2017年江西省百所重点高中高考数学模拟试卷（理科）含答案

2017 年江西省百所重点高中高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|x 6 0， B=x| 3 x 3，则 A ） A B C 3 D 3 2设复数 z=a+a， b R， b 0），且 ，则 ） A B C D 3若 + ） =2 ） = ，则 值为（ ） A B C D 4在 ， D， E 分别为 中点， F 为 中点，若 ， ，则 的值为（ ） A B C D 5如图是函数 y=f（ x）求值的程序框图，若输出函数 y=f（ x）的值域为，则输入函数 y=f（ x）的定义域不可能为（ ） A B D 2 6函数 f（ x） =x + ）（ | | ）的部分图象如图，且 f（ 0） = ，则图中 ） A 1 B C 2 D 或 2 7在公差大于 0的等差数列 ， 2，且 1， 成等比数列，则数列 （1） n 1前 21项和为（ ） A 21 B 21 C 441 D 441 8中国古代数学名著九章算术卷第五 “ 商功 ” 共收录 28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（ ） A 3795000立方尺 B 2024000立方尺 C 632500立方尺 D 1897500立方尺 9已知 k 1，实数 x， y 满足约束条件 ，且 的最小值为 k，则 ） A B C D 10设 a 0， b 0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 0 ， |3b（ 则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 11体积为 的正三棱锥 A 每个顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上，球心 O 在此三棱锥内部，且 R： ： 3，点 D 上一点，且 点 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A B C D 12定义在（ 0， + ）上的函数 f（ x）的导函数 f （ x）满足 ，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A f（ 9） 1 f（ 4） f（ 1） +1 B f（ 1） +1 f（ 4） f（ 9） 1 C f（ 5） +2 f（ 4） f（ 1） 1 D f（ 1） 1 f（ 4） f（ 5） +2 二、填空题（每题 5 分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13若公比为 2的等比数列 足 27a ，则 前 7项和为 14（ x 2） 3（ x+1） 4的展开式中 15 已知圆 圆心在此抛物线的准线上，若圆 与直线 x+ y 3=0相切，则圆 16已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） =f（ x） 1有 4个零点，则实数 三、解答题（本大题共 5小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17在 角 A， B， a， b， c，已知 （ 1）求 B； （ 2）若 b= ， A= ，求 18某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取 竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从 6个招标总是中随机抽取 3个总题，已知这 6个招标问题中，甲公司可正确回答其中 4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的 （ 1）求甲、乙两家公司共答对 2道题目的概率； （ 2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 19如图，在三棱锥 面 底面 （ 1）求证： C； （ 2）若 0 ，求 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的短轴长为 2，且函数 y=的图象与椭圆 原点的直线 交于 M， （ 1）求椭圆 （ 2）点 的一个公共点，求 求此时直线 21已知函数 f（ x） =1+a R （ 1）讨论函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 x 22在直角坐标系 线 为参数），直线 y= ，以 （ 1）求曲线 2的极坐标方程； （ 2）若直线 1交于 A， + 23已知函数 f（ x） =|x|+|x 3| （ 1）求不等式 f（ ） 6的解集； （ 2）若 k 0且直线 y=k 与函数 f（ x）的图象可以围成一个三角形，求 2017 年江西省百所重点高中高考数学模拟试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本 大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|x 6 0， B=x| 3 x 3，则 A ） A B C 3 D 3 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】根据题意，解不等式 |x 6 0求出集合 A，进而由交集的意义计算可得答案 【解答】解：根据题意， x 6 0x 2或 x 3， 即 A=x|x 6 0=（ ， 2 ； A B= 3； 故选： C 2设复数 z=a+a， b R， b 0），且 ，则 ） A B C D 【考点】 数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出 【解答】解：复数 z=a+a， b R， b 0），且 ， a bi= a= b=2 解得 a= ， b= 则 故选： C 3若 + ） =2 ） = ，则 值为（ ） A B C D 【考点】 角 函数的化简求值 【分析】利用两角和与差公式打开化简，即可得答案 【解答】解：由 + ） =2 ） = ，可得 由 解得： ， 故选： A 4在 ， D， E 分别为 中点， F 为 中点，若 ， ，则 的值为（ ） A B