河北省衡水2017届高三第二次摸底考试数学试题（理）含答案

河北省衡水 2017 届高三下学期第二次摸底考试 数学（理）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 N | 10 k N ， |2B x x n或 3,x n nN ，则 ） A 6,9 B 3,6,9 C 1,6,9,10 D 6,9,10 2. 若复数 z 满足 2z 1 2 i 1 3 i ( i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样 的方法从高一 2400 人、高二 2000 人、高三 n 人中 ， 抽取 90 人进行问卷调 查 6 ， 那么高 三 被抽取的人数为 （ ） A 20 B 24 C 30 D 32 : , l x e x ；命题 : 1, 1, l o g 2 l o g 2 2a b b a ，则下列命题中为真命题的是 （ ） A B C. D 5. 九章算术中有 如下问题 ：“ 今有勾 八步 ， 股 一 十五步，问勾中容 圆， 径几何 ？ ”其大意 ：“ 已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15 步 ， 问其内切圆 的直径为多少步 ？”现若向此三角形内随机投一粒豆子 ， 则豆子落在其内切圆 外的概率是 （ ） A 310B 320C. 3110D 31206. 若实数 , 1 02 5 020 ，则 432xz 的最大值为（ ） A 1 B 127. 已知 2 221 4 s i na x x d x ，则二项式 922的展开式中的常数项为（ ） A 158B 212C. 54D 1 8. 已知奇函数 c o s 0 , 0 , 0f x A x A 的导函数的部分图象如图所示， E 是最高点，且 是边长为 1 的正三角形，那么 13f （ ） A 32B 12349. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画 出的 是某几 何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ ） A 2 8 4 3 1 2 2 B 3 6 4 3 1 2 2 C. 3 6 4 2 1 2 3 D 44 12 2 10. 执行如图所示 的程序框 图 ， 输出 S 的值等于 （ ） A 2321B25t a n 39 22t a n 9 C. 2322D25t a n 39 21t a n 9 222 1 0 1 的左焦点为 F ，上顶点为 A ，右顶点为 B ，若 的外接圆圆心 ,P 直线 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ） A 2,12B 1,12C. 20,2D 10,212. 已知 对任意的实数 x 都有 2 3 (xf x e x f x e 是自然对数的底数）， 01f ，若不等式 0f x k的解集中恰有两个整数，则实数 k 的取值范围是（ ） A 1,0e B21 ,0e 0e D21 ,0e 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） , 5 , ( ,a b c a b R)，若 , a b c b a ，则 中， ,对边， 23B ，若 224a c ，则 222: 1 0yC x 的左、右焦点， O 为坐标原点，点 的右支上，且满足1 2 2 12 , t a n 4F F O P P F F ，则双曲线 C 的焦点的取值范围为 为正方体1 1 1 1A B C D A B C D的内切球 O 球面上的动点，点 N 为1112,N B N C D M B N，若球 O 的体积为 92 ，则动点 M 的轨迹的长度为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 3 3 2 ,a a n N. （ 1）求数列 （ 2）设以 2 为公比的等比数列 14 l o g l o g 1 2 1 1 (n n nb b a n n N），求数列 2前 n 项和18. 如 图是某市 2017年 3月 1日至 16 日的空气质量 指数趋势 图，空气质量 指数 于 100 表示空气质量优良，空气质量 指数大于 200 表示空气重度污染 ， 某人随机选择 3 月 1日至 3 月 14日 中的某一天到达该市 . （ 1） 若该人到达后停留 2 天 （ 到达当日算 1天 )，求此人停留期间空气质量都是重 度污染的概率； （ 2） 若该人到达后停留 3 天 (到达当日算 1 天 ，设 X 是此人停留期间空气重 度污染的天数 ， 求 X 的分布列与数学期 望 . 19. 