（特效提高）2014高考数学一轮精品复习题库（打包67套）
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1 合的概念与运算 一、选择题 M N 1,2,3,4,5， M 2,4，则 N ( ) A 1,2,3 B 1,3,5 C 1,4,5 D 2,3,4解析：由 M 2,4可得集合 N 中不含有元素 2,4，集合 M 中含有元素 2,4，故 N 1,3,5 答案： B 2已知集合 A y|1和集合 B y|y 则 A B 等于 ( ) A (0,1) B 0,1 C (0， ) D (0,1)， (1,0) 解析： A y|1， A y| 1 y1 又 B y|y B y|y0 A B y|0 y1 答案： B 3设集合 M 1,2， N 则 “ a 1” 是 “ NM” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 解析 若 NM，则需满足 1 或 2，解得 a 1 或 a a 1” 是 “ NM”的充分不必要条件 答案 A 4如图所示的韦恩图中， A、 B 是非空集合，定义 A*B 表示阴影部分的集合若 x， y R， A x|y 2x B y|y 3x， x 0，则 A*B 为 ( ) A x|0 x 2 B x|1 x2 C x|0 x1 或 x2 D x|0 x1 或 x 2 2 解析： A x|0 x2 ， B y|y 1， A B x|1 x2 ， A B x|x0 ，由图可得A*B A B(A B) x|0 x1 或 x 2，故选 D. 答案： D A B 中有 m 个元素， ( (有 n 个元素若 A B 非空，则 A B 的元素个数为 ( ) A B m n C n m D m n 解析： ( (有 n 个元素，如右图所示阴影部分，又 U A B 中有 m 个元素，故 A B 中有 m n 个元素 答案： D 6若 A 2,3,4， B x|x n m， m， n A， m n，则集合 B 中的元素个数是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 解析 B x|x n m， m， n A， m n 6,8,12 答案 B x| ， M a若 P M P，则 a 的取值范围是 ( ) A ( ， 1 B 1， ) C 1,1 D ( ， 1 1， ) 解析：因为 P M P，所以 MP，即 a P，得 ，解得 1 a1 ，所以 a 的取 值范围是 1,1 答案： C 二、填空题 8已知集合 A 0,2， B 1， a，若 A B 0,1,2,4，则实数 a 的值为 _ 解析： 若 a 4，则 16(A B)，所以 a 4 不符合要求，若 4，则 a 2 ，又 2(A B)， a 2. 答案： 2 3 9 已知集合 A x|x1 ， B x|x a，且 A B R，则实数 a 的取值范围是 _ 解析 (数形结合法 )A ( ， 1， B a， ) ，要使 A B R，只需 a1. 如图 答案 ( ， 1 【点评】 本题采用数形结合法，含参数的集合运算中求参数的范围时，常常结合数轴来解决，同时注意 “ 等号 ” 的取舍 10已知集合 A x| 2x 30， B x|x 298. 即实数 a 的取值范围是 (98， ) (2)当 a 0 时，方程只有一解，方程的解为 x 23； 当 a0 且 0，即 a 98时，方程有两个相等的实数根， A 中只有一个元素 43. 当 a 0 或 a 98时， A 中只有一个元素，分别是 23和 43. 1 题及其关系、充分条件与必要条件 1若 a R，则 “ a 1” 是 “| a| 1” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 解析：若 a 1，则有 |a| 1 是真命题，即 a 1|a| 1，由 |a| 1 可得 a 1 ，所以若|a| 1，则有 a 1 是假命题，即 |a| 1a 1 不成立，所以 a 1 是 |a| 1 的充分而不必要条件 答案： A 2已知命题 p： n N,2n 1 000，则綈 p 为 ( ) A n N,2n1 000 B n N,2n 1 000 C n N,2n1 000 D n N,2n 1 000 解析 特称命题的否定是全称 命题即 p： x M， p(x)，则綈 p： x M，綈 p(x) 故选A. 答案 A 3命题 “ 若一个数是负数，则它的平方是正数 ” 的逆命题是 ( ) A “ 若一个数是负数，则它的平方不是正数 ” B “ 若一个数的平方是正数，则它是负数 ” C “ 若一个数不是负数，则它的平方不是正数 ” D “ 若一个数的平方不是 正数，则它不是负数 ” 解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数 答案： B 4已知 ， 角的终边均在第一象限，则 “ ” 是 “ ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 (特例法 )当 时，令 390 ， 60 ，则 90 0 12 2 60 32 ，故 不成立；当 时，令 60 ， 390 满足上式，此时 ，故 “ ” 是 “ ” 的既不充分也不必要条件 答案 D 【点评】 本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值 特殊图形、特殊位置 代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断 题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中 殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等 小题小做 ” 的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效 . 