2017年江西省上饶市六校联考高考数学二模试卷(理)含解析

2017 年江西省上饶市六校联考高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设复数 z 满足 4i，则 z 的模是（ ） A B 5 C D 1 2若全集 U=1， 2， 3， 4， 5，且 x N|1 x 3，则集合 A 的真子集共有（ ） A 3 B 4 C 7 D 8 3函数 的单调增区间是（ ） A（ 1， 1 B（ ， 1） C 1， 3） D（ 1， + ） 4在一个半球中，挖出 一个体积最大的长方体，挖后几何体的俯视图如图，则下列正视图正确的是（ ） A B C D 5设随机变量 X N（ 2， 1），则 P（ |X| 1） =（ ） 附：（若随机变量 N（ ， 2），则 P（ +） = P（ 2 +2） = P（ 3 +3） = A B C D 6算法统宗是中国古代数学名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的， “竹筒容米 ”就 是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根 8 节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的下端 3 节可盛米 ，上端 3 节可盛米 3 升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（ ）升 A 上饶高铁站 站口有 3 个闸机检票通道口，若某一家庭有 3 个人检票进站，如果同一个人进的闸 机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭 3 个人的不同进站方式有（ ）种 A 24 B 36 C 42 D 60 8设 ， 0， ，且满足 ，则 2 ）的取值范围为（ ） A 0， 1 B 1， 0 C 1， 1 D 9已知在等腰 ，若 |5，且 ，则 的取值范围是（ ） A 15， 25） B 15， 15 C 0， 25） D 0， 15 10已知双曲线 C： =1 的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某一条渐近线交于两点 P， Q，若 且 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 2 B C D 3 11在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， O 是 接圆的圆心，若 ，且 ，则 m 的值是（ ） A B C D 12 已知 ，其中 0 ，若函数在区间（ ， 2）内没有零点，则 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答 题纸上） 13阅读程序框图，该算法功能是输出数字 A 的末两位数字是 14若 的展开式中各项的系数之和为 729，则该展开式中 系数为 15抛物线 p 0）与过焦点且垂直于其对称轴的直线所围成的封闭图形面积是 6，则 p= 16已知函数 ，若关于 x 的方程 x） x） +m 1=0 恰好有3 个不相等的实根，则 m 的取值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知数列 前 n 项和为 n+1=1+一切正整数 n 恒成立 （ 1）试求当 何值时，数列 等比数列，并求出它的通项公式； （ 2）在（ 1）的条件下，当 n 为何值时，数列 的前 n 项和 得最大值 18某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为 p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 10 万元 8 万元 5 万元 （ 1）求 p 及基地的预期收益； （ 2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为 11 万元，有雨时收益为 6 万元，且额外聘请工人的成本为 5000 元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由 19如图，已知四边形 直角梯形， 0， ，若 以 底边的等腰直角三角形，且 （ 1）证明： 平面 （ 2）求直线 平面 成的角的大小 20已知椭圆 C： =1（ a 0， b 0）的左、 右两焦点分别为 1，0）， 1， 0），椭圆上有一点 A 与两焦点的连线构成的 ，满足 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设点 B， C， D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点 B 与点 D 关于原点 直线 斜率分别为 k1k2=k3 值 21已知 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若不等式 23 1 恒成立，求 a 的取值范围 选修 4标系与参数方程 22在直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ 为参数）， 1 上的动点， P 点满足 ，设点 P 的轨迹为曲线 （ 1）求 极坐标方程； （ 2）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 异于极点的交点为 A，与 异于极点的交点为 B，求线段 长度 选修 4等式选讲 23设 f（ x） = （ 1）当 a=2 时，求不等式 f（ x） 1 的解集； （ 2）若对任意 a （ 0， 