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江苏 专用 年高 数学 复习 温习 第二 课时 闯关 检测 解析 打包 10

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1 （江苏专用） 2013 年高考数学总复习 第二章第 10 课时 导数与函数的单调性、极值和最值 课时闯关（含解析） A 级 双基巩固 一、填空题 1函数 y x 2 (0,2) 内的单调增区间为 _ 解析： y 1 2 由 y 0，0 x 2 ， 即 1 20，0 x 2 ， 得3 x53 . 函数 y x 2 (0,2) 内的增区间为 ( 3 ， 53 ) 答案： ( 3 ， 53 ) 2设 a R，若函数 f(x) ax(x R)有大于零的极值点，则 _ 解析： f( x) a 0，则 a， x a) x0， a)0 且 (1)求 f(x)的单调区间； (2)求所有的实数 a，使 e 1 f(x)e 2对 x1 ， e恒成立 注： e 为自然对数的底数 解： (1)因为 f(x) x 中 x0， 所以 f( x) 2x ax a x 由于 a0，所以 f(x)的增区间为 (0， a)，减区间为 (a， ) (2)由题意得 f(1) a 1e 1，即 ae. 由 (1)知 f(x)在 1， e内单调递增， 要使 e 1 f(x)e 2对 x1 ， e恒成立 只要 f a 1e 1，f aee 2， 解得 a e. 10. (2011 高考山东卷 )某企业拟建造如图所示的容器 (不计厚度，长度单位：米 )，其中容 3 器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器 的容积为 803 立方米，且 l2 知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c3)千元设该容器的建造费用为 y 千元 (1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 解： (1)设容器的容积为 V， 由题意知 V 43 V 803 ， 故 lV 43 8033r4320r . 由于 l2 r，因此 03，所以 c 20.当 20c 2 0 时， r 3 20c 2. 令 3 20c 2 m，则 m0， 所以 y cr m)( 当 092时，当 r m 时， y 0；当 r(0 ， m)时 ， y0 ， 所以 r m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点 当 m2 ，即 392时，建造费用最小时 r 3 20c 2. B 级 能力提升 一、填空题 1 (2011 高考浙江卷改编 )设函数 f(x) c(a， b， c R)，若 x 1 为函数f(x)下列图象不可能为 y f(x)的图象是 _ (填序号 ) 4 解析：设 h(x) f(x) h( x) (2b)(c)(2b c) x 1 为函数 f(x)当 x 1 时， 2b c ca 0， c a. f(x) a 0 有两根 1， 中图象一定不满足该条件 答案： 2 (2011 高考湖南卷改编 )设直线 x t 和函数 f(x) g(x) ln x 的图象分别交于点 M， N，则当 |到最小时， t 的值为 _ 解析： | y t0)， y 2t 1t 21t . 当 0 22 时， y0 ， y 在 22 ， 上单调递增 当 t 22 时， |最小值 答案： 22 3设函数 f(x) 3x 1(x R)，若对于任意 x 1,1，都有 f(x)0 成立，则实数 a 的值为 _ 解析：由题意得 f( x) 33，当 a0 时，有 f( x) 33 0， f(x)在 1,1上为减函数， f(x)最小值 f(1) a 20 ，解之得 a2( 与条件 a0 矛盾 )，不符合题意； 当 a 0 时，令 f( x) 0 可得 x 1a， 当 x( 1a， 1a)时， f( x) 0， f(x)为减函数； x( ， 1a)， ( 1a， ) 时， f( x) 0， f(x)为增函数 由 f( 1) 4 a0 可得 0 a4 ， 又由 f( 1a) a 1a a 3a 1 1 2a0 可得 a4 ， 综上可知 a 4. 答案： 4 4函数 f(x) x 在 ( ， ) 上是减函数，则 a 的取值范围是 _ 解析： f( x) 310 在 ( ， ) 上恒成立， 当 x 0 时，显然成立； 5 当 x0 时，即 a 13 13， a0. 答案： ( ， 0 二、解答题 5 某市政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区已知 28 线段 一条河流，经过的路线是以点 O 为顶点且开口向右的抛物线的一部分 (河流宽度忽略不计 )如果要使矩形的相邻两边分别落在 ，且一个顶点落在曲线段 ，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大面积 解：以 O 为原点， 在直线为 y 轴建立直角坐标系，依题意可设抛物线方程为 px(p 0)，且 C(8， 4)在曲线上，代入求得 p 1， 所以 2x(0 x8,0 y4) 设 P(y)(0 y 4)是曲线段 任意一点，则在矩形 ， 4 y， 8 所以工业园区的面积 S (4 y)(8 28y 32. 