5与命题 “ 若 a M，则 bM” 等价的命题是 ( ) A若 aM，则 bM B若 bM，则 a M C若 aM，则 b M D若 b M，则 aM 解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可 故选D. 答案： D 6 若实数 a， b 满足 a0 ， b0 ，且 0，则称 a 与 b 互补记 (a， b) a b，那么 (a， b) 0 是 a 与 b 互补的 ( ) A必要而不充分的条件 B充分而不必要的条件 C充要条件 D既不充分也不必要的条件 解析 若 (a， b) 0，即 a b，两边平方得 0，故具备充分性若 a0 ， b0 ，0，则不妨设 a a， b) a b b 选 C. 答案 C 7已知集合 A x R|122 D 23，即 m2. 答案： C 二、填空题 8若 “ x 2,5或 x x| 是假命题，则 x 的取值范围是 _ 解析： x2,5且 xx|真命题 由 x4 得 1 2(m 1)x m 30 的解集为 R” 的逆命题 其中真命题是 _ (把你认为正确命题的序号都填在横线上 ) 5 解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故 错误， 正确又因为不等式 2(m 1)x m 30 的解集为 R， 由 m0 m 2 4m m m0m1 m1. 故 正确 答案： 三、解答题 13写出命题 “ 已知 a， b R，若关于 x 的不等式 b0 有非空解集，则 b” 的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假 解析 ： (1)逆命题：已知 a， b R，若 b，则关于 x 的不等式 b0 有非空解集，为真命题 (2)否命题：已知 a， b R，若关于 x 的不等式 b0 没有非空解集，则 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 解析 ： p： x 2,10， q： x 1 m,1 m， m0， p 是 q 的必要不充分条件， pq 且 q/ p. m,1 m m0，1 m 2，1 m10. m9. 16已知全集 U R，非空集合 A x| x 2x a a，得 B x| a13时， A x|2x3a 1， a223 a 1 ，解得13a3 52 ； 当 3a 1 2，即 a 13时， A ，符合题意； 7 当 3a 12，即 a13时， A x|3a 1x2 a3 a 122 ，解得12 a13； 综上， a 12， 3 52 1 单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 一、选择题 1已知命题 p：函数 f(x) 12 x 区间 0， 13 内存在零点，命题 q：存在负数 x 使得 12 x 13 个命题： p 或 q； p 且 q； p 的否定； q 的否定其中真命题的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 命题 p 为假命题，命题 q 也为假命题利用真值表判断 答案 B p：存在 n N,2n1 000，则非 p 为 ( ) A任意 n N,2n1 000 B任意 n N,2n1 000 C存在 n N,2n1 000 D存在 n N,2xZ 2 D x| 1 x 3， x Z 解析 p： x3 或 x 1， q： x Z，则由 p 且 q，非 q 同时为假命题知， p 假 q 真，所以 13x” 的否定是 “ 任意 x R， 12” 是 “ a5” 的充分不必要条件； “ 若 0，则 x 0 且 y 0” 的逆否命题为真命题 其中所有真命题的序号是 ( ) A B C D 解析：命题 “ 存在 x R， 13x” 的否定是 “ 任意 x R， 13 x” ，故 错； “ p 或 q”为假命题说明 p 和 q 都假，则非 p 且非 q 为真命题，故 对； a5a2，但 a2/ a5，故 “ a2” 是 “ a5” 的必要不充分条件，故 错； “ 若 0，则 x 0 且 y 0” 为假命题，故其逆否命题也为假命题，故 错 答案： C 6下列命题错误的是 ( ) A命题 “ 若 m 0，则方程 x m 0 有实数根 ” 的逆否命题为： “ 若方程 x m 0 无实数根，则 m0” B “ x 1” 是 “ 3x 2 0” 的充分不必要条件 C若 p 且 q 为假命题，则 p， q 均为假命题 D对于命题 p：存在 x R，使得 x 1 0，则非 p：任意 x R，均有 x 10 解析 依次判断各选项，易知只有 C 是错误的，因为 用逻辑联结词 “ 且 ” 联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假 答案 C 3 7已知 p：存在 x R， 20. q：任意 x R， 21 0，若 p 或 q 为假命题，则实数 m 的取 值范围是 ( ) A 1， ) B ( ， 1 C ( ， 2 D 1,1 解析 (直接法 ) p 或 q 为假命题， p 和 q 都是假命题 由 p：存在 x R， 20 为假，得任意 x R， 2 0， m0. 