C D 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】根据题意画出图形，结合图形根据平面向量的线性运算与数量积运 算性质，计算即可 【解答】解：如图所示， D， C， D 的中点， ，且 ， =（ + ） =（ + ） （ + ） = + = 12 （ 1） + 22 = 故选： B 5如图是函数 y=f（ x）求值的程序框图，若输出函数 y=f（ x）的值域为，则输入函数 y=f（ x）的定义域不可能为（ ） A B D 2 【考点】 序框图 【分析】模拟程序的运行过程知该程序的功能是 求分段函 数 y= 在某一区间上的值域问题； 对题目中的选项分析即可 【解答】解：模拟程序的运行过程知，该程序的功能是 求分段函数 y= 在某一区间上的值域问题； x 时， y=2 x =，满足题意， x =（ 4， 8， x=2时， y=， x ，满足题意， B 正确； x 时，若 x ，则 y=，不满足题意， 同理 x 2时， y ，满足题意， 故选： C 6函数 f（ x） =x + ）（ | | ）的部分图象如图，且 f（ 0） = ，则图中 ） A 1 B C 2 D 或 2 【考点】 y=x + ）的部分图象确定其解析式 【分析】 f（ 0） = ，则 ，求出 ，利用正弦函数的对称性，即可得出结论 【解答】解： f（ 0） = ，则 ， | | ， = ， x =2 ， x=2k+ ， = ， m= ， 故选 B 7在公差大于 0的等差数列 ， 2，且 1， 成等比数列，则数列 （1） n 1前 21项和为（ ） A 21 B 21 C 441 D 441 【考点】 8E：数列的求和 【分析】设公差为 d（ d 0），运用等差数列的通项公式，可得首项为 1，再由等比数列的中项的性质，解方程可得公差 d，进而得到等差数列 通项，再由并项求和即可得到所求和 【解答】解：公差 的等差数列 ， 2， 可得 22d（ 2d） =1，即 ， 1， 成等比数列， 可得（ 1） 2=）， 即为（ 1+2d 1） 2=1+5d+5， 解得 d=2（负值舍去） 则 +2（ n 1） =2n 1， n N*， 数列 （ 1） n 1前 21 项和为 a2+ + 3+5 7+ +37 39+41 = 2 10+41=21 故选： A 8中国古代数学名著九章算术卷第五 “ 商功 ” 共收录 28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（ ） A 3795000立方尺 B 2024000立方尺 C 632500立方尺 D 1897500立方尺 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】由三视图可得，直观图为底面为侧视图是直棱柱，利用图中数据求出体积 【解答】解：由三视图可得，直观图为底面为侧视图，是直棱柱，体积为=1897500立方尺， 故选 D 9已知 k 1，实数 x， y 满足约束条件 ，且 的最小值为 k，则 ） A B C D 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率公式，结合数形结合进行求解即可 【解答】解：作出不等 式组对应的平面区域如图： 的几何意义是区域内的点到定点 D（ 0， 1）的斜率， 由图象知 斜率最小， 由 得 ，得 A（ 4 k， k）， 则 k= ，整理得 3k+1=0， 得 k= 或 （舍）， 故选： C 10设 a 0， b 0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 0 ， |3b（ 则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 曲线的简单性质 【分析】利用双曲线的定义与余弦定理可得到 而可求得该双曲线的离心率 【解答】解：设该双曲线的离心率为 e，依题意， | |=2a， |+| 2|4 不妨设 |+|=x， |y， 上式为： x 2y=4 0 ， 在 由余弦定理得， |=|+| 2|4c 2， 即 x y=4 又 |3b， + =2 ， 2+ 2+2| | |4 | |2=36 即 |+|+|36 即 x+y=36 由 + 得： 2x=46 + 2得： 3x=42 于是有 120844 = ， e= = 故选： D 11体积为 的正三棱锥 A 每个顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上，球心 O 在此三棱锥内部，且 R： ： 3，点 D 上一点，且 点 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 内接多面体 【分析】先求出 ，再求出 可求出所得截面圆面积的取值范围 【解答】解：设 a，则 R=2a， 体积为 的正三棱锥 A 的球 = ， h= ， h R） 2+（ a） 2， 4 2a） 2+3 a=2， ， R=4， 点 D 上一点，且 B=4， ， ， =2 ， 截面垂直于 面圆的半径为 =2 ，截面圆面积为 8 ， 以 面圆的半径为 4，截面圆面积为 16 ， 所得截面圆面积的取值范围是 故选： B 12定义在（ 0， + ）上的函数 f（ x）的导函数 f （ x）满足 ，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A f（ 9） 1 f（ 4） f（ 1） +1 B f（ 1） +1 f（ 4） f（ 9） 1 C f（ 5） +2 f（ 4） f（ 1） 1 D f（ 1） 1 f（ 4） f（ 5） +2 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】构造函数 g（ x） =f（ x） ，则根据导数可判断 g（ x）单调递减，于是 g（ 9） g（ 4） g（ 1），化简即可得出结论 【解答】解： ， f （ x） ， 令 g（ x） =f（ x） ，则 g （ x） =f （ x） 0， g（ x）在（ 0， + ）上是减函数， g（ 9） g（ 4） g（ 1），即 f（ 9） 3 f（ 4） 2 f（ 1） 1， f（ 9） 1 f（ 4） f（ 1） +1 故选： A 二、填空题（每题 5 分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13若公比为 