1）， x x|x 0，不等式 f（ x） b 恒成立，求实数 2017 年江西省上饶 市六校联考高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设复数 z 满足 4i，则 z 的模是（ ） A B 5 C D 1 【考点】 数求模 【分析】 由复数模的公式求解即可 【解答】 解： 复数 z 满足 4i， |z|2= =5， |z|= ， 故选 A 2若全集 U=1， 2， 3， 4， 5，且 x N|1 x 3，则集合 A 的真子集共有（ ） A 3 B 4 C 7 D 8 【考点】 16：子集与真子集 【分析】 根据题意，有补集的定义可得集合 A，再由集合真子集的定义可得 、 4、 5，即可得答案 【解答】 解：根据题意，全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 且 x N|1 x 3=1， 2， 3， 则 A=4， 5， A 的真子集有 、 4、 5，共 3 个； 故选： A 3函数 的单调增区间是（ ） A（ 1， 1 B（ ， 1） C 1， 3） D（ 1， + ） 【考点】 3G：复合函数的单调性 【分析】 由真数大于 0 求出函数的定义域，进一步求出内函数在定义域内的减区间，再由复合函数的单调性得答案 【解答】 解：令 t= x+3， 由 x+3 0，得 1 x 3 函数 t= x+3 的对称轴方程为 x=1， 二次函数 t= x+3 在 1， 3）上为减函数， 而函数 y= 为定义域内的减函数， 函数 的单调增区间是 1， 3） 故选： C 4在一个半球中，挖出一个体积最大的长方体，挖后几何体的俯视图如图，则下列正视图正确的是（ ） A B C D 【考点】 单空间图形 的三视图 【分析】 由题意，挖出一个体积最大的长方体，由俯视图，可知正视图投影线不能到底部，即可得答案 【解答】 解：由题意，挖出一个体积最大的长方体， 由俯视图，可知正视图投影线不能到底部，排除 A， D 选项 B 选项视图可知，挖出是一个正方体， B 不对 故而 C 满足题意 故选 C 5设随机变量 X N（ 2， 1），则 P（ |X| 1） =（ ） 附：（若随机变量 N（ ， 2），则 P（ +） = P（ 2 +2） = P（ 3 +3） = A B C D 【考点】 态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 由题意， P（ 1 X 3） =P（ 1 X 5） =用 P（ |X| 1） = P（ 1 X 5） P（ 1 X 3） ，可得结论 【解答】 解：由题意， P（ 1 X 3） =P（ 1 X 5） = P（ |X| 1） = P（ 1 X 5） P（ 1 X 3） = 故选 B 6算法统宗是中国古代数学名著 在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的， “竹筒容米 ”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根 8 节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的下端 3 节可盛米 ，上端 3 节可盛米 3 升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（ ）升 A 考点】 8B：数列的应用 【 分析】 要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为 端第一节盛米 ，由等差数列通项公式及前 n 项和公式列出方程组求出 d，由此能求出中间两节可盛米的容积，可得结论 【解答】 解：要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米 ， 由题意得 ， 解得 d= 中间两节可盛米的容积为： a4+ d） +（ d） =2d=根八节竹筒盛米的容积总共为： ） 故选： C 7上饶高铁站 站口有 3 个闸机检票通道口，若某一家庭有 3 个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭 3 个人的不同进站方式有（ ）种 A 24 B 36 C 42 D 60 【考点】 列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，按 3 人选择通道口的数目分 3 种情况讨论， 、 3 人选择同一个通道口进站， 、 3 人选择 2 个通道口进站， 、 3 人选择 3 个通道口进站，分别求出每一种情况的进站方式数目，由分类计数原 理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，分 3 种情况讨论： 、 3 人选择同一个通道口进站，通道口有 3 种选择， 3 个人的前后顺序有 则此时有 3 8 种进站方式， 、 3 人选择 2 个通道口进站， 先将 3 人分成 2 组，有 种分组方法， 在 3 个通道口中任选 2 个，有 种情况，考虑 2 人组的前后顺序，有 种情况， 此时有 3 6 2=36 种进站方式， 、 3 人选择 3 个通道口进站， 将 3 人全排列，对应 3 个通道口即可，有 种进站方式， 则这个家庭 3 个人的不同进站方式有 18+36+6=60 种； 故选： D 8设 ， 0， ，且满足 ，则 2 ）的取值范围为（ ） A 0， 1 B 1， 0 C 1， 1 D 【考点】 角和与差的余弦函数 【分析】 由范围 ， 0， ，可求 ， ，利用两角差的正弦函数公式可得 ） =1，可求 = ，进而求得 2 的范围，利用余弦函数的图象即可得解 【解答】 解： ， 0， ，则 ， ， 又 ） =1， = ， 2 ， ， 2 ） 1， 0 故选： B 9已知在等腰 ，若 |5，且 ，则 的取值范围是（ ） A 15， 25） B 15， 15 C 0， 25） D 0， 15 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】 根据 = | |，两边平方求出 15；再利用平面向量数量积的定义求出 25，从而得出 的取值范围 【解答】 解：在等腰 ， |5， = | |， ， 即 +2 + + ， 25+2 +25 + ， 解得 15； 又 =5 5 25， 15 25； 即 的取值范围是 15， 25） 故选： A 10已知双曲线 C： =1 的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某一条渐近线交于两点 P， Q，若 且 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 2 B C D 3 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 确定 等边三 角形，设 R，则 R，利用勾股定理，结合余弦定理和离心率公式，计算即可得出结论 【解答】 解：因为 0且 ， 所以 等边三角形， 设 R，则 R， R， 渐近线方程为 y= x， A（ a， 0）， 取 中点 M，则 ， 由勾股定理可得（ 2R） 2 ） 2， 所以（ 2=3a2+ ， 在 ， = ， 所以 R2= 结合 c2=a2+ 解得 （ 即为 3 可得 e= = = 故选： B 11在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， O 是 接圆的圆心，若 ，且 ，则 m 的值是（ ） A B C D 【考点】 9V：向量在几何中的应用 【分析】 由 ，得 ，即 ，得 A= 由 ，得 ， 则 m=2 =2 =2 【解答】 解： ， ， 得 A= O 是 接圆的圆心， 由，得， m=2 =2 =2 = 故选： C 12已知，其中 0，若函数在区间（ ， 2）内没有零点 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】 利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可 【解答】 解：，其中 0， 则函数 =x） += =x）， 可得 T= ， 0 2， f（ x）在区间（ ， 2）内没有零点，结合三角函数可得， 或， 解得 或 0 ， 故选： D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13阅读程序框图， 该算法功能是输出数字 A 的末两位数字是 16 【考点】 序框图 【分析】 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 A， i 的值，当 i=2018 时满足条件 i 2017，退出循环，输出 A 的值为 62018，即可得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得： A=6， i=1 执行循环体， A=62， i=2， 不满足条件 i 2017，执行循环体， A=63， i=3 不满足条件 i 2017，执行循环体， A=64， i=4 不满足条件 i 2017，执行循环体， A=62018， i=2018 满足条件 i 2017，退出循环， 输出 A 的值为 62018，可得输出数字 A 的末两位数字是 16 故答案为： 16 14若的展开式中各项的系数之和为 729，则该展开式中 系数为 1280 【考点】 项式定理的应用 【分析】 令 x=1，则 3n=729，解得 n=6，再利用二项式定理的通项公式即可得出 【解答】 解：令 x=1，则 3n=729，解得 n=6， 展开式的通项公式： =（ 1） r（ 4x） 6 r=（ 1） r， 6 =2，解得 r=3 该二项式的展开式中 的系数为 1280 故答案为 1280 15抛物线 p 0）与过焦点且垂直于其对称轴的直线所围成的封闭图形面积是 6，则 p= 3 【考点】 67：定积分 【分析】 直线 l 过抛物线 p 0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，则抛物线与直线的交点为（， p）， p 0） x=，根据定积分的几何意义得 2（） dy=6，即可求 p 【解答】 解：直线 l 过抛物线 p 0）的焦点且与该抛物线的轴垂直， 则抛物线与直线的交点为（， p）， p 0） x=，根据定积分的几何意义得 2（） dy=6， （） =， 2 =6， 解得 p=3， 故答案为： 3 16已知函数，若关于 x 的方程 x） x） +m 1=0 恰好有 3 个不相等的实根，则 m 的取值范围是 （ ， 1） 2 【考点】 54：根的存在性及根的个数判断 【分析】 求函数的导数，判断函数的取值情况，作出 f（ x）的图象，设 t=f（ x），将方程转化为一元二次方程，解方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论 【解答】 解：化简可得 f（ x） =， 当 x 0 时， f（ x） 0， f（ x） =， 当 0 x 时， f（ x） 0，当 x 时 ， f（ x） 0， 故当 x=时，函数 f（ x）有极大值 f（） =； 当 x 0 时， f（ x） = 0， f（ x）为减函数， 作出函数 f（ x）对应的图象如图： 函数 f（ x）在（ 0， + ）上有一个最大值为 f（） = 设 t=f（ x），则关于 x 的方程 x） x） +m 1=0， 即为 mt+m 1=0，解得 t=1，或 