由 q：任意 x R， 21 0 为假，得存在 x R， 210 ， ( 2m)2 40 m 1 或 m1. 由 和 得 m1. 答案 A 【点评】 本题采用直接法，就是通过题设条件 解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法 . 二、填空题 8用含有逻辑联结词的命题表示命题 “ 0” 的否定是 _ 解析 方法 1：记命题 x 0， y 0，则命题 0 即命题 否定是 (非 (非 非 x0 ，非 y0 ，故命题 0 的否定是 “ x0 且 y0” 方法 2： 0 的否定即 ，即 “ x0 且 y0” 答案 x0 且 y0 9已知命题 p： f(x) 1 2区间 (0， ) 上是减函数；命题 q：不等式 (x 1)2m 的解集为 p 或 q” 为真 ，命题 “ p 且 q” 为假，则实数 m 的取值范围是_ 解析 由 f(x) 1 2区间 (0， ) 上是减函数，得 1 2m0，即 ，得 ” 的否定是 _ 解析：这是一个全称命题，其否定是 “ 存在 ，使得 ” 答案：存在 ，使得 12已知命题 “ 任意 x R， 5x 152 a 0” 的否定为假命题，则实数 a 的取值范围是_ 解析 由 “ 任意 x R， 5x 152a 0” 的否定为假命题， 可知命题 “ 任意 x R， 5x 152a 0” 必为真命题， 即不等式 5x 152a 0 对任意实数 x 恒成立 设 f(x) 5x 152a，则其图像恒在 x 轴的上方 故 25 4 152a 0，解得 a 56，即实数 a 的取值范围为 56， . 答案 56， 三、解答题 13设命题 p：函数 f(x) 1 在区间 1,1上单调递减；命题 q：函数 y ln( 1)的值域是 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，求 a 的取值范围 解析 p 为真命题 f( x) 3a0 在 1,1上恒成立 a3 1,1上恒成立 a3. q 为真命题 40 恒成立 a 2 或 a2. 由题意 p 和 q 有且只有一个是真命题 p 真 q 假 a3 ， 20， 10命题 q 为真 2，m1 或 m3 m3. 综上所述： m (1,2 3， ) 16已知 c 0，设命题 p：函数 y 题 q：当 x 12， 2 时，函数 f(x) x1x1果 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题求 c 的取值范围 解析 由命题 p 知： 0 c q 知： 2 x 1x 52 要使此式恒成立，则 2 1c，即 c 12. 又由 p 或 q 为真， p 且 q 为假知， p、 q 必有一真一假， 当 p 为真， q 为假时， c 的取值范围为 0 c 12. 当 p 为假， q 为真时， c1. 综上， c 的取值范围为c 0 c 12或 c1 . 1 类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、选择题 1如图，用 4种不同的颜色涂入图中的矩形 A， B， C， 求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有 ( ) A B C D A 72 种 B 48种 C 24种 D 12种 解析 先分两类：一是四种颜色都用，这时 种涂法， 种涂法， 种涂法， 种涂法，共有 4321 24种涂法；二是用 三种颜色， 这时 A， B， 32 24种， 同色即可，故 种涂法故不同的涂法共有 24 242 72种 答案 A 2如图，用 6种不同的颜色把 图中 A、 B、 C、 相邻区域 不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 ( ) A 400种 B 460 种 C 480种 D 496种 解析 从 6种方法， 种， 种， D、 种， D、 种 ， 不同涂法有 654(1 3) 480(种 )，故选 C. 答案 C 两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有( ) A 6种 B 12种 C 24种 D 30种 解析 分步完成 两人从 4 门课程中同选 1 门，有 4 种方法，其次甲从剩下的 3 2 门课程中任选 1门，有 3种方法，最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门，有 2 种方法，于是，甲、乙 所选的课程中恰有 1门相同的选法 共 有 4 3 2=24（种），故选 C 答案 C 4有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考 的方法有 ( ) A 8种 B 9种 C 10种 D 11种 解析 分四步完成，共有 3311 9种 答案 B 5如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个 “ 平行线面组 ” 在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “ 平行线面组 ” 的个数是( ) A 60 B 48 C 36 D 24 解析 长方体的 6个表面构成的 “ 平行线面组 ” 有 66 36个，另含 4个顶点的 6个面 (非表面 )构成的 “ 平行线面组 ” 有 62 12个，共 36 12 48个，故选 B. 