由 S 324y 8 0(0 y4) ，解得 y 43， 又 0 y 43时， S 0； 43 y4 时， S 0. y 43时， S 取得极大值也是最大值， 此时 4 y 163( 8 49( S 28y 32 16027 32102427 ( 所以把工业园区规划成长为 649 为 163 面积最大，最大面 积为 102427 6已知函数 f(x) 3x(a， b R)在点 (1， f(1)处的切线方程为 y 2 0. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若对于区间 2,2上任意两个自变量的值 有 |f( f( c，求实数c 的最小值 解： (1)f( x) 323. 6 根据题意，得 f 2，f 0， 即 a b 3 2，3a 2b 3 0， 解得 a 1，b 0. 所以 f(x) 3x. (2)令 f( x) 0，即 33 0，得 x 1. x 2 ( 2， 1) 1 ( 1,1) 1 (1,2) 2 f( x) 0 0 f(x) 2 极大值 极小值 2 因为 f( 1) 2， f(1) 2， 所以当 x 2,2时， f(x)2， f(x) 2. 则对于区间 2,2上任意两个自变量的值 都有 |f( f(| f(x)f(x) 4， 所以 c4. 即 c 的最小值为 4. 1 （江苏专用） 2013 年高考数学总复习 第二章第 10 课时 导数与函数的单调性、极值和最值 随堂检测（含解析） 1函数 f(x) x 0， 2 的单调减区间为 _ 解析： f( x) 12 f( x)0 ，则 12， 故 6 x 2. 答案： 6 ， 2 2已知 f(x) 2x f(x)在区间 (0,1上恒为单调函数，则实数 a 的取值范围为 _ 解析：由题意知， f( x) 2x 2 22x f(x)在区间 (0,1上恒为单调函数， f( x)在区间 (0,1上恒大于等于 0 或恒小于等于 0， 2 2x a0 或 22x a0 在区间 (0,1上恒成立，即 a (22x)或 a (22x)， 而函数 y 22x 在区间 (0,1的值域为 4,0)， a0 或 a 4. 答案： a0 或 a 4 3已知函数 f(x) x 1 处取极值 10，则 f(2) _. 解析： f( x) 32b，由题意 f 10，f 0， 即 1 a b 10，3 2a b 0， 得 a 4 或 a 3. 但当 a 3 时， b 3， f( x) 36x 30 ， 故不存在极值， a 4， b 11， f(2) 18. 答案： 18 4已知函数 f(x) 39x a(a 为常数 )，在区间 2， 2上有最大值 20，那么此函数在区间 2,2上的最小值为 _ 解析： f( x) 36x 9 0 得 x 1 或 x 3(舍去 )， f( 2) 2 a， f( 1) 5 a， f(2) a 22， a 22 20， a f( 1) 7. 答案： 7 5设 a 为实数，函数 f(x) 2x 2a， x R. (1)求 f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当 a 1 且 x0 时， ex21. 解： (1)由 f(x) 2x 2a， x R 知 f( x) 2， x R. 令 f( x) 0，得 x . 于是当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( ， ) (， ) 2 f( x) 0 f(x) 单调递减 2(1 a) 单调递增 故 f(x)的单调递减区间是 ( ， )，单调递增区间是 (， )， f(x)在 x 处取得极小值，极小值为 f() 2 2a 2(1 a) (2)证明：设 g(x) 21， x R， 于是 g( x) 2x 2a， x R. 由 (1)知当 a 1 时， g( x)取最小值为 g() 2(1 a)0. 于是对任意 x R，都有 g( x)0， 所以 g(x)在 R 内单调递增 于是当 a 1 时，对任意 x(0 ， ) ，都有 g(x)g(0) 而 g(0) 0，从而对任意 x(0 ， ) ， 都有 g(x)0. 即 210， 故 ex21. 6甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量 (百吨 )与时间 t(小时 )的关系是： f(t) 2 t0,12 ，乙水池蓄水量 (百吨 )与时间 t(小时 )的关系是：g(t) 5 |t 6|， t0,12 问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？ (参考数据： 解：设甲、乙两水池蓄水量之和为 H(t) f(t) g(t)， 当 t0,6 时， H(t) f(t) g(t) 2 5 (6 t) t 1， H( t) 10 ， 所以 H(t)在 t0,6 上单调递增， 所以 H(t)H(6) 7 当 t(6,12 时， H(t) f(t) g(t) 2 5 (t 6) t 13， H( t) 10 ， 所以 H(t)在 t(6,12 上单调递减， 所以 H(t) 故当 t 6 小时时，甲、乙两水池蓄水量之和 H(t)达到最大值，最大值约为 吨 1 （江苏专用） 2013 年高考数学总复习 第二章第 6 课时 对数与对数函数 课时闯关（含解析） A 级 双基巩固 一、填空题 1 (2011 高考重庆卷改编 )设 a b c a， b， c 大小关系为_ 解析： c 12 abc. 答案： abc 2 (2010 高考辽宁卷改编 )设 2a 5b m，且 1a 1b 2，则 m _. 解析：由 2a 5b m 得 a b 1a 1b 1a 1b 2， 2， 10， m 10. 答案： 10 3已知集合 A x| ， B ( ， a)，若 AB，则实数 a 的取值范围是 (c， ) ，其中 c _. 解析：由已知条件可得 A x| (0,4， B ( ， a)，若 AB，则 a 4，即得 c 4. 答案： 4 4若 a0， a1 ， xy0， n N，则 下列各式： (ax)n (ax)n n 1 x； y y. 其中正确的有 _个 解析：由对数的运算性质可知， 正确， 错误 答案： 3 5 2 29 _. 解析： 2 29 2323 6. 答案： 6 6已知函数 f(x) lg x， x 32 x ， 解集为 _ 解析： 函数 y lg(2x 3)有最小值， f(x) 2x 3)有最大值， 0 a 1. 由 5x 7)0，得 0 5x 7 1， 解得 2 x 3. 不等式 5x 7)0 的解集为 x|2 x 3 答案： x|2 x 3 二、解答题 9已知函数 f(x) x(0 a 1) (1)试判断 f(x)的奇偶性； (2)解不等式 f(x)l 解： (1)2 x 0 2 x 2. 故 f(x)的定义域关于原点对称， 且 f( x) x x) 1 f(x)， f(x)是奇函数 (2)f(x)x0 a 1， 故 2 x 0，2 x3 x 2 x 2，x xx 2 023 x1. 即原不等式的解集为 x|23 x1 10已知 f(x) g(x) 2x t 2)(a 0， a1 ， t R) (1)当 t 4， x1,2 ，且 F(x) g(x) f(x)有最小值 2 时，求 a 的值； (2)当 0 a 1， x1,2 时， 有 f(x) g(x)恒成立，求实数 t 的取值范围 解： (1)当 t 4 时， 3 F(x) g(x) f(x) x2x ， x1,2 ， 令 h(x) x2x 4(x1x 2)， x1,2 ， 则 h( x) 4(1 1 x x0 ， h(x)在 1,2上是单调增函数， h(x)16， h(x)18. 当 0 a 1 时，有 F(x) 令 2 求得 a 3 2 1(舍去 )； 当 a 1 时， 有 F(x)6， 令 2 求得 a 4 1. a 4. (2)当 0 a 1， x1,2 时，有 f(x) g(x)恒成立， 即当 0 a 1， x1,2 时， a(2x t 2)恒成立， 由 a(2x t 2) 可得 xa(2x t 2)， x2 x t 2， t 2x x 2. 设 u(x) 2x x 2 2( x)2 x 2 2( x 14)2 178 ， x1,2 ， x1 ， 2 u(x)u(1) 1. 实数 t 的取值范围为 t1. B 级 能力提升 一、填空题 1已知函数 f(x)满足：当 x4 时， f(x) 12 x；当 x R 恒成立， 3 . 故 a 的取值范围为 ( ) 3， 3 . (2)值域为 Ru g(x)能取遍 (0， ) 的一切值，因此 3 ， 故 a 的取值范围为 ( ， 3 3， ) (3)函数 f(x)在 1， ) 上有意义 u g(x)0 对 x 1， ) 恒成立， 因此应按 g(x)的对称轴 x a 分类，则得： x( ， 1恒成立， a1g ，故 a 的取值范围为 1,2) 5 6已知函数 f(x) 1x 1(k R 且 k 0) (1)求函数 f(x)的定义域； (2)若函数 f(x)在 10， ) 上是单调增函数，求 k 的取值范围 解： (1)由 1x 1 0 及 k 0 得x 11 0，即 (x1k)( x 1) 0. 当 0 k 1 时， x 1或 x 1k； 当 k 1 时， x R 且 x1 ； 当 k 1 时， x 1k或 x 1. 综上可得当 0 k 1 时，函数的定义域为 ( ， 1)( 1k， ) ；当 k 1 时， 函数的定义域为 ( ， 1k)(1 ， ) ；当 k 1 时， x|x R，且 x1 (2) f(x)在 10， ) 上是增函数， 10k 110 1 0， k 110. 