2017年河北省保定市高考数学二模试卷（理科）含答案

2017年河北省保定市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 P=3， Q=a， b，若 P Q=0，则 P Q=（ ） A 3， 0 B 3， 0， 1 C 3， 0， 2 D 3， 0， 1， 2 2若复数 z=（ x 3） +（ x+3） 实数 ） A 3 B 1 C 3或 1 D 1或 3 3角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边在直 线 y=2x 上，则 ） A 2 B 4 C D 4已知某三棱锥的三视图（单位： 图所示，那么该三棱锥的体积等于（ ） A 2 3 9在区间内随机取出一个数 a，使得 1 x|2x2+0的概率为（ ） A B C D 6设 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 ， a+b=12，则 ） A 8 B 9 C 16 D 21 7某地区打的士收费办法如下：不超 过 2 公里收 7元，超过 2 公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收 他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则 处应填（ ） A y= y= y= y=已知一个球的表面上有 A、 B、 C= ，若球心到平面 距离为 1，则该球的表面积为（ ） A 20 B 15 C 10 D 2 9当双曲线 的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（ ） A y= x B C D 10已知数列 ，前 n，且 ，则 的最大值为（ ） A 3 B 1 C 3 D 1 11若点 P（ x， y）坐标满足 |=|x 1|，则点 ） A B C D 12在平面直角坐标系中，定义 d（ P， Q） =|两点 P（ Q（ 间的 “ 折线距离 ” 则下列命题中： 若 有 d（ A， C） +d（ C， B） =d（ A， B） 若点 A， B， 有 d（ A， C） +d（ C， B） d（ A， B） 到 M（ 1， 0）， N（ 1， 0）两点的 “ 折线距离 ” 相等的点的轨迹是直线 x=0 若 B 在直线 x+y 2 =0上，则 d（ A， B）的最小值为 2 真命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题（每题 5 分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13已知 ， ， ，则 14某所学校计划招聘男教师 教师 x和 该校招聘的教师人数最多是 名 15若直线 x+1=0与 2x+4y 3=0平行，则 的展开式中 16已知定义在（ 0， ）上的函数 f（ x）的导函数 f（ x）是连续不断的，若方程 f（ x）=0无解，且 x （ 0， + ）， f=2017，设 a=f（ b=f（ c=f（ ），则 a， b， 三、解答题（本大题共 5小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知数列 等差数列，且 别为方程 6x+5=0的二根 （ 1）求数列 前 n； （ 2）在（ 1）中，设 ，求证：当 c= 时，数列 等差数列 18为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员 12 人，女队员 18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）若成绩不低于 175分者授予 “ 优秀警员 ” 称号，其他队员则给予 “ 优秀陪练员 ” 称号 （ 1）若用分层抽样的方法从 “ 优秀警员 ” 和 “ 优秀陪练员 ” 中共提取 10 人，然后再从这10人中选 4人，那么至少有 1人是 “ 优秀警员 ” 的概率是多少？ （ 2）若所有 “ 优秀警员 ” 中选 3 名代表，用 表示所选女 “ 优秀警员 ” 的人数，试求 的分布列和数学期望 19如图， 的正三角形， 平面 2D=2 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求二面角 D 20已知椭圆 C： （ a b 0）的离心率为 ， A（ a， 0）， b（ 0， b）， D（ a， 0）， （ 1）求椭圆 （ 2）如图，设 P（ 椭圆 直线 ，直线 ，求四边形 21已知函数 f（ x） =a（ x 1） （ 1）求函数 f（ x）的极值； （ 2）当 a 0 时，过原点分别作曲线 y=f（ x）与 y=两切线的斜率互为倒数，求证： 1 a 2 选修 4标系与参数方程 22已知圆 C 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 （ 1）求圆 （ 2）求直线 所截得的弦长 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x 1|+|x+1| 2 （ 1）求不等式 f（ x） 1的解 集； （ 2）若关于 f（ x） a 2在 实数 2017年河北省保定市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 P=3， Q=a， b，若 P Q=0，则 P Q=（ ） A 3， 0 B 3， 0， 1 C 3， 0， 2 D 3， 0， 1， 2 【考点】 1D：并集及其运算 【分析】根据集合 P=3， Q=a， b，若 P Q=0，则 ， b=0，从而求得 P Q 【解答】解： P Q=0， a=1 从而 b=0， P Q=3， 0， 1， 故选 B 2若复数 z=（ x 3） +（ x+3） 实数 ） A 3 B 1 C 3或 1 D 1或 3 【考点】 数的基本概念 【分析】根据复数 z=（ x 3） +（ x+3） 得 x 3=0， x+3 0，解得 x 【解答】解： 复数 z=（ x 3） +（ x+3） 虚数， x 3=0， x+3 0，解得 x=1 故选： B 3角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则 ） A 2 B 4 C D 【考点】 意角的三角函数的定义 【分析】利用直线斜率的定义、二倍角的正切公式，进行计算即可 【解答】解： 角 的始边与 边在直线 y=2 ； = ， 故选 D 4已知某三棱锥的三视图（单位： 图所示，那么该三棱锥的体积等于（ ） A 2 3 9考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】该三棱锥高为 3，底面为直角三角形 【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直， V= 3 1 3= 故选 A 5在区间内随机取出一个数 a，使得 1 x|2x2+0的概率为（ ） A B C D 【考点】 何概型 【分析】由 1 x|2x2+0代入得出关于参数 之求得 a 的范围，再由几 何的概率模型的知识求出其概率 【解答】解：由题意 1 x|2x2+0，故有 2+a 0，解得 1 a 2， 由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为 6，随机地取出一个数 a，使得 1x|2x2+0这个事件的测度为 3， 故区间内随机地取出一个数 a，使得 1 x|2x2+0的概率为 ， 故选： D 6设 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 ， a+b=12，则 ） A 8 B 9 C 16 D 21 【考点】 角形中的几何计算 【分析】根据基本不等式求得 范围，进而利用三角形面积公式求得 【解答】解： （ ） 2=36，当且仅当 a=b=6 时，等号成立， S 36 =9， 故选： B 7某地区打的士收费办法如下：不超过 2 公里收 7元，超过 2 公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收 他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则 处应填（ ） A y= y= y= y=考点】 序框图 【分析】由题意可得：当满足条件 x 2 时，即里程超过 2 公里，应按超过 2 公里的里程每公里收 每车次超过 2公里收燃油附加费 1元收费，进而可得函数的解析式 【解答】解：当满足条件 x 2时，即里程超过 2公里， 超过 2公里时，每车收燃油附加费 1元，并且超过的里程每公里收 y=x 2） +7+1=8+x 2），即整理可得： y= 故选： D 8已知一个球的表面上有 A、 B、 C= ，若球心到平面 距离为 1，则该球的表面积为（ ） A 20 B 15 C 10 D 2 【考点】 的体积和表面积 【分析】由正弦定理可得截面圆的半径，进而由勾股定理可得球的半径和截面圆半径的关系，解方程代入球的表面积公式可得 【解答】解：由题意可得平面 ， 设截面圆 O 的半径为 r，由正弦定理可得 2r= ，解得 r=2， 设球 ， 球心到平面 ， 由勾股定理可得 2=得 ， 球 =4R 2=20 ， 故选 ： A 9当双曲线 的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（ ） A y= x B C D 【考点】 曲线的简单性质 【 分 析 】 根 据 题 意 ， 由 双 曲 线 的 标 准 方 程 分 析 可 得 其 焦 距2c=2 =2 ，由二次函数的性质分析可得当 m=1 时，双曲线的焦距最小，将 双曲线的渐近线方程计算可得答案 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为 ， 其焦距 2c=2 =2 ， 分析可得：当 m=1时，双曲线的焦距最小， 此时双曲线的方程为： =1， 其渐近线的方程为 y= x， 故选： B 10已知数列 ，前 n，且 ，则 的最大值为（ ） A 3 B 1 C 3 D 1 【考点】 8H：数列递推式 【分析】利用递推关系可得 = =1+ ，再利用数列的单调性即可得出 【解答】解： ， n 2 时， n 1= 1，化为： = =1+ ， 由于数列 单调递减，可得： n=2时， 取得最大值 2 的最大值为 3 故选： C 11若点 P（ x， y）坐标满足 |=|x 1|，则点 ） A B C D 【考点】 线与方程 【分析】取特殊点代入进行验证即可 【解答】解：由题意， x=1时， y=1，故排除 C， D；令 x=2，则 y= ，排除 A 故选 B 12在平面直角坐标系中，定义 d（ P， Q） =|两点 P（ Q（ 间的 “ 折线距离 ” 则下列命题中： 若 有 d（ A， C） +d（ C， B） =d（ A， B） 若点 A， B， 有 d（ A， C） +d（ C， B） d（ A， B） 到 M（ 1， 0）， N（ 1， 0）两点的 “ 折线距离 ” 相等的点的轨迹是直线 x=0 若 B 在直线 x+y 2 =0上，则 d（ A， B）的最小值为 2 真命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 点间距离公式的应用； 2K：命题的真假判断与应用 【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可 【解答】解：若点 C 在线段 ，设 C 点坐标为（ 则 d（ A， C） +d（ C， B） =|d（ A， B）成立，故 正确； 在 d（ A， C） +d（ C， B） =| |（ +（ |+|（ +（ |=|d（ A， B） ，故 错误； 到 M（ 1， 0）， N（ 1， 0）两点的 “ 折线距离 ” 相等点的集合是 （ x， y） |x+1|+|y|=|x1|+|y|， 由 |x+1|=|x 1|，解得 x=0， 到 M（ 1， 0）， N（ 1， 0）两点的 “ 折线距离 ” 相等的点的轨迹方程是 x=0，即 成立； 设 B（ x， y），则 d（ A， B） =|x|+|2 x| 2 ，即 d（ A， B）的最小值为 2 ，故 正确； 综上知，正确的命题为 ，共 3个 故选： C 二、填空题（每题 5 分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13已知 ， ， ，则 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】先根据向量的数量积公式可得 =| | |，再根据余弦定理即可求出 【解答】解： ， ， ， =| | |， 由余弦定理可得 2+16 12=13， ， 故答案为： 14某所学校计划招聘男教师 教师 x和 该校招聘的教师人数最多是 7 名 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师 教师 x和 不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令 z=x+y，则题意求解在可行域内使得 【解答】解：由于某所学校计划招聘男教师 x 名，女教师 y 名，且 x 和 y 须满足约束条件，画出可行域为： 对于需要求该校招聘的教师人数最多， 令 z=x+yy= x+z 则题意转化为，在可行域内任意去 x， y 且为整数使得目标函数代表的斜率为定值 1， 截距最大时的直线为过 （ 4， 3）时使得目标函数取得最大值为： z=7 故答案为： 7 15若直线 x+1=0与 2x+4y 3=0平行，则 的展开式中 210 【考点】 项式系数的性质 【分析】由直线 x+1=0 与 2x+4y 3=0 平行，求出 a=2，由此利用分类讨论思想能求出=（ x+ 2） 5的展开式中 【解答】解： 直线 x+1=0与 2x+4y 3=0平行， ，解得 a=2， =（ x+ 2） 5， 展开式中 + + =80+120+10=210 故答案为： 210 16已知定义在（ 0， ）上的函数 f（ x）的导函数 f（ x）是连续不断的，若方程 f（ x）=0无解，且 x （ 0， + ）， f=2017，设 a=f（ b=f（ c=f（ ），则 a， b，a c b 【考点】 3S：函数的连续性 【分析】根据题意得出 f（ x）是单调函数，得出 f（ x） 设 t=f（ x） f（ x） =t+ 结合 f（ x）是单调增函数判断 a， b， 【解答】解： 方程 f （ x） =0 无解， f （ x） 0或 f （ x） 0恒成立， f（ x）是单调函数； 由题意得 x （ 0， + ）， f=2017， 又 f（ x）是定义在（ 0， + ）的单调函数， 则 f（ x） 设 