如图，四棱锥 P 中，平面 平面 底面 梯形，/ / , 2 2 3 ,A B C D A B D C A C B D F ，且 与 均为正三角形， G 为的重心 . （ 1）求证： /面 （ 2）求平面 平面 成锐二面角的正切值 . 20. 已知抛物线 2: 2 0C y p x p的焦点为 , 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线 l 交 C 于另一点 B ，交 x 轴的正半轴于点 D . （ 1）若 D ，当点 A 的横坐标为 3 2 2 时， 为等腰直角三角形，求 C 的方程； （ 2）对于（ 1）中求出的抛物线 C ，若点 001,0 2D x x，记点 B 关于 x 轴的对称点为, x 轴于点 P ，且 P ，求证：点 P 的坐标为 0,0x ，并求点 P 到直线 d 的取值范围 . 21. 设函数 2 , 1 (xf x e g x k x k R ） . （ 1）若直线 y g x 和函数 y f x 的图象相切，求 k 的值； （ 2）当 0k 时，若存在正实数 m ，使对任意 0,都有 2f x g x x恒成立，求 k 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题记分 . 22. 选修 4标系与参数方程 在直角坐标系中 ，曲线 C 的参数方程为 2 a t 为参数， 0a ） . 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系， 已知直线 l 的极坐标方程为c o s 2 24 . （ 1）设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 23a 时，求点 P 到直线 l 的距离的最大值； （ 2）若曲线 C 上所有的点均在直线 l 的右下方，求 a 的取值范围 . 等式选讲 已知定义在 R 上的函数 2,f x x m x m N ，且 4恒成立 . （ 1）求实数 m 的值； （ 2）若 0 , 1 , 0 , 1 , 3 ，求证： 4118. 河北省衡水中学 2017 届高三下学期第二次摸底考试数学 （理）试题 参考答案 一、选择题 1 6 11、填空题 13. 251614. 10 3315. 2 172,3 05 三、解答题 17. 解： (1) 由题知数列 3是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列， 23 2 2 1 2 , 4 3n n a n . (2)设等比数列 11 2，依题有 12 2 1 2 1 2 1 2 1 2 14 l o g l o g 4 l o g 2 l o g 2 4 l o g 1 l o b b b b n b n 2 222 1 2 1 2 14 l o g 4 l o g 4 2 l o g 1 4 4 1 2 8b b b n n n n ，即 2122 1 2 14 2 l o g 1 1 24 l o g 4 l o g 8 ，解得2 1 1lo g 2 , 4，故 1 1 124 2 2 , l o g 2 1n nb b b n ， 2 22 1 2 2 1 3242 2 2n n n . 18. 解：设人于 3 月 i 日到达该市” 1, 2, .,1 4i 114且 i j . (1)设 B 为事件“此人停留 2 天空气质量都是重度污染” ，则1 2 12 13 14B A A A A A，所以 1 2 1 2 1 3 1 4 514P B P A P A P A P A P A，即此人停留 2 天空气质量都是重度污染的概率为 514. (2) 由题意可知， X 的所有可能取值为 0,1,2,3 ，且 4 8 9 4 8 9 30 14P X P A A A P A P A P A ， 2 1 1 1 4 2 1 1 1 4 32 14P X P A A A P A P A P A ， 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 33 14P X P A A A P A P A P A ， 3 3 3 51 1 0 2 3 1 1 4 1 4 1 4 1 4P X P X P X P X ， (或 3 5 6 7 1 0 3 5 6 7 1 0 51 14P X P A A A A A P A P A P A P A P A )， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 314 514 314 314 故 X 的期望 3 5 3 3 1 00 1 2 31 4 1 4 1 4 1 4 7 . 19. 