又 f(x) 1x 1 lg(k k 1x 1)，故对任意的 当 10 有 f( f( 即 lg(k k 11) lg(k k 11)， k 11 k 11， ( k 1)( 11 11) 0， 又 11 11， k 1 0， k 1. 综上 k 的取值范围为 (110， 1) 1 （江苏专用） 2013 年高考数学总复习 第二章第 6 课时 对数与对数函数 随堂检测（含解析） 1计算 (3 _. 解析：原式 3554. 答案： 54 2已知 f(x) a0 且 a1) ，如果对于任意的 x 13， 2 ，不等式 |f(x)|1 恒成立，则 a 的取值范围是 _ 解析： 不论 a 取何值 |f(x)|图象如图，要使 x 13， 2 ， |f(x)|1 成立， 只要使 f 13 1 ，即 1 ， a 0， 13 3 ， ) 答案： 0， 13 3 ， ) 3已知函数 f(x) |若 a b 且 f(a) f(b)，则 a b 的取值范围是 _ 解析： 不妨设 a2 2，故 a b 的取值范围是 (2， ) 答案： (2， ) 4已知 m， n，求 解：由 m，得 1m. 256 3m 1m n 3 1 5已知函数 f(x) a)在区间 ( ， 1 3)上是单调递减函数求实数a 的取值范围 解：令 g(x) a， 2 则 g(x) x a 由以上知 g(x)的图象关于直线 x 因为函数 f(x) x)的底数 21， 在区间 ( ， 1 3上是减函数， 所以 g(x) a 在区间 ( ， 1 3上也是单调递减函数，且 g(x)0. 1 3 a2，g 3 ，即 a2 2 3， 3 2 a 3 a 2 3 a2. 故 a 的取值范围是 a|2 2 3 a2 1 （江苏专用） 2013 年高考数学总复习 第二章第 7 课时 函数的图象及函数与方程 课时闯关（含解析） A 级 双基巩固 一、填空题 1若函数 y f(x)的图象经过点 (1,1)，则函数 y f(4 x)的图象经过点 _ 解析：令 4 x 1， 则函数 y f(4 x)的图象过点 (3,1) 答案： (3,1) 2. 已知函数 f(x) d 的图象如图所示，则 b 的范围为 _ 解析：法一： (定性法 ) 根据解一元高次不 等式的 “ 数轴标根法 ” 可知，图象从右上端起，应有 a 0； 又由图象知 f(x) 0 的三个实根为非负数， 据根与系数的关系知 0，即 b 0. 法二： (定量法 ) 据图象知 f(0) 0， f(1) 0， f(2) 0， d 0a b c d 08a 4b 2c d 0 a 2 f(x) 2 x 1)(x 2)， 当 x 2 时，有 f(x) 0， b 0. 法三： (模型函数法 ) 构造函数 f(x) a(x 0)(x 1)(x 2) d， 即 32d， b 320，又由图象知 x 2 时， f(x) 0 即 a 0. b 3a 0， b( ， 0) 答案： ( ， 0) 3 (2010 高考天津卷改编 )函数 f(x) x 2 的零点所在的区间可以是以下区间中的 _ ( 2， 1)， ( 1,0)， (0,1) ， (1,2) 解析：因为 f(0) 0 2 1 0， f(1) e 1 0， f(0) f(1) 0，所以函数 f(x)在 (0,1)内有一个零点，其他三个区间均不符合条件 答案： 2 4 (2010 高考福建卷改编 )函数 f(x) 2x 3， x0 2 x 0 的零点 个数为 _ 解析：由 f(x) 0，得 x0 ，2x 3 0， 或 x 0， 2 0， 解得 x 3 或 x 零点个数为 2. 答案： 2 5已知函数 f(x) x 是奇函数， g(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时， g(x) 函数 y f(x) g(x)的图象大致为 _ 解析： f(x)是奇函数， g(x)是偶函数， f(x) g(x)是奇函数，故 y f(x) g(x)图象关于原点对称 排除 ， 当自变量 x 从正的趋向零时 f(x)0， g(x)5或 x 2,2 14 4x 5，当 x 1,5时恒成立， 即 k 4x 5x 3 在 1,5上恒成立， 设 g(x) 4x 5x 3 ，只要求出 g(x)在 1,5上的最大值， 设 t x 3，则 t2,8 ，且 x t 3， g(t) t2 t 5t (t16t) 10. 故当 t 4 时， g(t)2. k2. 10设函数 f(x) c，且 f(1) 3a2c2b. (1)求证： a0 且 32c2b， 3 a0 即 a0. 又由 *得 2c 3a 2b， 而 3a2c， 故 3a 3a 2b， 3. 又 2c2b， 3a 2b2b， f(0)f(1) f(1) 12，m 12，m1 2或 m1 2， 10，00，f( )1 0， m，m0，00，将 k 看做函数值 ， m 看做自变量，画出可行域如图阴影部分所示，因为 m， k 均为整数，结合可行域可知 k 7， m 6 时， m k 最小，最小值为 13. 