答案 B 6高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有 ( ) A 16种 B 18种 C 37种 D 48种 解析 三个班去四个工厂不同的分配方案 共 43种，甲工厂没有班级去的分配方案共 33种，因此满足条件的不同的分配方案共有 43 33 37(种 ) 答案 C 7 4位同学从甲、乙、丙 3门课程中选修 1门，则恰有 2人选修课程甲的不同选法有 ( ) A 12种 B 24种 C 30种 D 36种 解析 分三步，第一步先从 4位同学中选 2人选修课程甲共有 二步给第 3 3位同学选课程，有 2 种选法第三步给第 4位同学选课程，也有 2种不同选法故共有 2 24(种 ) 答案 B 二、填空题 8将数字 1,2,3,4,5,6 按第一行 1个数，第二行 2个数，第三行 3 个数的形式随机排列，设 Ni(i 1,2,3)表示第 i 行中最大的数，则满足 所有排列的个数是_ (用数字作答 ) 解析 由已知数字 6一定在第三行，第三行的排法种数为 60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二 行的排法种数为 4，由分步计数原理满足条件的排列个数是 240. 答案 240 ,2,3， ， 9这九个数字填写在如图的 9 个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字 4 固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有_种 4 解析 必有 1、 4、 9在主对角线上， 2、 3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法， 5只有两种填法对于 5的每一种填法， 6、 7、 8只有 3种不同的填法，由分步计数原理知共有 223 12 种填法 答案 12 10将数字 1,2,3,4,5,6 排成一列，记第 i 个数为 ai(i 1,2， ， 6)，若 ， ， ， 不同的排列方法有 _种 (用数字作答 ) 解析 分两步： (1)先排 2，有 2 种排法；若 3，有 2种排法；若 4，有 1种排法，共有 5种排法； (2)再排 有 6种排法，故不同 的排列方法有56 30种 4 答案 30 11用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,2， ， 9 的 9 个小正方形，使得任意相邻 (有公共边的 )小正方形所涂颜色都不相同，且标号为 1、 5、 9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 _种 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 分步求解只要在涂好 1,5,9 后，涂 2,3,6 即可，若 3 与 1,5,9同色，则 2,6的涂法为 22 ，若 3与 1,5,9不同色，则 3有两种涂法， 2,6只有一种涂法，同理涂 4,7,8，即涂法总数是 2 )(22 ) 366 108. 答案 108 12 给 n4 时，在所有不同的着色方案 中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示： 由此推断，当 n 6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 _种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 _种 (结果用数值表示 ) 答案 21； 43 5 三、解答题 13如右图所示三组平 行线分别有 m、 n、 此图形中 (1)共有多少个三角形？ (2)共有多少个平行四边形？ 解析 (1)每个三角形与从三组平行线 中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成 m n (2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成 14. 编号为 A， B， C， D， 里，要求每个盒子只能放一个小球，且 A 球不能放在 1,2 号， B 球必须放在与不同的放法有多少种？ 解析 根据 (1)若 A 球放在 3 号盒子内，则 B 球只能放在 4 号盒子内，余下的三个盒子放球 C、 D、 E，则根据分步乘法计数原理得， 321 6种不同的放法； (2)若 A 球放在 5 号盒子内，则 B 球只能放在 4 号盒子内 ，余下的三个盒子放球 C、 D、 E，则根据分步乘法计数原理得， 321 6种不同的放法； (3)若 号盒子内，则 号、 3号、 5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球 C、 D、 E 有 6 种不同的放法，根据分步乘法计数原理得， 3321 18种不同方法 综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有 6 6 18 30种 15现安排一份 5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有 5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？ 