解： (1)连接 延长交 H ，连接 由梯形 , / /A B C D A B C C ，知 21又 G 为 的重心， 21A G A F C ，故 /C 平面 ,F 平面 , / /F 平面 (2) 平面 平面 ,与 均为正三角形，延长 中点E ，连接 , , ,B E P E A D B E A D P E 平面 A 以 E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 2 2 3 , 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 , 3 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1A B D C A P B D G ， 3 , 0 , 1 , 3 , 3 , 0 , 3 , 0 , 3A G A B A P ，设 0 0 0 0 0 011, , , , 3 , , 3 , 3 , 022C x y z D C A B x y z ，可得0 0 03 3 3 3 3 3 5 3 3, , 0 , , , 0 , , , 02 2 2 2 2 2x y z C A C ，设平面 一个法向量为 1 1 1 1,n x y z，由 1 1 1 1 11 1 1 1 13 3 0 33 3 0 3n A B x y x P x z x z ，令1 1z，得 1 3,1,1n ，同理可得平面 一个法向量 112 1 2123 5 3 1 13 , 5 , 3 , c o s ,5 3 7 1 8 5n ，所以平面 平面成锐二面角的正切值为 811. 20. 解： (1) 由题知 2, 0 , 3 2 2 , 2 3 2 42 2 2p p A F D F A ，则23 2 4 , 0 ,22 D 的中点坐标为 3 2 2 22 , 024p，则 3 2 2 22 3 2 224p ，解得 2p ，故 C 的方程为 2 4. (2) 依题可设直线 方程为 0 1 1 2 20 , , , ,x m y x m A x y B x y ，则 22,E x y ，由 204my x 消去 x ，得0 0 014 4 0 , . 1 6 1 6 02y m y x x m x ，1 2 1 2 04 , 4y y m y y x ，设 P 的坐标为 ,0 2 2 1 1, , , x x y P A x x y ，由题知 /A ，所以 2 1 2 1 0x y y x x ，即 22 1 2 1 22 1 1 22 1 2 1 1 2 44P y y y yy y y yx y y x y y x ，显然 1240y y m ，所以12 04P ，即证 0,0，由题知 为等腰直角三角形，所以 1 ，即12121 ，也即 122212114，所以 21 2 1 2 1 24 , 4 1 6y y y y y y ，即220 0 01 6 1 6 1 6 , 1 , 1m x m x x ，又因为0 12x ，所以00 00022 0221 1,2 211xx ，令 22006 2 2 42 1 , , 2 , 22tx t x t d ，易知 4 2f t 在 61,2 上是减函数，所以 6 ,23d . 21. 解： (1)设切点的坐标为 2, 由 2xf x e 得 22xf x e ，所以切线方程为 222e e x t ，即 2212e x t e ，由已知 222 1 2e x t e 和 1y 为同一条直线， 222 , 1 2 1k t e ，令 1 xh x x e ，则 xh x ，当 ,0x 时， 0 ,h x h x 单调递增，当 0,x 时， 0 ,h x h x 单调递减， 01h x h x 时等号成立， 0, 2 .（注明：若由函数 2xf x e 与 1g x 相交于点 0,1 ，直线 1g x 和函数 2xf x e 的图象相切于 0,1 ，得出 022，得 3 分） (2) 当 2k 时，由 （ 1）结合函数的图象知，存在0 0x ，使得对于任意的 00,都有 f x g x ，则不等式 2f x g x x等价于 2f x g x x，即 22 1 0xk x e ，设 222 1 , 2x k x e t x k x e ，令 0得12 ，令 0得 12 01 2 1 22 4 l n 0 , 0 , l n , ,2 2 2 2x t x 在 00,x 上单调递减，注意到 00t ，所以对任意的 00,，都有 0，与题设不符 . 若 1 2 1 2 1 24 , l n 0 , 0 , l n , l n ,2 2 2 2 2 2k k kk t x 在 120 , 上单调递增， 00t ，所以对任意的 120 , ，都有 0，符合题设 m i n , l ，可得对任意 0,，都有 2f x g x x. 当 02k 时，由 (1)结合函数的图象知 2 2 1 0 0 ,xe x x 22 1 2 1 2 2 0x g x e k x e x k x k x ，对任意 0x 都成立， 2f x g x x 等价于