6 答案： 13 二、解答题 5已知 f(x)是二次函数，不等式 f(x)0)， 对称轴为 x 52，故 f(x)在 1,4上最大值为 f( 1) 6a， a 2，故 f(x) 210x. (2)据题意，方程 210x 37x 0 在 (m， m 1)内有两个不同实根 (m N)， 即方程 21037 0 在 (m， m 1)(m N)内有两个不同实根 设 h(x) 21037， 则 h( x) 620x 2x(3x 10)， 令 h( x) 0，则 0， 103. x ( ， 0) 0 0， 103 103 103 ， h( x) h(x) 又 h 103 1270， h(4) 50 故 h(x)在 3， 103 和 103 ， 4 内各有一零点， g(x)在 (3,4)内有且只有两个零点， 故存在满足条件的 m 3. 6 m 为何值时， f(x) 23m 4. (1)有且仅有一个零点； (2)有两个零点且均比 1 大； (3)若 f(x)有一个零点 x(0,1), 求 m 的取值范围 解： (1)若函数 f(x) 23m 4 有且仅有一个零点，则等价于 44(3m4) 0， 即 412m 16 0，即 3m 4 0. 解得 m 4 或 m 1. (2)法一：方程思想 若 f(x)有两个零点且均比 1 大， 7 设两个零点分别为 则 2m， 3m 4， 故只需 4m 0 0 0 3m 4 0 2m 2 03m 4 2m 1 0 m 4或 m 1，m 1，m 5，故 5 m 1， m 的取值范围是 m| 5 m 1 法二：函数思想 若 f(x) 有 两 个 零 点 且 均 比 1 大 ， 结 合 二 次 函 数 图 象 可 知 只 需 满 足 4m 0 2 1f 0 3m 4 0m 11 2m 3m 4 0 m 4或 m 1，m 1，m 5，故 5 m 1， m 的取值范围是 m| 5 m 1 (3)若 f(x)只有一个零点 x(0,1) ， 则 00 1 ，即 4m 00 m 1 ，方程无解 若 f(x)有两个零点，其中有一个零点 x(0,1) ， 则 f(0)f(1) 0，即 (3m 4)(5m 5) 0， 43 m 1. m 的取值范围为 m| 43 m 1 1 （江苏专用） 2013 年高考数学总复习 第二章第 7 课时 函数的图象及函数与方程 随堂检测（含解析） 1 (2010 高考湖南卷改编 )函数 y y ba|x( ， |a| b|)在同一直角坐标系中的图象可能是 _ 解析：对于 、 由对数函数图象得 | 1，而抛物 线对称轴 | 12， | 1， 不正确；对于 中对称轴 12，则 | 1，而对数底数 | 1， 不成立而 中，由图象知 a0， 12， | (0,1) ，满足 y ba|x 为减函数 答案： 2. 如图是两个函数在定义域 2,3上的图象，给出下列函数及其相应的图象，则其中正确的是 _ y 1f x ； y g(x)2； y f(x) g(x) 解析：根据 f(x)， g(x)的定义域、值域、单调性可知 错误 答案： 3方程 2 x 3 的实数解的个数为 _ 解析： 2 方程变形为 3 2 x (12)x，令 y 3 y (12)x. 由图象可知有 2 个交点 答案： 2 4设 x x 8 0 的解，且 k， k 1)， k Z，则 k _. 解析：设 2x， 8 x，在同一坐标系内作出它们的图象，可见这两图象有且只有一个交点且这个交点横坐标在 2 和 3 之间，故 k 2. 答案： 2 5作出下列函数的简图 (1)y |2x 1|； (2)y 2 |x|； (3)y e| (4)y |( x)|. 解： (1)先作出函数 y 2将其图象向下平移一个单长度，得到 y 2x 1 的图象，然后再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到上方，得到函数 y |2x 1|的图象，如图 (1) (2)y 2 |x| 2x， x ， 分别作出 y 2x(x0) 及 y (12)图 (2) (3)y e| 1x， xx x，所以图 象如图 (3) (4)首先作出 y 图象，将其沿 y 轴翻折得到 y x)的图象，再将所得图象沿 x 轴向右平移一个单位长度，得到 y x)的图象，再将该图象沿 x 轴将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，得到 y | x)|的图象，如图 (4) A 级 双基巩固 一、填空题 1若函数 y f(x)的图象经过点 (1,1)，则函数 y f(4 x)的图象经过点 _ 解析：令 4 x 1， 则函数 y f(4 x)的图象过点 (3,1) 答案： (3,1) 2. 已知函数 f(x) d 的图象如图所示，则 b 的范围为 _ 解析：法一： (定性法 ) 根据解一元高次不等式的 “ 数轴标根法 ” 可知，图象从右上端起，应有 a 0； 又由图象知 f(x) 0 的三个实根为非负数， 据根与系数的关系知 3 0，即 b 0. 法二： (定量法 ) 据图象知 f(0) 0， f(1) 0， f(2) 0， d 0a b c d 08a 4b 2c d 0 a 2 f(x) 2 x 1)(x 2)， 当 x 2 时，有 f(x) 0， b 0. 