七年级数学思维探究（九）绝对值与方程（含答案）

商高是公元前 11世纪的中国数学家，当时中国正在处于奴隶制社会的西周时期，数学研究还处于非常初级的阶段 商高最大的成就是在世界上第一个提出了勾股定理，在我国最早的一部数学著作周髀算经中记录着商高和周公的一段对话 商高：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五 ”即当直角三角形的两直角边分别为 3 和 4 时，直角三角形的斜边就是 5 ，勾股定理在西方被叫做毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前 6 世纪发现的 9 绝对值与方程 解读课标 绝对值是数学中活性较高的一个概念，当这一概念与其他概念结合就生成许多新的问题，如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等 绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程， 解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解 其基本类型有： 1 最简绝对值方程 形如 0a x b c c 是最简单的绝对值方程，可化为两个 一 元一次方程 ax b c 与 ax b c 2 含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程 这类方程常通过分类讨论法、绝对值几何意义转化为最简绝对值方程和一般方程而求解 问题解决 例 1 方程 5 2 5 的解是 _ 试一试 原方程变形为 5 5 2 ，再把此方程化为一般方程求解 例 2 若关于 x 的方程 2 3 0 无解， 3 4 0 只有一个解， 4 5 0 有两个解，则 m ，n ， k 的大小关系为 （ ） A m n k B n k m C k m n D m k n 试一试 从方程 ax b c有解的条件 入 手 例 3 解下列方程： （ 1） 3 1 4 ； （ 2） 3 1 1x x x ； （ 3） 1 3 4 试一试对于 （ 1） ，从内向外，运用绝对值定义、性质简化方程；对于 （ 2） 、 （ 3） 运用零点分段讨论法去掉绝对值方程；需要注意的是，方程 （ 3） 利用绝对值几何意义 可获得简解 例 4 如图，数轴上有 A 、 B 两点，分别对应的数为 a 、 b ，已知 21a 与 3b 互为相反数 点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x （ 1） 若点 P 到点 A 、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数 （ 2） 数轴上是否存在点 P ，使点 P 到点 A 、点 B 的距离之和为 5 ？ 若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由； （ 3） 当点 P 以每分钟 1个单位长度的速度从 O 点向左运动时，点 A 以每分钟 5 个单位长度的速度向左运动，点 B 以每分钟 20 个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点 P 到点 A 、点 B 的距离相等？ 试一试 由绝对值的几何意义建立关于 x 的绝对值方程 例 5 讨论关于 x 的方程 25x x a 的解的情况 分析与解 a 与方程中常数 2 、 5 有依存关系，这种关系决定了方程解的情况 故寻求这种关系是解本例的关键，利用分类讨 论 法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具 数轴上表示数 x 的点到数轴上表示数 2 和 5 的点的距离和的最小值为 3 ，由此可得原方程的解的情况是： （ 1） 当 3a 时，原方程有两解； （ 2） 当 3a 时，原方程有无数解 25x ； （ 3） 当 3a 时，原方程无解 数学冲浪 知识技能广场 1 30若 9x 是方程 1 23 的解，则 m _；又若当 1n 时，则方程 1 23 的解是 _ 2 方程 3 1 2 1 的解是 _； x _是方程 3 1 15 的解；解方程3 9 9 0 1 9 9 5 1 9 9 5x ，得 x _ 3 如果 22 3 0x x y ，那么 2的值为 _ 4 已知关于 x 的方程 22a x a x 的解满足 1 102x ，则 a 的值 为（ ） A 10或 25B 10或 25C 10 或 25D 10 或 255 若 2 0 0 4 2 0 0 4 2 0 2 0 0 4x ，则 x 等于 （ ） A 20 或 21 B 20 或 21 C 19 或 21 D 19或 21 6 方程 8 8 0 的解的个数为 （ ） A 2 个 B 3 个 C 无数个 D 不确定 7 解下列方程 （ 1） 14 2 1 32 x ； （ 2） 2 2 1 ； （ 3） 3 5 4 8x ； （ 4） 2 1 3 8 求关于 x 的方程 2 1 0 0 1x a a 的所有解的和 9 解方程 32 10 已知 a 、 b 、 c 、 d 都是整数，且 2a b b c c d d a ，则 _ 11 若 1x 、 2x 都满足条件 2 1 2 3 4 ，且 12，则 12的取值范围是 _ 12 满足方程 2 0 0 6 1 8 2 0 0 6x 的所有 x 的和为 _ 13 若关于 x 的方程 21 有三个整数解，则 a 的值为 （ ） A 0 B 2 C 1 D 3 14 方程 2 7 2 1 8 的整数解的个数有 （ ） A 5 B 4 C 3 D 2 15 若 a 是方程 2 0 0 4 2 0 0 4 的解，则 2005a 等于 （ ） A 2005a B 2005a C 2005a D 2005a 16 解下列方程 （ 1） 2 0 0 5 2 0 0 5 2 0 0 6 ； （ 2） 1 5 4 17 当 a 满足什么条件时，关于 x 的方程 25x x a 有一解？