七年级数学思维探究（18）整式的乘除（含答案）

牛顿（ 1642 1727 ），英国数学家、物理学家、天文学家 牛顿对数学的最大贡献是创立了流数术（微积分），建立了二项式定理及“广义的算术”（代数学），他的名作自然哲学数学原理用数学与知识解释了哥白尼学说和天体运动的现象，阐明了运动三定理和万有引力定理，建立了求方程近似根的法则，后人以其突出的贡献，把他与阿基米德、高斯并称为历史上最伟大的数学家 18 整式的乘除 解读课标 数有乘、除、乘方运算，代数式也有相应的运算 整式的乘除法的各个运算之间存在着内在的联系，是可以相互转化的 多项式与多项式相乘可以通过转化变成单项式与多项式相乘，再通过转化变成单项式相乘，最后 化为同底数幂的乘法进行运算；类似的，多项式除以多项式最后可化为同底数幂的除法进行运算 因此，幂的运算是整式乘除的基础 问题解决 例 1 （ 1） 若 n 为不等式 200 3006n 的解，则 n 的最小正整数的值为 _ （ 2） 已知 2 1 ，那么 4 3 22 2 2 0 0 5x x x x _ 试一试 对于 （ 1） ，从幂的乘方逆用 入 手；对于 （ 2） ，就目前无法求出 x 的值，恰当地运用条件，把高次项用低次多项式表示，如 2 1 ， 3 2 21 1 2 1x x x x x x x x x x 等 例 2 把 552 ， 443 ， 335 ， 226 这 4 个数从小到大排列，正确的是 （ ） A 5 5 4 4 3 3 2 22 3 5 6 B 5 5 3 3 2 2 4 42 5 6 3 C 5 5 2 2 3 3 4 42 6 5 3 D 5 5 2 2 4 4 3 32 6 3 5 试一试 指数 55 ， 44 ， 33 ， 22 的最大公约数为 11，把不同指数的幂化成同指数 的幂 例 3 设 a 、 b 、 c 、 d 都是正整数，并且 54， 32， 19 ，求 的值 试一试 设 5 4 20a b m ， 3 2 6c d b， 这样 a 、 b 可用 m 的式子表示， c 、 d 可用 n 式子表示，通过减少字母的个数降低问题的难度 例 4 设 5 5 4 3 25 4 3 2 1 031x a x a x a x a x a x a 求：（ 1） 5 4 3 2 1 0a a a a a a 的值； （ 2） 5 4 3 2 1a a a a a 的值 试一试 通过展开式去求出每一项系数，这样做计算繁难 事实上，上列等式在 x 的允许值范围内取任意值代 入 计算，等式都成立，注意 1 的幂的特征，用赋值法求解 例 5 已知多项式 321x 能被 1x 整除，求 a 的值 解法一 用赋值法解 设 3211x a x x A ，其中 A 为多项式 令 1x 代入上式， 得 31 1 0a ， 2a 解法二 用待定系数法解 设 3 2 21 1 1x a x x x m x ，即 3 2 3 21 1 1 1x a x x m x m x ， 对 比得 10m ， 1 ， 1m ， 2a 对称之美 例 6 观察下列等式： 1 2 2 3 1 1 3 2 2 1 ， 1 3 3 4 1 1 4 3 3 1 ， 2 3 3 5 2 2 5 3 3 2 ， 3 4 4 7 3 3 7 4 4 3 ， 6 2 2 8 6 6 8 2 2 6 ， 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式” （ 1） 根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”： 52 _=_ 25 ； _ 396 693 _ （ 2） 设这类等式左边两位数的十位数字为 a ，个位数字为 b ，且 29 ，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含 a 、 b ），并证明 分析与解 观察规律，左边：两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边：三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律填空并进行一般式的证明 （ 1） 275， 572； 63 ， 36 （ 2） 一 般规律的式子为 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0a b b a b a a a b b b a 证明 左边 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0a b b a a b b a ， 右边 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0a b b a a b b a ， 左边 =右边 数学冲浪 知识技能广场 1 满足 200 30013x 的 x 的最小正整数为 _ 2 如果 2 10 ， 那么 3223 _ 3 探索规律： 133 ，个位数字是 3 ； 239 ，个位数字是 9 ； 33 27 ，个位数字是 7 ； 43 81 ，个位数字是 1； 53 243 ，个位数字是 3 ； 63 729 ，个位数字是 9 ； 那么 73 的个位数字是 _， 303 的个位数字是 _ 4 计算 （ 1） 23244 0 1 _； （ 2） 1998 2 0 0 0 2 0 0 02 0 0 0 2 0 0 07 3 1 53 7 3 5 _ 5 如果 2 10 ，那么代数式 3227的值为 （ ） A 6 B 8 C 6 D 8 6 已知 3181n ， 4127b ， 619c ，则 a 、 b 、 c 的大小关系是 （ ） A B a c b C D b c a 7 已知 23a ， 26b ， 2 12c ，则 a 、 b 、 c 的关系是 （ ） A 2b a c B 2b a c C 2b a c D a b c 8 化简 432 2 222 得 （ ） A 1 128n B 12n C 78D 749 已知 226 7 3 1 4 2 3 3x x y y x y a x y b x y c ，试确定 a 、 b 、 c 的值 10 探索、研究 仪器箱按如图所示方式堆放（自下而上依次为第一层、第二层 ），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数 层数 n 之间满足关系式 2 3 2 2 4 7na n n ， 1 16n ， n 为整数 （ 1） 例如：当 2n 时， 22 2 3 2 2 2 4 7 1 8 7a ， 则 5a _， 6a _ （ 2） 第 n 层比第 1n 层多堆放多少个仪器箱？