七年级数学思维探究（12）不定方程(组)（含答案）

华罗庚（ 1910 江苏金坛人，初中毕业后刻苦自学，主要从事解析数论、矩阵几何学等领域的研究并取得突出成绩，在解决高斯完整三角和的估计难题、华林和塔里问题改进、近世代数论方法应用研究等方面获出色成果 1984年当选美国科学院外籍院士，同年被聘为第三世界科学院院士 12 不定方程（组） 解读课标 如果一个方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，那么把这种方程（组）叫做不定方程（组） 不定方程（组）的解是不确定的，一般不定方程（组）总有无穷多个（组）解，但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有无数组，或有限组，或不存在 简单的不定方程是二元一次不定方程，它的一般形式是 ax by c（ a ， b ， c 为整数，且 0），与之相关的性质有： 1 无整数解的判定方法 若 ,a b d ，而 |方程 ax by c没有整数解 2 全部整数解的表示 若方程 ax by c有一组解（特解） 00， 则方程 ax by c全部整数解（通解）可表示为：00x x y （ t 为整数） 问题解决 例 1 某班级为筹备运动会，准备用 365元购买两种运动服，其中甲种运动服 20 元 /套，乙种运动服 35 元/套，在钱用尽的条件下，有 _种购买方案 试一试 设购买甲、乙两种运动服套数为 x 套、 y 套，则 2 0 35 36 5，即 4 7 73 将问题转化为求不定方程的正整数解的个数 例 2 如图，在高速公路上从 3 千米处开始，每隔 4 千米设一个速度限制标志，而且从 10千米处开始，每隔 9 千米设一个测速照相标志，则刚好在 19千米处同时设置这两种标志 问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是 （ ） A 32 千米 B 37 千米 C 55 千米 D 90 千米 试一试 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为 34x 、 10 9y （ x ， y 为自然数 )，问题转化为求不定方程 3 4 10 9 的正整数解 例 3 （ 1） 求方程 2 5 4的全部整数解； （ 2） 求方程 5 3 7 的正整数解 试一试 对于 （ 2 ） ，先表示出方程的全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解 例 4 某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐 22 人，就会余下 1 人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车，问：原先去租多少辆客车和学校师生共多少人？（已知每辆车的容量不多于 32 人） 试一试 设原先租客车 x 辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐 k 人，则 2 2 1 1 2 3 3 2x k x k ，解此不定方程即可 例 5 购买铅笔 7 支，作业本 3 个，圆珠笔 1支共需 3 元；购买铅笔 10支，作业本 4 个，圆珠笔 1支共需 4元 问购买铅笔 11支，作 业本 5 个，圆珠笔 2 支共需多少元？ 分析 设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为 a 、 b 、 c ，则 7 3 31 0 4 4a b ca b c ， 需求 11 5 2a b c的值 解法 1 原方程组变形为 3 3 74 4 1 0 ,b c ab c a ， 解得 132, 1 1 5 2 1 1 5 1 3 2 2 5a b c a a a 解法 2 把 11 5 2a b c直接用 73a b c、 10 4a b c的式子表示 1 1 5 2 3 7 3 1 0 4 3 3 4 5a b c a b c a b c 231915111073解法 3 1 1 5 2 1 0 4 4a b c a b c a b c a b c ， 需求出 ，原方程组变形为 6 2 39 3 4a b c a ba b c a b 3 2 ，得 3 3 4 2 1 ， 1 1 5 2 4 1 5a b c 百钱买百鸡 例 6 中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡 问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？ 