有无数多个解？无解？ 应用探究乐园 18 如图，若点 A 在数轴上对应的数为 a ，点 B 在数轴上对应的数为 b ，且 a ， b 满足 22 1 0 （ l） 求线段 长； （ 2） 点 C 在数轴上对应的数为 x ，且 x 是方程 12 1 22 的解，在数轴上是否存在点 P ，使得B ?若存在，求出点 P 对应的数；若不存在，说明理由； （ 3） 在 （ 1） 、 （ 2） 的条件下，点 A ， B ， C 开始在数轴上运动，若点 A 以每秒 1个单位长度的速度向左运动，同时，点 B 和点 C 分剐以每秒 4 个单位长度和 9 个单位长度的速度向右运动，假设 t 秒钟过后，若点 B 与点 C 之间的距离表示为 点 A 与点 B 之间的距离表示为 请问： C 的值是否随着时间 t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值 A 已知 1 2 2 1 3 1 3 6x x y y z z ， 求 23x y z的最大值和最小值 微探究 从三阶幻方谈起 相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟 献给 大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图 ， 这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个 3 阶幻方，也就是在 33 的方阵中填 入 19 ，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等 现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在 33 的方阵图中，每行、每列、每 条 对角线上 3 个数的和都相等，就称它为三阶幻方 可以证明三阶幻方以下基本性质： （ 1）在 33 的方格中填 入 9 个 不同的数，使得各行各列及两条对角线上 3 个数的和都相等，且为 S ，若最中间 数为 m ，则 3 （ 2） 在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方 （ 3） 在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方 解三阶幻方问题，常需恰当引元，运用三阶幻方定义、性质，整体核算等方法求解 例 1 如图，有 9 个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等 问：图中左上角的数是多少？ 试一试 虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条件还与其他的数相关 故为充分运用已知条件，需引入不同的字母表示数（如图） 例 2 如图，在 33 的方格表中填入 九 个不同的正整数： 1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 和 x 使得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定 x 的值，并给出一种填数法 试一试 如下页图，引入不同字母表示数，表中各行、各列三数的和都是相等 的正整数，即1 2 3 4 5 6 7 8 1233 为 正整数，又 21 2 1 233b c d x ， 从估计 和 最小值入手 整体核算法 图 1319?图 1913 x 4x 3x 2x 1察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、 推 理 例 3 如图， a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f 、 g 、 h 、 i 分别代表 1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 中某一 个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内 3 个数的和都相等，那么 a d g 的值是多少？ 分析与解 设这个相等的和是 S ，现将这 9 个小圆中 3 9 27 个数求和，可得： 9 1 2 9 2 3 1 2 9 3 4 5 1 3 5S a b c d e f g h i ，故 15S 先从 9 所在的小圆看， h 至少是 1， i 最多只能是 5 ，再从 1所在的小圆看， a 最多只能是 9 ，由于1 15 ，所以必须 5i ， 9a ， 由此可以求得图 对照图与图中各数的位置，可看到 9 3 6 1 8a d g 当然也可以有另一解法 将 含 1、含 2 、含 4 、含 5 、含 7 与含 8 的 6 个小圆内 3 6 18 个数求和，可得： 6 1 5 1 2 4 5 7 8 a b c d e f g h i a d g ，即 9 0 7 2 a d g ，所以 9 0 7 2 1 8a d g 练一练 1 将 2 到 10这 9 个自然数填入图 中 的 9 