广东省揭阳市2017届高考数学二模试卷（理科）含答案解析

2017 年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1函数 f（ x） = +6 3x）的定义域为（ ） A（ ， 2） B（ 2， + ） C 1， 2） D 1， 2 2己知复数 z= （ a R， i 是虚数单位）是纯虚数，则 |z|为（ ） A B C 6 D 3 3 “p q 是真命题 ”是 “p q 是真命题 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不 必要条件 4已知 ，则 2） =（ ） A B C D 5己知 0 a b l c，则（ ） A a 6中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年 商鞅督造一种标准量器商鞍铜方升，其三视图如图所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（ ） A 14 B 12+ C 12+ D 38+2 7设计如图的程序框图，统计高三某班 59 位同学的数学 平均分，输出不少于平均分的人数 （用 j 表示），则判断框中应填入的条件是（ ） A i 58？ B i 58？ C j 59？ D j 59？ 8某撤信群中四人同时抢 3 个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（ ） A B C D 9己知实数 x， y 满足不等式组 ，若 z=x 2y 的最小值为 3，则 ） A 1 B C 2 D 10函数 f（ x） = ） x 的大致图象是（ ） A B C D 11已知一长方体的体对角线的长为 条对角线在长方体一个面上的正投影长为 8，则这个长方体体积的最大值为（ ） A 64 B 128 C 192 D 384 12已知函数 f（ x） = （ 0）， x R，若 f（ x）在区间（ ，2）内有零点，则 的取值范围是（ ） A（ ， ） （ ， + ） B（ 0， ， 1） C（ ， ） （ ， ）D（ ， ） （ ， + ） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上 . 13已知向量 =（ x 1， 2）， =（ 2， x 1）满足 = | | |，则 x= 14已知直线 3x 4y 6=0 与圆 x2+2y+m=0（ m R）相切，则 m 的值为 15在 ，已知 与 的夹角为 150， | |=2，则 | |的取值范围是 16己知双曲线 =1（ b 0）的离心率为 ， 双曲线的两个焦点， A 为左顶点、 B（ 0， b），点 P 在线段 ，则 的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17（ 12 分）已知数列 ， ， = +n+1 （ I）求证：数列 +1是等比教列 （ 数列 前 n 项和为 18（ 12 分）己知图 1 中，四边形 等腰梯形， O、Q 分别为线段 中点， 交点为 P， ， ，现将梯形 起，使得 ，连结 一几何体如图 2 示 （ I）证明：平面 平面 （ 图 1 中 A=45， ，求平面 平面 成锐二面角的余弦值 19（ 12 分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了 过关智力游戏，游戏共五关规定第一关没过者没奖励，过 n（ n N*）关者奖励 2n 1 件小奖品（奖品都一样）如图是小明在 10 次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率 （ ）估计小明在 1 次游戏中所得奖品数的期望值； （ 计小明在 3 次游戏中至少过两关的平均次数； （ ）估计小明在 3 次游戏中所得奖品超过 30 件的概率 20（ 12 分）己知椭圆 + =1（ a b 0）与抛物线 p 0）共焦点物线上的点 M 到 y 轴的距离等于 | 1，且椭圆与抛物线的交点 Q 满足 | （ I）求抛物线的方程和椭圆的方程； （ 抛物线上的点 P 作抛物线的切线 y=kx+m 交椭圆于 A， B 两点，设线段中点为 C（ 求 取值范围 21（ 12 分）设函数 f（ x） =（ x a） 2（ a R）， g（ x） = （ I）试求曲线 F（ x） =f（ x） +g（ x）在点（ 1， F（ 1）处的切线 l 与曲线 F（ x）的公共点个数； （ 函数 G（ x） =f（ x） g（ x）有两个极值点，求实数 a 的取值范围 （附：当 a 0， x 趋近于 0 时， 2趋向于 + ） 三、请考生在第（ 12）、（ 23）題中 任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分 .