法三： (模型函数法 ) 构造函数 f(x) a(x 0)(x 1)(x 2) d， 即 32d， b 320，又由图象知 x 2 时， f(x) 0 即 a 0. b 3a 0， b( ， 0) 答案： ( ， 0) 3 (2010 高考天津卷改编 )函数 f(x) x 2 的零点所在的区间可以是以下区间中的 _ ( 2， 1)， ( 1,0)， (0,1) ， (1,2) 解析：因为 f(0) 0 2 1 0， f(1) e 1 0， f(0) f(1) 0，所以函数 f(x)在 (0,1)内有一个零点，其他三个区间均不符合条件 答案： 4 (2010 高考福建卷改编 )函数 f(x) 2x 3， x0 2 x 0 的零点个数为 _ 解析：由 f(x) 0，得 x0 ，2x 3 0， 或 x 0， 2 0， 解得 x 3 或 x 零点个数为 2. 答案： 2 5已知函数 f(x) x 是奇函数， g(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时， g(x) 函数 y f(x) g(x)的图象大致为 _ 解析： f(x)是奇函数， g(x)是偶函数， f(x) g(x)是奇函数，故 y f(x) g(x)图象关于原点对称 排除 ， 当自变量 x 从正的趋向零时 f(x)0， g(x)5或 x 2,2 14 4x 5，当 x 1,5时恒成立， 5 即 k 4x 5x 3 在 1,5上恒成立， 设 g(x) 4x 5x 3 ，只要求出 g(x)在 1,5上的最大值， 设 t x 3，则 t2,8 ，且 x t 3， g(t) t2 t 5t (t16t) 10. 故当 t 4 时， g(t)2. k2. 10设函数 f(x) c，且 f(1) 3a2c2b. (1)求证： a0 且 32c2b， 3 a0 即 a0. 又由 *得 2c 3a 2b，而 3a2c， 故 3a 3a 2b， 3. 又 2c2b， 3a 2b2b， f(0)f(1) f(1) 12，m 12，m1 2或 m1 2， 10，00，f( )1 0， m，m0，00，将 k 看做函数值， m 看做自变量，画出可行域如图阴影部分所示，因为 m， k 均为整数，结合可行域可知 k 7， m 6 时， m k 最小，最小值为 13. 答案： 13 二、解答题 5已知 f(x)是二次函数，不等式 f(x)0)， 对称轴为 x 52，故 f(x)在 1,4上最大值为 f( 1) 6a， a 2，故 f(x) 210x. (2)据题意，方程 210x 37x 0 在 (m， m 1)内有两个不同实根 (m N)， 即方程 21037 0 在 (m， m 1)(m N)内有两个不同实根 设 h(x) 21037， 则 h( x) 620x 2x(3x 10)， 令 h( x) 0，则 0， 103. 8 x ( ， 0) 0 0， 103 103 103 ， h( x) h(x) 又 h 103 1270， h(4) 50 故 h(x)在 3， 103 和 103 ， 4 内各有一零点， g(x)在 (3,4)内有且只有两个零点， 故存在满足条件的 m 3. 6 m 为何值时， f(x) 23m 4. (1)有且仅有一个零点； (2)有两个零点且均比 1 大； (3)若 f(x)有一个零点 x(0,1), 求 m 的取值范围 解： (1)若函数 f(x) 23m 4 有且仅有一个零点，则等价于 44(3m4) 0， 即 412m 16 0，即 3m 4 0. 解得 m 4 或 m 1. (2)法一：方程思想 若 f(x)有两个零点且均比 1 大， 设两个零点分别为 则 2m， 3m 4， 故只需 4m 0 0 0 3m 4 0 2m 2 03m 4 2m 1 0 m 4或 m 1，m 1，m 5，故 5 m 1， m 的取值范围是 m| 5 m 1 法二：函数思想 若 f(x) 有 两 个 零 点 且 均 比 1 大 ， 结 合 二 次 函 数 图 象 可 知 只 需 满 足 4m 0 2 1f 0 3m 4 0m 11 2m 3m 4 0 m 4或 m 1，m 1，m 5，故 5 m 1， m 的取值范围是 m| 5 m 1 (3)若 f(x)只有一个零点 x(0,1) ， 则 00 1 ，即 4m 00 m 1 ，方程无解 若 f(x)有两个零点，其中有一个零点 x(0,1) ， 则 f(0)f(1) 0，即 (3m 4)(5m 5) 0， 9 43 m 1. m 的取值范围为 m| 43 m 1 1 （江苏专用） 2013 年高考数学总复习 第二章第 8 课时 函数模型及应用 课时闯关（含解析） A 级 双基巩固 一、填空题 1今有一组实验数据如下： t v 2 准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是_ v v v 12 ； v 2t 2. 