个圆圈中，每个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相同，则中间的圆圈中的数是 _，对应的每一条直线上的 3 个数的和是 _ 2 请构造“幻角”，将 110 这 10个整数填入图中的小三角形内（ 2 和 4 已填好），使图中每个大三角123456789987654321 987654321图 形内四数之和都等于 25 3 请将 4 ， 3 ， 2 ， 1 ， 0 ， 1， 2 ， 3 ， 4 ，这 9 个数分别填入图中方阵的 9 个空格，使 3 行、 3列、 2 条对角线上的 3 个数的和都是 0 4 如图， a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f 均为有理数，图中各行各列及两条对角线上的和都相等，求a b c d e f 的值 5 如图是一个 33 的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列以及对角线 上 的和都是相等的，求 6 图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列 9 个数 ： 14， 12， 1， 2 ， 4 ， 8 ， 16， 32 ， 64 填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求 x 的值 7 幻方第一人 幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图，洛书中 3 行、 3 列以及 2 条对角线上的点数之和都等于 15，是一种“ 3 阶幻方”（如图） 我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在 续古摘奇算法一书中给出从 3 阶到 10阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用42对称思想 例如，用 1， 2 ， 3 ， 16构造 4 阶幻方的方法是：先将 1， 2 ， 3 ， 16依 次排成图，然后以外四角对换，即 1与 16对换， 4 与 13对换，再以内四角对换请你在图中填写用这种“对换”方法得出的 4 阶幻方 8 把数字 1， 2 ， 3 ， ， 9 分别填 入 图中的 9 个圈内，要求三角形 三角形 每条边上三个圈内数字之和都等于 18 （ 1） 给出一种符合要求的填法； （ 2） 共有多少种不同填法？证明你的结论 微 探究 商品的利润 商品的利润涉及商品进价、售价、利润、利润率、打折销售等名词术语，理解相关概念并熟悉它们之间的关系是解这类问题的基础 （ 1） 100%利 润利 润 率进 价； （ 2） 利润 =售价 （ 3） 售价 =进价 +利润 =进价（ 1 利润率） 例 1 一家商店将某件商品按成本价提高 50% 后，标价为 450 元，又以 8 折出售，则售出这件商品可获利润 _元 试一试 从求出成本价切入 例 2 某商店出售某种商品每件可获利 m 元，利润率为 20% 若这种商品的进价提高 25% ，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元，则提价后的利润率为 （ ） A 25% B 20% C 16% D 试一试 利用获利不变建立方程 例 3 某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原来增加了 10% ，为了赚钱，开发商把售价提高了 ，利润率比原来增加了 60% ，求开发商原来的利润率 试一试 因售价 =成本（ 1 利润率），故还需设出成本 例 4 某超市对顾客实行优惠 购物 ，规定如下： （ 1） 若一次购物少于 200 元，则不予优惠； （ 2） 若一次购物满 200 元，但不超过 500元，按标价给予九折优惠； （ 3） 若一次购物超过 500元，其 中 500元部分给予九折优惠，超过 500元部分给予 8 折优惠 图 图 98765321416151413121110987654321图 图 别付款 198元与 554元 现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？ 分析与解 第一次付款 198元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能 是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论 情形 l 当 198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为 198元，又 554 450 104，其中 450 元为购物 500元打九折付的钱， 104元为购物打八折付的 钱， 104 30（ 元 ） 因此， 554元所购物品的原价为 130 500 630（元），于是购买小明花 198 630 828（元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付 5 0 0 0 . 9 8 2 8 5 0 0 0 . 8 7 1 2 . 4 （ 元 ） 情形 2 当 198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为 198 20 （元） 仿 情形 1的讨论，购 220 630 850（元）物品一次性付款应为 5 0 0 0 . 9 8 5 0 5 0 0 0 . 