2的等比数列 足 27a ，则 前 7项和为 1 【考点】 89：等比数列的前 【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，求出首项，再由等比数列的前 n 项和公式能求出数列的前 7项和 【解答】解： 公比为 2的等比数列 足 27a ， ， 解得 ， 前 7项和为 =1 故答案为： 1 14（ x 2） 3（ x+1） 4的展开式中 为 6 【考点】 项式系数的性质 【分析】利用二项式定理展开即可得出 【解答】解：（ x 2） 3（ x+1） 4=（ 62x 8）（ x+1）， 展开式中 6 48+48= 6 故答案为： 6 15已知圆 圆心在此抛物线的准线上，若圆 与直线 x+ y 3=0相切，则圆 14 【考点】 物线的简单性质 【分析】求出抛物线的准线方程 x= 1，设圆心坐标（ 1， h），根据切线 的性质列方程解出 h，从而可求得圆的半径 【解答】解：抛物线 （ 1， 0），准线方程为 x= 1， 设圆 （ 1， h），则圆 r= ， 直线 x+ y 3=0与圆 圆心 d=r，即 = ， 解得 h=0（舍）或 h= 8 r= =14 故答案为： 14 16已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） =f（ x） 1有 4个零点，则实数 （ 0， 1） 【考点】 52：函数零点的判定定理 【分析】由题意， a 0， a+1 1， h（ x） =与 y=f（ x）有两个不同的交点， x 0， f（ x）=h（ x） = 有 1 个交点（ 0， 1），函数 g（ x） =f（ x） 1 有 4 个零点，只需要x 0， f（ x） =h（ x） = 有另 1 个交点，求出函数在（ 0， 1）处切线的斜率，即可得出结论 【解答】解：由题意， a 0， a+1 1， h（ x） =与 y=f（ x）有两个不同的交点， x 0， f（ x） =h（ x） =有 1个交点（ 0， 1）， 函数 g（ x） =f（ x） 1有 4个零点， 只需要 x 0， f（ x） =h（ x） =有另 1 个交点 x 0， f （ x） =f （ 0） =1， a 1， 综上所述， 0 a 1， 故答案为（ 0， 1） 三、解答题（本大题共 5小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17在 角 A， B， a， b， c，已知 （ 1）求 B； （ 2）若 b= ， A= ，求 【考点】 弦定理； 弦定理 【分析】（ 1）根据题意，将 形可得 正弦定理可得析可得 ，由 （ 2）由三角形内角和定理可得 C 的大小，进而由正弦定理可得 c= ，由三角形面积公式 S 【解答】解：（ 1）根据题意， a =2 由正弦定理可得 变形可得 2，即 ， 又由 0 B ， 故 B= ， （ 2）由（ 1）可得： B= ， 则 C= = ， 由正弦定理 = ，可得 c= ， S = 18某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从 6个招标总是中随机抽取 3个总题，已知这 6个招标问题中，甲公司可正确回答其中 4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的 （ 1）求甲、乙两家公司共答对 2道题目的概率； （ 2） 请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【考点】 散型随机变量的期望与方差； 散型随机变量及其分布列 【分析】（ 1）利用独立重复试验的概率公式求解甲、乙两家公司共答对 2道题目的概率 （ 2）设甲公司正确完成面试的题数为 X，则 X 的取值分别为 1， 2， 3求出概率，得到 公司正确完成面试的题为 Y，则 ， 1， 2， 3求出概率得到分布列，求出期望即可 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 题 意 可 知 ， 所 求 概 率 （ 2）设甲公司正确完成面试的题数为 X，则 别为 1， 2， 3. ， 则 X 1 2 3 P 设乙公司正确完成面试的题为 Y，则 Y 取值分别为 0， 1， 2， 3. ， ， 则 Y 0 1 2 3 P （或 ， ）（） 由 E（ X） =D（ Y）， D（ X） D（ Y）可得，甲公司竞标成功的可能性更大 19如图，在三棱锥 面 底面 （ 1）求证： C； （ 2）若 0 ，求 【考点】 线与平面所成的角 【分析】（ 1）取 中点 O，连接 导出 而 平面 而 点 O 为 中点，能证明 C （ 2）以线段 立空间直角坐标系 O 用向量法能求出 平面 【解答】解：（ 1）证明：取 ，连接 点 1， 平面 面 点 C （ 2）由（ 1）知， C，又 0 ，故 C 为斜边的等腰直角三角形， 面 底面上 底面 线段 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O 设 ，则 A（ 0， 1， 0）， ， B（ 1， 0， 0）， C（ 0， 1， 0）， ， ， ， 设平面 个法向量 ， 则有 ，即 ，令 ， 则 ， 1， ， 设 ， 则 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的短轴长为 2，且函数 y=的图象与椭圆 原点的直线 交于 M， （ 1）求椭圆 （ 2）点 的一个公共点，求 求此时直线 【考点】 线与椭圆的位置关系 【分析】（ 1）由题意可得： 2b=2，解得 b=1联立 +（ a 1）与 y=，可得：=0，根据椭圆 y=的对称性，可得： =0， a 1，解得 a （ 2） 当直线 l 的斜率不存在时， S ；当直线 l 的斜率为 0 时， S 当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l 的方程为： y=椭圆方程联立解得 x2，|2 由题意可得：线段 中垂线方程为： y= x，与椭圆方程联立可得 | 利用 S | |与基本不等式的性质即可得出 【解答】解：（ 1）由题意可得： 2b=2，解得 b=1联立 +（ a 1）与 y=，可得： =0， 根据椭圆 y=的对称性，可得： = 4 =0， a 1，解得 a=2 椭圆 + （ 2） 当直线 S =2； 当直线 时， S =2； 当直线