t=m 1 当 t=1 时，方程 t=f（ x）有 3 个不等实根， 要使关于 x 的方程 x） x） +m 1=0 恰好有 3 个不相等的实数根， 即有 t=m 1=1，即 m=2 或无实数根 当 m 1 0，即 m 1 时， t=m 1 无实数根 则 m 的取值范围是（ ， 1） 2 故答案为：（ ， 1） 2 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知数列 前 n 项和为 n+1=1+一切正整数 n 恒成立 （ 1）试求当 何值时，数列 等比数列，并求出它的通项公式； （ 2）在（ 1）的条件下，当 n 为何值时，数列的前 n 项和 得最大值 【考点】 8E：数列的求和 【分析】 （ 1）由已知数列递推式可得 =2由数列 等比数列求得首项，并求出数列通项公式； （ 2）把数列 通项公式代入数列，可得数列是递减数列，可知当 n=9 时，数列的项为正数， n=10 时，数列的项为负数，则答案可求 【解答】 解：（ 1）由 =1+：当 n 2 时， +1， 两式相减得： =2 数列 等比数列， 又 +得： 得：； （ 2），可知数列是一个递减数列， ， 由此可知当 n=9 时，数列的前项和 最大值 18某中药种植基地有两处种植区的 药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为 p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 10 万元 8 万元 5 万元 （ 1）求 p 及基地的预期收益； （ 2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为 11 万元，有雨时收益为 6 万元，且额外聘请工人的成本为 5000 元，问该基地是否应该额外聘请工 人，请说明理由 【考点】 散型随机变量的期望与方差； 散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）由两天都下雨的概率求出 p 的值，写出基地收益 X 的可能取值，计算对应的概率； 写出该基地收益 X 的分布列，计算数学期望 E（ X）； （ 2）设基地额外聘请工人时的收益为 Y 万元，计算数学期望 E（ Y）， 比较 E（ X）、 E（ Y）即可得出结论 【解答】 解：（ 1）两天都下雨的概率为（ 1 p） 2= 解得 p= 该基地收益 X 的可能取值为 10， 8， 5；（单位：万元） 则： P（ X=10） = P（ X=8） =2 P（ X=5） = 所以该基地收益 X 的分布列为： X 10 8 5 P 该基地的预期收益为 E（ X） =10 元）， 所以，基地的预期收益为 元； （ 2）设基地额外聘请工人时的收益为 Y 万元， 则其预期收益： E（ Y） =11 元）； 此时 E（ Y） E（ X），所以该基地应该外聘工人 19如图，已知四边形 0， ， 若 以 底边的等腰直角三角形，且 （ 1）证明： 平面 （ 2）求直线 平面 成的角的大小 【考点】 线与平面所成的角； 线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）证明 过计算求解证明 后证明 平面 （ 2）建系 求出相关点的坐标，求出平面 法向量，设直线 平面 利用空间向量的数量积求解直线 平面 成的角即可 【解答】 （ 1）证明：由已知得： 以 平面 直角梯形 ， ，由 以 底边的等腰直角三角形得：D=1 由 ， 可算得： 以： 平面 （ 2）如图建系，可得： A（ 1， 0， 0）， D（ 0， 0， 1）， P（ 0， 0， 0）， 设平面 法向量为，则有，令 x=1 得： ， 设直线 平面 成 的 角 是 ， 所以直线 平面 成的角是 20已知椭圆 C： =1（ a 0， b 0）的左、右两焦点分别为 1，0）， 1， 0），椭圆上有一点 A 与两焦点的连线构成的 ，满足 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设点 B， C， D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点 B 与点 D 关于原点 直线 斜率分别为 k1k2=k3 值 【考点】 锥曲线的定值问题； 圆的标准方程； 线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）在 ，由正弦定理得 a，结合焦点坐标求出 c，求解 b，可得椭 圆方程 （ 2）设 B（ C（ 则 D（ 通过斜率乘积转化求解值即可 【解答】 解：（ 1）在 ，由正弦定理得： ， 所以， 解得 ， b=1，所以椭圆 C 的方程为： （ 2）设 B（ C（ 则 D（ 由 ， 所以 ，即 ， 于是有 ，即 21已知 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若不等式 23 1 恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 6K： 导数在最大值、最小值问题中的应用； 3R：函数恒成立问题； 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）利用导函数的符号判断函数的单调性，求解单调区间即可 （ 2）由不等式 23 1 恒成立，得到恒成立，设 ，求出利用函数的单调性求出函数的最值，即可求解 a 的范围 【解答】 解：（ 1）由 得： 由于定义域为 x|x 0， 所以由 y 0 得： 0 x 1 或 1 x 0 所以由 y 0 得： x 1 或 x 1 即得函数在区间（ 0， 1），（ 1， 0）上单调递增，在区间（ ， 1）， （ 1， + ）上单调递减