8 7 3 0 （ 元 ） 练一练 1 某商品的进价为 x 元，售价为 120元，则该商品的利润率可表示为 _ 2 某商店老板将一件进价为 800元的商品先提价 50% ，再打八折卖出，则卖出这件商品所获利润为 _元 3 某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为 10000元的商品，共带省 2800元，则用贵宾卡又享受了 _折优惠 4 某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为 80 元，打七折售出后，仍可获利 5% ”，你认为售货员应标在标签上的价格为 _ 5 一 商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件按原销售价的八折销售，售价为 120元，则这款羊毛衫每件的原销售价为 _元 6 甲用 1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利 10% 而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了 10% ，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙 若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲 （ ） A 盈亏平衡 B 盈利 1元 C 盈利 9 元 D 亏损 7 2008年爆发的世界金融危机，是自 20 世纪 30 年代以来世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为 200 元，连续两次降价 %a 后售价为 148元，下列所列方程正确的是 （ ） A 22 0 0 1 % 1 4 8a B 22 0 0 1 % 1 4 8a C 2 0 0 1 2 % 1 4 8a D 22 0 0 1 % 1 4 8a 8 某商店出售某种商品每件可获利 m 元，利润率为 20% 若这种商品的进价提高 25% ，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元，则提价后的利润率为 （ ） A 25% B 20% C 16% D 9 某种商品的进价为 800元，出售标价为 1200元，后来由于该 商品 积压， 商店 准备打折销售，但要保证利润率不低于 5% ，则最多可打 （ ） A 6 新 B 7 折 C 8 折 D 9 折 10 某商场对顾客实行优惠，规定： 如一次购物不超过 200 元，则不予折扣； 如一次购物超过 200 元但不超过 500元，按标价给予九折优惠； 如一次购物超过 500元，则其中 500元按第条给予优惠，超过 500元的部分则给予八折优惠 某人两次去购物，分别付款 168元和 423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是 （ ） A B C D 11 某商场用 2500元购进 A 、 B 两种新型节能台灯共 50 盏，这两种台灯的 进价 、标价如下表所示： 类别 价格 A 型 B 型 进价（元 /盏） 40 65 标价（元 /盏） 60 100 （ 1） 这两种台灯各购进多少盏？ （ 2） 若 A 型台灯按标价的九折出售， B 型台灯按标价的八折出售，那么这 批 台灯全部售完后，商场共获利多少元？ 12 某公司销售 A 、 B 、 C 三 种 产品，在去年的销售中，高新产品 C 的销售金额占总销售金额的 40% 由于受国际金融危机的影响，今年 A 、 B 两种产品的销售金额都将比去年减少 20% ，因而高新产品 C 是今年销售的重点 若要使今年的总销售金额与去年持平，问：今年高新产品 C 的销售金额应比去年增加多少？ 13 某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过 100元的不给优惠，超过 100元而不超过300元时，按该次购物全额 9 折优惠，超过 300元的其中 300元仍按 9 折优惠，超过部分按 8 折优惠 小美两次购物分别用了 和 ，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么小丽应该付款多少元？ 微 探究 多变的行程问题 行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等 相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下： 1 相遇问题 其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇 一般地，甲行的路程 +乙行的路程=两地之间的距离 2 追及问题 其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出 发时间不同，造成一前一后，又因为速度的差异使得后者最终能追及前者，一般地，快者行的路程 两地之间的距离 例 1 （ 1） 在公路上，汽车 A 、 B 、 C 分别以 80km/h 、 70km/h 、 50km/h 的速度匀速行驶， A 从甲站开往乙站，同时， B 、 C 从乙站开往甲站 A 在与 B 相遇 2 小时后又与 C 相遇，则甲、乙两站相距 _ （ 2） 小王沿街匀速行走，他发现每隔 6背后驶过一辆 18路公交车；每隔 3面驶来一辆 18路公交车 假设每辆 18路公交车行驶速度相同，而且 18路总站每隔固定时间发一辆车，那么，发车的间隔时间为 _ 试一试 对于 （ 2） ，“背后驶过与迎面驶来”，其实质就是追及与相遇，距离是同向行驶的相邻 