解析 可将星期一、二、三、四、五分给 5个人，相邻的数字不分给同一个人 星期一：可分给 5人中的任何一人，有 5种分法； 6 星期二：可分给剩余 4人中的任何一人， 有 4种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余 4人中的任何一人，有 4种分法； 同理星期四和星期五都有 4 种不同的分法，由分步计数原理共有 54444 1 280 种不同的排法 16已知集合 A B 0,1,2,3， 到 (1)若 样不同的 (2)若 必无原象，这样的 (3)若 f( f( f( f( 4，这样的 解析 (1)显然对应是一一对应的，即为 4种方法， 种方法， 种方法， 种方法，所以不同的 321 24(个 ) (2)0必无原象， 1,2,3有无原象不限，所以为 种方法所以不同的 4 81(个 ) (3)分为如下四类： 第一类， 对应，有 1种方法； 第二类， A 中有两个元素对应 1，一个元素对应 2，另一个元素与 0 对应，有 12 12 种方法； 第三类， ，另两个元素对应 0，有 22 6种方法； 第四类， A 中有一个元素对应 1，一个元素对应 3，另两个元素与 0 对应，有 13 12 种方法 所以不同的 12 6 12 31(个 ) 1 列与组合 一、选择题 1某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如 果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 ( ) A 42 B 30 C 20 D 12 解析 可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有 12 种排法；若两个节目不相邻，则有 30 种排法 由分类计数原 理共有 12 30 42 种排法 (或42) 答案 A 2 a N*，且 a20，则 (27 a)(28 a)(34 a)等于 ( ) A a B a C a D a 解析 a (27 a)(28 a)(34 a) 答案 D 3从 1,3,5,7 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被 5 整除的四位数共有 ( ) A 252 个 B 300 个 C 324 个 D 228 个 解析 (1)若仅仅含有数字 0，则选法是 以 组成四位数 126 72 个； (2)若仅仅含有数字 5，则选法是 以组成四位数 186 108 个； (3)若既含数字 0，又含数字 5，选法是 法是若 0 在个位，有 6 种，若 5 在个位，有 2A 22 4 种，故可以 组成四位数 4) 120 个 根据加法原理，共有 72 108 120 300 个 答案 B 4 2013 年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共 7 天某单位安排 7 位员工值班， 2 每人值班 1 天，每天安排 1 人若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有 ( ) A 1 440 种 B 1 360 种 C 1 282 种 D 1 128 种 解析 采取对丙和甲进行捆绑的方法： 如果不考虑 “ 乙不在正月初一值班 ” ，则安排方案有： 22 1 440 种， 如果 “ 乙在正月初一值班 ” ，则安排方案有： 14A 22A 44 192 种， 若 “ 甲在除夕值班 ” ，则 “ 丙在初一值班 ” ，则安排方案有： 120 种 则不同的安排方案共有 1 440 192 120 1 128(种 ) 答案 D 5某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资 的项目不超过2 个，则该外商不同的投资方案有 ( ) A 16 种 B 36 种 C 42 种 D 60 种 解析 若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 3 个，每个城市一项，共 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 2 个，一个城市一项、一个城市两项共 分类计数原理知共 60 种方法 答案 D 6某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选修课 4 门，一位同学从中选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 ( ) A 30 种 B 35 种 C 42 种 D 48 种 解析 法一 可分两种互斥情况： A 类选 1 门， B 类选 2 门或 A 类选 2 门， B 类选 1 门，共有 18 12 30(种 )选法 法二 总共有 35(种 )选法，减去只选 A 类的 1(种 )，再减去只选 B 类的 4(种 )，共有 30 种选法 答案 A 7有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本若将其并排摆放在书架 3 的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是 ( ) A 24 B 48 C 72 D 96 解析 248. 