =4 7x，再证明 用相似比可计算出 x= ，则可计算出 着利用勾股定理计算出 而得到 是可计算出 的值 【答案】 （ 1）解： 由旋转的性质可知： G， 四边形 正方形， 0 又 5， 5 5 在 ， H， F=5 设正方形的边长为 x，则 EC=x 2， FC=x 3 在 ，由勾股定理得： ， 即（ x 2） 2+（ x 3） 2=25 解得： x=6 （ 2）解：如图所示：将 时针旋转 90得 四边形 正方形， 5 由旋转的性质可知： 45， M 90 =M2 90， 5， 45 在 ， ， M 又 M， 【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，旋转的性质 【解析】【分析】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键（ 1） 由旋转的性质可 知： G， 下来在证明 后依据 明 可； 由全等三角形的性质可知： H， F=5设正方形的边长为 x，接下来，在 ，依据勾股定理列方程求解即可；（ 2）将 时针旋转 90得 在 中依据勾股定理可证明 =M2 ， 接下来证明 于的得到 M，最后再由 M证明即可 【答案】 （ 1）解：如图 ， 点 A（ 4， 0），点 B（ 0， 3）， ， ， =5， 点 B 逆时针旋转 90，得 A A， 90， 等腰直角三角形， （ 2）解：作 OH y 轴于 H，如图 ， 点 B 逆时针旋转 120，得 A O=3， 120， 60， 在 ， =90 30， ， OH= ， B+ = ， O点的坐标为（ ， ） （ 3）解： 点 B 逆时针旋转 120，得 A点 P 的对应点为 P， P， OP+OP+ 作 B 点关于 x 轴的对称点 C，连结 OC交 x 轴于 P 点，如图 ， 则 OP+P+C，此时 OP+ 点 C 与点 B 关于 x 轴对称， C（ 0， 3）， 设直线 Oy=kx+b， 把 O（ ， ）， C（ 0， 3）代入得 ，解得 ， 直线 Oy= x 3， 当 y=0 时， x 3=0，解得 x= ，则 P（ ， 0）， ， OP=， 作 PD O， = 0， =30， =30， OD= OP= ， PD= OD= ， H OD= = ， P点的坐标为（ ， ） 【考点】线段的性质：两点之间线段最短，含 30 度角的直角三角形，旋转的性质，坐标与图形变化 【解析】【分析】本题考查了几何变换 综合题：熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利 第 27 页 共 32 页 第 28 页 共 32 页 用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含 30 度的直角三角形三边的关系（ 1）如图 ，先利用勾股定理计算出 ，再根据旋转的性质得 A， 90，则可判定 等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求 长；（ 2）作 OH y 轴于 H，如图 ，利用旋转的性质得 O=3， 120，则 60，再在 利用含 30 度的直角三角形三边的关系可计算出 O后利用坐标的表示方法 写出 O点的坐标；（ 3）由旋转的性质得 P，则 OP+OP+ B 点关于 x 轴的对称点 C，连结 OC交 x 轴于 图 ，易得 OP+C，利用两点之间线段最短可判断此时 OP+着利用待定系数法求出直线 Oy= x 3，从而得到 P（ ， 0），则 OP=，作 PD O，然后确定 =30后利用含 30 度的直角三角形三边的关系可计算出 P长，从而可得到 P点的坐标 【答案】 （ 1）解：结论： O 相 切 证明：如图连接 D， 分 O 的切线 （ 2）解： O 切线， 0， 0， 直径， 0， 0， E， B= B， 3）解：在 ， = ，设 k， k， ， 4+8， k=2， ， ， = ， = ， 【考点】圆的综合题 【解析】【分析】（ 1）结论： O 相切，连接 要证明 可（ 2）欲证明 要证明 可（ 3）在 ，由 = ，设 k， k，利用勾股定理列出方程求出 k，再利用 = 列出方程即可解决问题本题考查圆的综合题、切线的判定、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型 【答案】 （ 1）解：如图 1 所示： （ 2）解： 等腰三角形；理由如下： 四边形 矩形， B=10， 由折叠的性质得： 垂直平分线， Q， M， 在 ， ， P， Q， 即 等腰三角形 （ 3）解： 作 N，如图 2 所示： 则 D=6， M=x， 0 x， 在 ，由勾股定理得： ， 即（ 2d） 2=62+（ 10 x） 2 ， 整理得： 5x+34， 即 y= 5x+34（ 0x10）； 当直线 好通过点 D 时，如图 3 所示： 则 Q 与 D 重合， C=10， 在 ， =8， 0 8=2， = =2 ， d= ， 即点 M 到直线 距离为 【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，矩形的性质，翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（ 1）作线段 垂