解析：由表中数据可知，当 t 越大时， v 递增 的速度越快，而 v 增速度较慢，v 减， v 2t 2 匀速，只有 v 12 符合这一特征 答案： 2某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过 50 套就可以以每套比出厂价低 30 元给予优惠，如果按出厂价购买应付 a 元，但再多买 11 套就可以按优惠价结算恰好也付 a 元 (价格为整数 )，则 a 的值为 _ 解析：设按出厂价 y 元购买 x 套 (x50) 应付 a 元， 则 a a (y 30)(x 11)，又 x 11 50，即 x 39， 39 x50 ， (y 30)(x 11)， 3011x y 30，又 x、 y N*且 39 x50 ， x 44， y 150， a 44150 6600 元 答案： 6600 元 3某地 2002 年底人口为 500 万，人均住房面积为 6 果该城市人口平均每年增长率为 1%012 年底该城市人均住房面积增加到 7 均每年新增住房面积至少为_万 精确到 1 万 解 析 ： 到 2012 年底该 城 市 人 口 有 500(1 1%)10 人 ， 则 107 500610 87( 万 答案： 87 4某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10万元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数， K(Q) 40Q 120总利润 L(Q)的最大值是_万元 答案： 2500 5 (2010 高考山东卷改编 )已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元 )与年产量 x(单位：万件 )的函数关系式为 y 1381x 234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_ 解析： y 81，令 y 0 得 x 9，且经讨论知 x 9 是函数的极大值点，所以厂家获得最大年利润的年产量是 9 万件 2 答案： 9 万件 6某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元 /次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x _吨 解析：每年购买次数为 400x ， 总费用 400x 4 4x2 6400 160. 当且仅当 1600x 4x，即 x 20 时等号成立 故 x 20. 答案： 20 7在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到 ，n 个数据，我们规定所测量物理量的 “ 最佳近似值 a” 是这样一个量：与其它近似值比较， a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从 ， 出的 a _. 解析：设近似值为 x，则 f(x) (x (x (x 取最小值时的 x 即为a，由 f(x) 2( an)x ( 当 x ， f(x)最小 答案： 1n( 8某超市为了吸引顾客，采取 “ 满一百送二十，连环送 ” 的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满 100 元 (可以是现金，也可以是现金与奖励券合计 )就送 20 元奖励券，满 200 元就送 40 元奖励券，满 300 元就送 60 元奖励券 . 当日一位顾客共花现金 7020 元，如果按照酬宾促 销方式，他实际最多能购买 _元的商品 解析： 7000 元应给奖励券 1400 元， 1400 元应给奖励券 280 元， 280 元加上 7020 元余下 20 元满 300 元应给奖励券 60 元 故最多能购买 7000 1400 280 60 20 8760 元的商品 答案： 8760 二、解答题 9某公司是一家专做产品 A 的国内外销售的企业，第一批产品 A 上市销售 40 天内全部售完该公司对第一批产品 A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图中 、 、 所示，其中图 中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的 关系；图 中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图 中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系 (国内外市场相同 ) (1)分别写出国外市场的日销售量 f(t)、国内市场的日销售量 g(t)与第一批产品 A 上市时间 t 的关系式； (2)第一批产品 A 上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过 6300 万元？ 