答案 B 二、填空题 8 5 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员现从中选出 3 名队员排成 1,2,3 号参加团体比赛，则入选的 3 名队员 中至少有 1 名老队员，且 1、 2 号中至少有 1 名新队员的排法有 _种 (以数字作答 ) 解析 只有 1 名老队员的排法有 23A 33 36 种 有 2 名老队员的排法有 13C 12A 22 12 种； 所以共 48 种 答案 48 9将 4 名新来的同学分配到 A、 B、 C 三个班级中，每个班级至少安排 1 名学生，其中甲同学不能分配到 A 班，那么不同的分配方案种数是 _ 解析 将 4 名新来的同学分配到 A、 B、 C 三个 班级中，每个班级至少安排一名学生有 中甲同学分配到 A 班共有 此满足条件的不同方案共有 24(种 ) 答 案 24 10从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求男、女医生都有，则不同的组队方案共有 _种 解析 分 1 名男医生 2 名女医生、 2 名男医生 1 名女医生两种情况，或者用间接法 直接法： 70. 间接法： 70. 答案 70 11有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有 _种 (用数字作答 ) 4 解析 甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法总数是 18，而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是 33 90，故不同的住宿安 排共有 90 18 72 种 答案 72 12某车队有 7 辆车，现要调出 4 辆按一定顺序出去执行任务要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有 _种不同的调度方法 (填数字 ) 解析 先从除甲、乙外的 5 辆车任选 2 辆有 同甲、乙共 4 辆车，排列在一起，选从 4 个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有 后，安排其他两辆车共有 不同的调度方法为 24A 22 120 种 答案 120 三、解答题 13有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？ (1)分成三个组，各组人数分别为 1、 2、 3； (2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为 1、 2、 3； (3)分成三个组，各组人数分别为 2、 2、 2； (4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为 2、 2、 2； (5)分成四个组，各组人数分别为 1,1,2,2； (6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为 1、 1、 2、 2. 解析 (1)即 60. (2)即 606 360. (3)即 15. (4)即 90. (5)即 45. (6)180. 5 14要从 5 名女生， 7 名男生中选出 5 名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？ (1)至少有 1 名女生入选； (2)至多有 2 名女生入选； (3)男生甲和女生乙入选； (4)男生甲 和女生乙不能同时入选； (5)男 生甲、女生乙至少有一个人入选 解析 (1)771； (2)546； (3)120； (4)672； (5)540. 15在 m(m2) 个不同数的排列 1 i j m 时 前面某数大于后面某数 )，则称 个 排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数记排列 (n 1)n(n 1)321 的逆序数为 1 的逆序数 1，排列 321 的逆序数 3，排列 4 321 的逆序数 6. (1)求 写出 (2)令 1 1明 2n 2n 3， n 1,2， . 解析 (1)由已知条件 10， 15，则 1 n n2 . (2)证明 1 12 n 2n 2 2 1n 1n 2 2n 2 1 13 12 14 13 15 1n 1 1n 1 1n 1n 2 2n 2 32 1n 1 1n 2 ， 2n 2n 3. 16已知 10 件不同的产品中有 4 件次品，现对它们一一测试，直至找到所有 4 件次品为止 (1)若恰在第 2 次测试时，才测试到第一件次品，第 8 次才找到最后一件次品，则共有多少 6 种不同的测试方法？ (2)若至多测试 6 次就能找到所有 4 件次品，则共有多少种不同的测试方法？ 解析 (1)若恰在第 2 次测试时，才测到第一件次品，第 8 次才找到最后一件次品，若是不放回 的逐个抽取测试 第 2 次测到第一件次品有 4 种抽法； 第 8 次测到最后一件次品有 3 种抽法； 第 3 至第 7 次抽取测到最后两件次品共有 余 4 次抽 到的是正品，共有 6 400 种抽法 (2)检测 4 次可测出 4 件次品，不同的测试方法有 检测 5次可测出 4 件次品，不同的测试方法有 4 检测 6 次测出 4 件次品或 6 件正品 ，则不同的测试方法共有 4 由分类计数原理，满 足条件的不同的测试方法的种数为 448 520. 1 项式定理 一、选择题 1二项式 2x 1x 6的展开式中的常数项是 ( ) A 20 B 20 C 160 D 160 解析 二项式 (2x 1x)6的展开式的通项是 1 2 x)6 r 1x r 6 r( 1)r 2r 0， 得 r 3，因此二项式 (2x 1x)6的展开式中的常数项是 6 3( 1)3 160. 