分析与解 设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为 x ， y ， z ，则有 1005 3 1 0 0 ,3x y 通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解 3，得 14 8 200 ， 即 7 4 100 到此，读者可用穷举法解之，我们还是用一般方法（分离整系数、运用整除）求出它的通解 由得 1 0 0 7 2 5 244 ，令4x t，则 4， 2 5 2 2 5 8 2 5 7y x t t t t ， 1 0 0 1 0 0 4 2 5 7 3 7 5z x y t t t ， 这样，得到方程组的通解为 425 73 75 （ t 为非负整数） 402 5 7 03 7 5 0 , 043725解得 03t 令 0t ， 1， 2 ， 3 ，得下列四组解： , , 0 , 2 5 , 7 5x y z ， 4 , 18 , 78 ， 8 , 11 , 81 ， 12 , 4 , 84 数学冲浪 1 若方程 36 83 2有一组解为 6026 ,则 方程的通解可表示为 _ 2 若方程 2 3 1有一 组整数解为 11,则由此得方程 2 3 6的通解为 _ 3 用一 元 钱买 面值 4 分、 8 分、 1 角的 3 种邮票共 18张，每种邮票至少买 一 张，共 有 _种不同的买法 4 某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由 15朵红花、 24 朵黄花和 25 朵紫花搭配而成，乙种盆景由 10朵红花和 12朵黄花搭配而成，丙种盆景由 10朵红花、 18朵黄花和 25 朵紫花搭配而成 这些盆景一共用了 2900朵红花， 3750朵紫花，则黄花一共用了 _朵 5 方程 4 5 98的正整数解的个数是 （ ） A 4 B 5 C 6 D 7 6 为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为 4 元、 5 元、6 元，购买这些钢笔需要花 60 元；经过协商，每种钢笔单价下降 1元，结果只花了 48 元，那么甲种钢笔可能购买 （ ） A 11支 B 9 支 C 7 支 D 5 支 7 三元方程 1999x y z 的非负整数解的个数有 （ ） A 20001999个 B 19992000个 C 2001000 个 D 2001999 个 8 某次足球比赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1分，负一场得 0 分，某球队参赛 15场，积 33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有 （ ） A 15种 B 11种 C 5 种 D 3 种 9 一 宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团 20 人准备同时祖用这三种客房共 7 间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？ 10 某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装 240 辆 由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装 生产开始后，调研部门发现： 1名熟练工和 2 名新工人每月可安装 8 辆电动汽车； 2 名熟练工和 3 名新工人每月可安装 14辆电动汽车 （ 1） 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （ 2） 如果工厂招聘 0 10 名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ （ 3） 在 （ 2） 的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发 2000元的工资，给每名新工人每月发 1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额 W （元）尽可能的少？ 11 一 个盒子里装有不多于 200 粒棋子，如果每次 2 粒、 3 粒、 4 粒或 6 粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次 11粒地取出，那么正好取完 间盒子里共有多 少粒棋子？ 思维方式天地 12 正整数 m 、 n 满足 8 9 6m n ，则 m 的最大值为 _ 13 顺思逆想 一年共有 12个月，闰年的二月是 29 天，又有 4 个小月， 7 个大月，所以闰年共有2 9 1 3 0 4 3 1 7 3 6 6 （天） 反过来思考：如果非负整数 a 、 b 、 c 满足等式： 2 9 3 0 3 1 3 6 6a b c ，那么 _，这样的数组（ a 、 b 、 c ）共有 _组，它们分别是 _ 14 甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答 以后在抢答过程中若甲答对 1题，就可提 6 个问题，乙答对 1题就可提 5 个问题，丙答对 1题就可提 4 个问题，供另两人抢答，抢答结束后，总共有 16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是 _ 15 有甲、乙、丙 