两车的间距 例 2 （ 1）一 艘轮船从 A 港 到 B 港顺水航行，需 6 小时，从 B 港到 A 港逆水需 8 小时，若在静水条件下，从 A 港到 B 港需 （ ） 小时 A 7 B 172C 667D 162（ 2） 甲、乙两动点分别从正方形 顶点 A 、 C 同时沿正方形的边开始移动 甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的 4 倍，则它们第 2000次相遇在边 （ ） A B C D 试一试 对于 （ 2） ，设正方形边长为 a ，甲的速度为 x ，相遇时甲行的路程为 y ，利用“相遇时甲、乙两动点运动时间相等”建立方程，把 y 用 a 的代数式表示 例 3 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙 如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔 113分钟相遇一次 现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了 4 圈，此时它们行驶了多少分钟？ 试一试 当甲追上乙时，甲行驶了多少圈？由此可导出甲、乙的速度之比 例 4 甲、乙二人分别从 A 、 B 两地同时出发，在距离 B 地 6 千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达 B 地、 A 地后，又在距 A 地 4 千米处相遇，求 A 、 B 两地相距多少千米？ 解法一 第一次相遇时，甲、乙两人所走的路程之和，正是 A 、 B 两地相距的路程，即当甲、乙合走完 A 、 B 间的全部路程时，乙走了 6 千米，第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的 3 倍（如图，图中实线表示甲所走路程，虚线表示乙所走路线），因此，这时乙走的路程应为 6 3 18 （千米） 考虑到乙从 B 地走到 A 后又返回了 4 千米，所以 A 、 B 两地间的距离为 18 4 14 （ 千米 ） 乙甲法二 甲、乙 两 人同时动身，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有：两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例 到第一次相遇，甲走了（全程 6 ）千米，乙走了 6 千米； 到第二次相遇，甲走了（ 2 全程 4 ）千米，乙走了（全程 4 ）千米 设全程为 s ，易得到下列方程 6 2 464 ， 解得 1 14s ， 2 0s （ 舍去 ） ， 所以 A 、 B 两地相距 14千米 解法三 设全程为 s 千米，甲、乙两人速度分别为 1v ， 2v 则 1212662 4 4 ，得 662 4 4， 解得 14s 或 0s （舍去） 乘车方案 例 5 老师带着两名学生到离学校 33 千米远的博物馆参观，老师乘 一 辆摩托车，速度为 25 千米时，这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人速度为 20 千米时，学生步行的速度为 5 千米时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过 3 个小时 分析 若能使人车同时到达目的地，则时间最短，而要实现“同时到达”，必须“机会均等”，即两名同学平等享受交通工具，各自乘车的路程相等，步行的路程也相等，这是设计方案的关键 解 要使师生三人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计如下方案： 设学生为甲、乙二人 乙先步行！，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后 老师 搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆 如图，设老师带甲乘摩托车行驶了 x 千米，用了20，比乙多行了 32 0 52 0 4x x （千米） 这时老师让甲步行前进，而自己返、回接已，遇到乙时，用了 3 2 5 54 4 0 （小时） 乙遇到老师时，已经步行了 352 0 4 0 8xx x （千米），离博物馆还有 3338x（ 千米 ） 要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有 3338，解得 24x 即甲先乘摩托车 24 千米，用 时 时，再步行 9 千米，用时 时，共计 3 小时 因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过 3 个小时 另解：设乙先步行的时间为 x 小时，步行的路程为 2s ， 则 2 5（千米），此时老师带甲走的路程为23 3 3 3 5 （千米），老师返回接乙走的路程为 23 3 2 3 3 1 0 故有 3 3 5 3 3 1 02 0 2 5，解B （ 乙 ）（ 甲 ） A物馆甲乙乙甲甲 （ 师 ）乙（ 师 ）师得 ，甲乘车的时间为 33 5 x （小时），故甲从学校到博物馆共用 （小时） 练一练 1 甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，则 a 小时相遇；若同向而行，则 b 小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为 _ 2 一 轮船从甲地到乙地顺流行驶需 4 小时，从乙地到甲地逆流行驶需 6 