选修 4标系与参数方程 22（ 10 分）在直角坐标系 ，已知直线 y=x（ 0 a ， ），抛物线 C： （ t 为参数）以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （ ）求直线 抛物线 C 的极坐标方程； （ ）若直线 抛物线 C 相交于点 A（异于原点 O），过原点作与 直的直线 抛物线 C 相交于点 B（异于原点 O），求 面积的最小值 五、 选修 4等式选讲 （共 1 小题，满分 0 分） 23己知函 数 f（ x） =|2|x| 1| （ I）求不等式 f（ x） 1 的解集 A； （ ）当 m， n A 时，证明： |m+n| 2017 年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1函数 f（ x） = +6 3x）的定义域为（ ） A（ ， 2） B（ 2， + ） C 1， 2） D 1， 2 【考点】 33：函数的定义域及其求法 【分析】 根据二次根式以及对数函数的性质求 出函数的定义域即可 【解答】 解：由题意得： ， 解得： 1 x 2， 故函数的定义域是 1， 2）， 故选： C 【点评】 本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题 2己知复数 z= （ a R， i 是虚数单位）是纯虚数，则 |z|为（ ） A B C 6 D 3 【考点】 数求模 【分析】 利用复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式即可得出 【解答】 解：复数 z= = = （ a R， i 是虚数单位）是纯虚数， =0， 0 解得 a= 6 z=3i 则 |z|=3 故选： D 【点评】 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3 “p q 是真命题 ”是 “p q 是真命题 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 2E：复合命题的真假； 29：充要条件 【分析】 由真值表可知若 p q 为真命题，则 p、 q 都为真命题，从而 p q 为真命题，反之不成立，从而求解 【解答】 解： p q 为真命题，则 p、 q 中只要有一个命题为真命题即可， p q 为真命题，则 需两个命题都为真命题， p q 为真命题不能推出 p q 为真命题，而 p q 为真命题能推出 p q 为真命题 “p q 是真命题 ”是 “p q 是真命题 ”的充分不必要条件， 故选 A 【点评】 本题考查了利用充要条件定义判断充分必要性的方法，利用真值表判断命题真假的方法，熟记真值表是解决本题的关键 4已知 ，则 2） =（ ） A B C D 【考点】 倍角的余弦； 角函数的化简求值 【分析】 由已知，利用二倍角公式可求 而利用诱导公式 即可化简求值得解 【解答】 解： ， 两边平方，可得： 1 2，可得： 1 ， 2） = 故选： C 【点评】 本题主要考查了二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 5己知 0 a b l c，则（ ） A a 【考点】 4M：对数值大小的比较 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性即可判断出 正误 【解答】 解： 0 a b l c，则 故选： C 【点评】 本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年 商鞅督造一种标准量器商鞍铜方升，其三视图如图所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（ ） A 14 B 12+ C 12+ D 38+2 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】 该几何体为一底面半径为 、高为 2 的圆柱与一长、宽、高分别为 4、 3、1 的长方体的组合，由此能求出此量器的体积 【解答】 解：由三视图得到该几何体为一底面半径为 、高为 2 的圆柱 与一长、宽、高分别为 4、 3、 1 的长方体的组合，如右图， 故此量器的体积为： V= = 故选： B 【点评】 本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力与空间想象能力，是基础题 7设计如图的程序框图，统计高三某班 59 位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数 （用 j 表示），则判断框中应填入的条件是（ ） A i 58？ B i 58？ C j 59？ D j 59？ 【考点】 序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，由程序框图知：要想判断所有 59 位学生的成绩 b（ i=1， 2， 3， 59 ）是否成立，判断框中应填入的条件是 i 58？ 【解答】 解：由程序框图知： 先输入 59 位同学的数学成绩，并求出平均分 b， 然后依次判断 59 名学生的成绩 b（ i=1， 2， 3， 59 ）是否成立， 若成立， j=j+1，再判断下一位，若不成立，直接判断下一位， 由此得到要想判断所有 59 位学生的成绩 b（ i=1， 2， 3， 59 ）是否成立， 判断框中应填入的条件是 i 58？ 