t=f（ x） 则 f（ x） =t+ f（ x）是增函数， 又 0 1 a c b 故答案为： a c b 三、解答题（本大题共 5小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知数列 等差数列，且 别为方程 6x+5=0的二根 （ 1）求数列 前 n； （ 2）在（ 1）中，设 ，求证：当 c= 时，数列 等差数列 【考点】 8E：数列的求和； 8C：等差关系的确定 【分 析】（ 1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求 通项公式； （ 2）先化简 利用定义证明即可 【解答】解：（ 1）解方程 6x+5=0得其二根分别为 1和 5， 别为方程 6x+5=0的二根 以 ， ， 差数列的公差为 4， =2n； （ 2）证明：当 时， = ， （ n+1） 2n=2， 以 2为首项，公差为 2的等差数列 18为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中 男队员 12 人，女队员 18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）若成绩不低于 175分者授予 “ 优秀警员 ” 称号，其他队员则给予 “ 优秀陪练员 ” 称号 （ 1）若用分层抽样的方法从 “ 优秀警员 ” 和 “ 优秀陪练员 ” 中共提取 10 人，然后再从这10人中选 4人，那么至少有 1人是 “ 优秀警员 ” 的概率是多少？ （ 2）若所有 “ 优秀警员 ” 中选 3 名代表，用 表示所选女 “ 优秀警员 ” 的人数，试求 的分布列和数学期望 【考点】 散型随机变量的期望与方差； 叶图； 散型随机变量及其分布列 【分析】（ 1）根据茎叶图，有 “ 优秀警 员 ”12 人， “ 优秀陪练员 ”18 人用分层抽样的方法，与古典概率计算公式即可得出 （ 2）依题意， 的取值为 0， 1， 2， 3利于古典概率计算公式即可得出 【解答】解：（ 1）根据茎叶图，有 “ 优秀警员 ”12 人， “ 优秀陪练员 ”18 人 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 所以选中的 “ 优秀警员 ” 有 4人， “ 优秀陪练员 ” 有 6人 用事件 至少有 1名 “ 优秀警员 ” 被选中 ” ， 则 = 因此，至少有 1人是 “ 优秀警员 ” 的概率是 （ 2）依题意， 的取值为 0， 1， 2， 3. ， ， ， 因此， 的分布列如下： 0 1 2 3 p 19如图， 的正三角形， 平面 2D=2 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求二面角 D 【考点】 面角的平面角及求法； 面与平面垂直的判定 【分析】（ 1）取 ， ，连接 题意可知，四边形 即 平面 平面 证平面 平面 2），过点 做 足为 M，连接 得 所求二面角的平面角 在等腰三角形 由面积相等可知： ， ； ，根据余弦定理= ，即可 【解答】解：（ 1）证明：如下图所示：取 ， ， 连接 题意可知， 所以 E，即四边形 所以 平面 平面 故平面 平面 2）由 ， 可知， ，同理 又 C=2， 知 点 M 足为 M，连接 所以 在等腰三角形 由面积相等可知： ， ； 根据余弦定理 = 所以二面角 D B 正弦值为 20已知椭圆 C： （ a b 0）的离心率为 ， A（ a， 0）， b（ 0， b）， D（ a， 0）， （ 1）求椭圆 （ 2）如图，设 P（ 椭圆 的部分上的一点，且直线 ，直线 ，求四边形 【考点】 圆的简单性质 【分析】（ 1）根据椭圆的离心率公式及三角形的面积公式，即可求得 a和 可求得椭圆方程； （ 2）求得直线 得丨 理求得丨 ，代入即可求得四边形 【解答】解：（ 1）由题意得 ，解得 a=2， 椭圆 （ 2）由（ 1）知， A（ 2， 0）， ，由题意可得 ， 因为 P（ 2 0， ， 直线 令 x=0，得 从而 = 直线 方程为 令 y=0，得 从而 |2 | ， = ， = ， = = ， 四边形 21已知函数 f（ x） =a（ x 1） （ 1）求函数 f（ x）的极值； （ 2）当 a 0 时，过原点分别作曲线 y=f（ x）与 y=两切线的斜率互为倒数，求证： 1 a 2 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程； 6D：利用导数研究函数的极值 【分析】（ 1）利用导数求函数的单 调区间，从而求解函数 f（ x）的极值； （ 2）设切线 y=而由导数及斜率公式可求得切点为（ 1， e）， k2=e；再设理得 ，再令 ，求导确定函数的单调性，从而问题得证 【解答】（ 1）解： 若 a 0时， 0 所以函数 f（ x）在（ 0， + ）单调递增，故无极大值和极小值 若 a 0，由 得 ， 所以 函数 f（ x）单调递增， ，函数 f