解 ： (1)f(t) 2t 0 t30 6t 240 300)，雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c R) E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分： (1)P 或P 的平行面 (只有一个面淋雨 )的淋雨量，假设其值与 |v c| S 成正比，比例系数为 110； (2)其他面的淋雨量之和，其值为 12.记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量当移动距离 d 100，面积 S 32时， (1)写出 y 的表达式； (2)设 0v10,0 c5 ，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度 v，使总淋雨量 y 最少 解： (1)由题意知， E 移动时单位时间内的淋雨量为 320|v c| 12， 故 y 100v 320|v c| 12 5v(3|v c| 10) (2)由 (1)知： 当 0v c 时， y 5v(3c 3v 10) cv 15； 当 cv10 时， y 5v(3v 3c 10) 3 15. 故 y cv 15， 0v c， 3 15， cv10. 当 0c 103 时， y 是关于 v 的减函数， 故当 v 10 时， 20 3 当 103c5 时，在 (0， c上， y 是关于 v 的减函数；在 (c,10上， y 是关于 v 的增函 7 数，故当 v c 时， 50c. 1 （江苏专用） 2013 年高考数学总复习 第二章第 8 课时 函数模型及应用 随堂检测（含解析） 1 (2011 高考湖北卷 )提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度 v( )单位：千米 /时 是车流密度 x( )单位：辆 /千米 的函数当桥上的车流密度达到 200 辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆 /千米时，车流速度为 60 千米 /时研究表明：当 20 x200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 ( )1 当 0 x200 时，求函数 v( )x 的表达式； ( )2 当车流密度 x 为多大时，车流量 (单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 /时 )f( )x x v( )x 可以达到最大？并求出最大值 .( )精确到 1辆 /时 解： ( )1 由题意，当 0 x20 时， v( )x 60； 当 20 x200 时，设 v( )x b， 再由已知得 200a b 0，20a b 60， 解得 a 13，b 2003 v( )x 的表达式为 v( )x 60， 0 x20 ，13( )200 x ， 200. 故 x 5 是 f(x)的最小值点， 对应的最小值为 f(5) 65 80015 5 70. 当隔热层修建 5 时，总费用达到最小值 70 万元 A 级 双基巩固 一、填空题 1今有一组实验数据如下： t v 2 准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是_ v v v 12 ； v 2t 2. 解析：由表中数据可知，当 t 越大时， v 递增的速度越快，而 v 增速度较慢，v 减， v 2t 2 匀速，只有 v 12 符合这一特征 答案： 2某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过 50 套就可以以每套比出厂价低 30 元给予优惠，如果按出厂价购买应付 a 元，但再多买 11 套就可以按优惠价结算恰好也付 a 元 (价格为整数 )，则 a 的值为 _ 解析：设按出厂价 y 元购买 x 套 (x50) 应付 a 元， 则 a a (y 30)(x 11)，又 x 11 50，即 x 39， 39 x5 0， (y 30)(x 11)， 3011x y 30，又 x、 y N*且 39 x50 ， x 44， y 150， a 44150 6600 元 3 答案： 6600 元 3某地 2002 年底人口为 500 万，人均住房面积为 6 果该城市人口平均每年增长率为 1%012 年底该城市人均住房面积增加到 7 均每年新增住房面积至少为_万 精确到 1 万 解 析 ： 到 2012 年 底 该 城 市 人 口 有 500(1 1%)10552. 3 万 人 ， 则 107 500610 87( 万 答案： 87 4某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10万元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数， K(Q) 40Q 120总利润 L(Q)的最大值是_万元 答案： 2500 5 (2010 高考山东卷改编 )