故选： B 【点评】 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： 分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理） 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 解模 8某撤信群中四人同时抢 3 个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（ ） A B C D 【考点】 典概型及其概率计算公式 【分析】 3 个红包分配给四人共有 种分法， “甲、乙两人都抢到红包 ”指从 3 个红包中选 2 个分配给甲、乙，其余 1 个分配给另外二人，甲、乙两人都抢到红包的概率 【解答】 解： 3 个红包分配给四人共有 种分法， “甲、乙两人都抢到红包 ”指从 3 个红包中选 2 个分配给甲、乙，其余 1 个分配给另外二人， 甲、乙两人都抢到红包的概率： p= = = 甲、乙两人都抢到红包的概率为 故选： D 【点评】 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用 9己知实数 x， y 满足不等式组 ，若 z=x 2y 的最小值为 3，则 ） A 1 B C 2 D 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值列出方程，求解即可 【解答】 解：实数 x， y 满足不等式组 的可行域如图， 当直线 z=x 2y 过点 A（ a 2， a）时， z 取得最小值，即 a 2 2a= 3 可得 a=1 故选： A 【点评】 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力 10函数 f（ x） = ） x 的大 致图象是（ ） A B C D 【考点】 3O：函数的图象 【分析】 利用 f（ 0）， f（ 2）， f（ 4）的函数值，排除选项即可推出结果 【解答】 解：由 f（ 0） = 1 可排除（ D），由 f（ 2） =4 4=0， f（ 4） =16 16=0，可排（ A）（ C）， 故选 B 【点评】 本题考查函数的图象的判断，特殊点的应用，考查计算能力 11已知一长方体的体对角线的长为 条对角线在长方体一个面上的正投影长为 8，则这个长方体体积的最大值为（ ） A 64 B 128 C 192 D 384 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 以投影面为底面，得正方体的高为 6，设长方体底面边长分别为 a， b，则 a2+4，由此能求出这个长方体体积的最大值 【解答】 解：以投影面为底面，得到正方体的高为 =6， 设长方体底面边长分别为 a， b， 则 a2+4， 这个长方体体积 V=63（ a2+=192 这个长方体体积的最大值为 192 故选： C 【点评】 本题考查长方体的体积的最大值的求法，考查基本不等式、长方体性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思 想，是中档题 12已知函数 f（ x） = （ 0）， x R，若 f（ x）在区间（ ，2）内有零点，则 的取值范围是（ ） A（ ， ） （ ， + ） B（ 0， ， 1） C（ ， ） （ ， ）D（ ， ） （ ， + ） 【考点】 54：根的存在性及根的个数判断 【分析】 利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用零点求出 x 的值，然后利用特殊值排除选项推出结果即可 【解答】 解： f（ x） = = x ），由 f（ x） =0，可得 x= （ k Z） ， 令 =2得函数 f（ x）有一零点 x= （ ， 2），排除（ B）、（ C）， 令 得函数 f（ x）在（ 0， + ）上的零点从小到大为： ， 显然 ， 2）， ， 2），可排除（ A）， 故选： D 【点评】 本题考查函数的零点的判断与应用，三角函数的化简求值，考查转化思想 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上 . 13已知向量 =（ x 1， 2）， =（ 2， x 1）满足 = | | |，则 x= 1 【考点】 9R：平面向 量数量积的运算 【分析】 由 便可得出 的方向相反，即有 ，这样根据平行向量的坐标关系即可求出 x 值，并满足 方向相反，从而确定 x 的值 【解答】 解： ； ； 夹角为 ； ，且 方向相反； （ x 1） 2 4=0； x 1= 2，或 x 1=2（舍去）； x= 1 故答案为： 1 【点评】 考查向量数量积的计算公式，已知余弦值求角，向量夹角的概念，以及平行向量的坐标关系 14已知直线 3x 4y 6=0 与圆 x2+2y+m=0（ m R）相切，则 m 的值为 3 【考点】 的切 线方程 【分析】 利用直线 3x 4y 6=0 与圆 x2+2y+m=0（ m R）相切，根据点到直线的距离公式，建立方程，即可得到结论 【解答】 解：圆 x2+2y+m=0 可化为 y 1） 2=1 m，圆心为（ 0， 1），半径 r= ， 由题意，直线 3x 4y 6=0 与圆 x2+2y+m=0（ m R），可得 = ， m= 3 故答案为： 3 【点评】 本题考查直线与圆相切，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题 15在 ，已知 与 的夹角为 150， | |=2，则 | |的取值范围是 （ 0，4 【考点】 9S：数量积表示两个向量的夹角 【分析】 与 的夹角为 150， |可得 B=30由正弦定理可得： = =4，可得 =4用 0 C 150，即可得出 【解答】 解： 与 的夹角为 150， |可得 B=30 由正弦定理可得： = =4，可得 =4 又 0 