（用含 n 的代数式表示） （ 3） 如果不考虑仪器箱承受的压力，请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层？并说明理由 （ 4） 设每个仪器箱重 54N （ 牛顿），每个仪器箱能承受的最大压力为 160N ，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的 若仪器箱仅堆放第一、二两层，求第一层中每个仪器箱承受的 平均压力 在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层？为什么？ 思维方法天地 11 如果 5 5 5 5 5 5 5 5 5 55 5 5 5 54 4 4 4 6 6 6 6 6 6 23 3 3 2 2 n ， 那么 n _ 12 已知 5 5 4 3 22x a x b x c x d x e x f ，则 16 4b d f _ 13 （ 1） 1615 与 1333 的大小关系是 1615 _ 1333 （填“ ”、“ ”或“ =”） 14 已知 25 2000x ， 80 2000y ，则 11于 （ ） A 2 B 1 C 12D 3215 满足 22 11 的整数 n 有 （ ） 个 A 1 B 2 C 3 D 4 16 若 62 1 2 1 1 1 01 2 1 1 1 0 1 02x x a x a x a x a x a ，则 1 2 1 0 8 6 4 2a a a a a a （ ） A 32 B 0 C 32 D 64 17 是否存在整数 a 、 b 、 c 满足 9 1 0 1 6 2?8 9 1 5 若存在，求出 a 、 b 、 c 的值；若不存在，说明理由 18 设 a 、 b 、 c 、 d 都是非零自然数，且 54， 32， 17 ，求 的值 应用探究乐园 19 已知 x ， y ， z 是整数，且 x y z， 2 2 2 4 5x y z ，求 值 20 纪念活动中的数学题 1976年，在美国举行了建国 200 周年纪念活动 在某中学的黑板报 一 日一题栏中有一道有趣的题目： 2001776 的最后两位数字是什么？ 黑板报前面围着一大群学生，大家议论纷纷，小马克看了看题目，伸出了舌头：“哟 ！ 1776 的 200 次方，1776年 美国第一任总统华盛顿宣布建立美利坚合众国，确实值得纪念 但是要把 1776 连乘 200 次，才能找出最后的末尾两位数字，恐怕不知要算到何时；也不知要用掉多少草稿纸哩 ” 请读者研究一下 1776这个数的特点，不用小马克的 呆办法，而立即把答案说出来？ 18 整式的乘除 问题解决 例 1 （ 1） 100 100236n ， 2 216n ， n 的最小值为 15； （ 2） 2004 例 2 D 115 5 5 1 12 2 3 2， 114 4 4 1 13 3 8 1， 113 3 3 1 15 5 1 2 5， 112 2 2 1 16 6 3 6 例 3 4， 5， 2， 3，由 19 得 2419，即 2219n m n m ，因 19是质数， 2、 2是自然数，且 22n m n m ，得 22191，解得 10n ， 3m ，所以351 0 3 7 5 7 例 4 （ 1）当 1x 时，得 55 4 3 2 1 0 3 1 1 1 0 2 4a a a a a a 故原式 1024 （ 2）由 531x 展开并比较系数的符号，得 5 0a ， 4 0a ， 3 0a ， 2 0a ， 1 0a ， 0 0a ，则原式5 4 3 2 1 01 0 2 4 1 0 2 3a a a a a a （显然 0 ） 数学冲浪 1 7 2 313x 2 4 3 7 ； 9 4 （ 1） 5 （ 2） 9495 C 6 A 7 B 2 2 36 ， 2 222 2 6 3 6 ，得 2b a c 8 C 9 4a ， 4b ， 1c 10 （ 1） 112； 91 （ 2） 221 3 2 2 4 7 1 3 2 1 2 4 7 3 1 2a n n n n n ，即第 n 层比第 1n 层多堆放 31 2n 个仪器箱 （ 3） 22 3 2 2 5 6 2 4 7 2 5 6 1 6 9na n n n ，由条件得，当 13n 时， 0，故仪器箱最多可以堆放 12层 （ 4） 仪器箱最多可以堆放 5 层 11 12 12 512 令 2x 代入 13 （ 1） 16 16 6415 16 2， 1 3 1 3 6 5 6 43 3 3 2 2 2 （ 2） 提示：设 20003 x 14 B 25 =2000xy y ， 80 2000xy x ，得 2 5 8 0 2 0 0 0xy ，得 xy x y 15 D 由 20n且 2 10 ，得 2n ；由 2 11 ，得 1n ， 2n ；由 2 11 且 2n是偶数，得 0n 16 A 17 原式可化为 3 4 2 2 1 0 02 3 5 2 3 5a b c a b c b c ，得 3 4 12 2 00a b ca b ，解得 322 18 269 参见例 3得 3m ， 8n ， 3 5 3 58 3 2 6 9d b n m 19 方程两边同乘以 8 ，得 3 3 32 2 2 3 7x y z 因为 x y z，要使上式左边为奇数，只有 321z ，即 3z 则 332 2 36，即 112 2 9 要使上式左边为奇数，只有 121y ，即 1y 从而有 128x ，即 2x 故有 2x ， 1y ， 3z 则 6 20 “ 76 ”是一个很特殊的数，任何两个