3 种商品，某人若购甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件共需 24 元；若购买甲 4 件、乙 10件、 丙1件共需 33 元，则此人购买甲、乙、丙各 1件共需 _元 16 如果一个两位数 5x 与三位数 3积为 29400 ，那么 x y z _ 17 司机小李驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数， 1小时后，看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过 1小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的 两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程碑上的数各是多少？ 18 陈老师给 42 名学生每人买了一件纪念品，其中有：每支 12元的钢笔，每把 4 元的圆规，每册 16元的词典，共用了 216 元 问陈老师买了多少支钢笔？多少本词典？ 应用探究乐园 19 将一个三位数 为一个两位数 且满足 94ac c（如1 5 5 9 1 5 4 5 ） 试求出所有这样的三位数 20 物不知其数 我国南北朝时期有一部著名的算术著作孙子算经，其中有这样一个“物不知其数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？” 12 不定方程（组） 问题解决 例 1 , 1 3 , 3， 6, 7 例 2 C 7 9 32144 ， 43y ， 135为所求的解 例 3 （ 1） 522， y 只能取偶数，得一组解 72，故原方程的通解为 7522（ t 为整数） （ 2） 375，经观察 0 1x ， 0 4y 为方程的一组解，原方程的通解为 1345（ t 为整数） 00,1 3 04 5 0 , 解得 13t 故当 t 取 0 ， 1 ， 2 ， 时，可知原方程有无穷多组正整数解 例 4 由 2 2 1 1x k x ，得 22 1 232211xk ， 123x ，得 11x ，或 1 2 3x ，得 2x 或 24 当2x 时，师生总人数为 2 22 1 45 （人），开走一辆车，每辆载客 45 45 3221 （人），与题意不符，故 2x 舍去，从而 24x ，师生共有 24 22 1 529 （人） 数学冲浪 1 60 8326 36 （ t 为整数） 2 6362 （ t 为整数） 3 2 4 4380 设甲盆景 x 盆，乙盆景 y 盆，丙盆景 z 盆，根据题意得： 1 5 1 0 1 0 2 9 0 02 5 2 5 3 7 5 0 ,x y 得 2 所以共用了黄花 2 4 1 2 1 8 1 8 6 2 1 8 1 5 0 6 2 8 0 4 3 8 0x y z x z x y （朵） 5 B 6 D 7 C 当 0x 时， 1999 ， y 分别取 0 ， 1， 2 ， ， 1999 时， z 取 1999 ， 1998 ， ， 0 ，有 2000个整数解；当 1x 时， 1998 ，有 1999个整数解，当 2x 时， 1997 ，有 1998 个整数解； 当 1999x 时， 1，只有 1组整数解，故非负整数解共有 2 0 0 0 1 9 9 9 1 9 9 8 3 2 1 2 0 0 1 0 0 0 （个） 8 D 设该队胜 x 场，平 y 场，负 z 场， x ， y ， z 都为整数，且 0 x ， y ， 15z 则 153 33x y ，解得 113，则 0y ， 3 ， 6 9 设租二人间 x 间，三人间 y 间，四人间 z 间，则 2 3 4 2 07,x y zx y z 得 26， x ， y ， z 均为正整数， 有 2x ， 4y ， 1z ； 3x ， 2y ， 2z ，故有两种租房方案 10 （ 1） 4 ； 2 （ 2）工厂有 4 种新工人的招聘方案； （ 3）满足题意要求的招聘方案为：招聘 4 名新工人和抽调 3 名熟练工，此时工厂每月支出的工资总额最少，为 10800元 11 设盒子里共有 x 粒棋子，则 x 被 2 ， 3 ， 4 ， 6 的最小公倍数 12除时，余数为 1 ，即 12 1（ 又 11（ b 为自然数），得 12 1 11 ， 1 2 1 11 1 1 1 ， 11 1a ，因 0 200x ，故 0 1 2 1 2 0 0a ，得 70 1612a， 10a ，所以， 1 2 1 0 1 1 2 1x ，即盒子里共有 121粒棋子 12 75 9 6 6 6988nm ， 9n 时， m 最大值为 75 13 12； 4 ； 0 , 6 , 6 ， 1, 4, 7 ， 2 , 2 , 8 ， 3, 0, 9 14 1, 1, 2 或 0, 3, 1 设甲、乙、丙分别答对 x 、 y 、 z 个问题，那么 6 5 1 4 1 6x y z x y z ，即 5 4 3 1 5x y z ，解得 , , 1 , 1 , 2x y z ， 0, 3, 1 ， 0 , 0 , 5 ， 3, 0