C 150，可得： 故答案为：（ 0， 4 【点评】 本题考查了正弦定理、向量夹角、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16己知双曲线 =1（ b 0）的离心率为 ， 双曲线的两个焦点， A 为左顶点、 B（ 0， b），点 P 在线段 ，则 的最小值为 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 设 P（ x， y）推出 =（ x， y）（ x， y） =x2+5，通过垂直整合求解最小值即可 【解答】 解：双曲线 =1（ b 0）的离心率为 ， A 为左顶点、可得 a=2，则 c= ， b= =1， 设 P（ x， y）则 =（ x， y）（ x， y） =x2+5， 显然，当 ， x2+得最小值，由面积法易得 （ x2+，故点 B 上， 则 的最小值为： 故答案为： 【点评】 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17（ 12 分）（ 2017揭阳二模）已知数列 ， ， = +n+1 （ I）求证：数列 +1是等比教列 （ 数列 前 n 项和为 【考点】 8H：数列递推式； 8E：数列的求和 【分析】 （ I） = +n+1，可得 +1=2 ，即可证明数列 +1是等比教 列，公比为 2，首项为 2 （ （ I）可得： +1=2n，可得 an=n2n n利用错位相减法、等比数列的求和公式及其等差数列的求和公式即可得出 【解答】 （ I）证明： = +n+1， = +1， +1=2 ， 数列 +1是等比教列，公比为 2，首项为 2 （ ：由（ I）可得： +1=2n，可得 an=n2n n 设数列 n2n的前 n 项和为 则 +2 22+3 23+ +n2n， 22+2 23+ +（ n 1） 2n+n2n+1， 相减可得： +22+ +2n n2n+1= n2n+1， 可得： n 1） 2n+1+2 n 1） 2n+1+2 【点评】 本题考查了错位相减法、等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017揭阳二模）己知图 1 中，四边形 等腰梯形， O、 Q 分别为线段 中点， 交点为 P， ，现将梯形 起，使得 ，连结 一几 何体如图 2 示 （ I）证明：平面 平面 （ 图 1 中 A=45， ，求平面 平面 成锐二面角的余弦值 【考点】 面角的平面角及求法； 面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）推导出 而 平面 而 平面 此能证明平面 平面 （ ）以 O 为原点， 在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系 O 用向量法能求出平面 平面 成锐二面角的余弦值 【解答】 证 明：（ ）在图 3 中，四边形 等腰梯形， O、 Q 分别为线段 中点， 等腰梯形 对称轴， 又 （ 2 分） 在图 4 中， 3 分） 由 及 ，得 平面 4 分） 又 ， 平面 又 面 平面 平面 6 分） 解：（ ）在图 4 中，由 A=45， ，解得 F=3， B=4，（ 7 分） 以 O 为原 点， 在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系 O 图所示， 则 B（ 0， 4， 0）、 F（ 1， 3， 0）、 C（ 0， 1， ）， =（ 1， 1， 0）， =（ 0， 3， ），（ 8 分） 设 =（ x， y， z）是平面 一个法向量， 则 ，取 z=3，得 =（ ， 3），（ 9 分） 同理可得平面 一个法向量 =（ ），（ 10 分） 设所求锐二面角的平面角为 ， 则 ， |= = = ， 所以平面 平面 成锐二面角的余弦值为 （ 12 分） 【点评】 本题考查面面垂直的 证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题 19（ 12 分）（ 2017揭阳二模）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关规定第一关没过者没奖励，过 n（ n N*）关者奖励2n 1 件小奖品（奖品都一样）如图是小明在 10 次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率 （ ）估计小明在 1 次游戏中所得奖品数的期望值； （ 计小明在 3 次游戏中至少过两关的平均次数； （ ）估计小明在 3 次游戏中所得奖品超过 30 件的概率 【考点】 散型随机变量的期望与方差； 率分布直方图； 散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）设小明在 1 次游戏中所得奖品数为 ，根据题意写出 的分布列， 计算期望值； （ ）设小明在 3 次游戏中至少过两关的次数为 X，则 X B（ 3， 计算 E（ X）即可； （ ）计算小明在 3 次游戏中所得奖品超过 30 件的概率值即可 【解答】 解：（ ）设小明在 1 次游戏中所得奖品数为 ，则 的分布列为 0 1 2 4 8 16 P （ 2 分） 的期望值为 E（ ） =0 6 ；（ 4 分） （ ）小明在 1 次游戏中至少过两关的概率为 设小明在 3 次游戏中至少过两关的次数为 X，可知 X B（ 3， 则 X 