小时， 有 一木筏由甲地漂流至乙地，需 _小时 3 甲、乙两列客车的长分别为 150m 和 200m ，它们相向行驶在平行的轨道上 已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间为 10秒，那么，乙车上的 乘客 看见甲车在他窗口外经过的时间是 _ 4 甲、 乙分别自 A 、 B 两地同时相向步行， 2 小时后中途相遇，相遇后，甲、乙步 行 速度 都提高了 1千米时，当甲到达 B 地后立刻按原路向 A 地返行，当乙到达 A 地后也立刻按原路向 B 地返行 甲、乙两人在第一次相遇后 3 小时 36 分又再次相遇，则 A 、 B 两地的距离是 _千米 5 甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从 A 到 B ，甲需要 30 分钟，乙需要 40 分钟 如果乙比甲早出发 6 分钟，则甲出发后经 _分钟可以追上乙 6 甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线运动），如果当甲到达终点时，乙距终点还有 5 米，丙距终点还有 10米，那么当乙到达终点时，丙距终点还有 _米 7 小 李骑自行车从 A 地到 B 地，小明骑自行车从 B 地到 A 地，两人都匀速前 进 已知两人在上午 8 时同时出发，到上午 10时，两人还相距 36 千米，到中午 12时，两人又相距 36 千米，求 A 、 B 两 地间的路程 8 目前自驾游已 成 为人们出游 的重要 方式 “ 五一”节，林老师驾轿车从舟山出 发 ，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了 时；返回时平均速度提高了 10千米时，比去时少用了半小时回到舟山 （ 1） 求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程； （ 2） 两座跨海大桥的长度及过桥费见下表： 大桥名称 舟山跨海大桥 杭州湾跨海大桥 大桥长度 48 千米 36 千米 过桥费 100元 80 元 据浙江省交通部门规定：轿车的高速公路通行费 y （元）的计算方法为： 5y ax b ，其中 a （元千米）为高速公路里程费， x （千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长）， b （元）为跨海大桥过桥费，若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为 ，求轿车的高速公路里程费 a 9 铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车 人 同时向东行进，行人速度为 米时，骑车人的速度为 米时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用了 22 秒，通过骑车人用了 26秒 问这列火车的车身长为多少米？ 10 如图， 甲、乙两人分别在 A 、 B 两地同时相向而行 ，于 E 处相遇后，甲继续向 B 地行走，乙则休息了 14分钟，再继续向 A 地行走 甲和乙到达 B 和 A 后立即折返，仍在 E 处相遇 已知甲每分钟行走 60米，乙每分钟行走 80 米，则 A 和 B 两地相距多少 米 ？ 师s 1（ 师 ）乙甲 （ 师 ） 甲乙乙甲博物馆学校 11 某单位有 135人要到 50 千米外的某地参观，因为步行时速只有 5 千米，为了使他们上午到达，配备了一辆最多载人 50 名、时速 25 千米的大客车 于是早晨 6 时整出发，若人员上下车的时间不计，试拟一个运行方案，说明步车如何安排，才能使全体人员在最短时间内全部到达目的地，并求该地的时刻，画出汽车往返的运行图 12 A 、 B 、 C 三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻， A 在前， C 在后， B 在 A 、 C 正中 间 10分钟后， C 追上 B ； 又过了 5 分钟， C 追上 A 问再过多少分钟， B 追上 A ? 乙甲E 绝对值与方程 问题解决 例 1 由 5 5 2 ，得 5 5 2 或 5 5 2 ，所以 0x 或 10x 经检验知 0x 时， 方程左右两边不等，故舍去 从而原方程的解为 10x 例 2 A 23 ， 34 ， 45 ，由题 意得 0m， 0n， 0k，从而 0m ，0k 例 3 （ 1） 54x或 32x 原方程化为 3 1 4 或 3 1 4 ，即 3 1 4 或 3 1 4 （ 2）当 3x 时，原方程化为 3 1 1x x x ，得 5x 当 31x 时，原方程化为 3 1 1x x x ，得 1x 当 1x 时，原方程化为 3 1 1x x x ，得 3x 综上知原方程的解为 5x ， 1 ， 3 （ 3）由绝对值的几何意义得原方程的解为 13x 例 4 （ 1） 1x ；（ 2）存在， 32x或 72（ 3） 223或 415数学冲浪 1 1； 9 或 3 2 2 或 0 ； 107； 0 或 1 3 49 4 A 5 D 6 C 7 （ 1） 1x 或 3x ；（ 2） 1x ；（ 3） 3x 或 13x；（ 4） 43x或 2x 8 2 1 0 1x a a ， 21 ， 21 ，得 1 3 ， 2 3 ， 3 1 ， 4 1 ，故 1 2 3 4 8x x x x 9 当 0k ，原方程无解；当 0k 时，原方程有两解： 1x 或 5x ；当 02k 时，原方程化为32 ，此时原方程有四解： 32 ；当 2k 时，原方程化为 3 2 2x ，此时原方程有三解： 1x 或 7x 或 3x ； 当 2k 时，原方程有两解： 32 10 0 或 1 2 ，又 a 、 d 都是整数，得 2， 1 ， 0 当 2，则 a b c d ，即 0 矛盾；若 1，令 1a ， 0b c d 满足题意；若0，令 1b ， 0 满足题意 11 1220 12 4012 13 C 14 B 由数轴知 72a 1 ，且 2a 为偶数 15 D 0a 16 （ 1） 1002或 3008 可以得到 2 2 0 0 5 2 0 0 6x ； （ 2） 15x 17 由绝对值几何意义知：当 33a 时，方程有一解；当 3a 时，方程有无穷多个解，当 3a 或3a 时，方程无解 18 （ 1） 2a ， 1b ， 3；（ 2）存在点 P ，点 P 对应的数为 1 或 3 ；（ 3） 5 3 5 1 2A B B C t t ，为常数 19 1 2 1 2 3x x x x ，同理 2 1 3 ， 3 1 4 ，得 1 2 2 1 3 1 3 6x x y y z z 当且仅当 12x ， 12y ， 13x 时，上面各式等号成立 又 1 2 2 1 3 1 3 6x x y y z z ， 由 12123 得 + 2 3 ， 6 2 3 1 5x y z ，因此， 23x y z的最大值为 15，最小值为 6 从三阶幻方谈起（微探究） 例 l 由已知条件得： 1 2 3 4 1 3 2 41 3 1 9x x x x x x x x x x ，这样前面两个式子之和等于后面的两个式子之和，即 1 2 3 4 1 2 3 42 1 3 1 9x x x x x x x x x ， 2 13 19x ，得 16x 例 2 与 的最小值是 1 2 3 4 52 ，所以 212 53x ，即 212x 而 2123 为整数，且 x 是不同于 1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 的正整数，故 9x 练一练 1 2 ， 6 ， 10； 15， 18， 21 设中间的圆圈中的数是 x ，同一直线上的 3 个数的和是 y ，则 4 3 2 3 1 0 5 4 ， 4 183 2 如图 3 如图： 4 由条件得： 4 1 9a ， 39 ， 9d e f 上述三式相加有 6 2 7a b c d e f ，故 21a b c d e f 5 如图，由 121a k b a c 及 1 1 1 2 1c d b d ，得 121k b c ， 110 ，从而1 1 0 1 2 1 2 3 1k （注：这个幻方是可以完成的，如第 1行为 6 ， 231， 111 ；第 2 行为 221， 116 ， 11；第 3 行为 121， 1， 226 ） 6 这 9 个数的积为311 1 2 4 8 1 6 3 2 6 4 6 442 ，所以每行、每列、每条对角线上三个数字积为64 ，得 1， 1， 2， a 、 c 、 e 、 f 分别为 14 、 12 、 2 、 4 中的某个数，推得 8x 7 略 8 （ 1）略 （ 2）显然有 1 2 9 4 5x y z 图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为 18，得 3 2 6 1 8 1 0 8z y x -，得 2 1 0 8 4 5 6 3 把 一边上三圈中之数的和相加，得 2 3 1 8 5 4 联立、解得 15x ， 24y ，进而 6z 在 19 中三个数之和为 24的仅有 7 ， 8 ， 9 ，所以在 D 、 E 、 F 三处圈内，只能填 7 ， 8 ， 9 三个数，共有 6 种不同填法 显然，当这三个圈中之数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内之数也隧之确56379181024而得到结论，共有 6 种不同的填法 商品的利润（微探究） 例 l 设成本为 a ，则 1 5 0 % 4 5 0a ，得 300a ，所求利润为 4 5 0 0 0 0 6 0 （元） 例 2 C 设原进价为 a 元，提价后的利润率为 %x ，则 20% 1 25% %m a a x ，解得 % 16%x 例 3 设原来的利润率是 %x ，原来的成本是 a ，则 1 . 5 1 0 . 0 1 1 0 . 1 1 0 . 0 1 6 0a x a x ，解 得 65x ，即原来的利润率是 65% 练一练 1 120 160 3 九 4 120 5 150 6 B 7 B 8 C 设提价后的利润率为 %x ，则 1 2 5 % 1 % 1 2 5 %2 0 % 2 0 % ，解得 16x 9 B 10 C 提示： 1 6 8 2 0 0 0 8 0 ，没有经过打折； 4 2 3 5 0 0 0 5 0 ，且大于 200 ，所以这是经过 9 折后的价格；合在一起是 1 6 8 4 2 3 0 . 9 6 3 8 5 0 0 ，按照，可得应付款为5 0 0 0 . 9 1 3 8 0 . 8 5 6 0 . 4 （元） 11 （ 1） A 型台灯购进 30 盏， B 型台灯购进 20 盏； （ 2）这批台灯全部售完后，商场共获利 720元 12 设去年总销售金额为 a ，则高新产品 C 的销售金额为 A 、 B 的原销售金额为 今年的销售金额为 0 . 6 1 2 0 % 0 . 4 8 ，设高新产品 C 的增长率为 x ，由 0 . 4 1 0 . 4 8a x a a 0%x 13 注意到 1 0 0 0 . 9 9 0 9 4 . 5 1 0 0 ， 3 0 0 7 0 2 8 2 设小美第二次购物的原价为 x 元，则 3 0 0 0 .