答案 D 2若二项式 x 2x 项是常数项，则正整数 n 的值可能为 ( ) A 6 B 10 C 12 D 15 解析 1 x)n r 2x r ( 2)3当 r 4 时， n 3 0，又 n N*， n 12. 答案 C 3.0x(1 t)3展开式中 x 的系数是 ( ) A 1 B 1 C 4 D 4 解析 0x(1 t)3 44 44 14，故这个展开式中 x 的系数是 4 1. 答案 B 4已知 x 展开式中常数项为 1 120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系数的和是( ) 2 A 28 B 38 C 1 或 38 D 1 或 28 解析 由题意知 a)4 1 120，解得 a 2 ，令 x 1，得展开式各项系数和为 (1 a)8 1 或 38. 答案 C 5设 5x 1x ，二项式系数之和为 N，若 M N 240，则展开式中 x 的系数为 ( ) A 150 B 150 C 300 D 300 解析 由已知条件 4n 2n 240，解得 n 4， 1 x)4 r 1x r ( 1)3 令 4 3 1，得 r 2， 150x. 答案 B 6.x 13 项系数最大，则其常数项为 ( ) A 120 B 252 C 210 D 45 解析 根据二项式系数的性质，得 2n 10，故二项式x 131 x)10 r13r2据题意 5r20，解得 r 6，故所求的常数项等于 . 答案 C 7在 (x 2)2 006的二项展开式中，含 x 的奇次 幂的项之和为 S，当 x 2时， S 等于 ( ) A 23 008 B 23 008 C 23 009 D 23 009 解析 (x 2)2 006 06 0605( 2) 0604( 2)2 ( 2)2 006，由已 知条 3 件 S 06( 2)2 006 06( 2)2 006 052 006( 2)2 006 22 0052 1 003 23 008. 答案 B 二、填空题 8 (1 x)3(1 1x)3的展开式中 1_ 解析 利用二项 式定理得 (1 x)3 1 1x 3的展开式的各项为 n n， 令 r n 1，故可得展开式中含 103 23x 33x 15x ， 即 (1 x)3 1 1x 3的展开式中 15. 答案 15 9 设 a1(x 1) a2(x 1)2 a3(x 1)3 a4(x 1)4 a5(x 1)5 a6(x 1)6，则 _. 解析 1 (x 1)6，故 20. 答案 20 10若 (1 x _. 解析 令 x 1，则 36，令 x 1，则 1， 36 12 . 令 x 0，则 1， 36 12 1 364. 答案 364 11已知 (1 x x 1x3 n N*且 2 n8 ，则 n _. 解析 x 1x3 1 r 1x3 r 4 4r(r 0,1,2， ， 8)， 将 n 2,3,4,5,6,7,8 逐个检验可知 n 5. 答案 n 5 12 若 ( x)5的展开式中 ，则 2 2 _. 解析 由二项式定理得， 35 2， 15，故 2 2 2 1 35. 答案 35 三、解答题 13若 3x 1x 式中各项系数和为 1 024，试确定展开式中含 x 的整数次幂的项 解析 令 x 1，则 22n 1 024， n 5. 1 x)5 r 1x r 5 r1032含 x 的整数次幂即使 10 3整数， r 0、 r 2、 r 4，有 3 项， 即 243270 15x 1. 14在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和 (1)试用组合数表示这个一般规律： (2)在数表中试求第 n 行 (含第 n 行 )之 前所有数之和； (3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是 3 4 5，并证明你的结论 第 0 行 1 第 1 行 1 1 第 2 行 1 2 1 5 第 3 行 1 3 3 1 第 4 行 1 4 6 4 1 第 5 行 1 5 10 10 5 1 第 6 行 1 6 15 20 15 6 1 解析 (1)1 1n (2)1 2 22 2n 2n 1 1 (3)设 1n 1n 3 4 5 由 134，得r 134 即 3n 7r 3 0 由 1n 45，得r 1n r45 即 4n 9r 5 0 解 联立方程组得 n 62， r 27 即 3 4 5. 15已知等差数列 2,5,8， 与等比数列 2,4,8， ，求两数列公共项按原来顺序排列 构成新数列 通项公式 解析 等差数列 2,5,8， 的通项公式为 3n 1， 等比数列 2,4,8， 的通项公式为 2k ，令 3n 1 2k ， n N*， k N*， 即 n 2k 13 k 13 k k 1 1k k 1 Ck k k 13 ， 当 k 2m 1 时， m N*， n 132m 1 132m 2 22m 133 N*， 6 1 22n 1(n N*) 16已知 f(x) 2x 12x 1. (1)试证： f(x)在 ( ， ) 上为单调递增函数； (2)若 n N*，且 n3 ，试证： f(n) 1. 证明 (1)任取 ( ， ) 设 f( f( 2121 2121 x1 2 由 2 22f( f( 0，即 f( f( 因此 f(x)在 ( ， ) 上单调递增 (2)当 n N*且 n3 ，要证 f(n) 1，即 2n 12n 11，只须证 2n 2n 1， 2n 1n 2n 1. f(n) 1. 