的平均次数 E（ X） =3 （ 7 分） （ ）小明在 3 次游戏中所得奖品超过 30 件含三类： 恰好一次 =16 和两次 =8，恰好二次 =16，恰好三次 =16，（ 8分） P（ =16） P（ =8） 2=3 （ 9 分 P（ =16） 2P（ 16） =3 （ 1 =（ 10 分） P（ =16） 3=（ 11 分） 所以小明在 3 次 游 戏 中 所 得 奖 品 超 过 30 件 的 概 率 为P=（ 12 分） 【点评】 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合题 20（ 12 分）（ 2017揭阳二模）己知椭圆 + =1（ a b 0）与抛物线 p 0）共焦点 物线上的点 M 到 y 轴的距离等于 | 1，且椭圆与抛物线的交点 Q 满足 | （ I）求抛物线的方程和椭圆的方程； （ 抛物线上的点 P 作抛物线的切线 y=kx+m 交椭圆于 A， B 两点，设线段中点为 C（ 求 取值范围 【考点】 锥曲线的范围问题； 圆的标准方程； 物线的标准方程 【分析】 （ I）利用抛物线上的点 M 到 y 轴的距离等于 | 1，通过抛物线的定义，转化解得 p=2，得到抛物线的方程，通过椭圆的右焦点 1， 0），左焦点 1， 0），由 | ，解得 Q（ ， ）利用椭圆的定义求出 a， b求解椭圆的方程 （ 然 k 0， m 0，由 消去 x，推出 ，由 消去 y，推出 9 0，求出 0 9，设 A（ B（ 结合韦达定理求解 取值范围 【解答】 解：（ I） 抛物线上的点 M 到 y 轴的距离等于 | 1， 点 M 到直线 x= 1 的距离等于点 M 到焦点 距离，（ 1 分） 得 x= 1 是抛物线 准线，即 = 1， 解得 p=2， 抛物线的方程为x；（ 3 分） 可知椭圆的右焦点 1， 0），左焦点 1， 0），由 | ，得 = ，又 得 Q（ ， ），（ 4 分） 由椭圆的定义得 2a=| + =6， a=3，又 c=1，得 b2=， 椭圆的方程为 （ 6 分） （ 然 k 0， m 0，由 消去 x，得 4y+4m=0， 由题意知 =16 16，得 ，（ 7 分） 由 消去 y，得（ 9） 872=0， 其中 2=（ 182 4（ 9）（ 972） 0， 化简得 9 0，（ 9 分 又 k= ，得 89 0，解得 0 9，（ 10 分） 设 A（ B（ 则 = 0， 由 ，得 1， 取值范围是（ 1， 0）（ 12 分） 【点评】 本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用，范围问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力 21（ 12 分）（ 2017揭阳二模）设函数 f（ x） =（ x a） 2（ a R）， g（ x） = （ I）试求曲线 F（ x） =f（ x） +g（ x）在点（ 1， F（ 1）处的切线 l 与曲线 F（ x）的公共点个数； （ 函数 G（ x） =f（ x） g（ x）有两个极值点，求实数 a 的取值范围 （附： 当 a 0， x 趋近于 0 时， 2趋向于 + ） 【考点】 6D：利用导数研究函数的极值； 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出函数的导数，计算 F（ 1）， F（ 1），求出切线方程，联立方程组得到得 3x+=0，设 h（ x） =3x+，根据函数的单调性判断即可； （ ）设 r（ x） =2 ，通过讨论 a 的范围，结合函数的单调性确定 a 的范围即可 【解答】 解：（ ） F（ 1） =（ 1 a） 2， F（ x） =2（ x a） + ， 切线 l 的斜率是 F（ 1） =3 2a， 故 切线方程是 y（ 1 a） 2=（ 3 2a）（ x 1）， 即 y=（ 3 2a） x+2， 联立 y=F（ x） =（ x a） 2+ 得 3x+=0， 设 h（ x） =3x+， 则 h（ x） = ， 由 h（ x） 0 以及 x 0，得 0 x 或 x 1， 故 h（ x）在（ 0， ）和（ 1， + ）递增， 故 h（ x）在（ ， 1）递减， 又 h（ 1） =0， h（ ） = 0， 故存在 （ 0， ）， h（ =0， 故方程 3x+=0 有 2 个根： 1 和 从而切线 l 和曲线 F（ x）有 2 个 公共点； （ ）由题意得 G（ x） =（ x a）（ 2 ） =0 在（ 0， + ）至少有 2 个不同的根， 设 r（ x） =2 ， a 0 时， x1=a 是 G（ x） =0 的根， 由 y=2 与 y= （ a 0）恰有 1 个公共点， 可知 2 =0 恰有 1 根 由 x2=x1=a 得 a=1，不合题意， 故 a 0 且 a 1 时，检验可知 x1=a 和 G（ x）的 2 个极值点； a=0 时， G（ x） =x（ 2） =0 在（ 0， + ）仅 1 根，故 a=0 不合题意； a 0 时，需 r（ x） =2 =0 在（ 0， + ）至少有 2 个不同的实根， 由 r（ x） = + 0，得 x ，故 r（ x）在（ ， + ）递增， 故 r（ x）在（ 0， ）递减， a 0， x0 时， r（ x） + ， 且 x 1 时， r（ x） 0， 由题意得，需 r（ x） 0，即 r（ ） =2 ） +3 0，解得： a 2 ， 故 2 a 0， 综上， a （ 2 ， 0