1 样方法 一、选择题 1为了了解所加工一批零件的长度，抽测了其中 200 个零件的长度，在这个问题中， 200个零件的长度是 ( ) A总体 B个体是每一个零件 C总体的一个样本 D样本容量 解析 200 个零件的长度是总体的一个样本 答案 C 2用随机数表法从 100 名学生 (其中男生 25 人 )中抽取 20 人进行评教，某男学生被抽到的概率 是 ( ) A. 1100 析 从容量 N 100 的总体中抽取一个容量为 n 20 的样本，每个个体被抽到的概率都是 15. 答案 C 3甲校有 3 600 名学生，乙校有 5 400 名学生，丙校有 1 800 名学生为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法 ，抽取一个容量为 90 的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是 ( ) A 30,30,30 B 30,45,15 C 20,30,10 D 30,50,10 解析 抽取比例是 903 600 5 400 1 800 1120，故三校分别抽取的学生人数为 3 600 1120 30,5 400 1120 45,1 800 1120 15. 答案 B 4某工厂生产 A， B， C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次 为 3 4 7，现在用分 2 层抽样的方法抽出容量为 n 的样本，样本中 A 型产品有 15 件，那么样本容量 n 为 ( ) A 50 B 60 C 70 D 80 解析 n 33 4 7 15，解得 n 70. 答案 C 5. (1)某学校为了了解 2010 年高考数学科的考试成绩，在高考后对 1 200 名学生进行抽样调查，其中文科 400 名考生，理科 600 名考生，艺术和体育类考生共 200 名，从中抽取 120名考生作为样本 (2)从 10 名家长中抽取 3 名参加座谈会 问题与方法配对正确的是 ( ) A (1) ， (2) B (1) ， (2) C (1) ， (2) D (1) ， (2) 解析 通过分析可知，对于 (1)，应采用分层抽样法，对于 (2)，应采用简单随机抽样法 答案 A 6某高中在校学生 2 000 人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多 1 人为了响应 “ 阳光体育运动 ” 号召，学校举行了 “ 元旦 ” 跑步和登山比赛活动每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步 a b c 登山 x y z 其中 a b c 235 ，全校参与登山的人数占总人数的 中抽取一个 200 人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取 ( ) A 36 人 B 60 人 C 24 人 D 30 人 解析 登山的占总数的 25，故跑步的占总数的 35， 3 又跑步中高 二年级占 32 3 5 310. 高二年级跑步的占总人数的 35 310 950. 由 950 x 36，故选 A. 答案 A 7为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为 1 到 50 的袋装奶粉中抽取 5 袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 袋奶粉的编号可能是 ( ) A 5,10,15,20,25 B 2,4,8,16,32 C 1,2,3,4,5 D 7,17,27,37,47 解析 利用系统抽样，把编号分为 5 段，每段 10 个，每段抽取一个，号码间隔为 10，故选D. 答案 D 二、填空题 8体育彩票 000001 100000 编号中，凡彩票号码最后三位数为 345 的中一等奖，采用的抽样方法是 _ 解析 系统抽样的步骤可概括为：总体编号，确定间隔，总体分段，在第一段内确定起始个体编号，每段内规则取样等几步该抽样符合系统抽样的特点 答案 系统抽样 9 课题组进行城市空气质量调查，按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为 4,12,8，若用分层抽样抽取 6 个城市，则丙组中应抽取的城市数为 _ 解析 由已知得抽样比为 624 14， 丙组中应抽取的城市数为 8 14 2. 答案 2 10某校有老师 200 人，男学生 1 200 人，女学生 1 000 人现用分层抽样的方法从所有师 4 生中抽取一 个容量为 n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为 80 人，则 n _. 解析 由题意知 801 000 1 200 1 000，解之得 n 192. 答案 192 11为了了解 某校高中学生的近视眼发病率 ，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生 800 名、 600 名、 500 名，若高三学生共抽取 25 名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是 _ 解析 无论高几，每一位学生
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